49
BÀI 1

01 Ma Tran - bookbooming

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

Citation preview

Page 1: 01 Ma Tran - bookbooming

BÀI 1

Page 2: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnĐịnh nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n

số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

Ký hiệu: A = [aij]mn

Page 3: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

... ...

... ...... ... ... ... ... ...

... ...... ... ... ... ... ...

... ...

j n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

Hàng thứ nhất

Hàng thứ i

Cột thứ 2 Cột thứ jaij: Phần tử nằm ở hàng i cột j

aij

mn: gọi là cấp của ma trận

a11 a22 a33 … gọi là đường chéo chính

§1: Ma Trận

Page 4: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnVí dụ:

1 0 23 1.5 5

A

2 8 62 9 00 7 2

B

23

33

đường chéo chính21a

Page 5: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnCác ma trận đặc biệt:1. Ma trận không: ij 0, , .a i j

Ví dụ:

0 0 00 0 0

O

(tất cả các phần tử đều = 0)

Page 6: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnCác ma trận đặc biệt:2. Ma trận vuông: m = n.

Ví dụ: 0 7 8

1 3; 4 2 0

2 75 0 2

Ma trận vuông cấp 2

Ma trận vuông cấp 3

(số hàng = số cột)

Page 7: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Các ma trận đặc biệt:3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:

§1: Ma Trận

ij 0, .a i j (các phần tử ngoài đường chéo chính = 0)

Ví dụ:2 0 00 4 00 0 9

11

22

0 ... 00 ... 0... ... ... ...0 0 ... nn

aa

a

Page 8: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnCác ma trận đặc biệt:4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:

1, 1,2,..., .iia i n Ký hiệu: I, In.Ví dụ:

2 3

1 0 ... 01 0 0

1 0 0 1 ... 0, 0 1 0 ,

0 1 .. .. ... ..0 0 1

0 0 ... 1

nI I I

Page 9: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnCác ma trận đặc biệt:5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có

0, .ija i j

Ví dụ: 1 2 5 40 3 1 00 0 2 60 0 0 9

(tam giác trên)

0, .ija i j (tam giác dưới)2 0 0 07 1 0 00 8 2 02 9 1 5

MT tam giác trên MT tam giác dưới

Page 10: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnCác ma trận đặc biệt:6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có:

0, .ija i j có dạng như sau:

11 12 1 1

22 2 2

... ...0 ... ..... .. ... .. ... ..0 0 ... ...0 0 ... ...0 00 0 ... 0 ... 0

r n

r n

r r r n

a a a aa a a

a a

Khi: 11 22 33... 0r ra a a a

Ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa

Page 11: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

1 3 2 0 1 40 3 3 4 0 10 0 5 8 9 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Ví dụ:

Page 12: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnCác ma trận đặc biệt:7. Ma trận cột:là ma trận có n=1.

Ma trận cột có dạng:

11

21

1

:.. i m

m

aa

a

a

Page 13: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Các ma trận đặc biệt:8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.

Ma trận hàng có dạng:

11 12 1... na a a

§1: Ma Trận

Page 14: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Các ma trận đặc biệt:9. Ma trận bằng nhau:

ij ij , , .ij ijmn mnA a b B a b i j

10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với bij=aji với mọi i,j.

(chuyển hàng thành cột)

§1: Ma Trận

Page 15: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Ví dụ:

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

... ...

... ..... .. ... .. .. .. ... ..

... ...

n m

n mT

m m mn n n nmmn nm

a a a a a aa a a a a a

A A

a a a a a a

Dạng của ma trận chuyển vị:

1 61 2 5

2 76 7 9

5 9

TA A

§1: Ma Trận

Page 16: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Các ma trận đặc biệt:11. Đa thức của ma trận:Cho đa thức và ma trân vuông

Khi đó:

(trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A)

[ ]ij nA a

10 1( ) ...n n

n nP x a x a x a

10 1( ) ...n n

n n nP A a A a A a I

nI

§1: Ma Trận

Page 17: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Ví dụ:

Cho 22 ( ) 3 5P x x x

và ma trận 1 20 3

A

Khi đó: 2

2 2

2

( ) 3 5

1 2 1 2 1 03 5

0 3 0 3 0 1

P A A A I

§1: Ma Trận

Page 18: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnCác phép toán trên ma trận:1. Phép cộng hai ma trận:

ij ij ij ijmn mn mna b a b

1 2 0 33 5 2 4

4 2 1 5

Ví dụ:

1 0

1+ 0=11

2 3

2+3=55

-1 15 3

(cộng theo từng vị trí tương ứng)

Page 19: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Bài tập: Tính

2 3 3 3 4 21 4 6 1 7 24 2 0 6 3 2

?5 7

?

?

-1

0

2

11 8

-2 1

§1: Ma Trận

Page 20: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

))) ( ) ( )

i A B B Aii A O Aiii A B C A B C

Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận cùng cấp, khi đó:

§1: Ma Trận

Ví dụ: 1 2 3 5 4 74 7 2 0 6 7

3 5 1 2 4 72 0 4 7 6 7

Page 21: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận Các phép toán trên ma trận:2. Phép nhân một số với một ma trận:

ij ij. ,mn mn

a a R.

Ví dụ:

3 2 02 7 4 5

0 2 1

23

2.3=662.(-2)=-4

-22

-4

014

2.0=08 10

0 -4 2

(các phần tử của ma trận đều được nhân cho )

Page 22: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Bài tập: Tính

2 33 4 0

5 1

?6

0

15

§1: Ma Trận

-9

12

-3

Page 23: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Các tính chất: là hai ma trận

cùng cấp, khi đó , , ,R A B

§1: Ma Trận

) ( )) ( )) ( ) ( )) 1

i A B A Bii A A Aiii A Aiv A A

Sinh viên tự kiểm tra.

Page 24: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Ví dụ:

§1: Ma Trận

1 3 3 9 6 182 3 2

5 2 15 6 30 12

1 3 1 3 6 18(2.3) 6

5 2 5 2 30 12

Page 25: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Chú ý:

1 3 6 5 1 3 6 5( 1)

4 5 1 3 4 5 1 3

( 1)A B A B

1 3 6 5 5 24 5 1 3 3 2

Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng

Page 26: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

2 4 1 32

3 7 2 4

Bài tập: Tính2+(-2).1=0

0 -2

7 -1

Page 27: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận Các phép toán trên ma trận:3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận Khi đó ma trận gọi là tích của

hai ma trận A, B. Trong đó:

; ,mp pnA B[ ]mp pn ij mnA B c

1 1 2 2 ... , 1, ; 1, .ij i j i j ip pjc a b a b a b i m j n

1ia 2ia ipa Hàng thứ i của ma trận A.

1 jb 2 jb pjb Cột thứ j của ma trận B.

Như vậy = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.

ijc

Page 28: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:

33 32 32

3 2 1 1 20 1 4 3 02 3 0 4 1

3. 1.3

+2 +1

.4

=1313

=

=3.2+2.0+1.(-1)=5532

2 01-1

Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí 12csố cột của A= số hàng của B

§1: Ma Trận

Page 29: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

33 32 32

3 2 1 1 2 13 50 1 4 3 02 3 0 4 1

Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:

§1: Ma Trận

=0.1+(-1).3+4.4=13Hàng 2Cột 1

13

Hàng 2

Cột 2

=0.2+1.0+4.(-1)=-4-4

7 -4

Page 30: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnBài tập: Tính

2 4 11 4 2

2 3 01 0 4

3 5 1

23

33

23

Hàng 1Cột 1

=

16 2 3

10 16 3

Page 31: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Bài tập: Tính

1 2 3 3 10 4 2 2 05 1 1 6 3

Page 32: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán

§1: Ma Trận

1 45 2

1 4

3 14 0

3 14

2 1045 2

1 1

6

3

1

2

0

95

AB

BA

Ví dụ:

Page 33: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp

phù hợp để tồn tại ma trận tích

§1: Ma Trận

) ( ) ( )) ( )) ( )) ( )

i A BC AB Cii A B C AB ACiii A B C AC BCiv AI A IA A

( I là MT đơn vị)

Page 34: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Ví dụ:

§1: Ma Trận

1 5 2 1 5 0 1 5 7 17 2 3 4 1 3 7 2 4 1

1 5 2 1 5 0 1 5 2 1 1 5 5 07 2 3 4 1 3 7 2 3 4 7 2 1 3

17 19 10 1520 1 37

27 457 5

27 457 56

A(B+C)

(B+C)

AB AC

Page 35: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Ví dụ:

§1: Ma Trận

1 5 7 1 0 0 1 5 78 4 2 0 1 0 8 4 23 1 0 0 0 1 3 1 0

1 0 0 1 5 7 1 5 70 1 0 8 4 2 8 4 20 0 1 3 1 0 3 1 0

AI A

IA A

Page 36: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma TrậnVí dụ: Cho vàTính f(A)?

2( ) 3 5f x x x 3 51 4

A

Ta có:

22

2

( ) 3 5

3 5 3 5 1 03 5

1 4 1 4 0 1

3 5 3 5 9 15 5 01 4 1 4 3 12 0 5

14 35 4 15 18 507 21 3 7 10 28

f A A A I

AA

Page 37: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Bài tập: Cho

và ma trận

Tính f(A) =?

2( ) 3 4f x x x

1 2 30 3 40 0 2

A

Page 38: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 00 3 4 0 3 4 3 0 3 4 4 0 1 00 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1

23( ) 3 4f A A A I

0 14 260 14 320 0 6

Page 39: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Bài Tập: cho 2( ) 2 31 5

, ( ) ?0 4

f x x x

A f A

2

2( ) 2 3f A A A I 1 5 1 5 1 5 1 0

( ) 2 30 4 0 4 0 4 0 1

f A

4 150 5

Page 40: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Bài tập: Cho 2 0 0 2 03 1 0 ; 1 34 2 5 4 5

A B

Tính 2; ; ; 3 .TAB A A A AB B

Page 41: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận:

1. Nhân một số khác không với một hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:

2. Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:

3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số khác không. Ký hiệu:

ihA B

i jh hA B

i jh hA B

§1: Ma Trận

Page 42: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình

thang.

2 1( 2)

1 1 2 0 1 1 2 02 1 1 3 04 5 2 11 7 3 2

h h

?=1+(-2)1=-1

-5 3?-1

Ta làm cho phần dưới đường chéo chính = 0.

03 14h h 9 10 -10

4 11h h

8 5 2

Ta lặp lại như trên cho phần ma trận này

-5=-1+(-2)2

§1: Ma Trận

Page 43: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

2 1

3 14 1

( 2)41

1 1 2 0 1 1 2 02 1 1 3 0 1 5 34 5 2 1 0 9 10 11 7 3 2 0 8 5 2

h hh hh h

1 1 2 00 1 5 30 00

3 29h h

-35 260

4 28h h

-35 26

4 3( 1)

1 1 2 00 1 5 30 0 35 260 0 0 0

h h

Page 44: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:

0 2 12 1 33 0 5

1 2

2 1 30 2 13 0 5

h h

3 12 ( 3)h h

2 1 30 2 10

-3 1

2 1 30 2 10 0

3 22 3h h

-1

Page 45: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:

3 14h h

1 2 1 02 3 0 54 1 2 03 0 5 7

1 2 1 0000

2 12h h

4 13h h

-1 2 5-7 6 06 2 7

3 27h h

4 26h h

Page 46: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

1 2 1 00 1 2 50 0 8 350 0 14 37

4 38 14h h1 2 1 00 1 2 50 0 8 350 0 0 194

8.37 14( 35) 194

Page 47: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:

3 12h h

1 1 2 33 4 0 12 4 3 2

0 2 1 4

1 1 2 3000

2 13h h 1

Page 48: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§1: Ma Trận

Bài tập: Giải hệ phương trình:2 6

3 2 14 3 5 5

x y zx y zx y z

1 2 1 63 1 2 14 3 5 5

1 2 1 60 7 5 190 0 38 38

121

xyz

Page 49: 01 Ma Tran - bookbooming

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính