Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства

та природокористування

Кафедра теоретичної механіки,

інженерної графіки та машинознавства

02 – 05 – 40

Методичні рекомендації до вивчення розділу дисципліни «Нарисна геометрія, інже-нерна та комп’ютерна графіка» та варіанти завдань до ви-конання індивідуальних графічних робіт (епюрів) з нарисної геометрії для студентів спеціальностей: 133 «Галузеве ма-шинобудування», 144 «Теплоенергетика», 184 «Гірництво», 264 «Автомобільний транспорт» денної форми навчання

Рекомендовано методичними комісіями зі спеціальностей: 264 «Автомобільний транспорт» протокол № 9 від 10 травня 2017 р.; 133 «Галузеве машинобудування» протокол № 8 від 16 травня 2017 р.; 144 «Теплоенергетика» протокол № 6 від 25 травня 2017 р.; 184 «Гірництво» протокол № 5 від 31 травня 2017 р.

Рівне - 2017

2

Методичні рекомендації до вивчення розділу дисципліни «Нарисна геометрія, інженерна та комп’ютерна графіка» та варіанти завдань до виконання індивідуальних графічних робіт (епюрів) з нарисної геоме-трії для студентів зі спеціальностей: 133 «Галузеве машинобудуван-ня», 144 «Теплоенергетика», 184 «Гірництво», 264 «Автомобільний транспорт» денної форми навчання / Козяр М.М., Сасюк З.К., Рівне: НУВГП, 2017. – 37 с.

Упорядники: Козяр М.М., доктор педагогічних наук, професор; Сасюк З.К., кандидат с.-г. наук, доцент. Відповідальний за випуск: М.М. Козяр, доктор педагогічних наук, професор, завідувач кафедри теоретичної механіки, інженерної графі-ки та машинознавства.

Козяр М.М., Сасюк З.К., 2017

НУВГП, 2017

3

1. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИВЧЕННЯ РОЗДІЛУ ДИСЦИПЛІНИ «НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ,

ІНЖЕНЕРНА ТА КОМП’ЮТЕРНА ГРАФІКА»

1.1. Порядок вивчення розділу «Нарисна геометрія»

Студенти вищих технічних навчальних закладів вивчають нарисну геометрію на першому. Під час вивчення курсу необ-хідно, насамперед, взяти в бібліотеці необхідну навчальну літе-ратуру й ретельно продумати календарний робочий план само-стійної навчальної роботи. Оскільки студенти мають вивчати теорію та знайомитися з розв’язанням типових задач кожної те-ми курсу й виконати графічні роботи (епюри), дотримуючись всіх правил креслярського мистецтва й, насамперед, відповідних стандартів.

Правильно побудовані самостійні заняття з нарисної гео-метрії дозволять уникнути труднощів у вивченні цієї дисципліни й навчать студента логічно мислити, уявляти сполучення гео-метричних форм у просторі. Нарисна геометрія сприяє розвитку просторової уяви (мислення), умінню «читати» креслення й за допомогою креслення передавати свої думки й правильно зро-зуміти думки іншого, що необхідно інженерові.

Під час вивчення дисципліни варто дотримуватися наступних рекомендацій:

1. Нарисну геометрію потрібно вивчати послідовно й систе-матично. Тривалі перерви в заняттях, а також перевантаження небажані.

2. Прочитаний у навчальній літературі матеріал повинен бути глибоко засвоєний. У нарисній геометрії варто уникати механіч-ного запам’ятовування теорем, окремих формулювань і розв’язання задач. Знання, отримані зубрінням, неміцні. Вони швидко забуваються й, що ще гірше, спотворюють до нісеніт-ниці. Студент повинен зрозуміти теоретичний матеріал й уміти застосовувати його як загальну схему до розв’язання конкретних задач.

4

Під час вивчення того або іншого матеріалу розділу дисцип-ліни не виключене виникнення помилкового враження в студен-та, що все прочитане ним добре зрозуміле, що матеріал простий і можна, не затримуючись на ньому, іти далі.

3. Велику допомогу у вивченні розділу дисципліни надає гар-ний конспект підручника або аудиторних лекцій, де записуються найбільш важливі положення курсу. Конспект супроводжується власними формулюваннями й аккуратно виконаними креслен-нями. Такий конспект допоможе глибше зрозуміти й запам’ята-ти досліджуваний матеріал. Він служить також довідником, до якого доводиться часто звертатися. Конспект підручника варто писати тільки при повторному вивченні теми. Кожну тему у під-ручнику бажано прочитати двічі. Під час першого читання під-ручника глибоко й послідовно вивчається весь матеріал теми. Під час повторного вивчення теми рекомендується вести кон-спект, записуючи в ньому основні положення теорії, теореми курсу й порядок розв’язання типових задач. У конспекті треба вказати ту частину пояснювального матеріалу, що погано зберігається в пам’яті й має потребу в частому повторенні. Під час підготовки до іспиту конспект не може замінити підручника.

4. Під час вивчення нарисної геометрії розв’язанню задач має бути приділена особлива увага. Розв’язання задач є найкращим засобом глибшого й всебічного розуміння основних положень теорії.

Перш ніж удатись до розв’язання тієї або іншої геометричної задачі, треба зрозуміти її умову й чітко уявити собі схему розв’язання, тобто встановити послідовність виконань операцій. Треба уявити собі положення заданих геометричних образів у просторі.

5. На початковій стадії вивчення нарисної геометрії корисно моделювати досліджувані геометричні форми та їхні сполучен-ня. Значної допомоги надають замальовки уявних моделей, а та-кож їхні найпростіші макети. У подальшому треба намагатися виконувати будь-які операції з геометричними формами в про-сторі на їхніх проекційних зображеннях, не звертаючись за до-помогою до моделей і замальовок. «Генеральна» перевірка знань

5

студента може бути проведена ним же самим у процесі вико-нання графічних робіт.

6. Якщо в процесі вивчення нарисної геометрії у студента ви-никли труднощі, які він не в змозі подолати самостійно, то він може звернутися за консультацією до лектора на кафедру.

7. Виконані графічні роботи (епюри) з нарисної геометрії, студент повинен надати викладачу для перевірки у вигляді аль-бому робіт із титульною сторінкою.

1.2. Підготовка та складання іспиту

Мета іспиту – встановити й оцінити знання, вміння та навич-

ки студентів, набуті ними в процесі роботи над навчальною і ме-тодичною літературою, розв’язування задач та виконання графічних робіт з нарисної геометрії протягом семестру.На екзамен необхідно принести із собою: аркуш креслярського па-перу (ватман) формату А3, два косинці, олівці (твердий і м'який), циркуль, гумку.

Екзаменаційний білет включає одне теоретичне питання і дві задачі, із різних розділів курсу. Студент, який складає іспит, відповідаючи на перше питання, повинен викласти якомога пов-но теоретичний матеріал і навести не менше 3 прикладів. Розв’язування задач мають бути виконані за допомогою кресля-рських інструментів чітко, у достатньо масштабі з нанесенням усіх необхідних позначень та написів. Відтворюючи те чи інше креслення, розв’язуючи яку-небудь задачу обов'язково ретельно позначайте всі точки і лінії, міркуйте, запам’ятовуйте терміни і стежте за їхнім значенням. На кресленні всі точки і лінії є про-екціями конкретних елементів просторової фігури. Тому не намагайтеся завчити тільки послідовність проведення ліній на кресленні, а розберіться, що зображує кожна точка, лінія. Розповідаючи порядок побудо-ви на кресленні, намагайтеся називати елементи фігури в про-сторі, показуючи їхні проекції на кресленні.

Розв’язування задачі доцільно виконувати в такій послідов-ності:

6

а) усвідомити умову задачі – що дано і що потрібно побуду-вати;

б) накреслити графічну умову задачі, проаналізувати за крес-ленням положення елементів заданої фігури;

в) скласти план розв’язання задачі в просторі. При цьому ко-ристуйтеся тільки поняттями стереометрії і не вживайте термінів нарисної геометрії.

Пам’ятайте, що креслення в нарисній геометрії лише відоб-ражає просторові побудови. Для полегшення роботи на цьому етапі можна використовувати моделі з підручних засобів: наприклад, поставлена на столі ребром розгорнута книга чи зошит – площини проекцій, олівець – пряма, косинець – площи-на і т. д.;

г) виконати побудови на кресленні за складеним планом. Під час виконання побудов послідовно позначайте побудовані точ-ки, лінії і т. д., це допомагає не втрачати послідовність мірку-вань, організує мислення і полегшує читання креслень;

д) перевірити розв’язок задачі.

1.3. Питання для підготовки до іспиту

1. Метод проекцій. Способи проеціювання. Основні властивості центрального та паралельного проеціювання. 2. Проекції точки на три основні і додаткові площини проекцій. Координати точки на комплексному кресленні. 3. Проекції прямої лінії. Прямі загального і окремого положен-ня. Метричні властивості проекцій відрізка прямої. 4. Визначення натуральної довжини відрізка прямої загального положення і кутів нахилу її до площин проекцій. 5. Взаємне положення точки і прямої. 6. *Сліди прямих загального і окремого положення. 7. Паралельні, перетинні та мимобіжні прямі. Конкуруючі точки. 8. Відстані і кути між прямими, що проекціюються в натуральну величину. 9. Проекції кутів між прямими. Проекції прямого кута. Визна-чення відстані від точки до прямої окремого положення.

7

10. Площина. Подання площини на кресленні. Перехід від одно-го способу подання площини до іншого. 11. Побудова слідів площини. 12. Площини окремого положення. Їхні назви і властивості. 13. Точка і пряма в площині. Головні лінії в площині. 14. Взаємно паралельні пряма і площина. 15. Взаємно паралельні площини. 16. Побудова лінії перетину двох площин при різному їхньому положенні і поданні на кресленні. 17. Побудова точки перетину прямої з площиною при різному їхньому положенні і поданні на кресленні. Визначення види-мості прямої щодо площини. 18. Побудова прямої, перпендикулярної до площини, а також площини, перпендикулярної до заданої прямої. 19. Побудова взаємно перпендикулярних площин при різному їхньому поданні на кресленні і положенні щодо площин про-екцій. 20. Призначення і сутність способу заміни площин проекцій. Ро-зв'язування чотирьох основних задач, а також визначення відстаней між різними геометричними елементами. 21. *Поняття про спосіб обертання навколо осей, перпендику-лярних до площин проекцій. Визначення натуральної довжини відрізка прямої і кутів нахилу її до площин проекцій. 22. *Призначення і сутність способу плоско паралельного пе-реміщення. Розв'язування чотирьох основних задач, а також визначення відстаней між різними геометричними елементами. 23. *Призначення і сутність способу обертання навколо ліній рівня. Визначення натуральної величини плоских фігур і кутів між геометричними елементами. 24. Перетин багатогранників із площиною. 25. Побудова розгорток прямих і похилих призм і пірамід. 26. Побудова ліній перетину кривих поверхонь площинами за-гального і окремого положення. Конічні перерізи. 27. Побудова розгорток поверхонь прямих і ∗похилих циліндрів, конусів, а також сфери.

8

28. Побудова точок перетину прямої з поверхнями піраміди, призми, циліндра, конуса, сфери. 29. Взаємний перетин багатогранників (загальні і окремі випад-ки). Способи ребер і граней. 30. Взаємний перетин кривих поверхонь. Способи допоміжних площин і сферичних поверхонь. 31. *Криві лінії. Побудова проекцій і розгортки циліндричної гвинтової лінії. Проведення дотичної до циліндричної гвинтової лінії. 32. *Розгортні і нерозгортні лінійчасті і нелінійчасті криві по-верхні. Гвинтові поверхні. Побудова проекцій визначників по-верхонь, а також точок, що належать поверхням. 33. *Площини, дотичні до кривих поверхонь. 34. Сутність аксонометричних проекцій. Аксонометричні осі, показники спотворення і взаємозв'язок між ними, аксономет-ричні координати, вторинні проекції. 35. Класифікація аксонометричних проекцій. 36. *Трикутник слідів і його властивості. 37. Стандартні аксонометричні проекції за ГОСТ 2.317 – 69; ISO5456 – 3: 1996 7p. (Д) ТС 10 01. 100. 01 Креслення технічні – методи проектування – частина 3: зображення аксонометричні) проекції двох основних типів. Кути між аксонометричними ося-ми і показники спотворення. 38. Зображення в аксонометрії кіл, розташованих паралельно основним площинам проекцій.

1.4. Список рекомендованої літератури

1. Четверухин Н. Ф. и др. Начертательная геометрия. – 2-е изд. Перераб. и доп. – М.: Высшая школа. 1963. – 420 с. 2. Гордон В. О., Семенов-Огиевский М. А.. Курс начертательной геометрии. Учеб. пособие / Под ред. Иванова Ю. Б. – 23-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит., 1988. – 272 с. 3. Інженерна та комп′ютерна графіка: Підручник /В. Є. Михай-ленко, В.М. Найдиш, А. М. Підкоритов, І. А. Скидан; За ред. В.

9

Є. Михайленка.– 2-ге вид., перероб. - Київ.: Вища шк., 2001. - 350 с. 4. Михайленко В. Е., Пономарев А. М. Инженерная графика: Учебник. – 3-е изд., перераб. и доп. – К: “Выща школа”, 1990. 303 с. 5. Посвянский А. Д. Краткий курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 1974. 6. Болдырев В. Ф., Греков Н. И., Шульгин К. Б. Начертательная геометрия. Методическое пособие. Донецк, 1965. 7. Греков Н. И., Коломиец А. Ф., Скидан И. А., Шульгин К. Б. Начертательная геометрия с применением ЭВМ. Донецк: ДПИ, 1986. 95 с. 8. Антонович С.А. Василишин Я.В., Шпильчак В.А. Креслення. – Львів: Світ, 2006. 512 с. 9. Хаскін А.М. Креслення. – Київ: Вища школа, 1976. – 279 с. 10. Інженерна та комп’ютерна графіка: навч. посіб. / Б.Д. Кова-ленко, Р.А. Ткачук, В.Г. Серпученко; за ред. Б.Д. Коваленка. – К.: Каравела, 2008. – 512 с. 11. Гордон В. О., Иванов Ю. Б., Солнцева Т. Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. – М.: Наука. 1971, - 351с. 12. Збірник задач з інженерної та комп′ютерної графіки: Навч. посіб. / В.Є. Михайленко, В. М. Найдиш, А. М. Підкоритов, І. А. Скидан; За ред. В. Є. Михайленка. – К.: Вища шк., 2002. – 159 с. 13. Рудаев А. К. Сборник задач по начертательной геометрии. – М.: Физмат.,1959. – 344 с. 14. Арустамов Х. А. Сборник задач по начертательной геомет-рии. – М.: Машгиз, 1965. – 362 с. 15. Посвянский А. Д., Рыжов Н. Н. Сборник задач по начерта-тельной геометрии. Под ред. проф. Н. Ф. Четверухина. – 3-е изд. – М.: Высшая школа, 1966. – 280 с. 16. Нарисна геометрія: Підручник / В.Є. Михайленко,

М.Ф.Євстіфєєв, С.М. Ковальов, О.В. Кащенко: За ред. В.Є. Ми-

хайленко. – К.: Вища шк., 2004 – 303 с.

10

17. Інженерна та комп’ютерна графіка: Підручник / В.Є. Михай-

ленко, В.М. Найдиш, А.М. Підкоритов, І.А. Скидан. – К.: Вища

шк., 2001. – 350 с.

18. Михайленко В.Є., Ванін В.В., Ковальов С.М. Інженерна та

комп’ютерна графіка: підруч. для студ. вищих закл. освіти / За

ред. В.Є. Михайленка. – К.: Каравела, 2003. – 344 с.

19. Верхола А.П., Коваленко Б.Д. та ін. Інженерна графіка: крес-

лення, комп’ютерна графіка: Навч. посібн. / за ред А.П. Верхо-

ли. – К.: Каравела, 2006. – 304 с.

20. Крівцов В.В. Нарисна геометрія: Навч. посібник. – Рівне:

НУВГП, 2012. – 240 с.

21. Крівцов В.В. Нарисна геометрія: контрольні запитання та

відповіді. Навч. посібник. – Рівне: НУВГП, 2010. – 162 с.

22. Козяр М.М. Нарисна геометрія: Навчальний посібник / М.М.

Козяр, З.К. Сасюк. – Рівне: НУВГП, 2013. – 206 с.

У таблиці 1.1 зазначено сторінки підручників, де містяться

відповіді на відповідні питання. Прочерки, поставлені на місці сторінок означають, що в даному підручнику відповіді на пи-тання немає. На сторінках, зазначених * відповідь міститься неповна.

Таблиця 1.1 Сторінки підручників, що містять відповіді

до екзаменаційних питань

№№ питань

Номер джерела [1] [2] [3] [4]

1 9 – 18 12 7 – 10 11 – 13 2 50 – 54;68 –

73; 101 – 134 13 – 22;

24 12 – 14 13 – 14;

35 – 36 3 54 – 58 25 – 29 14 – 15 36 – 39 4 67; 135, 136 32 – 35 16; 32 37 – 39; 116

– 118 5 55 – 56 29 – 30 23 46 – 48

11

6 56 30 – 32 – – 7 58 – 60;

138 – 139* 35 – 37 23 – 25 48 – 50

8 – – 24; 25 – 9 – 37 – 40 25 50 10 60 – 63 43 16 – 19 51 – 53 11 – 43 – 44 – – 12 62 – 63 49 – 55 17 39 – 40 13 – 44 – 49 17; 27 53 14 – 72 – 73 19 – 22 51 – 52 15 – 73 – 74 22 53 – 55 16 76 – 79 62 – 69 28 53 – 55 17 75 – 81 69 – 72 25 – 27 51 – 52 18 114 – 117 74 – 77 27 56 – 57 19 124 – 128 77 – 78 28 – 20 144 – 148 81 – 85 31 – 33 110 – 112;

118 – 123 21 129 – 140 85 – 90 33 – 22 140 – 144 90 – 92 33 – 35 110 – 123 23 148 – 154 92 – 106 35 – 36 114 – 124 24 85 – 90 107 – 116 38 – 48 131 – 136 25 318 – 322 121 – 124 50 – 51 153 – 162 26 260–265;

269–274 170 – 188 88 – 92 131 – 136

27 322 – 336 227 – 233 81 – 86 153 – 162 28 92 – 94;

274 – 278 114 – 118 86 – 88 134 – 142

29 94 – 103 192 48 – 50 163 – 178 30 285 – 300;

307 – 310 194 – 225 92 – 100 163 – 178

31 162 – 188 125 – 136 52 – 61 61 – 68 32 189 – 241 137 – 160 61 – 76 94 – 106 33 247 – 254 164 – 169 – – 34 341 – 349 234 – 238 101 –

108 181 – 198

12

35 345 238 – 248 – – 36 355 – 360 239 – 243 – – 37 370 – 376 240 – 242 – 183 – 191 38 364 – 367 243 – 251 – –

У таблиці 1.2 наведено номери задач до відповідного питан-

ня, що рекомендовані студентам для розв'язування під час підго-товки до іспиту.

Під час підготовки до іспиту варто використовувати один з підручників і один задачник. В окремих випадках для доповнен-ня деяких питань (зазначених *) можуть бути використані інші підручники або навчальні посібники.

Таблиця 1.2

Номери задач, рекомендованих для розв'язування при підготовці до іспиту

№№ питання

Номер джерела [11] [12] [13] [14] [15]

2 4; 5 5 – 7 9 13 – 3 8 9 – 10 35 – 41 27; 54 31 4 18; 19;

214 156 46 341 –

345 50; 564; 414; 415

126

5 11 – 29 – 40 28; 31; 32

34

6 13 – 46 – 50; 52 – 59

39; 40 –

7 27; 29; 30

11 63 – 71; 78

43; 45 – 47

57 – 58

8 – – – – – 9 32; 35 – – 97 – 100 – 10 45; 48 – – 171 –

200 –

11 53; 55 – 105 – 11 210 – 12 58 – 60 – – 163 –

168 –

13 43; 45; 14; 15; 18 82 – 101 174 – 50 – 53

13

47; 48 176; 178 14 95 – 165 –

183 225 –

227; 233 65 – 66

15 98; 100; 101

27 128 – 139

240 – 242

73 – 75

16 71; 72; 87; 88; 90; 91

24; 25; 28 140 – 159

217; 221; 222

69; 70; 72

17 78; 81; 83

16; 17; 23; 32

188 – 207

219 60

18 103; 104; 107

20 – 22, 26; 31

213 – 231

252 – 254

106; 108, 112

19 109; 110; 112;

114; 116

– 236 – 249

317; 329; 341

117; 119

20 156; 162; 170

43; 44; 47; 48; 50

320 – 333

417; 421; 423; 428

122 – 125; 135

– 144 21 156 – 261 –

265 443; 450 162; 172

22 163; 166; 168

52 – 371; 377; 380

155 – 158

23 177; 178; 182

33; 34; 37; 42; 45

278 – 280; 372;

385; 393

401; 411; 412; 458 – 466

179; 184 –

187; 200

24 323 53 434 – 442; 455

– 458

467 84 (1, 2, 5, 6, 7);

86 25 – 55; 56 507; 508 – 330 – 333 26 247; 250 – 546;

548; 552; 556

481 – 483

230; 248; 251

27 – 77 – 80 677 – 487 – 334 – 338

14

687 488 28 249;

252; 254 90 465 –

475; 589 – 594

489 85; 270 – 272; 277

29 – 54 484 – 490; 493

– 498

490 87

30 256 – 267; 270

62; 83 – 86

625 – 642; 648 – 655; 669 – 674

491 – 492

292

31 – – – – – 32 – 65; 66;

68; 71 – – 236; 238

33 – 39 699 – 710

478 – 480; 485

– 486

314; 317 – 321

34 – – 800 – 802

– –

35 – – – – – 36 – – – – – 37 – – – – 360 – 361 38 – – 821 –

824 –

1.5. Прийнята система скорочень і позначень

А, В, С, D, E … або 1, 2, 3, 4, 5 … – точки у просторі; a, b, c, d, e, … – прямі та криві лінії у просторі; ∆, Φ, Γ, Ρ, Σ … – площини та поверхні у просторі; Oxyz – система координат у просторі; Ox, Oy, Oz – осі координат; = – рівність, результат дії; ≡ – тотожно збігаються;

15

∩ – перетин (b ∩ Σ = A – пряма b перетинає площину Σ у точці А, ана-логічний запис буде для кривої та поверхні, за текстом зрозуміло, про які фігури йде мова); ∪– з'єднання; // – паралельність (b // d – пряма b паралельна прямій d); °/ – мимобіжність (m °/ n – прямі m та n мимобіжні); b – перпендикулярність (е b Σ – пряма є перпендикулярна площині Σ);

– належність елемента множині (А b – точка А належить лінії b);

⊂ – належність підмножини множині (n ⊂ Σ – лінія належить поверх-

ні);

≠, , ⊄, … – символи, які позначають заперечення вказаних вище від-

ношень; → – відображення (А → А1 – точка А відображається у точку А1);

⇒ – символ логічної дії;

П1– горизонтальна площина проекцій (Oxy); П2– фронтальна площина проекцій (Oxz); П3– профильна площина проекцій (Oyz); h – горизонталь (пряма, паралельна площині П1) f – фронталь (пряма, паралельная площині П2); p – профильна пряма (пряма, паралельна профільній площині П3); А1, В1, С1, D1, E1 … або 11, 21, 31, 41, 51 … – проекції точок на П1; А2, В2, С2, D2, E2 … або 12, 22, 32, 42, 52 … – проекції точок на П2; А3, В3, С3, D3, E3 … або 13, 23, 33, 43, 53 … – проекції точок на П3; а1, b1, c1, d1, e1, … – проекції прямих або кривих ліній на П1; а2, b2, c2, d2, e2, … – проекції прямих або кривих ліній на П2; а3, b3, c3, d3, e3, … – проекції прямих або кривих ліній на П3; ∆1, Φ1, Γ1, Ρ1, Σ1 … – проекції площин та поверхонь на П1; ∆2, Φ2, Γ2, Ρ2, Σ2 … – проекції площин та поверхонь на П2; ∆3, Φ3, Γ3, Ρ3, Σ3 … – проекції площин та поверхонь на П3; Σ (А, В, С) – площина, що задана точками А, В, С; Σ (А, m) – площина, що задана точкою А і прямою m; Σ (m // n) – площина, що задана паралельними прямими m і n; Σ (b ∩ c) – площина, що задана прямими b і c, які перетинаються; П4, П5, П6, … – нові (додаткові) площини проекцій; x14, x25, … – нові осі (x14 = П1 ∩ П4, x25 = П2 ∩ П5); α, β, γ – кути; а ^ с – кут між прямими а і с;

16

b ^ Γ – кут між прямою b і площиною Γ; Φ ^ Γ – кут між площинами Φ і Γ; |А, В| – відстань між точками А і В, довжина відрізка |АВ|; |А, b| – відстань від точки А до прямої b; |а //c| – відстань між паралельними прямими а і с; |Ф // Г| – відстань між паралельними площинами Ф і Г; |d °/ c| – відстань між мимобіжними прямими d і c; |∆ ABC| – натуральна величина плоскої фігури (трикутника АВС).

17

2. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ

ІНДИВІДУАЛЬНИХ ГРАФІЧНИХ РОБІТ З НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЯ

2.1. Тема: ПРЯМА

Мета роботи: навчитися будувати проекції відрізків прямих часткового та загального положення; розв’язувати позиційні та метричні задачі.

Завдання: Задача 1. Побудувати за даними (табл. 2.1) координатами точок А, В, С, D фронтальну і горизонтальну проекції піраміди DАВС. Встановити видимість ребер на кожній проекції в конкуруючих точках; Задача 2. Розділити ребро DА точкою Е у відношенні 2:3; Задача 3. Провести через точку Е: горизонталь h до перетину з ребром АВ (або з його продовженням) та фронталь f до перети-ну з ребром АВ (або його продовженням); Задача 4. Визначити натуральну величину одного із ребер зага-льного положення і кут його нахилу до однієї із площин проек-цій; Задача 5. Провести через точку D пряму паралельну до ребра АВ.

Розв’язок задач: Задача 1. За вихідними даними (табл.2.1) координатами точок А, В, С, D побудуємо фронтальну і горизонтальну проекції пі-раміди DАВС. Встановимо видимість мимобіжних ребер АС та DВ за наступним алгоритмом:

- на горизонтальній проекції піраміди А1В1С1D1 визначимо видимість проекцій ребер А1С1 та D1В1 (рис. 2.1). Для цього по-рівняємо відносне положення пари конкуруючих точок 1 і 2, го-

ризонтальні проекції яких збігаються в одну точку (11≡21) – точ-ку перетину горизонтальних проекцій ребер А1С1 та D1В1. Точки 1 і 2 належать різним ребрам. В цьому ми переконаємося, коли побудуємо їх фронтальні проекції 12, 22: 12 належить проекції

18

ребра А2С2 (12∈А2С2), а 22 – фронтальній проекції ребра D2В2

(22∈D2В2). Це означає, що ребра АС та DВ – мимобіжні. З двох конкуруючих точок видимою буде та, у якої друга (незбігаюча) проекція буде знаходитися далі від осі проекцій. Отже, з двох конкуруючих точок 1 і 2 видимою буде точка 1, оскільки її фро-нтальна проекція 12 знаходиться далі від осі проекцій, ніж фрон-

тальна проекція 22. Точка 1 належить прямій АС (1∈АС), отже, горизонтальна проекція прямої А1С1 буде видимою (наводимо її суцільною товстою лінією), а горизонтальна проекція D1В1 - бу-де невидимою (наводимо її тонкою штриховою лінією) (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Рис. 2.2

- на фронтальній проекції піраміди А2В2С2D2 конкуруючими

будуть точки 3 та 4 (32≡42) (рис. 2.2) . Точка 3 належить ребру

АD (3∈АD), точка 4 - ребру ВС (4∈ВС). Видимість зазначених точок будемо визначати по їх горизонтальних (незбігаючих) проекціях 31 та 41. Оскільки, горизонтальна проекція 31 знахо-диться далі від осі проекцій ОХ, то проекція 32 буде видимою, а, відповідно, і проекція прямої А2D2 – буде видимою (наводимо її

19

суцільною товстою лінією). Фронтальна проекція В2С2 - буде невидимою (наводимо її тонкою штриховою лінією). Задача 2. Потрібно розділити ребро DА точкою Е у відношенні

2:3, тобто 3

2=

EA

DE.

Знаємо, що проекції точки ділять проекцію відрізка прямої у такому самому відношенні, в якому сама точка ділить відрізок

прямої: 3

2

22

22

11

11 ===AE

ED

AE

ED

EA

DE.

Отже, виконаємо внутрішній поділ ребра DА. Спочатку із проекції D1 у довільному напрямку проведемо пряму D150, дов-жина якої буде дорівнювати сумі рівних частин поділу відрізка, тобто 5=2+3. З’єднаємо поділку 50 з А1(рис. 2.3). Через кожну поділку 40, 30, 20, 10 проведемо прямі паралельні прямій 50А1 (рис. 2.4) до перетину з проекцією D1А1 і отримаємо горизонта-

льну проекцію Е1∈D1А1.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Спираючись на правило, що точка належить прямій, якщо її проекції належать однойменним проекціям прямої, за допомо-гою лінії проекційного зв’язку Е1Е2 будуємо фронтальну проек-

20

цію Е2∈D2А2. Таким чином, ми розділили ребро DА точкою Е у відношенні 2:3 (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Задача 3. Провести через точку Е: горизонталь h до перетину з ребром АВ (або з його продовженням) та фронталь f до перети-ну з ребром АВ (або його продовженням).

1) Побудову фронталі f через точку Е починаємо із її горизо-нтальної проекції f1, яку проводимо через точку Е1 паралельно осі ОХ (f1||OX) до перетину із продовженням проекції ребра А1В1. При перетині з АВ отримаємо точку 5 (51,52): (f1∩А1В1=51, 52∈А2В2). Будуємо фронтальну проекцію f2 фронталі f: Е2∪ 52= f 2 (рис. 2.6).

2) Побудову горизонталі h через точку Е починаємо із її гоф-ронтальної проекції h2, яку проводимо через точку Е2 паралель-но осі ОХ (h2||OX) до перетину із проекції ребра А2В2. При пере-тині з прямою АВ отримаємо точку 6 (61,62): (h2∩А2В2=62, 61∈А1В1). Будуємо горизонтальну проекцію горизонталі h1: Е1∪ 61= h1 (рис. 2.7).

21

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Задача 4. Визначимо дійсну величину одного із ребер загально-го положення і кут його нахилу до однієї із площин проекцій (рис. 2.8).

Загальне положення займають ребра DС, DА, АВ, тому що жодна із їх проекцій не паралельна і не перпендикулярна до площин проекцій. Визначимо дійсну величину ребра DС та кут β його нахилу до фронтальної площини проекцій П2 за правилом прямокутного трикутника. Правило: дійсна величина відрізка прямої загального положення визначається гіпотенузою прямо-кутного трикутника, у якого одним катетом є проекція на одну із площин проекцій, а другий катет дорівнює різниці відстаней кі-нців відрізка прямої від тієї самої площини проекцій.

1) оскільки будемо визначати кут β нахилу DС до фронталь-ної площини проекцій П2, то побудови будемо виконувати на П2. Першим катетом буде D2С2. Від будь-якого одного із кінців D2С2 (оберемо проекцію С2) проводимо напрям другого катета:

С2С0⊥D2С2. 2) Визначаємо на горизонтальній проекції D1С1 різницю ко-

ординат Y точок D та С: ∆Y=∆YD-∆YС (∆Y – різниця відстаней

22

між кінцями відрізка DС і фронтальною площиною проекцій П2).

3) Відкладаємо на прямій С2С0 від проекції С2 відрізок, який дорівнює ∆Y (С2С0=∆Y).

4) Сполучаємо точки С0 і D2, отримуємо прямокутний трику-тник D2С2С0, у якому гіпотенуза D2С0 – дійсна величина відрізка DС загального положення: D2С0=D2С0.

5) Кут між гіпотенузою D2С0 і катетом-проекцією D2С2 дорів-нює куту нахилу β прямої DС до фронтальної площини проекцій П2: (D2С0 ∧D2С2)= β.

Рис. 2.8

Задача 5. Провести через точку D пряму паралельну до ребра АВ.

Використаємо властивість проеціювання двох паралельних прямих: проекції паралельних прямих на будь-яку площину проекцій, але не перпендикулярну до даних прямих, паралельні між собою або збігаються.

Отже, через точку D1 проведемо горизонтальну проекцію прямої t1 паралельно А1В1: t1||А1В1, а через точку D2 проведемо

23

фронтальну проекцію прямої t2 паралельно А2В2: t2||А2В2 (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Графічна робота виконується на аркуші формату А4. Зразок

виконання роботи наведений на рис. 2.10.

Рис. 2.10

24

2.2. Тема: ПЕРЕТИН ПЛОЩИН Мета роботи: закріплення знань студентів із побудови лінії

перетину двох площин загального положення. Завдання: – побудувати за заданими (таблиця 2.1) координатами точок

A, B, C, D, S, K горизонтальну та фронтальну проекції площин трикутників ABC і DSK;

– побудувати лінію взаємного перетину двох площин трикут-ників ABC і DSK;

– встановити видимість частин площин. Графічна робота виконується на аркуші формату А4. Зразок

виконання роботи наведений на рис. 2.11. Лінією перетину двох площин є пряма, для побудови якої

необхідно визначити дві точки, спільні для обох площин, і через них провести пряму. Спільні точки у загальному випадку визна-чають способом допоміжних січних площин-посередників, яки-ми є, як правило, площини рівня або проеціюючі площини.

Побудову лінії перетину двох площин загального положення (рис. 2.11) виконуємо загальним способом, використовуючи площини рівня, у такій послідовності:

Рис. 2.11

25

1) Проведемо допоміжну січну площину – горизонтальну площину рівня ∆, яка буде задана фронтальним слідом ∆2 (∆||П1

→ ∆2||OX). Площину ∆ слід вводити так, щоб її фронтальний слід ∆2 перетинав кожну із заданих площин трикутників ABC і DEK (рис. 2.12).

2) Відмічаємо фронтальні проекції точок лінії перетину пло-щини ∆ та трикутника DSK (рис. 2.12): точка 1 знаходиться на стороні DK (12∈D2K2), точка S знаходиться на стороні SK (S2∈S2K2). Будуємо горизонтальні проекції зазначених точок 11, S1 (11∈D1K1, S1∈S1K1) і з’єднуємо їх, причому лінія 1S є горизо-нталлю площини DSK, оскільки ∆||П1.

3) Відмічаємо фронтальні проекції точок лінії перетину пло-щин ∆ та ABC (рис. 2.12): точка 2 знаходиться на стороні АВ (22∈А2В2), точка 3 знаходиться на стороні BC (32∈B2C2). Будує-мо горизонтальні проекції зазначених точок 21, 31 (21∈А1В1, 31∈В1С1) і з’єднуємо їх, причому лінія 23 є горизонталлю пло-щини ABC, оскільки ∆||П1.

Рис. 2.12

26

4) Визначаємо першу спільну точку L для площин ABC і DEK. Точка L знаходиться на перетині ліній 1S та 23, що чітко видно на перетині горизонтальних проекцій 11S1 та 2131

(рис. 2.12): 11S1∩2131= L1. Фронтальну проекцію L2 побудуємо у проекційному зв’язку L1 → L2 на фронтальному сліді ∆2, оскіль-ки точка L належить площині ∆: L2∈∆2.

5) Проведемо другу січну горизонтальну площину рівня β, яка буде задана фронтальним слідом β2 (β||П1 → β2||OX) і анало-гічно виконуємо побудови (рис. 2.13).

Рис. 2.13

6) Відмічаємо фронтальні проекції точок лінії перетину пло-

щини β та трикутника DSK (рис. 2.13): точка 5 знаходиться на стороні DK (52∈D2K2), точка 6 знаходиться на стороні SK (62∈S2K2). Будуємо горизонтальні проекції зазначених точок 51, 61 (51∈D1K1, 61∈S1K1) і з’єднуємо їх, причому лінія 56 є горизо-нталлю площини DSK, оскільки β||П1.

27

7) Відмічаємо фронтальні проекції точок лінії перетину пло-щини β та трикутника ABC (рис. 2.13): точка 4 знаходиться на стороні АВ (42∈А2В2), точка С знаходиться на стороні BC (С2∈B2C2). Будуємо горизонтальні проекції зазначених точок 41, С1 (41∈А1В1, С1∈В1С1) і з’єднуємо їх, причому лінія 4С є гори-зонталлю площини ABC, оскільки β||П1.

8) Визначаємо другу спільну точку Т для площин ABC і DEK. Точка Т знаходиться на перетині ліній 4С та 56, що чітко видно на перетині горизонтальних проекцій 41С1 та 5161 (рис. 2.13): 41С1∩5161= Т1. Фронтальну проекцію Т2 побудуємо у про-екційному зв’язку Т1→ Т2 на фронтальному сліді β2, оскільки точка Т належить площині β: Т2∈β2.

9) Через точки L і Т, які одночасно належать площинам DSK та ABC, проводимо пряму лінію, яка є лінією LТ перетину вка-заних площин (рис. 2.14).

Рис. 2.14

28

10) Встановлюємо взаємну видимість заданих площин, оскі-льки прийнято вважати площину непрозорим об’єктом (рис. 2.15). Видимість встановлюємо методом конкуруючих то-чок, який детально розглянутий у роботі «Пряма».

Рис. 2.15

29

Побудова проекцій спільних точок способом допоміжних

проеціюючих площин на епюрі проводиться у такому порядку

(рис.6):

1. Для знаходження першої спільної точки N вибираємо

будь-який відрізок в одному з двох трикутників (наприклад, АВ)

і будуємо точку перетину його з площиною трикутника DEK.

Для цього:

– через відрізок АВ проводимо допоміжну горизонтально-

проеціюючу площину β, що задається горизонтальним слідом β1;

– будуємо лінію 1-2 перетину заданої площини DEK і допо-

міжної проеціюючої площини β, що проходить через сторону

АВ другого трикутника;

– визначаємо точку N перетину відрізка АВ з допоміжною

прямою 1-2, яка також є точкою перетину прямої АВ із площи-

ною трикутника DЕK.

2. Для знаходження другої спільної точки М лінії перетину

вибираємо будь-який інший відрізок (наприклад, DK) і знахо-

димо точку М перетину його з площиною трикутника DEK, по-

вторивши наведену вище послідовність побудов.

3. Точки М і N з’єднуємо, отримуємо лінію МN перетину

площин DEK та АВС.

4. Встановлюємо видимість одного трикутника відносно дру-

гого. Видимість елементів визначаємо за конкуруючими точка-

ми (точками, що належать різним прямим, але розміщених від-

носно площин проекцій на одній проеціюючій прямій).

Графічна робота виконується на аркуші формату А4. Зра-

зок виконання роботи на рис. 2.15 – 2.16.

30

Рис. 2.16

2.3. Тема: Перпендикулярність прямої та площини

Мета роботи: навчитися виконувати побудови взаємоперпе-

ндикулярних прямої та площини, застосовувати теорему прое-

ціювання прямого кута.

Теорема проеціювання прямого кута: прямий кут проеціюєть-

ся на площину проекцій прямим кутом, якщо одна із його сторін

паралельна до цієї площини проекцій, а друга сторона – не пер-

пендикулярна до цієї площини проекцій.

Задача: Визначити відстань від точки D до площини трикут-

ника ABC. Вихідні дані взяти з таблиці 2.1.

Для розв’язку даної задачі необхідно знати основні правила:

31

1) Відстань від точки до площини визначається по перпендику-

ляру, опущеному з точки до площини.

2) Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпенди-

кулярна до двох прямих, що перетинаються і лежать у цій

площині.

Графічна робота виконується на аркуші формату А4. Зразок

виконання роботи наведений на рис.5.

Алгоритм побудов:

1) У площині ∑(∆ABC) через точку С проводимо горизон-

таль h (h⊂∑, С∈ h). Спочатку проводимо, паралельно до осі

ОХ, фронтальну проекцію горизонталі h2 (h2||OX). При пе-

ретині з прямою АВ отримаємо точку 1 (11,12): (h2∩А2В2=12,

11∈А1В1). Будуємо горизонтальну проекцію горизонталі h1:

С1∪ 11= h1 (рис. 2.17).

2) У площині ∑(∆ABC) через точку А проводимо фронталь f

(f ⊂∑, A∈ f). Спочатку проводимо, паралельно до осі ОХ,

горизонтальну проекцію фронталі f1 (f1||OX). При перетині з

прямою ВС отримаємо точку 2 (21,22): (f1∩В1С1=21,

22∈В2С2). Будуємо фронтальну проекцію фронталі f 2: А2∪

22= f 2 (рис. 2.17).

3) З точки D опускаємо пряму p перпендикулярно до пло-

щини ∑(∆ABC). Горизонтальну проекцію р1 прямої p будує-

мо перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонта-

лі: D1∈ p1⊥h1. Фронтальну проекцію р2 будуємо перпенди-

кулярно до фронтальної проекції фронталі f 2: D2∈ p2⊥ f 2

(рис. 2.18).

32

Рис. 2.17

4) Знаходимо точку К перетину перпендикуляра p з площи-

ною ∑(∆ABC). Спочатку через перпендикуляр р проводимо

горизонтально-проеціюючу площину ∆1: р⊂∆(∆1) ⊥П1,

р1≡∆1. Площина ∆ перетинається з площиною ∑(∆ABC) по

прямій MN: ∆∩∑=MN, ∆1∩А1С1=М1, ∆1∩В1С1=N1. Будуємо

фронтальні проекції точок M2, N2 і отримаємо M2N2

(рис. 2.19). На перетині M2N2 та р2 отримаємо фронтальну

проекцію К2 шуканої точки К: M2N2∩р2=К2. Горизонтальну

33

проекцію К1 будуємо по лінії проекційного зв’язку: К1∈ р1

(рис. 2.19).

Рис. 2.18

5) Проекції прямої р (D1 К1 та D2 К2) є проекціями віддалі

від точки D до площини ∑(∆ABC). В даному випадку відрі-

зок DК є відрізком прямої загального положення. Дійсну ве-

34

личину відрізка |DК| знаходимо за правилом прямокутного

трикутника (рис. 2.20).

Рис. 2.19

6) Встановлюємо видимість перпендикуляра р відносно

площини ∑(∆ABC) за конкуруючими точками.

35

Рис. 2.20

36

Таблиця 2.1

Вихідні дані до графічної роботи «Пряма», «Перетин площин», «Визначення відстані від точки до площини»

№ варі анту

А В С D S К

X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 55 50 50 15 25 0 95 0 15 15 15 35 85 35 0 50 0 35

2 95 0 20 65 55 50 15 40 0 30 25 50 55 45 0 85 0 40

3 110 35 10 45 0 50 20 55 10 95 50 40 50 10 0 15 25 15

4 50 45 35 20 30 20 95 10 0 20 10 0 95 20 0 75 50 0

5 25 50 0 40 10 50 95 35 0 50 0 0 80 50 35 20 15 15

6 85 50 40 15 20 40 110 5 0 100 15 50 70 50 0 40 35 20

7 100 0 0 80 35 40 20 50 35 85 45 0 115 0 30 50 0 30

8 60 5 40 90 55 0 15 15 0 90 10 5 75 0 25 30 45 25

9 10 15 0 80 55 50 90 5 0 55 45 0 100 10 35 70 10 35

10 15 15 20 70 50 50 100 0 0 95 45 0 60 0 45 20 0 45

11 115 20 0 10 55 0 35 5 45 65 15 0 95 55 50 60 45 50

12 90 5 45 10 40 25 75 55 0 95 5 0 60 5 0 20 55 45

13 105 35 15 70 50 55 30 5 15 70 0 40 110 20 0 50 40 0

14 65 0 10 15 0 0 80 40 50 100 0 35 40 0 50 10 50 15

15 80 0 0 55 50 45 10 25 40 65 45 0 90 20 35 50 0 35

16 80 50 0 55 0 45 10 10 45 70 0 0 90 25 40 40 50 40

17 90 45 25 65 0 50 40 45 10 60 35 55 95 0 5 55 0 5

18 95 40 25 70 45 40 45 15 0 45 50 40 105 30 0 75 10 0

19 25 50 0 40 10 50 95 35 0 50 0 0 80 50 35 20 15 15

20 115 20 0 10 55 0 35 5 45 65 15 0 95 55 50 60 45 50

21 20 30 20 50 45 35 75 50 0 0 95 20 0 20 10 95 10 0

22 40 35 20 25 50 0 40 10 50 50 0 0 20 15 15 80 50 35

23 60 5 40 90 55 0 15 15 0 90 10 5 75 0 25 30 45 25

24 10 50 15 40 0 50 100 0 35 80 40 50 15 0 0 65 0 10

25 85 0 40 55 45 0 95 0 20 65 55 50 15 40 0 30 25 50

26 55 0 5 90 45 25 65 0 50 40 45 10 60 35 55 95 0 5

27 95 10 0 20 30 20 0 20 10 50 45 35 75 50 0 0 95 20

28 105 35 15 70 50 55 30 5 15 70 0 40 110 20 0 50 40 0

29 15 15 35 50 0 35 15 25 0 95 0 15 55 50 50 85 35 0

30 20 50 0 40 10 50 95 35 0 50 0 0 80 50 35 25 15 15

37

ЛІТЕРАТУРА 1. Антонович С.А. Василишин Я.В., Шпильчак В.А. Креслення. – Львів: Світ, 2006. 512 с. 2. Арустамов Х.А. Сборник задач по курсу начертательной гео-

метрии. – М.: Машиностроение, 1985. – 288 с. 3. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. – М.: Высшая

школа, 1985. – 288 с. 4. Гордон В. О., Семенов-Огиевский М. А.. Курс начертатель-

ной геометрии. Учеб. пособие / Под ред. Иванова Ю. Б. – М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит., 1988. – 272 с.

5. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука, 1983. – 240 с.

6. Гордон В.О. Сборник задач по курсу начертательной геомет-рии . – М.: Наука, 1978. – 215 с.

7. Козяр М.М., Сасюк З.К. Нарисна геометрія. – Рівне: ВЦ НУВГП, 2013. – 200 с.

8. Королев Ю.И. Начертательная геометрия. – СПб.: Питер, 2009. – 256 с.

9. Фролов С.А. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 1973. – 239 с.