Parte 2 (Conjuntos)BC 0003

Edson Alex Arrazola Iriarte

Universidade Federal do ABC

July 4, 2014

Conteudo

ConjuntosCantorSubconjuntosConjunto VazioConjunto PotenciaUniaoIntersecaoConjunto DiferencaComplementarProduto CartesianoPropriedadesParadoxo

Cantor

“ Um conjunto e qualquer colecao dentro de um todo, de objetosdefinidos e distinguıveis, chamados elementos de nossa intuicao epensamento ”

George Ferdinand Ludwing Philipp Cantor, (1845 - 1918)

I Nasceu em Sao Petersburgo.

I Viveu em Alemanha

I Doutorou-se na Universidadede Berlim em 1867

I Em 1904 foi homenageadocom uma medalha da RoyalSociety of London Figure : George Cantor

Conjunto: Um conjunto e qualquer colecao de objetos,concretos ou abstratos. Dado um conjunto, isto e, uma colecao deobjetos, diz-se que cada um destes objetos pertence ao conjuntodado ou, equivalentemente, que e elemento desse conjunto.

Example (Exemplos)

1. O conjunto dos numeros inteiros.

2. O conjunto das solucoes de uma equacao de segundo grau.

3. O conjunto dos numeros reais maiores que −5 e menores que4.

4. O conjunto dos jogadores de um time de futebol.

5. O conjunto dos times de futebol do estado de SP.

6. O conjunto dos conjutos dos times de futebol de SP.

Notacao: Denotaremos os conjuntos por letras maiusculasA,B,C , · · · Z , e os seus elementos por letras minusculasa, b, c, · · · , z .

Se x e um elemento de um conjunto A, escrevemos

x ∈ A (x e um elemento de A ou x pertence a A).

Se x nao e um elemento de conjunto A, escrevemos

x 6∈ A.

Example (Exemplo)

O conjunto A cujos elementos sao os numeros 1, 2, 3, 4 pode serdescrito de duas formas :

descricao enumerativa: A = {1, 2, 3, 4}descricao predicativa: A = { x ∈ IN | x ≤ 4}, IN e chamado

conjunto de referencia

A forma geral da forma predicativa de um conjunto A e

A = {x ∈ U | x satisfaz a propriedade P },

onde U e o conjunto de referencia.

“ A e o conjunto dos elementos x em U tq satisfazem apropriedade P ”

Observacao Importante: Se x e um elemento de um conjunto, xe {x} sao objetos de natureza diferente.

Subconjuntos

Seja dado um conjunto A. Um conjunto B e subconjunto de A (ouB esta contido em A) se todo elemento de B e um elemento de A.Escrevemos B ⊂ A.

B ⊂ A se, e somente se, x ∈ B ⇒ x ∈ A

Observacao: Todo conjunto A e subconjunto dele mesmo.

Se A e B sao tais que A ⊂ B e B ⊂ A, dizemos que A e B saoiguais, isto e, A = B. Assim,

A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

A = B se, e somente se, x ∈ B ⇔ x ∈ A

Conjunto Vazio

Conjunto Vazio

E o conjunto que nao possui nenhum elemento e e denotado por ∅

Afirmacao

Dado qualquer conjunto A, vale sempre a inclusao ∅ ⊂ A.

Prova: Fixemos o conjunto A. Na implicacao

x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A

a premisa e (F ) e a conclusao pode ser (V ) ou (F ). Logo, ela e(V )

Argumento de Vacuidade

“ Uma implicacao cuja premisa e (F) e sempre uma implicacao(V ), independente do valor de verdade de sua conclusao ”

Conjunto Potencia

O conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A e chamadoconjunto potencia ou conjunto de partes de A, e e denotado porP(A)

X ∈ P(A) ⇔ X ⊂ A

Observacao: ∅,A ∈ P(A)

Example (Exemplo)

Seja A = {x , y , z}. O conjunto de partes de A e

P(A) = {∅,A, {x}, {y}, {z}, {x , y}, {x , z}, {y , z}}

Observacao: {x} ∈ P(A), mas nao e correto afirmar quex ∈ P(A)

Uniao de Conjuntos

O conjunto uniao A ∪ B e o conjunto formado pelos elementos quepertencem a A ou a B, isto e:

x ∈ A∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B

Figure : uniao

Intersecao de Conjuntos

O conjunto intersecao A∩B e o conjunto formado pelos elementosque pertencem a A e B, isto e:

x ∈ A∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B

Figure : intersecao

Quando A ∩ B = ∅ dizemos que A e B sao disjuntos.

Propriedades

Dados dois conjuntos A e B tem-se que

1. A ∪ A = A = A ∩ A

2. A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅3. A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B e A ∩ B ⊂ B ⊂ A ∪ B

4. A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

5. A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

Diferenca de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferenca A \ B ouA− B e formado pelos elementos do conjunto A que naopertencem ao conjunto B, isto e:

x ∈ A−B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B

Figure : A− B

Propriedades

1. A \ A = ∅2. A \ ∅ = A

3. ∅ \ A = ∅

Observacao

A uniao dos conjuntos diferenca A− B e B − A, e oconjunto chamado diferenca simetrica, e o denotamos por A4B,isto e,

A4B = (A− B) ∪ (B − A)

Figure : A4B

Complementar de um conjunto

Fixemos um conjunto U . Dado A ⊂ U , o complementar de Arelativamente a U , denotado por Ac ou CUA e definidopor

U − A

x ∈ CUA ⇔ x ∈ U ∧ x /∈ AFigure : Ac

Propriedades

1. ∅c = U e Uc = ∅2. (Ac)c = A

3. A ∪ Ac = U e A ∩ Ac = ∅

Produto Cartesiano

O produto cartesiano de A e B, denotado por A× B, e o conjuntoformado pelos pares ordenados (a, b), onde o primeiro elementopertence A e o segundo pertence a B, isto e:

A× B = { (a, b) | a ∈ A e b ∈ B }

(x , y) ∈ A× B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B

Observacao 1: O par ordenado (x , y) e diferente de {x , y}, que e oconjunto dos elementos x e y .

Observacao 2: (x , y) 6= (y , x), no entanto, os conjuntos {x , y} e{y , x} sao iguais.

Example (Exemplo)

Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b}. Entao:

A× B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

Observacao A× B 6= B × A

Propriedades

Sejam A,B e C tres conjuntos:

1. A ∪ B = B ∪ A

2. A ∩ B = B ∩ A

3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

5. C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B)

6. C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B)

Suponha A,B,C 6= ∅7. A× (B ∪ C ) = (A× B) ∪ (A× C )

8. Se B ∩ C 6= ∅, ⇒ A× (B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A× C )

9. Se B − C 6= ∅ ⇒ A× (B − C ) = (A× B)− (A× C )

10. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

11. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Versao “popular ” do paradoxo de Russel

O paradoxo do barbeiro

Ha numa vila um barbeiro que faz a barba de todos os que naofazem a propria barbaPergunta: Quem faz a barba ao barbeiro? ou seja, o barbeiro faza propria barba ou nao ?