01 - Conjuntos Numéricos

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  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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     Matemática

    Professora: Denise Cristiane Pereira Cabral

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjuntos Numéricos

    Conjunto  Símbolo

    Números Naturais 

    Números Inteiros 

    Números Racionais

    Números Irracionais

    Números Reais 

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números naturais

    O conjunto dos números naturais é composto pelos números

    inteiros positivos.

    N = 0,1,2,3,4,5,6, …  

    N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} ⇒ naturais não nulos 

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números naturais

    Propriedades:

    Fechamento: A adição e a multiplicação de dois números

    naturais sempre é um número natural.

    Comutativa: Trocando os termos na adição e na multiplicação

    o resultado não se altera.

    Exemplo: 56 + 44 = 100 = 44 + 56 

    Elemento neutro: Elemento que não altera o resultado. Adição: 0(zero) é o elemento neutro da adição

    Multiplicação: 1(um) é o elemento neutro da

    multiplicação

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números naturais

    Propriedades:

    Associativa: O resultado não depende da ordem.

    Exemplo: 5 + 2 + 7 = 7 + 7 = 14 

    5 + 2 + 7 = 5 + 9 = 14 

    2 . 3 . 5 = 6 . 5 = 30 

    2 . 3 . 5 = 2 . 15 = 30 

    Cancelamento: Exemplo:

     2 + = 2 + 4 ⇒ = 4 

    3. = 3 . 2 ⇒ = 2 

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números naturais

    Propriedades:

    Distributiva (Multiplicação):

    Exemplos:

    2 3 + 4 = 2 . 7 = 14 

    2 3 + 4 = 2 . 3 + 2 . 4 = 6 + 8 = 14 

    3 2 + = 3 . 2 + 3 . = 6 + 3 

    + = +  

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números naturais

    Operações inversas:Adicionar e multiplicar são operações diretas e de natureza

    repetitiva. No entanto, quando temos a soma de dois números

    em que conhecendo apenas uma das parcelas e queremos

    determinar a outra parcela estamos diante de um problema

    inverso, neste caso é necessário utilizar uma operação inversa à

    adição, ou seja, a subtração. Sendo n, p e m ∈  N, observe que:

    m + p = n então n − p = m

    Exemplo:

    6 + 4 = 10 então 10 − 4 = 6 

    3 + 2 = 5 então 5 − 2 = 3 

    2 + = 5 então 5 − 2 = logo 3 =  

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números naturais

    Analogamente, dado o produto de dois números em que

    conhecendo apenas um dos fatores e queremos determinar o

    outro fator estamos diante de um problema inverso, neste caso

    é necessário utilizar uma operação inversa à multiplicação, ou

    seja, a divisão. Sendo n, p e m ∈  N, e p ≠ 0 observe que:

    = m ↔ . =  

    Exemplo:10

    5 = 2 ↔ 2 . 5 = 10 

    2= 5 ↔ 5 . 2 = → 10 =  

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números inteiros

    O conjunto dos números  inteiros  é portanto, a reunião do

    conjunto dos números naturais e o conjunto dos opostos dos

    números naturais, ou seja, é a união do conjunto dos números

    naturais e seus simétricos.

    Observe que o oposto/simétrico do 3 é o -3, assim como o

    oposto/simétrico de -3 é 3.

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números inteiros

    Propriedades : Comutativa: Trocando os termos o resultado não se altera.

    Associativa: O resultado não depende da ordem.

    Distributiva(Multiplicação): + = +  

    Elemento neutro:

    Adição: 0 (zero) é o elemento neutro da adição.

    Multiplicação: 1(um) é o elemento neutro da multiplicação.

    Elemento oposto: O número oposto à 2 é o -2 e vice versa,

    valendo a seguinte propriedade: todo número somado ao seu

    oposto/simétrico resulta em zero. Observe:

    2 + −2 = 0 = −2 + 2 

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números inteiros

    Pergunta:

    A subtração é comutativa?

    Não! Basta observar que:

    2 − 3 = −1 ≠ 1 = 3 − 2 

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números inteiros

    Divisão:

    A divisão é a operação inversa da multiplicação, como já vimos

    anteriormente, assim como no conjunto dos números naturais

    se:

    = m 

    Então:

    . =  

    Exemplo:

    = 2 ⇒ 2 . 5 = 10 

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números inteiros

    Pergunta:Por que não podemos dividir por 0 (zero)?

    Observe que para qualquer ∈ ≠ 0 teriamos:

    0

    =  

    Ou seja, . = 0 

    O que contraria o fato de que ≠ 0 

    Logo ∄ divisão por 0 (zero)

    Exemplo:

    = ⇒ .0 = 2 

    Como todo número multiplicado por zero é zero, então temos

    que m . 0 = 0, assim podemos disser que 0 = 2. O que é

    contraditório pois 0 ≠ 2.

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números inteiros

    Pergunta:

    Mas e se tivermos

     ?

    Observe que neste caso temos:

    = , ∈ Z

    Ou seja, 0 = 0 

    Note que, neste caso, para qualquer valor que m assumir a

    expressão estará correta, assim temos então uma

    indeterminação.

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números inteiros

    Subconjuntos dos números inteiros:

    Inteiros não nulos

    Inteiros não-negativos

    Inteiros não-positivos

    Inteiros negativos

    Inteiros positivos

  • 8/17/2019 01 - Conjuntos Numéricos

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    Conjunto dos números inteiros

    Regra de sinal:

    − − = + 

    + + = + 

    + − = − 

    − + = −