02 - Conjuntos Numéricos

8/17/2019 02 - Conjuntos Numéricos

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Matemática

Professora: Denise Cristiane Pereira Cabral


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Conjuntos Numéricos

Conjunto Símbolo

Números Naturais

Números Inteiros

Números Racionais

Números Irracionais

Números Reais


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Conjunto dos números racionais

Os números que podem ser escritos como fração ou razão de

dois números inteiros são chamados de números racionais.

: ∈ ∈ ∗,

, é

Em que a é o numerador da fração e b o denominador


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Subconjuntos dos números racionais:

Racionais não nulos

Racionais não-negativos

Racionais não-positivos

Racionais negativos

Racionais positivos


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Todo número racional pode ser escrito na forma decimal. Estarepresentação decimal ou é finita ou é infinita periódica.

Exemplos

a)

= 0,4

b)

= 1,25

c)

= 0, 333..., (período: 3), outra forma de representar

= 0, 3

d)

= 1,515151..., (período: 51), outra forma de representar

= 1, 51


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Conjunto dos números racionaisDa representação decimal para a fracionaria

1° caso) Se a representação decimal for finita:

Neste caso basta dividir por uma potência de 10.

Exemplos:

a) 0,7 =

, note que temos apenas uma casa depois da vírgula

então dividimos por 10 á 1º, ou seja, por 10 = 10.

b) −1,57 = −

, note que temos duas casas depois da vírgula

então dividimos por 10 ao quadrado, ou seja, por 10 = 100.

c) 109,2053 =

, note que temos quatro casas depois da

vírgula então dividimos por 10 á 4º, ou seja, por 10 = 10000.


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2° caso) Se a representação decimal for infinita periódica:

Neste caso o processo não será tão simples, observe os

exemplos:

a) 0,444 …, chamaremos de a fração correspondente que

desejamos encontrar. Então:

= 0,444 …

Temos que o período é 4, ou seja, o número 4 é quem está

repetindo infinitamente depois da vírgula, devemos fazer comque esse período apareça uma vez antes da vírgula.

Como 4 é formado por apenas um algarismo, então basta

multiplicarmos = 0,444 … por 10 á 1º, ou seja, 10 = 10.


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Conjunto dos números racionaisAssim temos:

= 0,444 … 10

10 = 4,444 …

Agora basta subtrairmos a segunda equação da primeira que

teremos:10 = 4,444 …

-

= 0,444 …

9 = 4

Assim:

=4

9

Portanto, 0,444 … =


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b) 0,191919 …, chamaremos de a fração correspondente que


= 0,191919 …

Temos que o período é 19, ou seja, o número 19 é quem estárepetindo infinitamente depois da vírgula, devemos fazer com

que esse período apareça uma vez antes da vírgula.

Como 19 é formado por dois algarismo, então basta

multiplicarmos = 0,191919 … por 10 ao quadrado, ou seja,10 = 100.


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Conjunto dos números racionaisAssim temos:

= 0,1919191 … 100

100 = 19,1919191 …

Agora basta subtrairmos a segunda equação da primeira que

teremos:100 = 19,191919 …

-

= 0,191919 …

99 = 19

Assim:

=19

99

Portanto, 0,191919 =


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Conjunto dos números racionaisDica!!!

Comparando os itens a e b:

0,444 … =

e 0,191919 … =

Note que 0,444 … tem seu período 4, sendo que 4 é composto

por apenas um algarismo, e obtemos

, ou seja, o período sob

um nove.

Já 0,191919 … tem seu período 19, sendo que 19 é composto

por dois algarismos, e obtemos

, ou seja, o período sob dois

noves.

Nos casos em que o número decimal começa com 0 temos

apenas o período após a vírgula, essa dica será valida.

Exemplo: 0,676767 … =


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13/21


= 1,444 …

10

Agora subtraindo a segunda equação da primeira que teremos:

10 = 14,444 …

-

= 1,444 …

9 = 13

Assim:

=13

9

Observe também que:

100 = 14,444 …


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= 5,191919 …

100

Agora subtraindo a primeira equação da segunda que teremos:

100 = 519,191919 …

-

= 5,191919 …

99 = 514

Assim:

=514

99

100 = 519,191919 …


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Agora note que no caso 1,444 … temos

, e sabemos que

14 − 1 = 13, e no caso 5,191919 … temos

, e sabemos que

519 − 5 = 514.

Ou seja, temos o número formado pelo número antes da

vírgula com o período menos o valor do número antes davírgula, no numerador. Isto é:

1,444 …

Temos o número 1 antes da vírgula e o período é quatro, então onúmero formados por eles é 14(1 e 4), daí subtraindo 1(valor

que temos antes da vírgula) obtemos 13, 14 − 1 = 13, que é

justamente o valor que temos no numerador. Faça o mesmo

raciocínio para o caso 5,191919... E verifique.


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Conjunto dos números racionaisContinuação dos exemplos:

Da representação decimal para a fracionaria

c) 0,1787878 …, chamaremos de a fração correspondente que


= 0,1787878 …

Temos que o período (quem repete) é 78, ou seja, o número 78 équem está repetindo infinitamente depois da vírgula, devemos

fazer com que esse período apareça uma vez antes da vírgula.

No entanto temos 1 também depois da vírgula e este também

precisa aparecer antes da vírgula.Neste caso devemos primeiramente trabalhar com o número 1,

isto é, devemos nos preocupar em passar o número que não está

se repetindo para antes da vírgula, deixando apenas o período

depois da vírgula.


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Conjunto dos números racionaisPara isso temos:

= 0,1787878 … 10

10 = 1,787878 …

Agora basta fazermos o período aparecer uma vez antes da

vírgula, assim: 10 = 1,787878 …

100

1000 = 1,787878 …

Agora basta subtrairmos a segunda equação da terceira, e

teremos:


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100 = 178,787878 … -

10 = 1,787878 …

90 = 177

Assim:

=177

90

Portanto, 0,1787878 … =


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Conjunto dos números racionaisExercícios:

Encontre a fração correspondente dos números decimais:

a) 0,555 …

b) 1,434343 …

c) 2,7898989 …

d) 1,98656565 …

e) 6,8979797...


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Conjunto dos números racionaisDivisão por números decimais:

Vejamos como realizar a divisão de 3,4 por 2. O primeiro passo é

observar que, como o 3,4 é um número decimal com um

algarismo depois da vírgula, o 2 deve ter esse mesmo formato,

por isso utilizamos o 2,0 no divisor. Agora que ambos os fatoresda divisão possuem a mesma quantidade de algarismos depois

da vírgula, nós podemos desconsiderar as vírgulas e realizar a

divisão de 34 por 20, obtendo como resultado 1,7. Veja:


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Observe ainda outro caso:

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