01 - Vecteur Et Torseur en Mecanique

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pour les eleves de prepa

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  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    VVeecctteeuurrss eett TToorrsseeuurrss eenn MMccaanniiqquuee

    11.. DDffiinniittiioonnss && PPrroopprriittss

    Un vecteur est un objet qui rsume trois informations.

    Une direction (le support de la flche) Un sens (lorientation de la flche) Une grandeur (la longueur de la flche)

    u

    Un vecteur n'a pas de position prcise dans l'espace, il est dit libre .

    22.. AAddddiittiioonn

    Proprit de laddition de deux vecteurs :

    Commutativit : uvvu +=+ Associativit : ( ) ( ) ...wuvwuvwvu =++=++=++ Possde un lment neutre : 0u = Opration interne Chaque lment possde un inverse

    33.. MMuullttiipplliiccaattiioonn ppaarr uunn ssccaallaaiirree

    Le produit du vecteur u par le scalaire k est le vecteur not u.k et dfini par :

    Si alors 0k = 0u.k = Si 0k alors le vecteur u.k a mme direction que le vecteur u . De plus si k est

    positif, il est de mme sens que u et si k est ngatif, il est de sens contraire.

    Mathieu ROSSAT 1/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    44.. BBaasseess eett rreepprree

    BBaasseess

    Soient ( 321 e,e,e ) trois vecteurs. Ils constituent une famille de vecteurs. Ces vecteurs constituent

    une base si et seulement si ils sont : ni nuls ni colinaires deux deux.

    1e

    2e

    3e

    RReepprreess

    Un repre peut tre dfini comme un duo form d'un point et d'une base. Par exemple :

    ( 321 e,e,e,A )

    A est lorigine du repre, et ( 321 e,e,e ) est la base associe ce repre.

    1e

    2e

    3e

    A

    RReepprreess ppaarrttiiccuulliieerrss

    Il existe des repres particuliers :

    le repre orthogonal : la base est orthogonale, c'est--dire que les vecteurs de la base ( 321 e,e,e ) sont orthogonaux 2 2.

    le repre orthonorm : la base est orthogonale et les vecteurs 321 e,e,e ont une norme gale 1.

    Dans lensemble de ce cours, le repre iR sera gnralement dfinit par iR : )z,y,x,O( iiii

    Mathieu ROSSAT 2/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    55.. OOpprraattiioonnss ssuurr lleess vveecctteeuurrss

    Vous trouverez sur le site ci-dessous un applet complet permettant une

    visualisation du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte :

    http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/vecteurs.html

    55..11.. PPrroodduuiitt ssccaallaaiirree

    Du point de vue fonctionnel, le produit scalaire est un procd qui deux vecteurs fait

    correspondre un rel. Algbriquement parlant, le produit scalaire est une forme bilinaire

    symtrique, dfinie et positive. Pratiquement, le produit scalaire a une vocation essentiellement

    gomtrique.

    DDffiinniittiioonn dduu pprroodduuiitt ssccaallaaiirree ddee ddeeuuxx vveecctteeuurrss

    Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est l rel not v.u et dfini par :

    += 222 vuvu.21v.u

    Sous cette forme, le produit scalaire est quelque chose de peu exploitable. Heureusement dans un

    repre orthonorm, la situation volue favorablement.

    Dans ce repre, on rappelle que la norme d'un vecteur u de coordonnes (x, y, z) est donne par :

    zyxu ++=

    On a donc

    zyxu2 ++=

    'z'y'xv2 ++=

    )'zz()'yy()'xx(vu2 +++++=+

    On peut ainsi dmontrer le thorme suivant.

    Mathieu ROSSAT 3/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    TThhoorrmmee

    Si dans un repre orthonorm les vecteurs u et v ont pour coordonnes (x, y, z) et (x', y', z') alors

    leur produit scalaire est aussi donn par :

    'z.z'y.y'x.xv.u ++=

    RReemmaarrqquuee

    Ce thorme est uniquement valable dans un repre orthonorm. Etre orthogonal ou simplement

    norm ne suffit pas. Les deux conditions sont requises.

    AAssppeecctt ggoommttrriiqquuee dduu pprroodduuiitt ssccaallaaiirree

    Prenons deux vecteurs libres u et v non nuls. O que soient leurs reprsentants, il est toujours

    possible de les ramener en un mme point A.

    vu

    A

    On munit alors l'espace d'un repre orthonorm : par exemple ( 321 e,e,e,A ) o 1e et u ont la

    mme direction et le mme sens et )v;u(e2 . Dans ce repre, les coordonnes du vecteur u sont ( 0;0;u ) et les coordonnes du vecteur v

    sont ( 0;)v;usin(.v;)v;ucos(.v ).Connaissant les coordonnes de u et v , on peut faire le

    produit scalaire :

    00)v;usin(v0)v;ucos(vuv.u ++=

    Donc le produit scalaire des vecteurs u et v est gal :

    )v;ucos(vuv.u =

    CCaass ppaarrttiiccuulliieerrss

    Le produit scalaire de vecteurs colinaires vuv.u = car avec k entier

    1).kcos( =

    Le produit scalaire de vecteurs orthogonaux 0v.u = car 0).k2

    cos( =+ avec k entier Le produit scalaire est nul si un des deux vecteurs est nul.

    Mathieu ROSSAT 4/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    55..22.. PPrroodduuiitt vveeccttoorriieell

    OOrriieennttaattiioonn ddee lleessppaaccee :: RRggllee ddee llaa mmaaiinn ddrrooiittee

    Un tridre direct s'obtient en plaant dans l'ordre impratif suivant :

    le pouce suivant le premier vecteur i l'index suivant le deuxime vecteur j le majeur, pli angle droit, donne le vecteur k

    AAtttteennttiioonn :: MMaaiinn ddrrooiittee

    Tridre trirectangle

    DDffiinniittiioonn dduu pprroodduuiitt vveeccttoorriieell

    On appelle produit vectoriel de u par v , le vecteur w tel que :

    vuw = Le produit vectoriel de deux vecteurs donne un troisime vecteur pour lequel la direction, le sens

    et lintensit sont parfaitement dfinis :

    direction : perpendiculaire au plan constitue par les deux vecteurs u et v sens : le tridre constitu des trois vecteurs u , v , w doit tre direct intensit : Cest le produit des normes de chaque vecteur par la valeur absolue du sinus

    de langle entre les deux vecteurs, soit :

    )v;usin(vuw =

    PPrroopprriittss

    Le produit vectoriel est non commutatif. Le produit vectoriel est nul si un des vecteurs est nul ou si les directions sont

    parallles.

    UUttiilliissaattiioonn ggoommttrriiqquuee

    Par exemple, laire dun paralllogramme est la norme du produit scalaire vu Mathieu ROSSAT 5/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    u

    v

    PPrroodduuiitt vveeccttoorriieell ddaannss uunnee bbaassee oorrtthhoonnoorrmmee

    Si dans un repre orthonorm les vecteurs u et v ont respectivement pour coordonnes (x , y , z)

    et (x' , y' , z') alors leur produit vectoriel est donn par :

    y'.x'y.x

    x'.z'x.z

    z'.y'z.y

    'z

    'y

    'x

    z

    y

    x

    w

    ==

    55..33.. PPrroodduuiitt mmiixxttee

    DDffiinniittiioonn dduu pprroodduuiitt mmiixxttee

    On appelle produit mixte de trois vecteurs ur , vr et wr , le rel dfini par :

    ( )w.vum = PPrroopprriittss

    Le produit mixte de vecteur non indpendant est nul. Le produit mixte est nul si un des vecteurs est nul ou si les directions sont coplanaires.

    Le produit mixte autorise la permutation circulaire :

    ( ) ( ) ( ) 213132321 V.VVV.VVV.VVV ===

    UUttiilliissaattiioonn ggoommttrriiqquuee

    Par exemple, le volume dun paralllpipde est le produit mixte :

    ( ) ( ) ( ) 213132321 V.VVV.VVV.VVV ===

    2V

    1V3V

    Mathieu ROSSAT 6/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    66.. DDrriivvaattiioonn vveecctteeuurr//tteemmppss

    On considre un vecteur tel que : z).t(zy).t(yx).t(xu ++= dont les composantes dans un repre orthonorm )z,y,x(R = dpendent du temps. Les vecteurs de la base sont constants (invariants avec le temps).

    On dfinit la drive du vecteur par rapport au temps dans le repre R de la faon suivante : ur

    z.zy.yx.xz.dt

    )t(dzy.dt

    )t(dyx.

    dt)t(dx

    dtud &&& ++=++=

    77.. VVeecctteeuurrss lliiss,, MMoommeennttss,, TToorrsseeuurrss

    77..11.. VVeecctteeuurrss lliiss

    Un vecteur est dit lis, lorsquon associe un point un vecteur. On peut donc le localiser de faon

    unique dans lespace.

    uA

    Par exemple, z).t(zy).t(yx).t(xu ++= dorigine )c,b,a(A = est un vecteur li. On le note ( u,A ).

    77..22.. MMoommeenntt dduunn vveecctteeuurr ppaarr rraappppoorrtt uunn ppooiinntt

    Un moment est une grandeur vectorielle lie la description de la rotation dun systme. Par

    dfinition, on appelle moment du vecteur li ( u,A ) calcul en B le produit vectoriel :

    ( ) uBAB),u,A(M = A B

    u

    Mathieu ROSSAT 7/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    VVeecctteeuurr gglliissssaanntt

    Si un vecteur li na pas une localisation unique mais glisse sur une droite, on calcule le moment

    de ce vecteur en prenant un point A quelconque de la droite.

    u

    A B

    PPrroopprriittss

    Le moment dun vecteur li est perpendiculaire au plan dfinit par BA et ur . Le moment est nul si un des vecteurs est nul ou si la droite support du vecteur passe par le point o

    lon calcule le moment.

    B

    u

    CChhaannggeemmeenntt ddee ppooiinntt

    Pour connatre en C le moment dun vecteur exprim au point B alors on ralise un changement

    de point en utilisant la relation suivante :

    ( ) ( ) uCBB),u,A(MC),u,A(M += 77..33.. CChhaammppss ddee vveecctteeuurrss qquuiipprroojjeeccttiiffss

    Le champ de vecteurs BA V,V est dit quiprojectif sil vrifie la condition :

    AB.VAB.V BA =

    AV

    A B

    BV

    Mathieu ROSSAT 8/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    77..44.. TToorrsseeuurr

    DDffiinniittiioonnss

    Un torseur [T] est un objet gomtrique constitu de deux champs vectoriels :

    un champ uniforme R (Vecteur libre) un champ quiprojectif ( ) ( ) uCBB,RMC,RM += (Vecteur li)

    Un torseur [T] reprsente en tout point P de lespace tous les ensemble de vecteurs quivalents

    ayant pour somme gomtrique R et pour moment ( )P,RM . [T] est la classe dquivalence de tous les ensembles de vecteurs lis ou glissants quivalents.

    Il scrit :

    { }R,C

    R,C)C,R(M

    RT

    =

    RReemmaarrqquuee

    Lorsque lon exprime les composantes des vecteurs R et ( )C,RM dans un repre prcis, on le note en bas droite du torseur.

    TToorrsseeuurrss ppaarrttiiccuulliieerrss

    le torseur nul : 0R = et ( ) 0P,RM = (Nul en tout point) le torseur couple : 0R = et ( ) 0P,RM (Rsultante nulle en tout point) le glisseur : 0R et ( ) 0P,RM = ou ( )P,RMR

    Tout torseur ordinaire peut tre considr comme la somme dun glisseur et dun couple.

    SSoommmmee ddee ddeeuuxx ttoorrsseeuurrss

    Pour faire la somme de deux torseurs il suffit dajouter les rsultantes ensembles et les moments

    ensembles :

    { } { }C2211

    21C2C1 )C,R(M)C,R(M

    RRTT

    ++=+

    Attention : Chaque torseur doit tre exprim au mme point et la somme des composantes se fait

    dans le mme repre.

    Mathieu ROSSAT 9/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    EEggaalliitt ddee ddeeuuxx ttoorrsseeuurrss

    Si deux torseurs sont gaux alors leurs rsultantes sont gales et leur moment aussi :

    { } { }c22

    2

    C11

    1

    C2C1

    )C,R(M

    R

    )C,R(M

    RTT

    =

    =

    Attention : Chaque torseur doit tre exprim au mme point et lgalit des composantes se fait

    dans le mme repre.

    88.. MMooddee ddee rreepprraaggee

    Pour simplifier les calculs, il est parfois intressant de travailler dans un repre particulier. Pour

    cela, on dfinit un systme de coordonnes. En gnral, on utilise un tridre trirectangle direct

    (rgle de la main droite) dans lequel les normes de chaque ct sont unitaires. Associ un espace

    temps, ce systme de coordonnes se nomme un repre. Un repre est un solide par rapport auquel

    le mcanicien tudie le mouvement, il est dfini par 4 points non coplanaires.

    Avant de choisir un repre il faut dabord dfinir le rfrentiel de travail. Il en existe plusieurs :

    Le rfrentiel hliocentrique est un solide dfini partir du centre du soleil et de 3 autres toiles.

    Le rfrentiel gocentrique est un solide dfini partir du centre de la Terre et de 3 toiles.

    Le rfrentiel terrestre est un solide dfini par 4 points non coplanaires de la Terre.

    Ensuite, on associe un repre au rfrentiel choisi. On distingue deux grands types de repres :

    Les repres fixes par rapport au rfrentiel choisi Les repres mobiles par rapport au rfrentiel choisi

    Dans un repre tout point de lespace sera dfini par trois coordonnes. Soit un point M de lespace

    et O le centre du repre considr. On appelle )t(OM le vecteur position du point M linstant t

    dans ce repre.

    Mathieu ROSSAT 10/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    RReepprree ccaarrttssiieenn (( z,y,x,O ))

    Le tridre form par les trois axes du repre cartsien est orthonorms directs. On dfinit un point

    fixe O ainsi que trois vecteurs unitaires ( z,y,x ). On obtient le repre cartsien ( z,y,x,O ). )t(OM

    se dfinit donc par :

    z).t(zy).t(yx).t(x)t(OM ++=

    Les trois paramtres de position sont : x(t), y(t) et z(t)

    RReepprree ppoollaaiirree ddaannss llee ppllaann (( )t(t,)t(r,O ))

    Le mobile tant toujours dans le mme plan il ny a que deux paramtres de position dfinir. Ces

    paramtres sont r(t) et )t( .

    )t(OM se dfinit donc par :

    y)].t(sin[).t(rx)].t(cos[).t(r)t(r).t(r)t(OM +==

    y

    M

    O

    x

    z

    y

    )t(r

    )t(t

    M

    O x

    Mathieu ROSSAT 11/12

  • Vecteur et Torseur en Mcanique

    RReepprraaggee ccyylliinnddrriiqquuee (( z,)t(,)t(r,O )) Dans le cas de mouvement de rvolution il est intressant dutiliser ce type de repre ( z,,r,O )

    x

    M

    O

    )t(OM se dfinit par :

    z).t(zy)].t(sin[).t(rx)].t(cos[).t(rz).t(z)t(r).t(r)t(OM MM ++=+= Les trois paramtres de position sont : r(t), (t) et )t(zM

    RReepprraaggee sspphhrriiqquuee (( )t(,)t(,)t(r,O )) Lorsque le problme a une symtrie sphrique, il est souvent commode d'utiliser les coordonnes

    sphriques.

    )t(OM se dfinit donc par :

    z)].t(cos[).t(ry)].t(sin[)].t(sin[).t(rx)].t(cos[)].t(sin[).t(r)t(r).t(r)t(OM ++== Les trois paramtres de position sont : r(t), (t) et (t) Ce paramtrage est utilis pour la terre : azimute (t) ; colatitude (t) ; latitude 2 - (t)

    x

    y

    )t(rM

    O

    z

    (t)

    (t)

    y

    z

    r

    Mathieu ROSSAT 12/12

    Vecteurs et Torseurs en McaniqueDfinitions& PropritsAdditionMultiplication par un scalaireBases et repreOprations sur les vecteursProduit scalaireProduit vectorielProduit mixte

    Drivation vecteur/tempsVecteurs lis, Moments, TorseursVecteurs lisMoment dun vecteur par rapport un pointChamps de vecteurs quiprojectifsTorseur

    Mode de reprage