02 de Noviembre de 2017 RESOLUCIÓN DE MODELOS DE

Programación Lineal José Luis Quintero 1

02 de Noviembre de 2017

Postgrado de Investigación de OperacionesFacultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

RESOLUCIÓN DE MODELOS DE

PROGRAMACIÓN LINEAL(Parte 3)


02 de Noviembre de 2017

Postgrado de Investigación de OperacionesFacultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

MECÁNICA DEL MÉTODO SIMPLEX

Caso General


Puntos a tratar

1. Caso general

2. Ejemplo ilustrativo 3

3. Método de dos fases

4. Método Penalización

Programación Lineal José Luis Quintero

• El Método Simplex requiere de una solución

inicial para arrancar y, a partir de allí, mejorar

la función objetivo en sucesivas iteraciones. Se

ha explicado la mecánica del Método Simplex,

para el caso cuando se dispone de una

solución básica factible inicial.

Caso general


• Se dispone de una solución básica factibleinicial cuando todas las restricciones son deltipo ≤≤≤≤ ya que la introducción de las holgurashace aparecer la matriz identidad, y con ella,la solución básica factible inicial se lee deltablero en forma canónica. Dicha solución seforma con todas las variables de decisióniguales a 0, y las variables de holgura igual alos respectivos recursos del LD. Se sueletambién decir que si el origen es factible,entonces se tiene la solución básica factibleinicial.

Caso general


• La pregunta obligada es ¿qué hacer si no se dispone de unasolución básica factible inicial? Tal situación se puedeapreciar en el gráfico siguiente:

x1

x2

(0,0)

S

Si las restricciones no sontodas del tipo ≤≤≤≤, el origenno es factible y se debeusar algún método parabuscar una solución básicafactible inicial paraarrancar con el Simplex.

Caso general


Puntos a tratar

1. Caso general





s.a.:

al tratar de añadir variables de holgura si (si≥≥≥≥0, ∀∀∀∀i) se tiene:

21 xx2z min −−−−−−−−====

0x

0x

3xx43

3xx

4x

2

1

21

21

1

≥≥≥≥≥≥≥≥

≥≥≥≥++++

≤≤≤≤++++−−−−≤≤≤≤

3sxx43

3sxx

4sx

321

221

11

====−−−−++++

====++++++++−−−−====++++

Ejemplo 3


– Al construir parcialmente el tablero se llega a:

y se observa que no se puede identificar la identidad deorden 3 en la zona de las restricciones, por tanto, eltablero no está en forma canónica (multiplicar por -1 laúltima fila conduciría a tener un elemento negativo en elLD).

z x1 x2 s1 s2 s3 LD 1 0 1 0 0 4 -1 1 0 1 0 3 3/4 1 0 0 -1 3

Ejemplo 3


– Resulta claro que si se tuviera la columna faltante de laidentidad, tendríamos forma canónica y los beneficios quede ella derivan. Ello nos conduce a introducir la técnica dela variable artificial. Si a la restricción de ≥≥≥≥ se le agregauna variable artificial no negativa, denotada por t, se tiene:

y al construir parcialmente el tablero considerando estanueva variable introducida se llega a:

3tsxx43

3sxx

4sx

321

221

11

====++++−−−−++++

====++++++++−−−−====++++

Ejemplo 3


y en él se aprecia la matriz identidad buscada. El objetode agregar esta variable es simplemente coadyuvar aobtener una solución inicial.

Entre las técnicas para eliminar las variables artificialesdestacan el Método de las Dos Fases y el Método dePenalización.

z 1x 2x 1s 2s 3s t LD

1 0 1 0 0 0 4 -1 1 0 1 0 0 3 3/4 1 0 0 -1 1 3

La idea es que esta variable artificial desaparezca del problema.

Ejemplo 3


– Para interpretar geométricamente lo planteado, sepuede imaginar que la región factible del problemaoriginal aumentó en una dimensión. Es decir, la regiónfactible del ejemplo, originalmente bidimensional (en elplano formado por x1 y x2) pasó a ser tridimensional (alespacio formado por x1, x2 y t).

x1

x2

(0,0)

S (0,3)

(4,7)

(4,0)

t

Ejemplo 3


Puntos a tratar

1. Caso general





• Se procede de la siguiente forma:

1 En las restricciones obtenga lado derecho no negativo.Esto siempre se puede conseguir multiplicando por -1 larestricción en cuestión.

2 Realice los siguientes ajustes:

•Agregue una variable de holgura en cada restriccióndel tipo ≤≤≤≤.

•Agregue una variable artificial y una variable deholgura en cada restricción del tipo ≥≥≥≥.

•Agregue una variable artificial en cada restricción deltipo =.

Método de las dos fases


3 Fase I:

• Tome como objetivo la suma de las variables artificiales.Esta función debe ser minimizada.

•Con esta función objetivo no puede haber formacanónica, por lo tanto, reimplántela. Ello se realizafácilmente, sumándole a la fila de la función objetivo, lasfilas donde hay variables artificiales.

• Resuelva el problema mediante el Método Simplex, talcomo se hizo en el caso sencillo antes explicado:

– Si el óptimo del objetivo no llega a 0, entonces el problemaoriginal no tiene solución factible pues no se lograroneliminar las variables artificiales. Detenga el proceso.

– Si el óptimo del objetivo llega a 0, se tiene un puntoextremo inicial, es decir, una solución básica factible inicialpara el problema original. Proceda con la Fase II.



4 Fase II:

• Incorpore la función objetivo original, descartando elobjetivo de la Fase I. Puede descartar también lascolumnas correspondientes a las variables artificiales.

• Reimplante forma canónica.

• Resuelva por el Simplex como se explicó en el casosencillo.



– El vector de recursos es no negativo, por lo que se puedeproceder a agregar las variables de holgura y las variablesartificiales requeridas.

21 x2x- z min −−−−====

0x

0x

0x

1xx

5xx

10x3x21

x

3

2

1

31

32

321

≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥−−−−====++++

≤≤≤≤++++−−−−

s.a.:

Ejemplo 4


– Se llega así al modelo:

s.a.:

– Fase I:

• La función objetivo de esta fase es minimizar la sumade las variables artificiales y viene dada por:

21 xx2z min −−−−−−−−====

1tsxx

5txx

10sx3x21

x

2231

132

1321

====++++−−−−−−−−====++++++++

====++++++++−−−−

21 tt wmin ++++====

Ejemplo 4


•Al pasar los términos al miembro izquierdo se tiene:

y se construye el tablero Simplex para la Fase I:

• Puede apreciarse que el vector de recursos es no negativoy que se tiene la matriz identidad de orden 3, pero sobreella hay elementos no nulos en la fila de la funciónobjetivo. Esto siempre ocurre al usar el Método de las DosFases.

0ttw 21 ====−−−−−−−−

w x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 1 -1/2 3 1 0 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1

Ejemplo 4


• Lograr forma canónica es fácil: basta con sumar a la filadel objetivo las filas de las variables artificiales:

y hemos logrado implantar forma canónica en estetablero, lo que permite leer una solución:

y el valor del objetivo que viene dado por w = 6.

• Se procede a pivotear, pues la solución actual no esóptima. Puede aumentarse x1 ó x2, ya que tienen igualescoeficientes en la función objetivo, ambos positivos.

w x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 1 1 0 0 0 -1 0 6 0 1 -1/2 3 1 0 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1

1t y 0s ,5t ,10s ,0xxx 2211321 ============================

Ejemplo 4


• Se escoge pivotear en la columna x1:

• El TRM indica donde pivotear, al hacerlo se llega a:

con lo cual se tiene w=5 en otra solución dada por:

w ⇓⇓⇓⇓ x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD TRM

1 1 1 0 0 0 -1 0 6 0 1 -1/2 3 1 0 0 0 10 10/1=10 0 0 1 1 0 1 0 0 5 NO 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1 ⇐⇐⇐⇐1/1=1

w x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 0 1 1 0 0 0 -1 5 0 0 -1/2 4 1 0 1 -1 9 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1

0ts y 5t ,9s ,0xx ,1x 2211321 ============================

Ejemplo 4


•Como esta solución no es óptima, se procede a pivotear enx2 ó x3, ya que tienen iguales coeficientes, ambos positivos.Se escoge arbitrariamente x2:

• Se pivotea en la posición sombreada y se llega a:

w x1 ⇓⇓⇓⇓ x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD TRM

1 0 1 1 0 0 0 -1 5 0 0 -1/2 4 1 0 1 -1 9 NO 0 0 1 1 0 1 0 0 5 ⇐⇐⇐⇐5/1=5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1 NO

w x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 9/2 1 1/2 1 -1 23/2 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1

Ejemplo 4


– Con ello se tiene una nueva solución, la cual esóptima para la Fase I:

y el valor óptimo del objetivo es w* = 0. Dado quese logró llevar la función objetivo a 0 se logrardeshacer de las variables artificiales y se disponeasí de una solución inicial de arranque para laFase II.

0tst y223s ,0x ,5x ,1x 2211321 ============================

Ejemplo 4


• Fase II:

– La función objetivo original viene dada por:

y pasar todos sus términos al lado izquierdo se tiene:

– Al descartar las columnas de las variables artificiales delúltimo tablero e incorporarle esta nueva función objetivo,se tiene el tablero inicial para la Fase II:

el vector de recursos es no negativo, se conserva laidentidad pero sobre ella no hay ceros en el objetivo.

0xx2z 21 ====++++++++

21 xx2z min −−−−−−−−====

z x1 x2 x3 s1 s2 LD 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 9/2 1 1 23/2 0 0 1 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 -1 1

Ejemplo 4


– Reimplantar forma canónica es fácil: basta con sumarle a lafila del objetivo -1 vez la segunda fila y -2 veces la tercera.Al hacerlo:

con lo cual se tiene forma canónica, lo que permite leer unasolución básica factible inicial para esta fase:

y el valor de la función objetivo dado por z = -7.

z x1 x2 x3 s1 s2 LD 1 0 0 1 0 2 -7 0 0 0 9/2 1 1 23/2 0 0 1 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 -1 1

0s y 223s ,0x ,5x ,1x 21321 ====================

Ejemplo 4


– Se procede entonces a localizar la posición pivotal y aiterar, pues la solución actual no es óptima:

– El TRM indica que se debe pivotear en la posiciónsombreada y al hacerlo se llega a:

z x1 x2 x3 s1 ⇓⇓⇓⇓s2 LD TRM

1 0 0 1 0 2 -7 0 0 0 9/2 1 1 23/2 ⇐⇐⇐⇐(23/2)/1=11,5 0 0 1 1 0 0 5 NO 0 1 0 -1 0 -1 1 NO

z x1 x2 x3 s1 s2 LD 1 0 0 -8 -2 0 -30 0 0 0 9/2 1 1 23/2 0 0 1 1 0 0 5 0 1 0 7/2 1 0 25/2

Ejemplo 4


– con lo cual se tiene un nuevo punto extremo, es decir,una nueva solución básica factible, la cual resulta seróptima para la Fase II, y por ende, óptima para elproblema tratado:

y el valor óptimo de la función objetivo es z* = 30 (elproblema original era de maximización).

223s y0sx ,5x ,225x 21321 ====================

Ejemplo 4


– Sugerimos reflexionar sobre las siguientes preguntas:

¿Hay garantía de que siempre hay una solución inicial de arranque (punto

extremo inicial o solución básica factible inicial) para la Fase I?

Si existe una solución factible para el

problema original, ¿el valor óptimo del objetivo en la Fase I debe ser nulo?

¿Toda solución óptima en la Fase I sirve como solución inicial de arranque de la

Fase II?

Ejemplo 4


Puntos a tratar

1. Caso general





– El Método de las Dos Fases permite, en caso de que laregión factible del espacio de opciones no sea vacía,obtener una solución inicial al problema original

– En ello no se toma en cuenta la función objetivo original,en consecuencia, el punto de arranque obtenido en laFase I puede estar muy alejado de la solución óptima delproblema original

– Una alternativa para encontrar una solución inicial dearranque, que toma en cuenta la función objetivooriginal, es el Método de Penalización o Método de laGran M (Big M Method)

Método de penalización


– Contemplar la función objetivo original mientras seeliminan las variables artificiales, permite que nosacerquemos a la solución óptima mientras buscamos lasolución inicial de arranque. Esta es la idea subyacenteen el Método de Penalización.

– Este método consiste en agregar al problema lasvariables artificiales necesarias, afectándolas en lafunción objetivo original por un factor adecuado.

– Este factor se selecciona de manera tal, que se penalicela permanencia en el objetivo de las variables artificiales,es decir, que su presencia se haga indeseable en labúsqueda del valor óptimo de la función objetivo.

– Con ello se puede lograr que las variables artificialesalcancen el nivel 0 lo antes posible, al mismo tiempo quese mejora el valor del objetivo.



s. a.:

– Al ajustar las restricciones se llega al modelo:

0x,x,x

1xx

5xx

10x3x21

x

321

31

32

321

≥≥≥≥≥≥≥≥−−−−====++++

≤≤≤≤++++−−−−

31 xx2z min ++++−−−−====

1tsxx

5txx

10sx3x21

x

2231

132

1321

====++++−−−−−−−−====++++++++

====++++++++−−−−

Ejemplo 5


– La función objetivo original se transforma en:

donde M es un valor no negativo, lo suficientementegrande en relación a los demás coeficientes de costo,como para hacer atractivo el hecho de hacer llegar lasvariables artificiales a 0, para mejorar el valor de la funciónobjetivo.

– El valor M puede ser interpretado como una multa openalización que se paga por mantener alguna de lasvariables artificiales con un valor no nulo, por lo tanto, elMétodo Simplex tratará de hacerlas llegar a 0 en su avancehacia una solución óptima.

2131 MtMtxx2z min ++++++++++++−−−−====

Ejemplo 5


– El tablero correspondiente sería:

– Se tiene LD no negativo y la matriz identidad de orden 3,pero sobre ella no hay ceros en la función objetivo, luegohay que reimplantar forma canónica. Ello se logra sumandoa la función objetivo M veces cada fila correspondiente alas restricciones donde se añadió una variable artificial.

z x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 2 0 -1 0 -M 0 -M 0 0 1 -1/2 3 1 0 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1

Ejemplo 5


– Se llega a:

donde se lee una solución básica factible

y el valor de la función objetivo dado por z = 6M.

– Este tablero no es óptimo, puesto que hay valorespositivos en la fila de la función objetivo, siendo el mayorel correspondiente a x1.

z x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 M+2 M -1 0 0 -M 0 6M 0 1 -1/2 3 1 0 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1

1t y0s ,5t ,10s ,0xxx 2211321 ============================

Ejemplo 5


– Con el TRM se determina la posición pivote:

– Al hacer el pivoteo se llega a:

se tiene z = 5M - 2 en la solución básica factible:

z ⇓⇓⇓⇓x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD TRM

1 M+2 M -1 0 0 -M 0 6M 0 1 -1/2 3 1 0 0 0 10 10/1=10 0 0 1 1 0 1 0 0 5 NO 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1 ⇐⇐⇐⇐1/1=1

z x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 0 M M+1 0 0 2 -M-2 5M-2 0 0 -1/2 4 1 0 1 -1 9 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1

0ts y5t ,9s ,0xx ,1x 2211321 ============================

Ejemplo 5


– El mayor valor positivo en la función objetivo correspondea la columna de x3, por lo tanto esa es la columna delpivote. El TRM completa la determinación de la posiciónpivotal:

z x1 x2 ⇓⇓⇓⇓ x3 s1 t1 s2 t2 LD TRM

1 0 M M+1 0 0 2 -M-2 5M-2 0 0 -1/2 4 1 0 1 -1 9 ⇐⇐⇐⇐9/4=2,25 0 0 1 1 0 1 0 0 5 5/1=5 0 1 0 -1 0 0 -1 1 1 NO

Ejemplo 5


– Se procede a pivotear y se llega a:

y se lee una solución básica factible:

y el valor de la función objetivo es z = (11M - 17) / 4, el cual es mejor que el anteriormente obtenido.

z x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 0 (9M+1)/8 0 (-M-1)/4 0 (-M+7)/4 (-3M-7)/4 (11M-17)/4 0 0 -1/8 1 1/4 0 1/4 -1/4 9/4 0 0 9/8 0 -1/4 1 -1/4 1/4 11/4 0 1 -1/8 0 1/4 0 -3/4 3/4 13/4

0ts y411t ,0s ,49x ,0x ,413x 2211321 ============================

Ejemplo 5


• La posición pivotal es:

z x1 ⇓⇓⇓⇓ x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD TRM

1 0 (9M+1)/8 0 (-M-1)/4 0 (-M+7)/4 (-3M-7)/4 (11M-17)/4 0 0 -1/8 1 1/4 0 1/4 -1/4 9/4 NO 0 0 9/8 0 -1/4 1 -1/4 1/4 11/4 ⇐⇐⇐⇐ 0 1 -1/8 0 1/4 0 -3/4 3/4 13/4 NO

Ejemplo 5


– Al pivotear se llega a:

con lo cual se lee del tablero otra solución básica factible:

y el valor de la función objetivo z = -41/9, el cual es mejorque el anterior.

z x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 0 0 0 -2/9 -M-1/9 16/9 -M-16/9 -41/9 0 0 0 1 2/9 1/9 2/9 -2/9 23/9 0 0 1 0 -2/9 8/9 -2/9 2/9 22/9 0 1 0 0 2/9 1/9 -7/9 7/9 32/9

0tsts y923x ,922x ,932x 2211321 ============================

Ejemplo 5


– El mayor valor positivo de la fila de la función objetivocorresponde a s2 y el TRM indica la fila del pivote:

z x1 x2 x3 s1 t1 ⇓⇓⇓⇓ s2 t2 LD TRM

1 0 0 0 -2/9 -M-1/9 16/9 -M-16/9 -41/9 0 0 0 1 2/9 1/9 2/9 -2/9 23/9 ⇐⇐⇐⇐ 0 0 1 0 -2/9 8/9 -2/9 2/9 22/9 NO 0 1 0 0 2/9 1/9 -7/9 7/9 32/9 NO

Ejemplo 5


– Al pivotear en la posición sombreada se llega al tablero:

el cual es óptimo. Se tiene entonces que la soluciónóptima es:

y el valor óptimo de la función objetivo z* = - 25. Nóteseque las variables artificiales llegaron a nivel 0.

0t y223s ,0tsx ,5x ,225x 2211321 ============================

z x1 x2 x3 s1 t1 s2 t2 LD 1 0 0 -8 -2 -M-1 0 -M -25 0 0 0 9/2 1 1/2 1 -1 23/2 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 7/2 1 1/2 0 0 25/2

Ejemplo 5


• Al aplicar el Método de Penalización puede ocurriralguna de las siguientes situaciones:

– Se obtiene una solución óptima finita del problemapenalizado. Ello conduce a dos subcasos:

•Si las variables artificiales llegan a nivel 0,entonces la solución óptima obtenida delproblema penalizado es la solución óptima delproblema original.

•Si las variables artificiales no llegan a nivel 0,entonces el problema original no tiene soluciónfactible.



– Se obtiene una solución ilimitada del problemapenalizado. Ello también conduce a dos subcasos:

•Si las variables artificiales llegan a nivel 0,entonces el problema original tiene soluciónilimitada.

•Si las variables artificiales no llegan a nivel 0,entonces el problema original no tiene soluciónfactible.



En el Método de Penalización, si las variables artificiales no llegan a nivel 0, el

problema original no tiene solución factible.

En el Método de Penalización, si las variables artificiales llegan a nivel 0 y se

tiene solución ilimitada, el problema original tiene solución ilimitada.



• Para aplicar el Método de Penalización se procede de lasiguiente forma:

1 Obtenga LD no negativo para cada restricción. Estosiempre se puede conseguir multiplicando por -1 larestricción en cuestión.

2 Realice los siguientes ajustes:

•Agregue una variable de holgura en cada restriccióndel tipo ≤≤≤≤.

•Agregue una variable artificial y reste una variable deholgura en cada restricción del tipo ≥≥≥≥.

•Agregue una variable artificial en cada restricción deltipo =.



3 Si el problema es de maximización llévelo a uno deminimización. Tome la función objetivo a minimizar yagréguele M veces cada variable artificial. Con estafunción objetivo no puede haber forma canónica, por lotanto, reimplántela. Ello se realiza fácilmente, sumándole ala fila de la función objetivo, M veces cada fila donde hayvariables artificiales.

4 Resuelva el problema mediante el Método Simplex, talcomo se ha venido haciendo hasta ahora:

• Si las variables artificiales llegan a 0, la soluciónobtenida en el problema penalizado es la soluciónóptima del problema original, sea ésta finita o ilimitada.Detenga el proceso.

• Si las variables artificiales no llegan a nivel 0, elproblema original no tiene solución factible. Detenga elproceso.



Pensamiento de hoy

“Las simplificaciones excesivas,progresivamente corregidas enel adelanto subsiguiente,representan el recurso máspoderoso, si no es el único,hacia el dominio conceptual dela naturaleza”.

Ludwig Von Bertalanffy

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