02 Analisis de Tensiones

2.- ESTUDIO DE LAS TENSIONES EN UN PUNTO2.1.- Componentes intrnsecas del vector tensin.Como hemos visto el vector tensin depende de las acciones exteriores y de la seccin

por la que se haya cortado el slido, por tanto, est siempre asociado a un plano cuya orienta-cin respecto al sistema de referencia vine dada por la normal del plano ( ) que contiene a nla seccin del prisma mecnico.

Si proyectamos el vector tensin sobre la normal al plano y sobre la tangente lascomponentes en estas direcciones reciben el nombre de componentes intrnsecas del vectortensin, que son perpendiculares entre si, (fig. 2.1), y que llamaremos:

: tensin normal." n: tensin tangencial.$

FIG. 2.1Evidentemente la relacin que liga el mdulo del vector tensin con sus componentes

intrnsecas es: (2.1)" 2 = " n2 + $2

.Es importante observar que no se pueden sumar tensiones en un punto si estas no estndefinidas para el mismo plano (misma seccin de corte del prisma).

2.2.- Estudio de los vectores tensin en un punto. Matriz de tensiones.Al depender el vector tensin (en mdulo y direccin) del plano por el que hayamos

cortado el prisma mecnico resultar que la tensin en un punto no ser la misma para dosplanos que pasen por ese punto.

Puesto que por un punto pasan infinitos planos el problema que nos proponemos resol-ver es:

Dado un punto P de un slido elstico definido por sus coordenadas (x,y,z) respecto deun sistema de referencia dado, se pretende determinar:

* vector tensin (mdulo y direccin) en ese punto en funcin de la orientacindel plano que pasa por ese punto.

TENSIONES ELASTICIDAD - Cap. II

AulaNet. UNIOVI. M.A. Castrillo /10/ 06 Pg -1 -

* valores mximos del vector tensin y direcciones en las que se producen(normal del plano asociado al vector).

Los valores mximos son necesarios para determinar si el material es capaz de soportarlas tensiones o por el contrario se romper o tendr deformaciones excesivas.

Consideremos un entorno cubico elemental de un punto interior de un solido elstico, decaras paralelas al sistema de referencia (OXYZ) y de dimensiones . Sobre cada unadx, dy, dzde las caras de este entorno tendremos actuando un vector tensin que podemos suponerdescompuesto en sus componentes intrnsecas. La componente tangencial a su vez la descom-ponemos en las direcciones paralelas a los ejes coordenados, (fig. 2.2).

Para estas componentes utilizamos la siguiente notacin:

Tensiones normales: (i = x, y, z)" nii... eje al que son paralelas las tensiones normales.

Tensiones tangenciales: (i, j = x, y, z)$ iji... eje paralelo a la direccin de la normal del planoj... eje paralelo a la tensin considerada.

FIG. 2.2Tomaremos el siguiente criterio de signos: (ver figura).Las tensiones normales son positivas si son de traccin y negativas si son de

compresin.Las tensiones tangenciales son

positivas cuando actuando en unacara vista tienen el sentido positivode los ejes coordenados, o en unacara oculta tienen sentido contrario.



Admitiremos las siguientes hiptesis:* Las tensiones son uniformes en las caras de este elemento.* No existen, o son nulas las fuerzas de volumen al ser infinitesimos de

tercer orden frente a las de superficie que son de segundo orden.Si el slido estaba en equilibrio cada una de sus partes lo estar tambin.El equilibrio de este elemento exige que se verifique:

* Las tensiones normales en dos caras opuestas son iguales y contrarias.* Las tensiones cortantes en caras opuestas son iguales y contrarias y el momento

resultante respecto a los ejes es tambin nulo, es decir, teniendo en cuenta que las tensionesson fuerzas por unidad de superficie, tendremos:

Mx = 0 $yz $ dx dy dz $zy $ dx dy dz = 0My = 0 $zx $ dx dy dz $xz $ dx dy dz = 0Mz = 0 $xy $ dx dy dz $yx $ dx dy dz = 0

De donde se deduce:

(2.2)$yz = $zy ; $zx = $xz ; $xy = $yxLo que constituye la expresin matemtica del "TEOREMA DE RECIPROCI-

DAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES".De acuerdo con el criterio de signos tomado para las tensiones, este teorema nos dice

que, si consideramos un diedro recto, el sentido de las tensiones es tal que ambas se dirigenhacia la arista o ambas se separan de ella y son delmismo valor (ver figura).

Dada la igualdad entre las tensiones norma-les y tangenciales solamente seis de las 18 tensio-nes que tenamos en las caras del elementodiferencial son independientes entre si, estas son:

" nx " ny " nz$ xy $ xz $ yz

Analicemos ahora el equilibrio de un elemento diferencial de volumen definido entretres planos paralelos a los coordenados y un plano ABC, de rea d cuya orientacin quedadefinida por los cosenos ( ) de los ngulos que la normal del plano forma con los ejes , , (componentes del vector unitario, , en la direccin de la normal, fig. 2.3). u

Sean las componentes del vector tensin correspondientes al plano ABC." x , " y , " zLas condiciones de equilibrio de fuerzas, teniendo en cuenta que las tensiones son

fuerzas por unidad de superficie, se expresan



" x $ d = " nx $ d + $ xy $ d + $ xz $ d (direccion x)" y $ d = $ xy $ d + " ny $ d + $ yz $ d (direccion y)" z $ d = $ xz $ d + $ yz $ d + " nz $ d (direccion z)

Dividiendo todos los trminos por d resulta un sistema de ecuaciones lineales quepermite obtener las tensiones asociadas al plano ABC a partir de las seis tensiones indepen-dientes, y conocida la orientacin del plano.

Este sistema se puede poner en forma matricial:

(2.3)" x" y" z

=" nx $ xy $ xz$ xy " ny $ yz$ xz $ yz " nz

$

O en notacin matricial:

(2.4)

[" ] = [T ] $ [ u ]A la matriz:

(2.5)[T ] =" nx $ xy $ xz$ xy " ny $ yz$ xz $ yz " nz

Se le denomina matriz de tensiones y nos permite calcular, en un punto, el vectortensin asociado a un plano definido por su normal ( ) en ese punto. , ,

Como se ve la matriz de tensiones es simtrica y depende exclusivamente de los seisvalores de las tensiones que habamos mencionado.

Las ecuaciones anteriores nos dicen que el estado tensional de los puntos de un slidoser conocido si son conocidas las matrices de tensiones correspondientes a todos sus puntos,pues podemos calcular todos los infinitos vectores tensin asociados a los infinitos planos que



FIG 2.3

pasan por cada punto. Adems la matriz de tensiones cambia al cambiar de punto, por lo queen general sus trminos sern funciones de las coordenadas del punto (x, y, z).

Cuando cambia el sistema de referencia evidentemente cambia la matriz de tensionesasociada a cada punto, pues cambia la orientacin de los planos del elemento dx dy dz,pero utilizando el lgebra matricial, puede demostrarse que la matriz de tensiones [T] definidaen ejes antiguos se relaciona con la matriz [T *] en los nuevos ejes mediante las siguientesecuaciones matriciales:

(2.6)[T] = [R]T $ [T& ] $ [R][T& ] = [R] $ [T] $ [R]T

Y donde [R] es la matriz de cambio de sistema de referencia que es ortogonal (suinversa es igual a su traspuesta) y que por filas, est formada por los cosenos de los ngulosque los nuevos ejes forman con los antiguos, en el orden x,y,z.

2.3.- Tensiones y direcciones principales.Ya hemos visto que en un punto de un slido elstico pueden actuar infinitos vectores

tensin dependiendo del plano que pase por el punto, y que en general no son perpendicularesal plano.

Tratemos de contestar a la siguiente pregunta:Existe algn plano tal que el vector tensin asociado a el sea perpendicular al plano?.Si existe deber verificar las dos condiciones siguientes:* Las componentes tangenciales intrnsecas de la tensin son nulas.

* La tensin est dirigida segn la normaldel plano.

Matemticamente, de acuerdo con (2.4),esto se expresa:

[T] $ [u] = " $ [u]

O bien:

(2.7)[T " $ I] $ [u] = 0Siendo [I] la matriz unidad y un escalar.

[I] =1 0 00 1 00 0 1

El desarrollo de esta ecuacin matricial conduce al siguiente sistema lineal homogneo.

(2.8)("nx " ) $ + $xy $ + $xz $ = 0$xy $ + "ny " $ + $yz $ = 0$xz $ + $yz $ + ("nz " ) $ = 0

Cuya condicin de compatibilidad es:



(2.9)("nx " ) $xy $xz$xy "ny " $yz$xz $yz ("nz " )

= 0

Determinante que, desarrollado, conduce a una ecuacin cubica en denominada'ECUACIN CARACTERSTICA' y cuyas tres races son las 'TENSIONES PRINCIPALES'( ). Estos tres valores son los mdulos de tres vectores que cumplen lo dicho. "1, "2, "3

Evidentemente estos vectores definirn tres direcciones particulares en las que secumple la condicin impuesta; las direcciones definidas por estos vectores se denominan 'DIRECCIONES PRINCIPALES'.

La ecuacin caracterstica puede escribirse:"3 + I1 $ "2 I2 $ " + I3 = 0

Siendo:

I1 = "nx + "ny + "nzI2 = "nx $ "ny + "ny $ "nz + "nz $ "nx $xy2 $xz2 $yz2

I3 = TPuesto que las tensiones asociadas a un plano no pueden variar al cambiar el sistema de

referencia (el estado tensional del prisma mecnico debe ser el mismo en cualquier sistema dereferencia, lo nico que cambia son las componentes del vector tensin), se deduce que lassoluciones de la ecuacin caracterstica son independientes del sistema de referencia, pues sussoluciones son mdulos de vectores; es decir sus coeficientes deben ser constantes, y portanto son INVARIANTES del problema, es decir su valor no cambia al cambiar deI1, I2, I3sistema de referencia.

Para cada solucin de la ecuacin caracterstica ( ) el sistema de ecuaciones"1, "2, "3(2.8) nos da los valores de , , que son los cosenos directores de las direcciones principa-les con lo que tambin estas quedan determinadas.

Recordemos que por ser , , los cosenos directores de un vector unitario se cumplesiempre:

(2.10)2 + 2 + 2 = 1El sistema (2.8) no siempre tiene solucin nica y en este caso alguna de las direcciones

principales quedar indeterminada.Al ser la ecuacin caracterstica de tercer grado se puede asegurar que tiene al menos

una solucin real, y por tanto podemos afirmar que:* Existe al menos una direccin principal.

Por otro lado, puede demostrarse que:* Las direcciones principales son ortogonales entre si, es decir forman un triedro

trirrectngulo.La matriz de tensiones en la referencia principal, es decir, tomando como sistema de

referencia las direcciones principales, se escribe:



(2.11)[T] ="1 0 00 "2 00 0 "3

Ya que por definicin las tensiones principales no tienen componente segn la tangenteal plano.

Recordando que I1, I2, e I3 eran invariantes podemos escribir tambin:I1 = "1 + "2 + "3

I2 = "1 $ "2 + "2 $ "3 + "3 $ "1I3 = "1 $ "2 $ "3

2.4.- Elipsoide de tensiones de LamYa se ha visto que un punto de un slido elstico sometido a un estado tensional

cualquiera tiene infinitos vectores tensin dependiendo del plano por el que se corte el slido.Podramos preguntarnos como se distribuyen en el espacio los extremos de estos vecto-

res tensin correspondientes a un punto y que forman la radiacin de ese punto. Es decirbuscamos el lugar geomtrico de los extremos de los vectores tensin.

Para su calculo supongamos que tomamos un sistema de referencia con origen en elpropio punto y ejes coincidentes con las direcciones principales. En este sistema la matriz detensiones vendr expresada en la forma (2.11).

Sin perder generalidad en el estudio puede suponerse, para fijar ideas, que las tensionesprincipales estn ordenadas de la siguiente forma:

"1 > "2 > "3Y supondremos que esto se verifica de ahora en adelante mientras no se diga lo

contrario.Sean x, y, z las coordenadas del extremo del vector tensin (componentes del vector)

asociado a un plano que pasa por el punto y cuya orientacin est definida por los cosenosdirectores de su normal (, , ). De acuerdo con (2.3) podemos escribir:

xyz

="1 0 00 "2 00 0 "3

$

De donde:x = "1 $ ; y = "2 $ ; z = "3 $

Y eliminando , , entre estas ecuaciones y la expresin (2.10) resulta: (2.12)x

2

"12+ y

2

"22+ z 2"32 = 1

Es decir, el lugar geomtrico de los extremos de los vectores tensin asociados a losinfinitos planos que pasan por un punto es un elipsoide que se denomina 'ELIPSOIDE DETENSIONES DE LAME'.



FIG. 2.4Sus semiejes son iguales a las tensiones principales, (fig. 2.4).Casos particulares:

* Si las tres tensiones principales son iguales ( ) el elipsoide se"1 = "2 = "3reduce a una esfera y cualquier tro de direcciones ortogonales pueden ser direcciones princi-pales, es decir las direcciones principales estn indeterminadas.

* Si dos de las tensiones principales son iguales (por ejemplo ) el"1 = "2elipsoide es de revolucin y solamente estara definida la direccin principal correspondientea estando las otras dos contenidas en un plano perpendicular a esta."3

2.5.- Representacin grfica plana de las componentes intrnsecas del vectortensin. Crculos de Mohr.

Por medio de las componentes intrnsecas, los vectores tensin asociados a los infinitosplanos que pasan por un punto (P), admiten, como vamos a ver, una cmoda representacingrfica plana.

Tomando como referencia la referencia principal con origen en P, haciendo coincidir lasreferencias ( ) y de acuerdo con la ecuacin (2.4) podemos escribir,"1 h x, "2 h y, "3 h zpara un plano cualquiera definido por el vector unitario de su normal: u = (, , )

[" ] =

"1 0 00 "2 00 0 "3

$

O lo que es lo mismo: [" ] = ("1 , "2 , "3)

De donde se puede obtener el mdulo del vector:"2 = "12 2 + "22 2 + "32 2

Por otro lado la componente intrnseca normal del vector puede obtenerse proyectandoel vector en la direccin de la normal al plano es decir:



"n = " $ u = ("1 , "2 , "3 ) $

= "12 + "22 + "32

Entre estas ecuaciones y las (2.1) y (2.10) podemos escribir el siguiente sistema deecuaciones:

(2.13)"2 = "12 2 + "22 2 + "32 2 = "n2 + $2"12 + "22 + "32 = " n2 + 2 + 2 = 1

Supongamos que hacemos ahora = cte. y eliminamos y entre las ecuacionesanteriores. Esto equivale a suponer que las normales de los planos forman un ngulo cte. conel eje x, o lo que es lo mismo las normales estn sobre las generatrices de conos de revolucinde eje PX y ngulo en el vrtice (fig. 2.5).2

Para eliminar aplicamos la condicin de compatibilidad segn el teorema de y Rouch-Frobenius, es decir tendremos:

" n2 + $2 " 12 2 "22 " 32"n "1 2 "2 "3

1 2 1 1= 0

Desarrollando el determinante por los elementos de la primera columna y dividiendopor se obtiene:("2 "3)

" n2 + $2 "n $ ("2 + "3) + "2 $ "3 + 2 $ ("3 "1) $ ("1 "2) = 0En un sistema cartesiano rectangular con valores de en abscisas y valores de en"n $

ordenadas, esta ecuacin representa una familia de circunferencias (su radio varia con ) concentro comn en el punto:

"2 + "32 , 0

Para cada valor de la ecuacin, o la circunferencia correspondiente relacionan lascomponentes intrnsecas de los vectores tensin asociados a planos cuyas normales forman uncono de eje Px y ngulo 2 en el vrtice.

Si hacemos ahora = 0 se obtiene la ecuacin de una nica circunferencia (C1 ) que es:(C1) h " n2 + $2 "n $ ("2 + "3) + "2 $ "3 = 0

Para = 0 d "n = "2"3

Es decir la circunferencia corta al eje de abscisas ( ) en los puntos , su centro"n "2, "3ser el mismo que el de la familia anterior y su radio ser:

"2 "32

Fijmonos en lo que representan los puntos de esta circunferencia.

Al ser = 0 la normal de los planos forma un ngulo de 90 con el eje PX es decir losplanos son los correspondientes al haz PX de forma que:



Los puntos de esta circunferencia representan las componentes intrnsecas de losvectores tensin asociados a los planos que pasan por el punto P y que pertenecen al hazPX, o lo que es igual su normal est siempre contenida en el plano PYZ. (fig. 2.5).

Partiendo del sistema (2.13), procediendo de forma anloga, pero eliminando , yhaciendo luego = 0 se obtiene la ecuacin:

(C2) h " n2 + $2 "n $ ("1 + "3) + "1 $ "3 = 0Que representa la ecuacin de otra circunferencia que corta al eje de abscisas en los

puntos y cuyos centro y radio son:"1 , "3Centro "1 + "32 , 0 Radio

"1 "32 , 0

Al ser = 0 la normal de los planos forma un ngulo de 90 con el eje y es decir son losplanos del haz PY.

Los puntos de esta circunferencia representan las componentes intrnsecas de losvectores tensin asociados a los planos que pasan por el punto P y que pertenecen al hazPY, o lo que es igual su normal est siempre contenida en el plano PXZ.

Por ltimo, partiendo igualmente del sistema (2.13), procediendo de forma anloga,pero eliminando y y haciendo luego = 0 se obtiene la ecuacin:

(C3) h " n2 + $2 "n $ ("1 + "2) + "1 $ "2 = 0Que representa la ecuacin de otra circunferencia que corta al eje de abscisas en los

puntos y cuyos centro y radio son:"1, "2Centro "1 + "22 , 0 Radio

"1 "22 , 0

Al ser =0 la normal de los planos forma un ngulo de 90 con el eje z es decir son losplanos del haz PZ.

Los puntos de esta circunferencia representan las componentes intrnsecas de losvectores tensin asociados a los planos que pasan por el punto P y que pertenecen al hazPZ, o lo que es igual su normal est siempre contenida en el plano PXY.

En la fig. 2.6 se representan las tres circunferencias C1 , C2 , C3 en el sistema decoordenadas ( ) que se denominan 'CRCULOS FUNDAMENTALES DE MOHR'."n, $



FIG 2.5

Un punto M cualquiera interior a los tres crculos fundamentales, (zona sombreada)puede demostrarse que representa el estado tensional del punto P para un plano cualquiera delos infinitos que pasan por ese punto.

En otras palabras, los tres crculos fundamentales y los puntos interiores a ellos repre-sentan el estado tensional de todos los planos que pasan por P.

FIG. 2.6La posicin de M en la representacin de Mohr no solo nos da los valores de las compo-

nentes intrnsecas del vector tensin sino que proporciona tambin la orientacin de la normaldel plano asociado con esa tensin. Puede demostrarse que para obtener esta orientacin seprocede de la siguiente forma:

* Se trazan las circunferencias concntricas con las C1 y C3 que pasan por elpunto M, hasta que corten a la circunferencia C2 ; uniendo estos puntos con los extremos deldimetro del circulo (ver fig. 2.5) se obtienen los ngulos que son los que la normal. y .del plano forma con los ejes PX y PZ, ( direcciones principales I y III ).

Recordando que habamos tomado como referencia la referencia principal y habamosestablecido la equivalencia:

"1 h x ; "2 h y ; "3 h zPodemos decir que:

es el ngulo que forma con la direccin principal correspondiente a la normal del. "1plano cuyo vector tensin asociado est representado por el punto M.

Anlogamente es el ngulo que forma con la direccin principal correspondiente a . "3la normal del plano cuyo vector tensin asociado est representado por el punto M.

Determinados los ngulos y es fcil determinar analticamente mediante la ecuacin. .(2.10) el trmino .



2.6.- Estudio particular para los puntos de los crculos principales.Tomemos por ejemplo los puntos de la circunferencia C1, segn dijimos estos puntos

representan el estado tensional de todos los planos pertenecientes al haz .PX h IConsideremos uno de estos planos ( ) y supongamos que su normal forma un ngulo

con el eje principal OY contado en sentido anti-horario (fig. 2.7).

FIG. 2.7El vector unitario normal al plano tiene por componentes: u (0, cos , sen )Y de acuerdo con la ecuacin (2.4) el vector tensin asociado a este plano ser:

" ="1 0 00 "2 00 0 "3

$0

cos sen

=0

"2 $ cos "3 $ sen

El vector tangente al plano tiene por componentes:

; u (0, sen , cos )

Ya que al ser nula la primera componente del vector tensin, es un vector contenido enel plano II-III, y por tanto tambin u' est en este plano.

Las componentes intrnsecas del vector tensin se obtendrn proyectndolo sobre lanormal y la tangente es decir:

" n = " $ u = " 2 $ cos2 + " 3 $sen2 ; $ = " $ u = "2 $ cos sen " 3 $sen cos

Y teniendo en cuenta que:

cos2 = 1 + cos 22Queda:

(2.14)" n = "2 + "32 +

"2 "32 $ cos 2

$ = "2 "32 $ sen 2En la fig. 2.7 puede comprobarse fcilmente, que si M es el punto representativo en el

circulo de Mohr, del estado tensional, el ngulo que forma el radio O1 M con la direccinpositiva del eje de abscisas es el doble del ngulo que defina la orientacin del plano, ycontado en el mismo sentido anti-horario.



En efecto como: " n = "3 + R + R $ cos 2 ; $ = R $ sen 2 ; R = "2"32

Sustituyendo el valor de R en las expresiones de se obtienen las expresiones" n y $(2.14) como puede comprobarse.

El mismo razonamiento vale a la inversa es decir:

Si el radio del punto M en el circulo C1 forma un ngulo 2 con el eje de abscisas, lanormal del plano cuyo estado tensional corresponde al punto M forma un ngulo mitad ()con el eje PY (direccin principal II).

Lo que hemos hecho para el circulo C1 se puede repetir para los crculos C2, C3 y obten-dramos el mismo resultado sin mas que cambiar los ejes de referencia correspondientes. Aeste hecho se le denomina a veces regla del ngulo doble.

2.7.- Tensiones mximas.Los crculos de Mohr nos proporcionan tambin informacin de las tensiones mximas

que se producen en un punto de un slido.Respecto a las tensiones normales se ve claramente que la mxima corresponde a la

tensin principal (supuesto que estn ordenadas como se indic)."1Respecto a las tensiones cortantes, para cada haz de planos correspondientes a los crcu-

los fundamentales, habr una tensin cortante mxima que corresponder a los puntos demayor ordenada y que es igual al radio del circulo correspondiente (fig. 2.8).

FIG. 2.8Las tensiones cortantes mximas son:

Puntos N y N' de la circunferencia C1 ( = 0). (2.15)$1 = ! "2 "32Estos puntos corresponden a planos cuya normal forma con la direccin principal!45

II, de acuerdo con la regla del ngulo doble, por lo que sern los que se representan en lafigura.



Puntos M y M' de la circunferencia C2 ( = 0). (2.16)$2 = ! "1 "32Por la misma razn corresponden a planos cuya normal forma con la direccin!45

principal I, se representan tambin en la figura.Puntos Q y Q'. (2.17)$3 = "1 "22Al igual que antes corresponden a planos cuya normal forma ngulos de con la!45

direccin principal II.

Evidentemente la tensin cortante mxima de las mximas es que corresponde al$2radio del circulo mayor.

2.8.- Tensiones octaedricas.Se denominan tensiones octadricas a las correspondientes a los planos cuya normal

forma ngulos iguales con los ejes principales. En cada uno de los ocho cuadrantes tendremosun plano, de ah el nombre de tensiones octadricas, planos que son simtricos dos a dosrespecto al origen de coordenadas. Debido a esta simetra las tensiones tendrn el mismomdulo en los ocho planos, (fig. 2.9).

FIG. 2.9Al formar ngulos iguales tendremos:

= = = 13

El vector tensin es:



"0 ="1 0 00 "2 00 0 "3

$

131313

= "13 ;"2

3; "3

3

El mdulo es:

" 02 ="12 + "22 + "32

3Y las componentes intrnsecas del vector son:Octadrica normal:

(2.18)"n0 = "0 $ u ="1

3; "2

3; "3

3 $

131313

= "1 + "2 + "33

Octadrica tangencial:

(2.19)$0 = "02 "n02 = 13 $ ("1 "2 )2 + ("2 "3 )2 + ("3 "1 )2

2.9.- Ecuaciones de equilibrio.Las componentes de la matriz de tensiones sern, en general, funcin de las coordena-

das del punto considerado, pues cada punto tiene una matriz de tensiones diferente. Al consi-derar las variaciones que tienen estas componentes al pasar de un punto a otro del slidoelstico, infinitamente prximos, debemos hacer intervenir las fuerzas de volumen, puesaunque hasta ahora las habamos despreciado frente a las de superficie, ya no es posibleseguir haciendolo al considerar dos puntos infinitamente prximos donde las posibles varia-ciones en las tensiones son debidas a las fuerzas de volumen.

FIG. 2.10



Si (X, Y, Z) son las componentes de la fuerza por unidad de volumen ( ) el equilibrio fv

de un paraleleppedo elemental del entorno de un punto nos conduce a las siguientes 'ECUA-CIONES DE EQUILIBRIO INTERNO': (fig. 2.10).

Tngase en cuenta que la variacin de una tensin por unidad de longitud al movernospor ejemplo, en la direccin x est dada por:

" nx x

El planteamiento del equilibrio, por ejemplo en la direccin x nos da:

X $ dx dy dz + "nx + "nxx dx $ dy dz ("nx $ dy dz) + $xy +$xyy dy $ dx dz

$xy $ dx dz + $xz + $xzz dz $ dx dy ($xz $ dx dy) = 0Simplificando queda:

X $ dx dy dz + "nxx $ dx dy dz + $xyy $ dx dy dz + $xzz $ dx dy dz = 0Procediendo de forma anloga con las otras dos direcciones y dividiendo por dx dy dz se

obtiene finalmente las ecuaciones de equilibrio interno.

(2.20)

X + "nxx +$xyy +

$xzz = 0

Y + $xyx +"nyy +

$yzz = 0

Z + $xzx +$yzy +

"nzz = 0

Por otro lado los puntos de la superficie del slido deben estar tambin en equilibriobajo la accin de las tensiones aplicadas en ellos, y de las cargas aplicadas al slido en esospuntos. El establecimiento de este equilibrio nos conduce a las siguientes 'ECUACIONES DEEQUILIBRIO EN EL CONTORNO': (fig. 2.11).

Si las fuerzas de superficie son: f = X, Y, Z = "

Teniendo en cuenta la expresin (2.4) tendremos: f = [T] $ [u]

Siendo el vector unitario de la normal a la usuperficie en el punto considerado.

Desarrollando esta ecuacin matricial seobtiene:

(2.21)X = "nx $ + $xy $ + $xz $ Y = $xy $ + "ny $ + $yz $ Z = $xz $ + $yz $ + "nz $

Que son las ecuaciones de equilibrio en el contorno.



Fig. 2.11

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02 Analisis de Tensiones