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Físisca cinematica
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8/7/2012
1
Prof. Dr. Anderson
Caproni
1
O que é mecânica?
Mecânica
Estuda o movimento de corpos físicos. Inicialmente, a
descrição é feita a partir do movimento de partículas.
E a cinemática se ocupa da descrição do movimento.
2
S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 1s
S0 = 20m
T= 2s
S0 = 30m
T= 3s
S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 0,9s
S0 = 20m
T= 1,6s
S0 = 30m
T= 2,0s
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2
Cinemática
A posição da partícula pode ser descrita a partir de 3
coordenadas (normalmente cartesianas).
3
k
j
i
S = 0m S = 10m S = 20m S = 30m
x = x1 i + x2 j + x3 k
Cinemática
O movimento da partícula é descrito escrevendo-se
suas coordenadas em função do tempo.
4
x (t) = x1 (t) i + x2 (t) j + x3 (t) k
O principal objetivo da mecânica é encontrar
maneiras para determinar essas coordenadas.
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3
Cinemática
Conhecendo-se as coordenadas, em função do tempo,
de uma partícula, a sua velocidade é dada por:
5
v (t) = v1 (t) i + v2 (t) j + v3 (t) k
onde,
vi = xi = dxi/dt .
E a sua aceleração é:
a (t) = a1 (t) i + a2 (t) j + a3 (t) k
onde,
ai = vi = dvi/dt = d2xi/dt2 .
Cinemática
Dependendo da situação (problema), outros sistemas
de coordenadas podem ser mais convenientes.
6
x (r, z, θ) – coordenadas cilíndricas
x (r, θ, φ) – coordenadas esféricas
Ou podem ser utilizados outros tipos de coordenadas: Por exemplo, coordenadas do centro de massa e as
angulares (corpo rígido).
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4
Movimento retilíneo
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Movimento retilíneo
8
S = 0m S = 10m S = 20m S = 30m
Posição – localização do objeto em um determinado instante.
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5
Movimento retilíneo
9
Deslocamento - distância percorrida pelo objeto em relação ao seu
ponto de partida.
S0 = 0m S1 = 10m S2 = 20m S3 = 30m
DS = S3 – S1 = 20m DS = S1 – S0 = 10m DS = S2 – S0 = 20m
Movimento retilíneo uniforme
10
O movimento pode ser uniforme: com velocidade constante, ou
seja, aceleração nula.
S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 1s
S0 = 20m
T= 2s
S0 = 30m
T= 3s
A moto percorre espaços iguais em tempos iguais.
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6
Movimento retilíneo uniforme
11
A velocidade é uma grandeza vetorial: possui módulo,
direção e sentido.
Chamamos o módulo da velocidade de velocidade escalar.
v1 = 3 i v2 = -2 j
v1 = 3 m/s v2 = 2 m/s
x
y
Movimento retilíneo uniforme
12
No movimento uniforme, como a velocidade é constante, o seu
módulo pode ser calculado simplesmente pela razão entre o
espaço total percorrido e o tempo gasto.
Essa velocidade é a velocidade escalar média:
S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 1s
S0 = 20m
T= 2s
S0 = 30m
T= 3s
t
sv
D
D
A velocidade média é o quociente entre o
deslocamento de um móvel e o intervalo de
tempo total e está definida como: t
svm
D
D
( 0)
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7
Movimento retilíneo uniforme
13
Porém, a velocidade em um determinado ponto (espacial ou
temporal) durante o deslocamento é chamada velocidade
instantânea.
S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 1s
S0 = 20m
T= 2s
S0 = 30m
T= 3s
Velocidade instantânea:
dt
sdv
(calculada derivando-se
o vetor deslocamento em
relação ao tempo)
Movimento retilíneo uniforme
14
Equação de movimento:
Vetorial Escalar
tvss 00
tvss 00
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Exercício 1
15
Quando o brasileiro Joaquim Cruz ganhou a medalha de ouro
nas Olimpíadas de Los Angeles, correu 800m em 100s. Qual
foi sua velocidade média?
m800Ds
D
D
t
svm
s100Dt
?mv 100
800 1sm8 mv
Como não se pode passar de 2 h, o carro deverá percorrer os 60 km finais num tempo mínimo
de 1 h. Assim:
Exercício 2
16
Em uma nova resolução, o governo decide multar os carros em estradas
baseado na velocidade média. Se, em uma estrada de 200km, a
velocidade média limite é 100km/h, e um carro percorre os primeiros
140 km a 140km/h, qual terá que ser sua velocidade nos últimos 60km
para não ser multado? 0 km 140 km 200 km
Para não ser multado, a velocidade média nos 200 km deve ser menor ou igual a 100 km/h.
Com isto o tempo de percurso deve ser no mínimo:
D
D lim,m
tot
totm v
t
sv
DD
lim,m
tottot
v
st D
100
200tott h2D tott
O tempo gasto pelo carro nos primeiros 140 km foi de: D
D1
11
mv
st
140
140h11 Dt
D
D
2
2lim,2
t
svm
1
60lim,2mv
1
lim,2 hkm60 mv
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Movimento uniformemente variado (MUV)
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O movimento pode ser variado: com a velocidade variando em
função do tempo. A aceleração, nesse caso, é diferente de zero.
S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 2s
S0 = 20m
T= 3s
S0 = 30m
T= 3,5s
Aceleração: variação da velocidade em função do tempo.
Movimento uniformemente variado (MUV)
18
A aceleração também é uma grandeza vetorial:
possui módulo, direção e sentido.
Chamamos o módulo da aceleração de aceleração escalar.
a1 = 2 i m/s2 a2 = -1 j m/s2
a1 = 2 m/s2 a2 = 1 m/s2
O sinal da aceleração, entretanto, tem um significado mais
importante: ele diz se a velocidade está aumentando (a > 0)
ou diminuindo (a < 0).
x
y
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Movimento uniformemente variado
20
O movimento pode ser variado: com velocidade variável, ou seja,
aceleração diferente de zero.
S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 2s
S0 = 20m
T= 3s
S0 = 30m
T= 3,5s
A moto percorre espaços iguais em tempos cada vez menores.
Ou ela percorre, em tempos iguais, espaços cada vez maiores.
Movimento uniformemente variado
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S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 1s
S0 = 20m
T= 2s
S0 = 30m
T= 3s
No movimento acelerado, a velocidade não é constante e aceleração
não é nula. Por isso, tem-se que considerar a aceleração. A velocidade
calculada é a instantânea.
v = DS/Dt v = dS/dt
Movimento uniformemente variado (MUV)
Velocidade instantânea:
22
S0 = 0m
T= 0s
S0 = 10m
T= 1s
S0 = 20m
T= 2s
S0 = 30m
T= 3s
a = Dv/Dt a = dv/dt
Movimento uniformemente variado (MUV)
Aceleração instantânea:
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23
Movimento uniformemente variado (MUV)
Equações de movimento:
Vetorial Escalar
2
002
1tatvss
2
002
1attvss
a) Posição:
b) Velocidade:
Vetorial Escalar
tavv
0 atvv 0
savv D 22
0
2 savv
D 22
0
2Eq. de Torricelli
24
Ao avistar um radar a 60m de distância, um motorista, a 120km/h, tem
que frear seu carro até atingir 80km/h. Qual deve ser a aceleração da
freada em km/h2? Em quanto tempo (em h) ele tem que frear o carro?
Exercício 3
-60 m
radar
0 m
120 km h-1 80 km h-1
Aceleração da freada: D savv 22
0
2 060,00212080 22 a
a12,0144006400
12,0
144006400a 2hkm7,66666 a
Intervalo de tempo para frear o carro:
atvv 0 t7,6666612080
7,66666
12080t h0006,0t
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Gráficos - MRU
Gráfico S x t: como a velocidade é
constante, o espaço percorrido é o
mesmo em intervalos de tempos
iguais.
t=1h
S=10 km
t=1h
S=10 km
25
A curva que representa o espaço
em função do tempo é uma reta.
Gráficos - MRU
26
Gráfico v x t: como a velocidade é constante, a curva que
representa a velocidade em função do tempo é uma reta.
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Movimento acelerado, a velocidade é variável e o espaço percorrido
muda em intervalos de tempos iguais.
Dt=1s Dt=1s
DS=-3 m
DS=-7 m
Gráficos
28
Movimento acelerado, a velocidade é variável e o espaço percorrido
muda em intervalos de tempos iguais.
Gráficos - MUV
A posição inicial é dada pela
intersecção da curva com o eixo
das ordenadas (S).
A posição é nula na intersecção da
curva com o eixo das abscissas (t).
S0 = 2 m
Nesse caso é preciso achar a raiz
da equação de segundo grau.
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29
Movimento acelerado, a velocidade varia linearmente com o tempo.
Gráficos - MUV
A velocidade inicial é dada pela
intersecção da curva com o eixo
das ordenadas (v).
A velocidade é nula na
intersecção da curva com o eixo
das abscissas (t).
v0 = 3 m/s
v = 0 m/s em t = 0,75 s
Aceleração da gravidade (g) é aceleração imprimida a um
corpo perto da superfície da Terra por esta.
Desprezando qualquer atrito e a resistência do ar:
30
Aceleração gravitacional
Todos os corpos, independente de seu tamanho,
forma, composição ou massa, caem com a mesma
aceleração, a aceleração da gravidade g.
..\topicos_fisica_2011\Apollo_15_Hamm
er_Feather_gravity_demonstration.flv
..\topicos_fisica_2011\Brainiac - Do
heavy objects fall faster than light
objects Aristotle vs Galileo.flv
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31
Aceleração gravitacional
..\topicos_fisica_2011\MythBusters Bullet Fired Dropped.flv
O valor de g depende, entretanto, da latitude e da altitude.
32
g
Mas, para fins práticos, podemos considerá-lo constante,
sendo sempre vertical e para baixo.
Aceleração gravitacional
Matematicamente: 2
2
T
T sm80665,9 R
GMg
Onde:
G = 6,67210-11 N m2 kg-2 cte gravitacional;
MT = 5,981024 kg massa da Terra;
RT = 6,37106 m raio médio da Terra.
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33
Calcular a aceleração da gravidade da Lua, do Sol e de Júpiter.
Para a Lua:
Exercício 4
2
L
LL
R
GMg
26
2211
10738,1
1035,710672,6T
2
L6
1sm623,1 gg
Para o Sol:
2
S
SS
R
GMg
28
3011
1096,6
1099,110672,6T
2
S 28sm09,274 gg
Para Júpiter:
2
J
JJ
R
GMg
27
2711
1069,6
10899,110672,6T
2
J 3sm31,28 gg
Dizemos que se um corpo que cai livremente, somente com a
aceleração da gravidade, sem nenhuma outra influência
externa, está em queda livre.
34
As equações de movimento, nesse caso, serão as mesmas do
MUV, mas com a=g e, normalmente, S=h.
Queda Livre
h = h0 + v0t + gt2/2 h = gt2/2
v0 =0
h0 = 0
v = v0 + gt v = gt
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35
Dados dois corpos, um com massa 50 kg e outro com massa 10
kg, qual deles chega primeiro ao chão se largados de uma altura
de 2 m, ao mesmo tempo (despreze efeitos da resistência do ar)?
Para calcular t, sabendo S e a, pode-se usar:
S = S0 + v0 t + at2/2
onde a = g nos dois casos.
Exercício 5
2
2
81,9020 tt
g
2905,42 t
905,4
22t s64,0t
Ambos chegam ao chão no mesmo instante de tempo!!!
36
Calcule o tempo de queda de um corpo de 40 kg de uma altura de
15 m a partir do repouso. Em quanto tempo e a que velocidade
ele chega ao chão?
Exercício 6
h =15 m
281,92
10150 tt
2905,415 t 905,4
152t s75,1t
2
002
1gttvyy
y
gtvv 0 75,181,90v 1sm16,17 v
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Nossa experiência cotidiana está repleta de exemplos de
movimentos bi e tridimensionais:
37
Movimento em duas dimensões
Concentremos nossos estudos nos movimentos bidimensionais.
38
Movimento em duas dimensões
A generalização para movimentos tridimensionais é relativamente
direta e, por isso mesmo, pode-se fazê-la sem maiores problemas se
compreendermos bem os aspectos bidimensionais do movimento.
Os conceitos de vetores e trigonometria serão muito importantes e
largamente empregados no estudo de movimentos em 2D.
Vamos rediscutir algumas definições em cinemática do ponto de
vista vetorial...
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Vamos considerar um sistema de coordenadas x-y para analisar o
movimento de uma partícula do ponto inicial P ocupado no instante
ti até o ponto final Q ocupado no instante tf
39
Vetor posição e vetor deslocamento
O ponto inicial P é localizado pelo vetor
posição:
O ponto final Q é localizado pelo vetor
posição:
jyixr iiiˆˆ
jyixr fffˆˆ
O vetor deslocamento da partícula indo
do ponto P ao ponto Q está dado por:
jyyixxrrr ifififˆˆ D
jvivjdt
dyi
dt
dxj
t
yi
t
x
jt
yyi
t
xx
t
rr
t
r
dt
rdv
yxtt
if
t
if
t
if
tt
D
D
D
D
D
D
D
D
D
DD
DDDD
00
0000
limlim
limlimlimlim
Denomina-se vetor velocidade média o quociente entre o vetor
deslocamento da partícula e o intervalo de tempo total Δt=tf -ti que
este demora para finalizar tal percurso, ou seja:
40
Vetores velocidade média e velocidade instantânea
Analogamente ao caso unidimensional, podemos
definir o vetor velocidade instantânea como:
t
rvm
D
D
jvivj
t
yi
t
xj
t
yyi
t
xx
t
rr
t
rv mymx
ififif
m
,,
D
D
D
D
D
D
D
D
D
Ou seja:
dt
rdv
Ou seja:
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21
jaiajdt
dvi
dt
dvj
t
vi
t
v
jt
vvi
t
vv
t
vv
t
v
dt
vda
yx
yxy
t
x
t
iyfy
t
ixfx
t
if
tt
D
D
D
D
D
D
D
D
D
DD
DDDD
00
,,
0
,,
000
limlim
limlimlimlim
Denomina-se vetor aceleração média o quociente entre a variação
do vetor velocidade da partícula e o intervalo de tempo total Δt=tf-ti
que este demora para finalizar tal percurso, ou seja:
41
Vetores aceleração média e aceleração instantânea
Analogamente ao caso unidimensional, podemos
definir o vetor aceleração instantânea como:
t
vam
D
D
Ou seja:
dt
vda
Ou seja:
jaiaj
t
vi
t
vj
t
vvi
t
vv
t
vv
t
va ymxm
yxiyfyixfxif
m
,,
,,,,
D
D
D
D
D
D
D
D
D
O movimento de projéteis sob ação da gravidade é um excelente
exemplo de movimento bidimensional. Tal movimento é conhecido
como lançamento oblíquo;
42
Lançamento oblíquo
Partícula se move num plano, com movimento uniformemente
acelerado em uma das direções e com velocidade constante em
outra direção.
g
vx
vy
g
vx
vy
g
vx vy
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22
Vamos considerar que o projétil é lançado a partir de uma altura y0 do chão, na
posição x0 em relação à origem das coordenadas, com um vetor velocidade no
instante t = t0.
43
Lançamento oblíquo
Da figura podemos ver que pode ser
escrito em termos de suas componentes
em x e y:
2
,0
2
,00
00,0,00
:sendo
sincos
yx
yx
vvv
jvivjvivv
O vetor aceleração da gravidade só
possui componente na direção y:
jgg
Decompondo o movimento do projétil nas coordenadas x e y, teremos as
seguintes equações de movimento:
000 cos ttvxx Eixo x:
2
00002
1sin ttgttvyy
Eixo y:
Se y0 = 0, o alcance do projétil, ou seja, seu deslocamento
na direção x, pode ser calculado por:
44
Lançamento oblíquo
g
vxxx
2sin2
002 D
FIGURA 3: Lançamento oblíquo com a mesma velocidade inicial para três
ângulos distintos: 30o (curva azul), 45
o (curva verde) e 60
o (curva vermelha).
Alcance máximo ocorre para =45o
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45
Lançamento oblíquo
A altura máxima y1 corresponde ao ponto da trajetória do projétil onde este
possui apenas velocidade na direção x (vy = 0), sendo dada por:
g
vyy
2
sin22
001
Se y0 = 0, o intervalo de tempo Dt transcorrido desde o lançamento do projétil até
seu impacto com o solo (y2 = 0), pode ser calculado a partir da equação:
g
vttt
sin2 002 D
O módulo da velocidade com que o projétil impacta está dado por:
gyvtv 0
2
02 2)(
46
Uma pedra é lançada horizontalmente do topo de uma torre de 24 m de altura e atinge
o solo a uma distância de 18 m da base da torre.
a) Determinar a velocidade escalar com que a bola foi lançada;
b) Determinar a velocidade escalar da pedra no instante em que atinge o solo.
Exercício 7
2
0
81,92
1024)(
0)(
ttty
tvtxv0=?
24 m
18 m
a) Vamos escrever as
equações de movimento
da pedra na direção x e y:
y
x
No instante tsolo, a pedra
atinge o solo, ou seja:
0905,424)(
18)(
2
0
solosolo
solosolo
tty
tvtx
Da primeira equação temos que: 0
18
vtsolo
Substituindo tsolo na equação de y(tsolo):
0
18905,424
2
0v
905,4
24182
0v
905,4
2418
0v
905,424
180v 1
0 sm14,8 v
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Uma pedra é lançada horizontalmente do topo de uma torre de 24 m de altura e atinge
o solo a uma distância de 18 m da base da torre.
a) Determinar a velocidade escalar com que a bola foi lançada;
b) Determinar a velocidade escalar da pedra no instante em que atinge o solo.
Exercício 7 (continuação)
b) A velocidade escalar ao atingir o solo corresponde ao
módulo do vetor velocidade neste instante, ou seja:
soloysoloy gtvtv 0)(
14,8
1881,90
22)()()( soloysoloxsolo tvtvtv
vx(tsolo)=8,14 m s-1, enquanto que vy(tsolo) pode ser
calculado por:
-1sm69,21)( soloy tv
Portanto:
22
69,2114,8)( solotv1sm16,23)( solotv