28
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRIMERI ZA VEŽBE PRAVOUGAONI PRESEK - ČISTO SAVIJANJE VEZANO DIMENZIONISANJE Poznato: - statički uticaji za pojedina opterećenja (M i ) - sračunato - kvalitet materijala (f B , σ v ) - usvojeno - dimenzije poprečnog preseka (b, d) Nepoznato: - površina armature (A a ) 1. korak: Sračunavaju se granični računski statički uticaji: ) , p , g i ( M M i i i , u u = × γ = Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti. 2. korak: Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature a 1 i na osnovu toga sračunava statička visina: 1 a d h - = Veličina a 1 se pretpostavlja zavisno od visine i širine preseka (broj šipki koje se mogu smestiti u jedan red). Kreće se u granicama (0.05-0.15) ×d. 3. korak: Sračunava se koeficijent k: B u f b M h k × = i iz tabela za dimenzionisanje pročitaju vrednosti dilatacija betona i armature i mehani č- ki koeficijent armiranja μ ili bezdimenzioni koeficijent kraka unutrašnjih sila ζ. Ukoliko je ε a1 3‰, sračunava se potrebna površina armature iz izraza: v B a f 100 h b A σ × × × μ = ili v u v u a h M z M A σ × × ζ = σ × = Ukoliko je ε a < 3‰, presek se DVOSTRUKO ARMIRA. 4. korak: Usvaja se broj i prečnik šipki armature. Usvojena armatura se raspore đuje u poprečnom preseku, vodeći računa o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zaštitnog sloja, čisto rastojanje između šipki).

01 - Savijanje - pravougaoni presek

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1

PRIMERI ZA VEŽBE

PRAVOUGAONI PRESEK - ČISTO SAVIJANJE

VEZANO DIMENZIONISANJE

Poznato: - statički uticaji za pojedina opterećenja (Mi) - sračunato

- kvalitet materijala (fB , σv) - usvojeno

- dimenzije poprečnog preseka (b, d)

Nepoznato: - površina armature (Aa)

1. korak: Sračunavaju se granični računski statički uticaji:

),p,gi(MMi

ii,uu ∆=×γ= ∑

Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti.

2. korak: Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature a1 i na osnovu toga sračunava statička visina:

1adh −=

Veličina a1 se pretpostavlja zavisno od visine i širine preseka (broj šipki koje se mogu smestiti u jedan red). Kreće se u granicama (0.05-0.15)×d.

3. korak: Sračunava se koeficijent k:

B

u

fbMhk

×

=

i iz tabela za dimenzionisanje pročitaju vrednosti dilatacija betona i armature i mehanič-ki koeficijent armiranja µ ili bezdimenzioni koeficijent kraka unutrašnjih sila ζ. Ukoliko je εa1 ≥ 3‰, sračunava se potrebna površina armature iz izraza:

v

Ba

f100

hbAσ

××

×µ= ili

v

u

v

ua h

Mz

MAσ××ζ

=σ×

=

Ukoliko je εa < 3‰, presek se DVOSTRUKO ARMIRA.

4. korak: Usvaja se broj i prečnik šipki armature. Usvojena armatura se raspoređuje u poprečnom preseku, vodeći računa o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zaštitnog sloja, čisto rastojanje između šipki).

Page 2: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 2

PRIMERI ZA VEŽBE

5. korak: Sračunava se položaj težišta a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i statička visina h i upoređuje sa pretpostavljenom. U slučaju znatnijih odstupanja, proračun se ponavlja sa korigovanom vrednošću a1.

6. korak: Konačno se konstruiše poprečni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom količinom armature, i prikazuje u odgovarajućoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.

Primer 1. Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog ob-lika, opterećen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja. Podaci za proračun:

Mg = 200 kNm b = 35 cm MB 30

Mp = 250 kNm d = 70 cm RA 400/500

kNm7702508.12006.1Mu =×+×=

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 40 kN/cm2

pretp. a1 = 7 cm ⇒ h = 70 - 7 = 63 cm

05.23510770

63k2

××

= = 1.923

εb = 3.5‰ ; αb = 0.810 ; η = 0.416

εa s ζ µ1M % k

5.3 0.398 0.835 32.197 1.929

5.25 0.400 0.834 32.381 1.925

5.2 0.402 0.833 32.567 1.920

εb / εa = 3.5 / 5.25‰, µ = 32.381%

4005.2

1006335381.32Aa ×

××= = 36.59 cm2

usvojeno: 8 RØ25 (39.27 cm2)

aI = a0 + Øu + Ø/2 = 2.5 + 0.8 + 2.5/2 = 4.55 cm ≈ 4.5 cm

aII = aI + 2×Ø/2 + ev = 4.5 + 2×2.5/2 + 3 = 10 cm

cm6.68

1035.45a1 =×+×

= ⇒ hstv. = 70 - 6.6 = 63.4 cm > 63 cm = hpretp.

Page 3: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 3

PRIMERI ZA VEŽBE

DVOSTRUKO ARMIRANI PRESECI

Ukoliko se u slučaju vezanog dimenzionisanja dobije εa < 3‰, presek se DVOSTRUKO ARMIRA, odnosno određuje i armatura koja se raspoređuje u pritisnutu zonu preseka. Time se dilatacija zategnute armature zadržava na željenom nivou (εa ≥ 3‰), pa se pri proračunu graničnih računskih statičkih uticaja koriste minimalne vrednosti koeficijenata sigurnosti.

3a. korak: Određuje se moment nosivosti JEDNOSTRUKO armiranog preseka, sa procentom ar-miranja µ * i koeficijentom k* koji odgovaraju dilataciji armature koja se želi zadržati (najčešće εa1 = 3‰)1:

B

2

bu fb*k

hM ××

=

Preostali deo spoljašnjeg momenta savijanja:

buuu MMM −=∆

se prihvata dodatnom zategnutom i ukupnom pritisnutom armaturom.

∆Mu

b

∆Aa1 ∆Zau

Dau

h-a 2

a 1d

Aa2

ε*a1 = 3‰

εb = 3.5‰

a 2

+εa2

ηx

ha 1

d

Mbu

ε*a1 = 3‰b

A*a1

εb = 3.5‰

x=s*

×h

Z*au

Dbu

z=ζ

*×h

1 U računskom smislu, dvostruko armirani preseci se mogu dobiti i kada je dilatacija zategnute armature εa1 > 3‰, ukoliko se iz bilo kog razloga želi sprečiti da njena vrednost padne ispod određene granice. Ta proizvoljno određena (ili zadatkom utvrđena) granica postaje vrednost εa1* iz napred navedenih izraza.

Iz napred navedenog treba zaključiti da prisustvo armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka ne znači nužno i da je dilatacija zategnute armature εa1 = 3‰.

Page 4: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 4

PRIMERI ZA VEŽBE

4. korak: Pretpostavlja se položaj težišta pritisnute armature a2 i određuju se površine zategnute i pritisnute armature u preseku, iz izraza:

( ) v2

u2a ah

MAσ×−

∆=

2av

B1a Af

100hb*A +

σ×

××µ= ili 2a

v

bu1a A

h*MA +

σ××ζ=

Ostali elementi proračuna se sprovode potpuno isto kao za jednostruko armiran presek. Vrednosti µ * , ζ* i k* odgovaraju usvojenoj dilataciji εa1*.

Primer 2. Odrediti potrebnu površinu armature za presek iz Primera 1., pod uslovom da je širina preseka b = 20 cm.

pretp. a1 = 7 cm ⇒ h = 70 - 7 = 63 cm

05.22010770

63k2

××

= = 1.454 ⇒ εa = 0‰ < 3‰ ⇒ dvostruko armiranje

εb = 3.5‰ ; αb = 0.810 ; η = 0.416

εa s ζ µ1M % k

0.05 0.986 0.590 79.812 1.457

0 1.000 0.584 80.952 1.454

-0.05 1.014 0.578 82.126 1.451

usvojeno εa1* = 3‰ ⇒ k* = 1.719, µ *= 43.590%

05.220719.163M

2

bu ××

= = 55050 kNcm = 550.5 kNm

∆Mu = 770 - 550.5 = 219.5 kNm

pretp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 40563105.219A

2

2a ×−×

= = 9.46 cm2

usvojeno: 2 RØ25 (9.82 cm2)

46.94005.2

1006320590.43A 1a +×

××= = 37.61 cm2

usvojeno: 8 RØ25 (39.27 cm2)

8

5.1521035.43a1×+×+×

= = 9.3 cm ⇒ hstv. = 70 - 9.3 = 60.7 cm < 63 cm = hpretp.

Page 5: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 5

PRIMERI ZA VEŽBE

Potrebna armatura se ne može rasporediti tako da se dobije pretpostavljena vrednost statičke visine, pa je potrebno izvršiti korekciju proračuna. Kako će se smanjenjem statičke visine dobiti veća potrebna površina armature, vrednost a1 sigurno neće biti manja od upravo sračunatih 9.3 cm. Sledi:

pretp. a1 = 10 cm ⇒ h = 70 - 10 = 60 cm

05.22010770

60k2

××

= = 1.385 ⇒ εa < 3‰ ⇒ dvostruko armiranje

εb = 3.5‰ ; αb = 0.810 ; η = 0.416

εa s ζ µ1M % k

-0.4 1.129 0.530 91.398 1.436

-0.45 1.148 0.523 92.896 1.435

Tražene vrednosti k u tablicama nema, ali nije ni potrebna za proračun, jer je dilatacija zategnute armature manja od minimalno zahtevanih 3‰. Sledi:

usv. εa1* = 3‰ ⇒ k* = 1.719, µ *= 43.590%

22

bu 1005.220719.160M −×××

= = 499.3 kNm

∆Mu = 770 - 499.3 = 270.7 kNm

pp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 40560107.270A

2

2a ×−×

= = 12.31 cm2

usvojeno: 3 RØ25 (14.73 cm2)

31.124005.2

1006020590.43A 1a +×

××= = 39.11 cm2

usvojeno: 8 RØ25 (39.27 cm2)

8

5.1521035.43a1×+×+×

= = 9.3 cm

hstv. = 70 - 9.3 = 60.7 cm > 60 cm = hpretp.

Upoređivanjem rezultata proračuna iz primera 1 i 2, moguće je uočiti da smanjenje širine preseka MALO povećava potrebnu površinu ZATEGNUTE armature. U konkretnom primeru, ta razlika je 6.9% i izazvana je:

- smanjenjem kraka unutrašnjih sila (smanjenje veličine ζ iz tablica)

- smanjenjem statičke visine usled manjeg broja šipki armature koje je moguće smestiti u jedan horizontalni red.

Manojle Krstic
Insert Text
Page 6: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 6

PRIMERI ZA VEŽBE

PRAVOUGAONI PRESEK - ČISTO SAVIJANJE

SLOBODNO DIMENZIONISANJE

Poznato: - statički uticaji za pojedina opterećenja (Mi) - sračunato

- kvalitet materijala (fB , σv) - usvojeno

- širina poprečnog preseka (b) - usvojeno

Nepoznato: - visina poprečnog preseka (d)

- površina armature (Aa)

1. korak: Sračunavaju se granični računski statički uticaji:

),p,gi(MMi

ii,uu ∆=×γ= ∑

Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti, jer se redovno usvaja dilatacija zategnute armature εa ≥ 3‰.

2. korak: Usvajaju se dilatacije betona εb i armature εa, pri čemu bar jedna mora dostići graničnu vrednost. Veće dilatacije betona daju preseke manje visine, armirane većom količinom armature. Za usvojene vrednosti dilatacija iz tabela za dimenzionisanje očitavaju se koeficijenti k i µ , odnosno ζ.

3. korak: Sračunavaju se potrebna statička visina iz izraza:

B

u

fbMkh×

= (1)

i površina armature iz jednog od sledećih izraza:

v

Ba

f100

hbAσ

××

×µ= ili (2)

v

u

v

ua h

Mz

MAσ××ζ

=σ×

= (3)

4. korak: Usvaja se broj i prečnik šipki armature. Usvojena armatura se raspoređuje u poprečnom preseku, vodeći računa o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zaštitnog sloja, čisto rastojanje između šipki).

5. korak: Sračunava se položaj težišta a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i potrebna ukupna visina preseka d:

d = h + a1

koja se zaokružuje na prvi veći ceo broj (ceo broj deljiv sa pet).

Page 7: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 7

PRIMERI ZA VEŽBE

6. korak: Konačno se konstruiše poprečni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom količinom armature, i prikazuje u odgovarajućoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.

Primer 3. Odrediti visinu i potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, opterećen momentima savijanja usled stalnog (Mg) i povremenog (Mp) opterećenja. Podaci za proračun:

Mg = 60 kNm b = 25 cm MB 30

Mp = 80 kNm GA 240/360

Mu = 1.6×60 + 1.8×80 = 240 kNm

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2

GA 240/360 ⇒ σv = 24 kN/cm2

U cilju upoređivanja rezultata proračuna, primer će, sa gornjim podacima, biti urađen u tri varijante (lom po armaturi, simultani lom, lom po betonu).

1. varijanta: LOM PO ARMATURI

usvojeno εb/εa = 2.0/10‰

LOM PO ARMATURI (εa = 10‰)

εb s αb η ζ µ1M % k

2.025 0.168 0.671 0.376 0.937 11.296 3.074

2 0.167 0.667 0.375 0.938 11.111 3.098

1.975 0.165 0.662 0.374 0.938 10.926 3.123

k = 3.098 , µ = 11.111% , ζ = 0.938

05.225

10240098.3h2

××

×= = 67.0 cm

2405.2

1000.6725111.11Aa ×

××= = 15.91 cm2

240.67938.0

10240A2

a ×××

= = 15.92 cm2

usvojeno: 6Ø20 (18.85 cm2)

( )6

5.95.43a1+×

= = 7.0 cm ⇒ d = 67.0 + 7.0 = 74.0 cm

usvojeno: d=75 cm

Page 8: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 8

PRIMERI ZA VEŽBE

2. varijanta: SIMULTANI LOM

usvojeno εb/εa = 3.5/10‰ ⇒ k = 2.311 , µ = 20.988%

05.225

10240311.2h2

××

×= = 50.0 cm

2405.2

1000.5025988.20Aa ×

××= = 22.41 cm2

usvojeno: 6Ø22 (22.81 cm2)

( )6

105.43a1+×

= = 7.25 cm

d = 50.0 + 7.25 = 57.25 cm

usvojeno: d=60 cm

3. varijanta: LOM PO BETONU

usvojeno εb/εa = 3.5/5.0‰ ⇒ k = 1.903 , µ = 33.333%

05.225

10240903.1h2

××

×= = 41.2 cm

2405.2

1002.4125333.33Aa ×

××= = 29.31 cm2

usvojeno: 6Ø25 (29.45 cm2)

( )6

105.43a1+×

= = 7.25 cm

d = 41.2 + 7.3 = 48.5 cm

usvojeno: d=50 cm

Iz izraza (3) je očito da je proizvod Aa×z = Aa×ζ×h konstantan. Kako se bezdimenzioni koeficijent ζ menja u vrlo uskim granicama, uglavnom uzimajući vrednosti (0.85-0.95), to praktično znači da potrebna površina armature gotovo linearno zavisi od usvojene visine preseka.

Usvajanjem manje dilatacije betona dobijaju se preseci veće visine, armirani manjom količinom armature. Sa smanjenjem dilatacije betona ima smisla ići do granice od cca. 1.5 do 2‰. Usvajanje manje dilatacije betona rezultira presecima vrlo velike visine, armiranih minimalnim količinama armature.

Page 9: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 9

PRIMERI ZA VEŽBE

PRAVOUGAONI PRESEK - SLOŽENO SAVIJANJE

VEZANO DIMENZIONISANJE

Poznato: - statički uticaji za pojedina opterećenja (Mi , Ni)

- kvalitet materijala (fB , σv)

- dimenzije poprečnog preseka (b , d)

Nepoznato: - površina armature (Aa)

1. korak: Sračunavaju se granični računski statički uticaji:

∑∑

×γ=

∆=×γ=

iii,uu

iii,uu

NN

),p,gi(MM

Pritom se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti.

2. korak: Usvajaju se dilatacije Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature a1 i na osnovu toga sračunavaju statička visina i moment oko težišta zategnute armature:

1adh −= ⇒

−×+= 1uuau a

2dNMM

Veličina a1 se pretpostavlja zavisno od visine i širine preseka (broj šipki koje se mogu smestiti u jedan red), kao i intenziteta i znaka normalne sile (ekscentrično pritisnuti elementi zahtevaju manje zategnute armature, pa je i a1 manje). Kreće se u granicama (0.05 - 0.15)×d.

3. korak: Sračunava se koeficijent k:

B

au

fbMhk

×

=

i iz tablica za dimenzionisanje pročitaju vrednosti dilatacija u betonu i armaturi i mehanički koeficijent armiranja µ . Ukoliko je εa1 ≥ 3‰, sračunava se potrebna površina armature iz izraza:

v

u

v

Ba

Nf100

hbAσ

−σ

××

×µ= ili

vu

au

vu

aua

1Nh

M1Nz

MAσ

×

×ζ=

σ×

−=

Ukoliko je εa1 < 3‰, presek se DVOSTRUKO ARMIRA.

Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Manojle Krstic
Insert Text
Page 10: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 10

PRIMERI ZA VEŽBE

4. korak: Usvaja se broj i prečnik šipki armature. Usvojena armatura se raspoređuje u poprečnom preseku, vodeći računa o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zaštitnog sloja, čisto rastojanje između šipki).

5. korak: Sračunava se položaj težišta a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i statička visina h i upoređuje sa pretpostavljenom. U slučaju znatnijih odstupanja, proračun se ponavlja sa korigovanom vrednošću a1.

6. korak: Konačno se konstruiše poprečni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom količinom armature, i prikazuje u odgovarajućoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.

Izrazi za određivanje momenta Mau i potrebne površine armature Aa su napisani u obliku koji odgovara ekscentričnom pritisku; u slučaju da je presek ekscentrično zategnut, u izraze se unosi sila sa negativnim znakom.

Primer 4. Odrediti potrebnu površinu armature za pravougaoni presek poznatih dimenzija, optere-ćen graničnim momentom savijanja Mu i silom zatezanja Zu. Podaci za proračun:

Mu = 770 kNm b = 35 cm MB 30

Zu = 720 kN d = 70 cm RA 400/500

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2 ; RA 400/500 ⇒ σv = 40 kN/cm2

pretp. a1 = 7 cm ⇒ h = 70 - 7 = 63 cm

−×−+= 07.0

270.0)720(770Mau = 568.4 kNm

05.235104.568

63k2

××

= = 2.238

εb/εa = 3.5/9.05‰ , µ = 22.576% , ζ = 0.884

40

)720(4005.2

1006335576.22Aa

−−×

××= = 43.51 cm2

ili: ( )401720

63884.0104.568A

2

a ×

−−

××

= = 43.52 cm2

usvojeno: 9RØ25 (44.18 cm2)

9

1045.45a1×+×

= = 6.94 cm

hstv. = 70 – 6.94 = 63.06 cm ≈ 63 cm = hpretp.

Manojle Krstic
Insert Text
Page 11: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 11

PRIMERI ZA VEŽBE

Primer 5. Odrediti potrebnu površinu armature za presek iz Primera 4., ukoliko je, umesto silom zatezanja, opterećen graničnom silom pritiska Nu = 720 kN.

pretp. a1 = 6 cm ⇒ h = 70 - 6 = 64 cm

−×+= 06.0

270.0720770Mau = 978.8 kNm

05.235108.978

64k2

××

= = 1.733

εb/εa = 3.5/3.15‰ , µ = 42.607% , ζ = 0.781

40

7204005.2

1006435607.42Aa −×

××= = 30.91 cm2

ili: 401720

64781.0108.978A

2

a ×

××

= = 30.95 cm2

usvojeno: 7RØ25 (34.36 cm2)

7

1025.45a1×+×

= = 6.07 cm

hstv. = 70 – 6.07 = 63.93 cm ≈ 64 cm = hpretp.

U primerima 1, 4 i 5 dimenzionisan je poprečni presek istih dimenzija i kvaliteta mate-rijala, u sva tri slučaja opterećen istim momentom savijanja. Jedini parametar koji je variran je normalna sila.

Upoređujući sračunate vred-nosti, uočava se da se najveća potrebna površina zategnute armature dobija u preseku na-pregnutom momentom savija-nja i silom zatezanja, a najma-nja kada pri istom momentu sa-vijanja deluje i sila pritiska. Drugim rečima, pri istim di-menzijama preseka i istim vred-nostima momenata savijanja, potrebno je, kao merodavnu, odabrati kombinaciju uticaja koja daje maksimalno mo-guću silu zatezanja (odnosno, minimalno moguću silu pritiska).

Analogno, pri istim dimenzijama preseka i istim vrednostima momenata savijanja, me-rodavna kombinacija uticaja za eventualnu PRITISNUTU armaturu (dvostruko armi-rani preseci) je ona koja daje maksimalno moguću silu pritiska (odnosno, minimalno moguću silu zatezanja).

Aa1

Aa2

0

10

20

30

40

50

-1200 -800 -400 0 400 800 1200 1600Nu [kN]

Page 12: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 12

PRIMERI ZA VEŽBE

DVOSTRUKO ARMIRANI PRESECI

Ukoliko se u slučaju vezanog dimenzionisanja dobije εa < 3‰, presek se DVOSTRUKO ARMIRA, odnosno određuje i armatura koja se raspoređuje u pritisnutu zonu preseka. Time se dilatacija zategnu-te armature zadržava na željenom nivou (εa ≥ 3‰), a parcijalni koeficijenti sigurnosti uzimaju mini-malne vrednosti. Računski postupak je potpuno istovetan kao u slučaju čistog savijanja.

3a. korak: Određuje se moment nosivosti JEDNOSTRUKO armiranog preseka, sa procentom armiranja µ * i koeficijentom k* koji odgovaraju dilataciji u armaturi koju želimo zadržati (najčešće εa1 = 3‰):

B

2

abu fb*k

hM ××

=

Preostali deo momenta savijanja:

abuauau MMM −=∆

se prihvata dodatnom zategnutom i ukupnom pritisnutom armaturom.

Mabu

ε*a1 = 3‰b

A*a1

εb = 3.5‰

x=s*

×h

Z*au

Dbu

z=ζ

*×h

ηx

ha 1

y b1

∆Mau

b

∆Aa1 ∆Zau

Dau

h-a 2

a 1d

Aa2

ε*a1 = 3‰

εb = 3.5‰

a 2

+εa2

Nu

y b2

y a1

y a2

Gb

Gb

Page 13: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 13

PRIMERI ZA VEŽBE

4. korak: Pretpostavlja se položaj težišta pritisnute armature a2 i određuju se površine zategnute i pritisnute armature u preseku, iz izraza:

( ) v2

au2a ah

MAσ×−

∆=

2av

u

v

B1a ANf

100hb*A +

σ−

σ×

××µ=

Ostali elementi proračuna se sprovode potpuno isto kao u slučaju jednostruko armiranog preseka. Napominje se da su vrednosti k* i µ * određene usvajanjem dilatacije εa1*.

Primer 6. Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog ob-lika, opterećen momentom savijanja Mg i silom pritiska Ng. Podaci za proračun:

Mg = 360 kNm b = 30 cm MB 30

Ng = 600 kN d = 60 cm RA 400/500

Mu = 1.6×360 = 576 kNm ; Nu = 1.6×600 = 960 kN

pretp. a1 = 7 cm ⇒ h = 60 - 7 = 53 cm

−×+= 07.0

260.0960576Mau = 796.8 kNm

05.230108.796

53k2

××

= = 1.472 ⇒ εa< 3‰ ⇒ dvostruko armiranje

usv. εa1* = 3.0‰ ⇒ k* = 1.719 ; µ * = 43.590%

22

abu 1005.230719.153M −×××

= = 584.4 kNm

∆Mau = 796.8 - 584.4 = 212.4 kNm

pretp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 40553104.212A

2

2a ×−×

= = 11.06 cm2

usvojeno: 3 RØ22 (11.40 cm2)

06.1140

9604005.2

1005330590.43A 1a +−×

××= = 22.58 cm2

usvojeno: 6 RØ22 (22.81 cm2)

Page 14: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 14

PRIMERI ZA VEŽBE

Ukoliko bi usvojili nešto veću dilataciju zategnute armature εa1*, sledi:

usv. εa1* = 6.0‰ ⇒ k* = 1.990 ; µ * = 29.825%

05.230.0990.153M

2

abu ××

= = 436.3 kNm

∆Mau = 796.8 - 436.3 = 360.5 kNm

pretp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 40553105.360A

2

2a ×−×

= = 18.78 cm2

78.1840

9604005.2

1005330825.29A 1a +−×

××= = 19.08 cm2

usvojeno: ±5 RØ22 (±19.01 cm2)

Iz ovog primera, ilustrovanog i dijagramom desno, jasno je da se usvajanjem minimalne propi-sane dilatacije εa1*=3‰ dobija MINIMALNA PRITISNUTA I UKUPNA, A MAKSIMALNA ZATEGNUTA ARMATURA u preseku.

Primer 7. Odrediti potrebnu površinu armature za presek iz Primera 6, ukoliko je vrednost sile pritiska Ng=1000 kN.

Mu = 1.6×360 = 576 kNm ; Nu = 1.6×1000 = 1600 kN

pretp. a1 = 7 cm ⇒ h = 60 - 7 = 53 cm

−×+= 07.0

260.01600576Mau = 944.0 kNm

05.230100.944

53k2

××

= = 1.353 ⇒ εa< 3‰ ⇒ dvostruko armiranje

usv. εa1* = 3.0‰ ⇒ k* = 1.719 ; µ * = 43.590%

Aa1

Aa2

Aa1+Aa2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

3 4 5 6 7 8 9 10

ε a1* [‰]

Aa [

cm2 ]

Page 15: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 15

PRIMERI ZA VEŽBE

22

abu 1005.230719.153M −×××

= = 584.4 kNm

∆Mau = 944.0 - 584.4 = 359.6 kNm

pretp. a2 = 7 cm ⇒ ( ) 40753106.359A

2

2a ×−×

= = 19.55 cm2

55.1940

16004005.2

1005330590.43A 1a +−×

××= = 15.07 cm2

Kako je računski potrebna pritisnuta armatura veća od potrebne zategnute armature, a pritom je zadovoljen uslov 1a2a1a A5.1AA ⋅≤≤ , presek se armira simetrično, srednjom vrednošću sračunatih površina:

2

07.1555.19AA 2a1a+

== = 17.31 cm2

usvojeno: ±5 RØ22 (±19.00 cm2) - presek kao u primeru 8b.

Ukoliko je:

(a) Aa2 ≤ Aa1 - i zategnuta i pritisnuta zona se armiraju sračunatim površinama armature;

(b) 1a2a1a A5.1AA ⋅<≤ - obe zone se armiraju simetrično, srednjom vrednošću sračunatih površina;

(c) 1a2a A5.1A ⋅≥ - presek se armira simetrično, ali se potrebna površina armature određuje pomoću dijagrama interakcije, o čemu će u nastavku kursa biti reči. Primena dijagrama interakcije je moguća i u slučaju (b).

PRAVOUGAONI PRESEK - SLOŽENO SAVIJANJE

SLOBODNO DIMENZIONISANJE

Poznato: - statički uticaji za pojedina opterećenja (Mi , Ni) - sračunato

- kvalitet materijala (fB , σv) - usvojeno

- širina poprečnog preseka (b) - usvojeno

Nepoznato: - visina poprečnog preseka (d)

- površina armature (Aa)

Page 16: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 16

PRIMERI ZA VEŽBE

1. korak: Sračunavaju se granični računski statički uticaji:

∑∑

×γ=

∆=×γ=

iii,uu

iii,uu

NN

),p,gi(MM

Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti, jer se redovno usvaja dilatacija zategnute armature εa ≥ 3‰.

2. korak: Usvajaju se dilatacije betona εb i armature εa, pri čemu bar jedna mora dostići graničnu vrednost. Veće dilatacije betona daju preseke manje visine, armirane većom količinom armature. Za usvojene vrednosti dilatacija iz tabela za dimenzionisanje očitavaju se koeficijenti k i µ .

3. korak: Sračunava se potrebna statička visina. Međutim, ovde je postupak iterativan, jer u izrazu za statičku visinu figuriše zasad nepoznata visina d:

−×+= 1uuau a

2dNMM ⇒

B

aufb

Mkh×

=

Postupak se sprovodi tako što se u prvom koraku pretpostavi Mau=Mu i sračuna odgovarajuća statička visina:

M MauI

u= ⇒ B

IauIfb

Mkh×

=

Sa tako određenom visinom se ponavlja proračun sve do postizanja željene tačnosti (razlika di-1 i di). Zatim se sračunava potrebna površina armature:

v

u

v

Bi

aNf

100hbA

σ−

σ×

××µ=

4. korak: Usvaja se broj i prečnik šipki armature. Usvojena armatura se raspoređuje u poprečnom preseku, vodeći računa o zahtevima propisanih Pravilnikom (debljina zaštitnog sloja, čisto rastojanje između šipki).

5. korak: Sračunava se položaj težišta a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i potrebna ukupna visina preseka d:

d = h + a1

koja se zaokružuje na prvi veći ceo broj (ceo broj deljiv sa pet).

6. korak: Konačno se konstruiše poprečni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom količinom armature, i prikazuje u odgovarajućoj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.

Page 17: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 17

PRIMERI ZA VEŽBE

Primer 8. Odrediti visinu i potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, opterećen zadatim momentima savijanja i silama pritiska. Podaci za proračun:

Mg = 60 kNm Ng = 125 kN b = 25 cm MB 30

Mp = 80 kNm Np = 100 kN GA 240/360

Mu = 1.6×60 + 1.8×80 = 240 kNm

Nu = 1.6×125 + 1.8×100 = 380 kN

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2 ; GA 240/360 ⇒ σv = 24 kN/cm2

usvojeno εb/εa = 3.5/7.0‰ ⇒ k = 2.074 , µ = 26.984%

I korak: pretp. MIau = Mu = 240 kNm

05.225

10240074.2h2

I××

×= = 44.9 cm

pretp. a1 = 7 cm ⇒ dI = 44.9+7 = 51.9 cm

II korak: usv. dI = 52 cm

−×+= 07.0

252.00.3800.240MII

au = 312.2 kNm

05.225102.312074.2h

2II

××

×= = 51.2 cm

pretp. a1 = 7 cm ⇒ dII = 51.2+7 = 58.2 cm

III korak: usv. dII = 60 cm

−×+= 07.0

260.00.3800.240MIII

au = 327.4 kNm

05.225104.327074.2h

2III

××

×= = 52.3 cm

pretp. a1 = 7 cm ⇒ dIII = 52.3+7 = 59.3 cm ≈ dII

24380

2405.2

1003.5225984.26Aa −×

××= = 14.38 cm2

usvojeno: 6Ø18 (15.27 cm2)

( )6

5.95.43a1+×

= = 7.0 cm ⇒ d = 52.3+7.0 = 59.3 cm ⇒ usvojeno: d=60 cm

Page 18: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 18

PRIMERI ZA VEŽBE

εb = 3.5 ‰

x=0.

4×h

εa1 = 5.25 ‰

εb = 2 ‰

x=0.

167×

h

εa1 = 10 ‰

x=0.

259×

h

εa1 = 10 ‰

Aa1

εb = 3.5 ‰

PRAVOUGAONI PRESEK - ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA

Uslovi ravnoteže se u opštem slučaju pravougaonog preseka, napregnutog na složeno savijanje, armiranog u obe zone, mogu napisati u sledećem obliku:

( ) ( )12buuau2aubu1a

uauaubu

ayNMMahDzD:0MNZDD:0N

−×+==−×+×==−+=

∑∑

Karakteristične geometrijske veličine potrebne za proračun, dijagrami dilatacija i napona, položaj spoljašnjih i unutrašnjih sila su prikazane na donjoj skici.

Mu

b

Aa1

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa 1

Nu

Gb

y b2

h

d

a 1

y b1

εa1 ≤ 10 ‰

εb ≤ 3.5 ‰

Aa2εa2

a 2x-

a 2

h - a

2

σb ≤ fB

h - x

Dau

Zamenom izraza za unutrašnje sile u betonu i armaturi u uslovu ravnoteže normalnih sila sledi:

0NAAfhbs:0N u1a1a2a2aBb =−σ×−σ×+××××α=∑ (1)

U poslednjem izrazu poznate su geometrijske veličine i mehaničke karakteristike materijala. Lako je pokazati da su sve ostale nepoznate veličine potpuno određene ukoliko je poznat položaj neutralne linije. Naime, iz Bernoulli-eve hipoteze ravnih preseka i uslova loma sledi:

s ≥ 0.259 = 7/27

εb = 3.5‰

b1a ss1

ε×−

s ≤ 0.259 = 7/27

εa1 = 10‰

1ab s1s

ε×−

Koeficijent punoće naponskog dijagrama betona zavisi isključivo od dilatacije betona εb:

Page 19: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 19

PRIMERI ZA VEŽBE

( )bb

b 612

ε−×ε

=α za εb ≤ 2‰ ; odnosno

b

bb 3

23ε×−ε×

=α za 2‰ ≤ εb ≤ 3.5‰

Naponi σa1 i σa2 su određeni iz bilinearnog računskog dijagrama čelika, kao:

σa1 = Ea × εa1 ≤ σv ; σa2 = Ea × εa2 ≤ σv

pri čemu je:

b2

2a xax

ε×−

=ε ; a

vv E

σ=ε

Napominje se da je "donja" armatura uvek zategnuta, a "gornja" može biti pritisnuta, ali i zategnuta.

Očito je izborom veličine s kao parametra potpuno određeno stanje unutrašnjih sila u preseku. Na-ravno, za nasumice izabrano s nije zadovoljen uslov ravnoteže ΣN = 0, pa se postupak određivanja položaja neutralne linije sprovodi iterativno. Za pretpostavljenu vrednost s se sračunaju sve unutraš-nje sile i proveri uslov ravnoteže ΣN = 0. Tom prilikom mogu nastupiti tri slučaja:

a. uslov ravnoteže (1) je zadovoljen: potpuno neverovatno u prvom koraku

b. uslov ravnoteže (1) umesto nule daje pozitivan rezultat: rezultanta unutrašnjih sila je veća od spoljašnje sile pritiska, pa treba pomeriti neutralnu liniju ka pritisnutoj ivici preseka, odnosno smanjiti s

c. uslov ravnoteže (1) umesto nule daje negativan rezultat: rezultanta unutrašnjih sila je manja od spoljašnje sile pritiska, pa treba pomeriti neutralnu liniju ka zategnutoj ivici preseka, odnosno povećati s

Postupak se u potpunosti ponavlja dok se ne zadovolji uslov ravnoteže (1), odnosno do postizanja željene tačnosti, npr. max. 1% od veće od sila Dbu, Zau.

Kada se iz uslova ravnoteže normalnih sila odredi položaj neutralne linije, iz uslova ravnoteže momenata savijanja se sračunava tražena vrednost momenta nosivosti preseka Mu. Veličina kraka unutrašnjih sila z se određuje iz izraza:

( )s1hxhz ×η−×=×η−=

pri čemu se bezdimenzioni koeficijent položaja sile pritiska u betonu određuje iz tabela za dimenzionisanje ili sračunava iz izraza:

( )b

b

648

ε−×ε−

=η za εb ≤ 2‰ ; odnosno

( )( )232

243

bb

bb

−ε×ε+−ε×ε

=η za 2‰ ≤ εb ≤ 3.5‰

εa [‰]

σa

10εv

σv

Page 20: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 20

PRIMERI ZA VEŽBE

Moment loma preseka Mu se određuje iz uslova ravnoteže momenata u odnosu na težište zategnute armature u preseku, u kome su sve ostale veličine poznate. Sledi:

( ) ( )1b2u2aubuu ayNahDzDM −×−−×+×=

Sila pritiska se u prethodne izraze unosi sa pozitivnim, a sila zatezanja sa negativnim znakom. Napominje se da je traženi rezultat proračuna veličina Mu, a ne Mau.

"JEDNOSTRUKO ARMIRAN"2 PRAVOUGAONI PRESEK

U slučaju da se može zanemariti nosivost armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka, moment loma je moguće odrediti:

- napred opisanim postpukom, uvrštavanjem Aa2 = 0 u odgovarajuće izraze, odnosno

- pomoću tabela za dimenzionisanje pravougaonih preseka.

Uslov ravnoteže normalnih sila, tj. izraz za određivanje potrebne površine armature za pravougaoni presek napregnut na složeno savijanje u oblasti velikog ekscentriciteta može se napisati u obliku:

v

u

v

B11a

NfhbAσ

−σ

×××µ= ⇒ fhb

N+As=B

uv1ab1 ××

σ×=×αµ

Kako su poznate geometrijske veličine preseka, količina i položaj armature i mehaničke karakteris-tike materijala, iz poslednjeg izraza se može sračunati mehanički koeficijent armiranja zategnutom armaturom 1µ . Time je jednoznačno određena vrednost koeficijenta k, koja se može se pročitati iz tabela za dimenzionisanje. Nepoznata vrednost momenta loma Mu pri odgovarajućoj sili Nu se računa iz uslova ravnoteže momenata savijanja u odnosu na težište zategnute armature:

B

au

fbMhk

×

= ⇒ fbkh= M B

2

au ××

( )

−×−××

=−×− a2

dNfb

kh

ayNM=M 11 uB

2

1buauu

2 Pod "jednostruko armiranim" presekom u dosadašnjem toku kursa je podrazumevan presek kod koga je proračunski potrebna armatura smeštena samo u zategnutoj zoni preseka. S druge strane, "dvostruko armirani" preseci su oni kod kojih je, zbog iscrpljenja nosivosti pritisnutog betona, potrebna računska pritisnuta armatura. Kako se ovde radi o proveri nosivosti POZNATOG preseka, svaki presek je zapravo "obostrano" ili "dvostruko" armiran, jer je određena količina armature smeštena i uz pritisnutu ivicu. Time se nikako ne želi sugerisati da je dilatacija zategnute armature εa1=3‰, kao u slučaju računskog dvostruko armiranog preseka. Naime: - proračun elementa čija se nosivost dokazuje mogao je biti sproveden po regulativi različitoj od aktuelne

(npr. proračun sprovden po teoriji dopuštenih napona i sl.); - računski potrebna i usvojena armatura se razlikuju, što dovodi do odstupanja u odnosu na proračunske

vrednosti dilatacija. Takođe, projektant ima slobodu da izabere i drugu granicu εa1*, veću od 3‰;

- pritisnuta armatura se pojavila kao računski potrebna tokom neke faze građenja i sl.

Page 21: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 21

PRIMERI ZA VEŽBE

Primer 9. Odrediti moment nosivosti preseka sa skice, zanemarujući nosivost armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka. Kvalitet materijala: MB 40, RA 400/500.

MB 40 ⇒ fB = 2.55 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 40 kN/cm2

Aa1 = 39.27 cm2 (8RØ25)

8

1035.45a1×+×

= = 6.56 cm

cm44.7356.680h =−=

Aa2 = 0 (zanemaruje se)

fhb

N+As=B

uv1ab1 ××

σ×=×αµ

55.244.7340

4027.39=1 ×××

µ = 0.20969 = 20.969% ⇒ k = 2.311

εb s αb η ζ µ1M % k 3.5 0.259 0.810 0.416 0.892 20.988 2.311

3.475 0.258 0.808 0.415 0.893 20.841 2.318

2.5540.02.31173.44=M

2

u ××

= 103010 kNcm

kNm1.1030M u =

Primer 10. Odrediti moment nosivosti preseka iz Primera 9, ukoliko se uzme u obzir nosivost armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka.

Aa2 = 9.82 cm2 (2RØ25)

a2 = 4.5 cm

Prisustvo armature uz pritisnutu ivicu pre-seka svakako dovodi do smanjenja visine pritisnute zone preseka, jer se ukupna unu-trašnja sila pritiska deli na beton i armaturu (Dbu

I = DbuII + Dau, skica desno). Stoga se

pretpostavlja manja vrednost koeficijenta s od sračunate u Primeru 9 (s=0.259):

Mu

Aa1

xII <

xI

ZIIau = ZI

au

DIIbu < DI

buAa2

εa2 Dau

Mu

Aa1

xI

ZIau

DIbu

Page 22: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 22

PRIMERI ZA VEŽBE

pretp. s = 0.20 < 0.259 ⇒ εa1 = 10‰ , 102.01

2.0b ×

−=ε = 2.5‰

5.23

25.23b ×

−×=α = 0.733

Dbu = αb×s×b×h×fB = 0.733×0.20×40×73.44×2.55 = 1098.6 kN

‰905.110210

400E 3

a

vv =

×=

σ=ε −

061.044.735.4

ha2

2 ===α

vb2

b2

2a ‰734.15.22.0

061.02.0s

sx

axε<=×

−=ε×

α−=ε×

−=ε

σa2 = Ea×εa2 = 210×103 × 1.734×10-3 = 364.2 MPa = 36.42 kN/cm2

Dau = Aa2×σa2 = 9.82×36.42 = 357.5 kN

εa1 = 10‰ > εv ⇒ σa1 = σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

Zau = Aa1×σa1 = 39.27×40 = 1570.8 kN

kN7.11408.15705.3576.1098NZDDN uauaubu −=−−+=−−+=∑

Kako uslov ravnoteže nije zadovoljen, proračun se ponavlja sa korigovanom vrednošću bezdimenzi-onog koeficijenta s. S obzirom da unutrašnja sila zatezanja premašuje silu pritiska, potrebno je povećati pritisnutu površinu betona, odnosno povećati s:

259.0s2.0 <<

pretp. s = 0.22 < 0.259 ⇒ εa1 = 10‰ , 1022.01

22.0b ×

−=ε = 2.821‰

821.23

2821.23b ×

−×=α = 0.764 ⇒ Dbu = 0.764×0.22×40×73.44×2.55 = 1258.4 kN

v2av2a ‰035.2821.222.0

061.022.0σ=σ⇒ε>=×

−=ε = 40 kN/cm2

Dau = 9.82×40 = 392.7 kN

εa1 = 10‰ > εv ⇒ σa1 = σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

Zau = 39.27×40 = 1570.8 kN

kN3.8008.15707.3924.1258NZDDN uauaubu =−−+=−−+=∑

Page 23: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 23

PRIMERI ZA VEŽBE

Kako uslov ravnoteže ponovo nije zadovoljen, proračun se nastavlja. Kako sada unutrašnja sila pritiska premašuje silu zatezanja, potrebno je smanjiti s:

22.0s2.0 <<

pretp. s = 0.21 < 0.259 ⇒ εa1 = 10‰ , 1021.01

21.0b ×

−=ε = 2.664‰

664.23

2664.23b ×

−×=α = 0.750 ⇒ Dbu = 0.75×0.21×40×73.44×2.55 = 1181.5 kN

v2a ‰888.1664.221.0

061.021.0ε<=×

−=ε

σa2 = 210×103 × 1.888×10-3 = 396.5 MPa = 39.65 kN/cm2

Dau = 9.82×39.65 = 389.3 kN

εa1 = 10‰ > εv ⇒ σa1 = σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

Zau = 39.27×40 = 1570.8 kN

008.15703.3895.1181NZDDN uauaubu =−−+=−−+=∑ ⇒ 0.21s =

Kako je uslov ravnoteže zadovoljen, sračunava se položaj sile pritiska u betonu, a zatim i traženi moment nosivosti preseka. Sledi:

( )( )

( )( ) 396.0

2664.23664.2224664.23664.2

232243

bb

bb =−×××+−××

=−ε×ε

+−ε×ε=η 3

( ) ( )21.0396.0144.73s1hz ×−×=×η−×= = 67.32 cm

( ) ( )12bu2aubuu ayNahDzDM −×−−×+×=

( ) 05.444.733.38932.675.1181Mu −−×+×= = 106380 kNcm

kNm8.1063M u =

U odnosu na vrednost sračunatu u Primeru 9, razlika momenta nosivosti iznosi:

%27.3%1001.1030

1.10308.1063=×

−=∆

što predstavlja doprinos pritisnute armature u preseku.

3 Naravno, koeficijenti αb i η se mogu, za odgovarajuću dilataciju εb, pročitati iz tablica za dimenzionisanje pravougaonih preseka.

Page 24: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 24

PRIMERI ZA VEŽBE

Primer 11. Odrediti moment nosivosti preseka iz Primera 9, ukoliko je, pored momenta savijanja, opterećen i graničnom računskom silom pritiska Nu = 800 kN. Proračun sprovesti u dve varijante: zanemarujući, odnosno uzimajući u obzir, nosivost armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka.

a. bez udela pritisnute armature

55.244.7340

8004027.39fhb

N+A=B

uv1a1 ××

+×=

××σ×

µ = 0.3165 = 31.65% ⇒ k = 1.942

εb = 3.5‰ ; αb = 0.810 ; η = 0.416 εa s ζ µ1M % k

5.5 0.389 0.838 31.481 1.947 5.45 0.391 0.837 31.657 1.942 5.4 0.393 0.836 31.835 1.938

−×−××

=×−××

56.6

28080055.240

942.144.73yNfb

kh=M

2

1auB

2

u = 119070 kNcm

kNm7.1190M u =

b. sa udelom pritisnute armature

Vezano za sračunate vrednosti u Primerima 9, 10 i 11a treba primetiti sledeće:

- koeficijent položaja neutralne linije će svakako biti s < 0.391 (vrednost sračunata u primeru 11a, uz zanemarenje nosivosti pritisnute armature)4;

- koeficijent položaja neutralne linije će svakako biti s > 0.210 (vrednost sračunata u primeru 10, uzimajući u obzir nosivost pritisnute armature, za presek napregnut na čisto savijanje). U oba primera se razmatra isti presek, pa je površina zategnu-te armature ista. Kako je napon u zategnutoj armaturi σa1 = σv, sile u zategnutoj armaturi u oba primera su jednake. Povećanje spoljašnje sile pritiska (sa N=0 na Nu) u uslovu ravnoteže normalnih sila uauaubu NZDDN =−+=∑ moguće je jedino povećanjem pritisnute površine betona, odnosno sMN > sM.

4 Objašnjenje istovetno kao u Primeru 10

Mu

Aa1

xM <

xM

N

ZMau = ZMN

au

DMbu < DMN

buAa2

εa2DM

au

Mu

Aa1

xMN

ZMNau

DMNbu

Nu

Aa2εa2

DMNau

Page 25: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 25

PRIMERI ZA VEŽBE

pretp. s = 0.3 > 0.259 ⇒ εb = 3.5‰ , 5.33.0

3.011a ×

−=ε = 8.17‰

5.33

25.33b ×

−×=α = 0.810 ⇒ Dbu = 0.810×0.3×40×73.44×2.55 = 1819.2 kN

v2av2a ‰785.25.33.0

061.03.0σ=σ⇒ε>=×

−=ε = 40 kN/cm2

Dau = 9.82×40 = 392.7 kN

εa1 = 8.17‰ > εv ⇒ σa1 = σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

Zau = 39.27×40 = 1570.8 kN

kN9.1588008.15707.3922.1819NZDDN uauaubu −=−−+=−−+=∑

Kako uslov ravnoteže nije zadovoljen, proračun se ponavlja sa korigovanom vrednošću bezdimenzi-onog koeficijenta s. Potrebno je povećati pritisnutu površinu betona, odnosno povećati s:

391.0s3.0 <<

Treba uočiti da daljim povećanjem vrednosti s dilatacija εa2 raste i ostaje veća od εv, tako da su obe armature dostigle granicu tečenja5 a sile Dau i Zau ostaju konstantne. Dalje, dilatacija betona ostaje maksimalnih εb=3.5‰, pa koeficijent punoće naponskog dijagrama betona zadržava vrednost αb=0.81. Sledi da je jedina nepoznata u uslovu ravnoteže s, pa se direktno može odrediti:

Dbu = Nu + Zau – Dau = 800 + 1570.8 – 392.7 = 1978.1 kN

55.244.7340810.0

1.1978fhb

DsBb

bu

×××=

×××α= = 0.326

Sprovodi se kontrola naprezanja zategnute armature:

5.3326.0

326.011a ×

−=ε = 7.229‰ > εv ⇒ σa1 = σv

Kako je učinjena pretpostavka o veličini naprezanja armature potvrđena, sračunava se položaj sile Dbu, a zatim i traženi moment nosivosti preseka. Sledi:

( )( ) 416.0

25.335.32245.335.3

=−×××+−××

=η 6

( )326.0416.0144.73z ×−×= = 63.47 cm

5 Za pritisnutu armaturu to je u primeru pokazano, a za zategnutu osnovano pretpostavljeno i proverava se po sračunava-nju položaja neutralne linije.

6 Koeficijenti αb i η se mogu, za odgovarajuće εb, pročitati iz tablica za dimenzionisanje pravougaonih preseka.

Page 26: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 26

PRIMERI ZA VEŽBE

( ) ( )12bu2aubuu ayNahDzDM −×−−×+×=

( )

−×−−×+×= 56.6

2808005.444.737.39247.631.1978Mu = 125880 kNcm

kNm8.1258Mu =

U odnosu na vrednost sračunatu u Primeru 11a, razlika momenta nosivosti iznosi:

%72.5%1007.1190

7.11908.1258=×

−=∆

što predstavlja doprinos pritisnute armature u preseku. U ovom slučaju doprinos pritisnute armature je veći nego u slučaju čistog savijanja, jer je naprezanje pritisnute armature veće.

Naravno, što je količina pritisnute armature u preseku veća, i njen doprinos nosivosti je veći, ali čak i u slučaju simetrično armiranih preseka opterećenih znatnim silama pritiska ne prelazi 10%. Na nosivost preseka prvenstveno utiče količina ZATEGNUTE armature7, dok pritisnuta armatura donekle smanjuje naprezanje betona, ali moment nosivosti povećava maksimalno do 10%.

Primer 12. Odrediti moment nosivosti preseka iz Primera 9, ukoliko je, pored momenta savijanja, opterećen i graničnom računskom silom zatezanja Zu = 400 kN. Proračun sprovesti u dve varijante: zanemarujući, odnosno uzimajući u obzir, nosivost armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka.

a. bez udela pritisnute armature

( )55.244.73404004027.39

fhbN+A=B

uv1a1 ××

−+×=

××σ×

µ = 0.1563 = 15.63% ⇒ k = 2.637

εb s αb η ζ µ1M % k

2.675 0.211 0.751 0.396 0.916 15.845 2.624

2.65 0.209 0.748 0.395 0.917 15.679 2.637

2.625 0.208 0.746 0.395 0.918 15.512 2.650

( )

−×−−××

=×−××

56.6

28040055.240

637.244.73yNfb

kh=M

2

1auB

2

u = 92478 kNcm

kNm78.924M u =

7 Ukoliko bi u razmotreni presek dodali dve šipke u pritisnutu, odnosno zategnutu zonu, dobili bi sledeće rezultate:

8Ø25+4Ø25: εb/εa = 3.5/9.89‰ ; Mu = 1311.6 kNm (+4.2%) 10Ø25+2Ø25: εb/εa = 3.5/5.37‰ ; Mu = 1447.6 kNm (+15.0%)

Page 27: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 27

PRIMERI ZA VEŽBE

b. sa udelom pritisnute armature

Potpuno analogno razmatranju sprovedenom u primeru 11b, sledi:

- koeficijent položaja neutralne linije će svakako biti s < 0.209 (vrednost sračunata u primeru 12a, uz zanemarenje nosivosti pritisnute armature);

- koeficijent položaja neutralne linije će svakako biti s < 0.210 (vrednost sračunata u primeru 10, uzimajući u obzir nosivost pritisnute armature, za presek napregnut na čisto savijanje). U oba primera se razmatra isti presek, pa je površina zategnute armature ista. Kako je na-pon u zategnutoj armaturi σa1 = σv, sile u zategnutoj armaturi u oba primera su jednake. Povećanje spoljašnje sile zatezanja (sa N=0 na Zu) u uslovu ravnoteže normalnih sila uauaubu NZDDN =−+=∑ moguće je jedino smanjenjem pritisnute površine betona, odnosno sMZ < sM.

pretp. s = 0.20 < 0.259 ⇒ εa1 = 10‰ , 102.01

2.0b ×

−=ε = 2.5‰

5.23

25.23b ×

−×=α = 0.733

Dbu = αb×s×b×h×fB = 0.733×0.20×40×73.44×2.55 = 1098.6 kN

v2a ‰734.15.22.0

061.02.0ε<=×

−=ε

σa2 = Ea×εa2 = 210×103 × 1.734×10-3 = 364.2 MPa = 36.42 kN/cm2

Dau = Aa2×σa2 = 9.82×36.42 = 357.5 kN

εa1 = 10‰ > εv ⇒ σa1 = σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

Zau = Aa1×σa1 = 39.27×40 = 1570.8 kN

( ) kN3.2854008.15705.3576.1098NZDDN uauaubu =−−−+=−−+=∑

Kako uslov ravnoteže nije zadovoljen, proračun se ponavlja sa korigovanom vrednošću s, na način prikazan u prethodnim primerima. Rezultati daljeg proračuna prikazani su tabelarno:

s εb1 εa1 αb Dbu εa2 σa2 Dau σa1 Zau ΣNu ( - ) (‰) (‰) ( - ) (kN) (‰) (MPa) (kN) (MPa) (kN) (kN)

0.160 1.905 10 0.650 779.1 1.175 246.8 242.3 400 1570.8 -149.4 0.175 2.121 10 0.686 898.9 1.378 289.5 284.2 400 1570.8 12.3 0.174 2.105 10 0.683 889.8 1.363 286.2 281.0 400 1570.8 0.00

( )( ) 378.0

2105.23105.2224105.23105.2

=−×××+−××

( )174.0378.0144.73z ×−×= = 68.61 cm

( ) ( )12bu2aubuu ayNahDzDM −×−−×+×=

Page 28: 01 - Savijanje - pravougaoni presek

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 28

PRIMERI ZA VEŽBE

( ) ( )

−×−−−×+×= 56.6

2804005.444.730.28161.688.889Mu = 93790 kNcm

kNm9.937Mu =

U odnosu na vrednost sračunatu u Primeru 12a, razlika momenta nosivosti iznosi:

%42.1%10078.924

78.9249.937=×

−=∆

što predstavlja doprinos pritisnute armature u preseku. U ovom slučaju doprinos pritisnute armature je manji nego u slučaju čistog savijanja, jer je naprezanje pritisnute armature vrlo malo8.

Aa2 =0

Aa2 =2Ø25

Nu

Mu

MALI EKS.

(PRITISAK) MALI EKS.

(ZATEZANJE)VELIKI EKSCENTRICITET

8 U pojedinim, izuzetnim, slučajevima se može dobiti veća računska nosivost »jednostruko« nego »obostrano« armiranog preseka. Radi se o elementima opterećenim velikim silama zatezanja, kada je neutralna linija jako visoko u poprečnom preseku. Na primer, ukoliko na razmatrani presek deluje sila zatezanja Zu=1200 kN, sledi:

8Ø25: εb/εa = 1.173/10‰ ; Mu = 663.4 kNm 8Ø25+2Ø25: εb/εa = 1.029/10‰ ; Mu = 663.1 kNm

Dakle, iako se neutralna linija pomerila ka pritisnutoj ivici preseka, zbirni moment sila Dbu i Dau je manji nego u slučaju kada je nosivost pritisnute armature zanemarena. Ovi primeri su u praksi veoma retki, jer odredbe pojedinih propisa ograničavaju položaj neutralne linije (npr. x ≥ 2a2, što u prikazanom primeru nije zadovoljeno).