ESTRUCTURAS I G5 Rey, Santiago, Silvera, Vázquez TEMA 2: TENSIONES

1. GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE TENSIÓN

La tensión depende del punto que se está analizando y del plano de corte, al que no será perpendicular salvo en casos muy concretos.

2. COMPONENTES DE LA TENSIÓN

La tensión normal (σ), que es perpendicular al plano, tiene un único subíndice que hace referencia a su dirección σx , σy y σz. Es positiva si describe una tracción (vector orientado hacia el exterior del entorno) y negativa en el caso contrario.

La tensión tangencial (τ), contenida en el mismo plano y por tanto es normal a la anterior, tiene dos subíndices se refieren al de la componente normal asociada y a la dirección propia de la componente τxy, τyx, τyz, τzy, τxz, τzx.

3. TEOREMA DE CAUCHY

τxy (dy . dz). dx/2+ (τxy + ∂τxy /∂ x dx) (dy . dz). dx/2 -τyx (dx . dz). dy/2- -(τyx + ∂τyx /∂ y dy) (dx . dz). dy/2 = 0

τxy (dx . dy . dz) - τyx (dx . dy . dz) = 0

τxy = τyx

TEOREMA: Las tensiones tangenciales en planos perpendiculares son iguales entre si y concurren o divergen simultáneamente a la vista común.

4. ESTADO TENSINAL PLANO. COMPONENTES DEL TENSOR DE TENSIONES

La matriz [T] que denominamos tensor es imprescindible para la descripción de un estado tensional, ya que permite el cálculo de la tensión asociada a cualquier punto a través del producto.

CONVENIOS

GLOBAL POSITIVO NEGATIVO LOCAL

σx τxy τxz

[T] = τxy σy τyz

τxz τyz σz

COMPONENTE NORMAL: T . u = lTl . lul . cos Tu = lσl

σ= σx . l2 + τxy . m.l + τxy . l.m + σy . m2

σ= σx . l2 + σy . m2 + 2τxy . l.m

COMPONENTE TANGENCIAL: Ƭ= T . u = σx . l.m + τxy . m2 - τxy . l2 - σy . l.m

Ƭ= (σx - σy). l.m - τxy . (l2- m2)

5. TENSIONES, DIRECCIONES PRINCIPALES Y TANGENCIALES MÁXIMAS. INVARIANTES.

Los planos en los que se producen las tensiones principales son los planos principales y las direcciones normales definidas por los correspondientes unitarios son las direcciones principales.

Tensiones: σ1, σ2 = C ± R = σx +σy /2 ±√( σx - σy /2) + τ2xy σ=σx.cos2α + σy.sen2α +τxy.sen2α Dirección: tan 2α = 2τxy

/σx - σy Invariante: σx + σy = σ1 + σ2 Tangenciales máximas: τmáx= (σ1 - σ2 )/2

6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESTADO TENSIONAL

a) Método del giro doble. En el círculo de Möhr se girará el doble de lo normal.

Pasos:

Llevar la mitad del ángulo

Marcar ejes de partida

b) Gráfico de Möhr completo

Las tres circunferencias extremas se denominan círculos fundamentales de Möhr en tensiones y representan un haz de planos cuyo eje común coincide con una de las direcciones principales. Las tensiones principales se sitúan en los puntos de corte de las circunferencias fundamentales con el eje de abscisas por corresponderles una ordenada nula. Por contra las tensiones tangenciales máximas se corresponden con los puntos de mayor ordenada.

c) Polo de Möhr.

Se define como aquel punto de la circunferencia que, unido a con otro cualquiera de la misma, define una recta de unión paralela al plano asociado al segundo punto. Permite obtener las componentes intrínsecas de la tensión en cualquier plano de la radiación correspondiente. Cada circunferencia fundamental estará asociada a su propio polo.

Esquema de procedimiento:

-Sobre los ejes σ y τ se llevan Px y Py. -Mediante su unión se localiza el centro de la circunferencia en el punto de corte con el eje de abscisas. -Por Px o Py se lleva una paralela al otro plano que corta a la circunferencia en el polo de Möhr. -Uniendo el polo con los puntos representativos de las tensiones principales σ1 y σ2 se obtienen los planos principales. -Los planos de las tensiones tangenciales máximas se determinaran uniendo el polo con los extremos del diámetro vertical.