02-El_Diseño_Geométrico_con_ordenador

8/3/2019 02-El_Diseo_Geomtrico_con_ordenador

1/151

1


2/151

2

EL DISEO GEOMETRICO CO ORDEADOR .

Durante todo el tiempo , hasta este momento , el denominado Dibujo ha sido un medio pararepresentar lo visto y expresarlo bajo un propio punto de vista . Esta representacin se haca sobreuna superficie ( papel , lienzo , madera , paredes techos ..etc ) bidimensional tridimensional ,

pero siempre en superficies planas curvadas . Siempre de manera superficial , aunque la formade esta superficie completara su aparente tridmensionalidad , como en los bisontes de Altamira .Lo visto tena claramente una componente 3D , en la gran mayora de los casos . Se trataba portanto de representar lo 3D en 2D . Lo visto llevaba incluida una posicin de vista , es decir unaposicin del observador respecto a lo observado y muchas veces se trataba de aparentar lo visto( no siempre , puesto que se poda interpretar lo visto desde dos mas posiciones , incluso opuestasy por tanto alejadas de la realidad tocable palpable ) .

Otras veces se trataba de representar expresar ideas afectadas no de tridimensionablidad .Se haca sobre el mismo soporte . Pero el nico que tena las ideas era el autor . Los demssimplemente vean lo representado expresado . Cada uno interpretaba de distinta manera locomunicado .

En otros casos , se comunicaban procesos de generacin de objetos reales y se indicaba la manerade producirlos y crearlos , de manera objetiva y exacta .

Todo ello se haca con el dibujo en 2D . Se entenda por tanto una valoracin de adecuacin a lointentado resuelto . El parecido a veces era necesario y otras veces incluso se eluda .

De cualquier manera , para dibujar objetos y otras cosas , se han utlilizado las LIEAS . Rectascurvas , geomtricas ortopdicas , libres y con mayor menor fortuna y distintas herramientas .La precisin de estas lneas y su trazado ortopdico a mano alzada , se consideraban necesarias entodo dibujo . Se distinguan dos maneras de dibujar , LIEAL y ortopdica LIBRE manoalzada .

El comps , elipsografo ,el cartabn , la escuadra , el paraleln tecnigrafo , han llenado gran partedel trabajo del dibujo . El LAPIZ , carboncillo , pluma , tiralneas , graphos , rotring .. etc ,tambin .

Estas herramientas han necesitado un aprendizaje , una habituacin , un control y adecuacin yuna especializacin , incluida en el uso y aprendimiento .

Los trminos Dibujo y Diseo , se ha visto mezclados , aunque aparentemente sus diferencias sonclaras en nuestro idioma . o as en otros , que se entremezclan .

Aparecida la herramienta informtica y su medio , creo que se aclaran bastante estos conceptos ,yaque al no aparecer ni lpiz , ni papel , ni escuadras , reglas cartabones , ni medidas metros demedir , la cosa parece ir ms a su realidad de diseo . El dibujar con ordenador , es simplemente

automatizar comoda y rapidamente ese dibujo para muchos . Para los delineantes sobre todo . Eldisear con ordenador , parece alejarse de ese dibujo para otros .

Est queda ms claro y exacto si consideramos un termino necesario para las lneas del dibujo , susplanos soporte y sus operaciones tradicionales ( traslados , copias , giros , matrices , alargamientosetc y proyeccin y seccin ) . Esto es lo GEOMTRICO , que cabe tanto en el dibujo como enel diseo .

La Geometra ( en general ) esta en el dibujo , en el diseo , en lo visto , en lo representado , en loexpresado , en el comps , en el cartabn y en la escuadra . Tambin en el lpiz , en el tiralneas, enla tinta y en las tramas y letras . ESTA ICLUSO E EL ORDEADOR Y EL PROGRAMAUTILIUZADO . Es decir no se podra entender completamente las estructuras de todas estaspartes ( incluido al usuario , manual y al profesor ) sin la GEOMETRA ( completa ) del fenmeno medio informtico , la espacio-forma 3D y los objetivos .


3/151

3

Por tanto , nuestro trabajo va a dedicarse preferentemente a la Geometra , sin la cual estecomplejo aparato estara condenado a complicarse , ms de lo debido , creando enemigos donde nodebe haberlos , malas interpretaciones y hasta rencores intereses .

Empezaremos por lo tanto con LOS PUTOS , LAS LIEAS ( rectas , curvas , planas alabeadas ,

es decir 2D 3D ) , estas lneas y puntos , formarn las SUPERFICIES y estas se cerrarn enPOLISUPERFICIES cerradas SOLIDOS . Despus pasaremos a MALLAS TRIAGULADAS yDEFORMACIOES TRASFORMACIOES , hasta llegar al hecho a representar . expresar comunicar .

Lo haremos dibujando en pantalla ( 2D 3D ) con la herramienta informtica ( ordenador ) deforma similar a la del papel 2D , pero afectados por la posibilidad de verlos en 3D, manejarlosvirtualmente en 3D y cambiarlos de posicin , para su completo entendimiento . Hasta llegar alresultado comporobadosdeseado .

El medio informtico y programas , permiten extender su anlisis con muchas mayoresposibilidades que las herramientas tradicionales . Tambin permiten indagar en propiedades hastaahora no experimentadas ni conocidas y guardarla en bibliotecas de un tamao prcticamente

ilimitado , seguro y rpido . De esta manera , cada curso ser una nueva reentrada y ampliacin deltema , con lo que sern vivos y continuamente renovables .

El lector podr ir comprobando , como la base geomtrica clsica , aparece desde el principio , esaumentada y discutida y aporta nuevos temas en cada momento .

Los elementos bsicos de posicin de puntos de control , para generacin de lneas . superficies ypolisuperficies mallas , del objeto hecho en cuestin O ESOBJETO DE ESTAPUBLICACI Y SI SU TRATO MAEJO GEOMTRICO .

Las bases de proyectos , posiciones de partida , situaciones a resolver por la idea , se suponen comocondicionantes del desarrollo de la idea . Se supone que este trabajo no pretende fijar estas bases ,sino una vez establecidas estas ( esquemas de objetos , estructuras de estos y su establecimiento

geomtrico de partida) , determinar las geometras de generacin formal que resuelvanaceptablemente estos presupuestos y sus deformaciones y transformaciones coherentesgeomtricamente hablando .

En los ejemplos empleados , podemos partir de supuestos , que no son nuestro objeto , paraapoyarse en estos .

El enfoque informtico conlleva siempre la base tradicional geomtrica supuesta en poder delalumno , con su formacin mnima .

Madrid Julio 2007

Manuel Hidalgo Herrera

Doctor Arquitecto y Profesor Titular de Universidad .UPM


4/151

4

Esquema del proceso expuesto :

Como en el prologo se ha indicado , el motivo principal de este trabajo o es el que hacer . o seintenta entra en el campo del proyecto en sus ideas bases de principio . o es un curso de proyectosni tan siquiera de metodologas ( aunque pudiera parecerlo a algunos ) . Ms bien es un comohacer racional y basado en las geometras del hecho a hacer , investigar crear . Por tanto se

establece un mtodo geomtrico de hacer en base a unos supuestos que no son de aqu , sinociertamente unos presupuestos . Es por tanto aplicable a cualquier hecho , cosa objeto espacioformal .

Los puntos principales y bases son las que se exponen a continuacin : Con un claro ejemplo .

00- Supuestamente el que hacer y para concretar en un hecho conocido , se supone ( porejemplo ) que es una silla silln . Las funciones que este mueble , deba cumplir satisfacer , su sitio y momento , son condiciones que requerirn , una informacin , unascondiciones de uso , un proceso de ejecucin y construccin , un aspecto visual y de uso ,contactos fsicos , valor econmico , coste ejecucin , etc .Estos condicionantes del hecho , analizados y sintetizados , conducirn cristalizarn en unasGeometras ( no en unas formas concretas ) , que se traducirn en unas posibilidades

geomtricas ( familias ) . Existirn unos elementos ( puntos, lneas , superficies ... ) quesern el punto de arranque de ajustes y variaciones y estructuras comunes .

Aqu comienza el como hacer expuesto .

En el ejemplo : La silla silln , se supone para estar sentados , trabajando , viendo la TV ,leyendo , dormir a siesta ,.... En casa , en un sitio de trabajo ,.... Durante un cierto cambiabletiempo , ... para una nica persona variada ,... Para un jefe , empleado ... altaspersonalidades ... Para nios , nias , jvenes , ancianos , adultos ... Completamente normales ysanos , para enfermos , rehabilitacin .. simplemente descanso etc.. .

Sabiendo el que hacer ( definido , sintetizado y geometrizdo en lneas , focos de actuacin ,permanencias y movilidades ... etc ) se traducir cristalizarn en elementos geomtricos

puntuales de focos , paso , composicin , posturas fisiolgicas anatmicas , de acuerdo ycomponentes , jerarquizadas para cada caso .En el caso de silla sillon , la postura del cuerpo , su relajacin posicin esttica dinmicaetc ( la posicin de la columna . los brazos , la cabeza , las corvas , los pies etc ) al final sonconcreciones formales cristalizables en elementos geomtricos ( planos rectos alabeados ) .Los apoyos de zonas del cuerpo por su anatoma y antropomorfismo , requerirn tambin , sussuperficies sistemas de generacin de acuerdos .

Dado que este elemento que hacer , estar en algn sitio , tambin contar en este proceso , lageometra afectiva de este y su coherentizacin . Una silla para una iglesia , no es igual que paraun estadio de futbol , un comedor saln . Recibir una cantidad de luz y calor , se asociar noa otros muebles elementos . Todo esto tiene tambin su base y estructura geomtrica .

Su proceso de construccin, coste y puesta en venta , igualmente transcender en formaselementales geomtricas y de procesos , que las representen en lneas , focos de atraccin Repulsin , relaciones etc .

As podramos seguir con ests fase previa del que hacer , para empezar . o entra dentro denuestro intento . UA VEZ CRISTALIZADO TODO ESTE COUTO DEELEMETOS GEOMTRICOS , AISLADOS GEERALMETE , DEBEEMPEZARSE CO EL COMO HACER su estructura formal .

01- Estas geometras variadas , deben coherentizarse y consensuarse . En este proceso esdonde comienza nuestro intento .Pensamos que cualquier hecho u objeto , tiene un reflejo en algn sitio ( mundo de lasIdeas )filosfico , potico y realizable . Su total geometra estar en estado de

quilibrio y pureza , reflejo del potico verdadero , anteriormente citado .Las partes que la integran , podemos conocerlas por la geometra que conocemos ( sin


5/151

5

ecesidad de dibujarlas ) y que podemos somos capaces de conocerlas en su verdaderaRealidad . Sus variabilidades en sus equilibrios , estn en familias y podemos trabajar

Con ellas en su estado ms simple ( puntos , lneas , superficies , slidos ) que formanParte de la totalidad , pero en un uno . Debemos por tanto conocer estas familias y suLigazn RELACIO con el todo .

El juego por tanto del tanteo , la deformacin en acuerdo , las transformaciones , DEBE DEUTILIZARSE , SABIEDO EL COMO Y CUADO .

02 Establecido este estado ( no como forma concretada ) sino como forma geomtrica estabilizada y realizable trididimensionalmente ( necesario para su materializacin ) ,pasaremos a su determinacin formal definitiva , que admitir ciertas variaciones que sernposibles geomtricamente hablando , siempre y cuando maticemos su estado ( lneas vivas ,superficies , slidos mallas , que admitan los puntos de control , edicin interpolacin .

03 El hecho comienza a tomar cuerpo , la silla a ser silla . El autor creador sigueaportando ( ahora ya nos solo conocimientos razonables cientficos ) , pero en estosmomentos , ya son sintetizados personalmente dentro de ciertas reglas de modas estilos y eldiseo se vuelve etereamente real .

04-Cuando el hecho est cuajando y cristalizando , los procesos geomtrico generadores tomanms cuerpo , para su realizacin COMO OBJETO MATERIAL . o por ello sin lasgeometras propias del material y su procesacin . Tambin las texturas de contacto visualesy aspectos de acabados . Reposiciones arreglos y roturas y mantenimientos en general .Todos estos temas con sus propias geometras que deben integrarse en lo general y nico .

El COMO HACER , debe acoplarse al que hacer . Pero evidentemente son diferentes y unoconsecuencia posterior al otro .Esta lmina representa un poco ese esquema geomtrico citado .

Parte de este proceso esta representado en la lmina , posteriormente el resultado final .

aturalmente se han obviado gran cantidad de pasos intermedios , que haran excesivamentelarga , su exposicin detalla .


6/151

6

El lector debe ejercitarse y practicar primero con objetos que hacer simples , para irloscomplejizndo despus .

Objeto final terminado .


7/151

7

PROGRAMA Y DESARROLLO DEL TRABAJO .

01-Presentacin De elementos geomtricos bsicos . Punto , Recta-Segmento , Poli lnea , Lneas

curvas 2D y 3D . Relaciones y valoraciones , en jerarquas .02- Puntos de control , de Edicin e interpolacin . Puntos cualesquiera . Manejo de cada

familia de estos . Eleccin por jerarquias ( entre otras las geomtricas ) .

03-Transformaciones y movimientos y familias de estos elementos por transformacin de suspuntos de control , edicin interpolacin . Movimientos : Giros , traslados , copias ,matrificaciones 2D, 3D , a lo largo de curvas superficies . Transformaciones de retorcido ,estirados ( escalados 1D-2D-3D ) , curvados , suavizados , etc .

04-Asociaciones de elementos . Superficies , Poli superficies , Slidos ( poli superficiescerradas ) Mallas , generaciones y propiedades . Elementos : normal , tangentes , planostangentes .Interacciones y juegos luz - sombra .

05- Poliedros de caras planas . Prismas , pirmides . Poliedros regulares . Poliedros vacios ,aristados Vacuus .

06- Superficies cudricas . El mundo curvado clsico . Lneas curticas .

07- Isoparametricas , redes alambricas en superficies . Triangulaciones en mallas .Aplicaciones y ejemplos .

08- Redes espaciales y modulos de relleno de espacio 3D .

09- Superficies complejas no regulares . URBS . Manejo y aplicaciones .Superficies libres , terrenos y topografas . Operaciones con terrenos .

10- Hlices y espirales , tipos y generacin . Aplicaciones y elementos .

11- Helicoides . Conoides y cilindroides .

12- Aplicaciones del peso de puntos : transformaciones formales .

13- Movimientos y animaciones 4D . Geometras del crecimiento .


8/151

8

El Punto .

La figura ms sencilla de toda la Geometra , es el PUNTO . Podamos considerarla como la figuraADIMENSIONAL de dimensin nula ( 0 ) . Puede expresar principio fin , extremos , posicinorigen y final , situacin .. etc . Forma parte de todas las otras figuras y formas y sobre cada una de ellasposee unas propiedades y elementos geomtricos , para su trabajo y aplicaciones operativas .

Su historia es corta , pero su tiempo y manera puede suponerse en todos .

No nos extenderemos en principio ya que ir apareciendo en todo a lo largo de este trabajo . Ser difcilno citarlo , incluirlo asociarlo , en cada parte del todo y si el no sera posible el intento quepretendemos .

La Lnea

Dos puntos definen , como final y principio , origen y trmino , una figura mono dimensional ( 1D ) , querecibe el nombre geomtrico de SEGMENTO de recta . El nombre recta ( lnea recta ) Se asigna a sudoble extensin ( elemento completo ) . El orden de principio a fin del segmento , o su inverso , nosmarcan el SENTIDO de recorrido por puntos mviles ( sobre ese espacio mono dimensional ) siendouno contrario al otro y marcando a veces un signo convencionalizado . La recta lnea completa , incluyeuna parte interior coincidente con el segmento y otras dos indefinidas , fuera de este , en un sentido enel otro .

No existen rectas en la naturaleza . Los segmentos , solo lo son aproximadamente . Una arista de uncristal , se aproxima a un segmento , pero no lo es . La luz misma es curvada y solo pequeos trozosde su trayectoria , aparentan ser rectos .

Cuando se consideran un segmento inmerso en otra figura forma , se le adosan ciertas propiedades queno son intrnsecamente de el . Tiene una posicin , forma ngulos , puede tener medidas en referencia aotros u otras .

Un punto interior a los dos extremos , hace nacer la PROPORCION . Cuando esta es 1 ,el punto se llamaMEDIO . Veremos en su momento la importancia de esta proporcin . TRES elementos por tanto .Podemos por tanto definir ya otra serie de puntos de ese segmento . Tambin en su momento veremoseste importante tema .

Esta recta , aparece explicitada como RAYO , en algunas geometras . Esta denominacin , junto a la deDIRECCIN , implica un movimiento a veces , otras objetivo fin y veces indicacin de intenciones ,cada lector entender , en su caso su interpretacin sobre una misma figura .

Otro concepto interesante son los denominados PUTOS de COTROL EDICI , de estaslneas segmentadas .

Puntos de control de lneas ( segmentos ) :

En el caso del segmento de recta , dos son los PUNTOS de CONTROL significativos . son sus dosextremos ypor ellos queda definido . Si transformamos uno de ellos , permaneciendo el otro fijo , larecta pasa a otra posicin , girando , alargndose encogindose , en su extremo no fijo . Lasfamilias de segmentos ( rectas ) transformadas , lo sern UNICAMENTE COMO RECTAS .

Tendremos Haces de rectas ( 2D ) , radiacin de rectas ( 3D ) , con un mismo vrtice CETRO vrtice del haz radiacin . Su riqueza de transformacin es mnima . El mnimo de dos puntos decontrol es por tanto pobre en transformacin y familiaridad .Todo ello se acrecenta , si la transformacin es ms compleja que el giro la matriz polar yalargamiento ( simples ) . Si la matrificacin es bi dimensional tri dimensional , el segmentoenriquece sus posibilidades . De cualquier manera es elementalmente pobre .

Durante miles de aos ,hemos utilizado una herramienta , para el trazado diseo sobre el papel , la regla

y el lpiz . Una aceptable respuesta ante la recta segmento era la aplicacin de estas dosherramientas . Otras veces el buen pulso y dibujo , permita el trazado aproximado de una aparenterecta y todos tan contentos . Un conjunto de rectas ( segmentos ) formaba la QUEBRADA y despus el


9/151

9

POLGONO ( cerrado abierto , regular irregular , convexo cncavo .. ) . Esto nos llenaba y dabalugar a ciencias simples . Cuando queramos indicar que las rectas , formaban parte de otra figura mscompleta , bastaba citar la palabra conjunto , pero seguan siendo independientes , salvo en que unainclua el comienzo de la siguiente . Aparece un concepto ms complejo polilnea conjunto delneas de un todo multi -lineal . Sus puntos de control , adems de primero y ltimo , coinciden conlos puntos de quiebro transicin .

Mas tarde es posible incluir MAS puntos de control , intermedios , a voluntad , pero siempre estnalineados con sus correspondientes extremos , naturalmente . Estos PUEDE TAMBIERELIMIARSE , PERO UCA LOS DOS IICAL Y FIAL DE CADA TRAMO , YA QUE LARECTA DESAPARECE .

El tema crece , pero crece LINEALMENTE , solamente transformaciones ms complejas suministrancrecimientos mas ricos .

De origen por tanto , DOS puntos de control , hacen nacer una recta ( segmento ) y al desapareceruno de ellos , la recta desaparece con el . DOS son pocos , necesitamos pues un TERCERO .

El tercer punto de control :

El tercer punto de control ( NO alineado ) , cambia las posibilidades y las multiplica , posiblementeformando el TODO GEOMTRICO .Este tercer punto de control , crea la CURVA y esta curva es un trozo de PARBOLA .La demostracin de esta afirmacin , la dejamos por obvia a la geometra . Una curva definida por trespuntos O alineados , es un tramo de parbola , de manera que el primero con el segundo , formauna necesidad de tangente de la curva en el primero u origen . El ltimo con el intermedio ,exactamente igual . Quiere decir esto , que el triangulo definido por los tres puntos de control ,fuerza a la curva a ser tangente en origen y fin y pasar por el punto medio de la medianacorrespondiente al vrtice intermedio .

Nos hemos salido del orden inicial impuesto . Hemos introducido el triangulo y la mediana ,saltndonos su establecimiento :

El triangulo : conjunto forma primaria de tres puntos no alineados : Definen la bidi-mensionalidad de la quebrada cerrada . Consensa la mono y bidimensionalidad de las rectas yplurirrectas . Implica rea o superficie cerrada y sentido de giro , dextrgiro levgiro .

La mediana : recta segmento que une el vrtice del triangulo , con el punto medio del lado opuestodel triangulo .

Vemos que el tema se enriquece profundamente .El diseo con lneas y curvas .

La lnea ha sido utilizada desde antiguo para el diseo de formas . Primero el segmento de lnea , esdecir un trozo de lnea determinado por sus dos puntos extremos , principio y fin . Estos dos puntos


10/151

10

singulares encubran un doble sentido , segn fuera tomando uno u otro de principio y otro uno de finalmarcando un sentido ( + - ) .Estos DOS puntos de control , generan tambin la lnea porpuntos decontrol . Dos nicos puntos de control , definen siempre una lnea segmento de lnea .

Si movemos ( alteramos ) uno de estos dos puntos de control , la recta gira se mueve , respecto al fijoconsecuentemente . Movimientos por tanto de giro, traslacin escalado , cambian la linea dentro

de una familia ( radiacin haz ), manteniendo el fijo como FOCO vrtice .Si alteramos los dos conjuntamente , la relacin entre ambos se mantiene en distancia .

Podemos por tanto afirmar que una recta , solo se puede transformar en otra recta , familia derectas . Es por tanto una figura de escasas posibilidades de diseo . o obstante las herramientasfundamentales ( regla y comps ) la mano alzada imperfecta , se ha servido de ellas enproliferacin de casos , que han hecho aparecer este procedimiento como nico .

El punto , ms pobre todava , era el primer elemento , Los dos puntos contraian al segmento y recta y losTres puntos , no alineados , otras figuras fundamentales asociadas : El triangulo y la curva .

El Triangulo , conlleva al plano superficie de los tres puntos y otros elementos asociados , que

enseguida trataremos . El 2D surge sobre el 1D de la recta , el 0D ( adimensionalidad ) del punto .

La Curva , lnea que se relaciona ( pasa ) con tres puntos O alineados , trae tambin asociadoel 2D . Un cuarto punto ( no coplanario 2D ) , se asocia con la curva alabeada ( 3D ) .

Para definir la curva 2D ( 3D ) , necesitamos inicialmente TRES puntos :

01- De paso ( puntos de interpolacin ) : La curva pasa por estos y se curva de una determinadamanera , que despus trataremos . Existe la polilnea , formada por asociacin de tramos rectos (2) .Esta polilnea pose los mismo puntos de control que las rectas , en sus puntos vrtices inicial y final , encada tramo . Con el lpiz no eran polilneas realmente .

02- Por puntos de control : La curva pasa por el primero e inicio y por el final , pero NO por el medio .

Se adecua de manera que es tangente en el inicio y final y estas tangentes pasan por el intermedio . Porgeometra sabemos que esta curva es un tramo de parbola bitangente en el inicio y final .

Cuando aparecen nuevos puntos ( 4, 5 , 6 , .... ) la curva permanece tangente a los tramos inicial yfinal , adaptndose ( sin pasar por los intermedios ) . En caso de que los puntos O sean


11/151

11

coplanarios , aparecen las curvas alabeadas.

PESO DE LOS PUTOS DE COTROL .

Se puede entender como peso la atraccin repulsin , que la curva tiene hacia su punto decontrol . En su mayor atraccin la curva se convierte en polilnea , que pasa por el punto y es vrtice . Ensu mayor repulsin , la terna de puntos se anula , pasando a ser un segmento recto , saltndose el punto decontrol , aunque este sigue existiendo . Por tanto por tres puntos ( ms ) pasa siempre una polilnea un segmento que salta el intermedio , en los casos extremos . Estas dos lneas forman parte de lafamilia de curvas , por variacin del peso del punto de control intermedio , SIEDO LA

PRICIPAL MADRE , LA PARBOLA ( en el caso de tres puntos ) .

Singulariza esto a esta cnica , verdadera joya bidimensional . Tambien valoriza las otras Cnicas ,

Hiprbola y Elipse Circulo , como en su momento veremos .


12/151

12

Este peso de puntos , que estudiaremos con las transformaciones , puede modificar como veremosfiguras ( 2D 3D ) , que hasta este momento no parecan estar relacionadas entre si ( por ejemplo elcirculo y el cuadrado , ofrecan problemas tan tpicos como la celebre cuadratura del circulo ) . En elespacio se pueden transformar la esfera en los poliedros ( incluso el Cubo y Tetraedro ) y en formas yfiguras conocidas , como cilindros cudricas .

Este apartado ser ampliamente tratado en su momento .En nuestro trabajo , despus del segmento , veremos a la parbola , que establecer un punto de vistainteresante . Todo ello relacionado con dos figuras bsicas 2D y 3D , EL TRIAGULO Y ELTETRAEDRO . Ambos elementos base en 2D y 3D .

EL TRIAGULO :

Nuestros tradicionales estudios incluan al Triangulo . Bien es verdad , que casi siempre en un sentido mtrico medible de andar por casa . Solo en las Geometras proyectivas , apareca el triangulo enmayor extensin y relacin .

El triangulo tena TRES vrtices , TRES lados , TRES ngulos , TRES medianas , TRES bisectrices ,

TRES alturas , TRES bases , etc . Esta obviedad y simplicidad pudo influir bastante en suintrascendencia . Todo poda triangularse y superficiarse en escamas triangulares carastrianguladas . Todava subsiste esto . El compas , la regla y la escuadra y cartabn ( dos triangulosmaterializados ) , llenaban todo lo llenable , para que ms . Nuestro mundo se mova suficientemente conestos elementos . Nuestro cuerpo pareca tener triangulos . Pero realmente no tiene ninguno , salvotrios de puntos ( ) .

Ciertas relaciones entre estos elementos mtricos , fueron indicando que haba muchas ms cosas .infinitas ms cosas . Las medianas , se cortaban en un punto . Las bisectrices en otro e igualmente lasalturas . Aparecen ciertos puntos sigulares : Incentro , Baricentro , Ortocentro , Circuncentro , .. queadems los relacionan con el circulo exterior , el interior , ambos relacionados con vrtices lados.

Aparecen tambin relaciones entre sus angulos ( suman 180 grados ) , se diferencian sus angulosexteriores e interiores y se clasifican los triangulos rectngulos con los nombres de sus lados catetos ehipotenusas . Surge un maravilloso teorema de Pitgoras :

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos


13/151

13

Comenzamos a ver que en un triangulo estn muchas cosas , yo dira que casi todo . Pero el hermanopobre de la matemticas , permanece varios miles de aos , en estas simplicidades , EL teorema dePitgoras no pasa de ser una cancioncilla y estribillo , para suspender si no se conoce . A lo mximoque se llega es a aplicar sus matemticas . Poco se ha adelantado en este desde los Egipcios Griegos . Ahora en Internet aparecen ciertas investigaciones , pero ms bin como insinuaciones ldicas .Este trabajo , entre otras muchas cosas , pretende ahondar en estos TRIAGULOS 2D y su

correspondiente TETRAEDRO 3D , apoyndose en las nuevas herramientas informticas , queincluyen tambin a las maravillosas y tradicionales , reglas , compases , escuadras y cartabones ,pasando incluso a los lpices y gomas de borrar automatizadas , incorporando visualizaciones ,renderizados ,materiales , luces y colores .

Triangulo 10Si suponemos un triangulo ABC cualquiera , y trazamos la mediana CM y su punto medio Q , sabemospor la geometra clsica que existe una nica Parbola bitangente en A y B interior al triangulo y tieneque pasar por Q . La curva porpuntos de control ACB , es esa parbola . La recta que pasa por N y P( puntos medios de AC y CB ) es por tanto tangente a esta parbola en Q .

Las reas definidaspor este tramo de parbola en el triangulo son una duplo de la otra . Es decir queesta parbola divide en TRES partes el rea del triangulo . S1 y S2 , siendo S1 y 2S1 estas reas .

Si a u vez , trazamos las subdivisiones con las reas S3 , S4 , S5 y S6 , podemos comprobar que estasareas siguen estando en proporciones anlogas .

Igualmente ocurre si repetimos la construccin en el triangulo CNP .

Vemos por consiguiente que esta parbola divide al triangulo en partes proporcionales de rea .Podemos considerarlo por tanto como un sistema de medidas de area y consecuentemente delongitudes y posteriores volmenes , extendiendo la figura por extrusin al espacio 3D .

Como vemos es difcil disociar los tres puntos del triangulo y de las parbolas incluidas en estafigura . Todas ellas se explican y de manera coherente se complementan .


14/151

14

Si procedemos ahora a trazar la misma construccin de la parbola bitangente en los otros vrtices ( 3 )del triangulo y determinamos las consiguientes reas limitadas por estas curvas y los lados del triangulo,podremos observar que estas relaciones de reas subsisten . El triangulo completado es por tantoun sistema de medidas de reas .

Variando en los puntos de control de cada parbola ( el opuesto a los de la base de inicio y final )obtendremos curvas cnicas ( elipses e hiprbolas ) , que ya no tienen estas propiedades . Es por tanto lanica parbola ( por cada vrtice ) la que tiene estas propiedades y otras que veremos ms adelantey por tanto es una curva SIGULAR .

Estas equi-superfialidades , que evidencian afinidades mtricas , tambin se extienden al espacio y

se trasladan del triangulo, al Tetraedro y poliedros regulares . Asocindose tambin a la esferacomo si esta fuera un casi lmite de poliedros ( poliedro regular de infinitos lados ) .

Al encontrar la elipse Bitangente , por el peso del punto de control C , podemos encontrar el puntocentro de la elipse O ( Con la referencia CENTRO activada ) . Por ese punto podemos trazar la


15/151

15

perpendicular a la rama de elipse , que nos da P y el eje OP . Por afinidad al cioculo de centro O y radioOP , podemos encontrar el otro eje y la elipse queda completada .

En el caso de Hiprbola , no da el centro y hay que encontrarlo por homologa , as como sus asintotas yejes , siendo fcil pero mas engorroso .

Como hemos indicado esas dos cnicas , al ser mltiples ( infinitas ) o definen ninguna sproporciones de rea determinadas ni fijas , ya que tambin son variables en cada caso .

Estas propiedades distinguen a la parbola de las otras dos cnicas , dotndola de una singularidadinteresante . Siendo todo esto trasladable ( como veremos en su caso ) al espacio 3D . La figurafundamental en triangulo en 2D , pasa a ser el tetraedro en 3D . Veremos que en este caso lasparbolas se amplan en los PARABOLOIDES HIPRBLICOS , alojados en este Tetraedro 3D .

Parbolas vivas . Familias :Suponiendo nuevamente una parbola de puntos de control ABC , inscrita en un triangulo ABC , sidividimos los lados AC y BC , confluyentes en C en un nmero de partes iguale ( 5 ) , podemosmatrificar polarmente los puntos de CONTROL A y C con centro en O ( 5 elementos en 90 ) y nos dancinco curvas de una familia . Vemos que coinciden en ( foco de familia ) . Igualmente podemos hacercon el lado BC y tendremos otra familia con foco en O1 .

Los puntos M y N ( focos de familias ) estan en la parbola inicial . Por tanto esta parbola principal esten las dos familias y es la curva madre de ambas familias .Estas propiedades de familias de curvas , ocupan posiciones de gran belleza . En este caso simple , yapodemos utilizarlas como curva de diseo .


16/151

16

A continuacin se muestran figuras diseada con estas curvas ( en este caso planas ) , pero eligiendoel plano de matriz polar en otra posicin 3D ( siempre pasando por O O1 , o conteniendo la lneaO-O1 ) tendramos ya figura 3D , que permitiran resolver formas ya 3D superficiales alabeadas .

Todos estos puntos de control edicin e interpolacin , reflejan naturalmente ( al activarlos ) lascorrespondientes transformaciones 2D 3D . Quiere esto decir que las formas sin activar estospuntos , siguen esas transformaciones controladas por la geometra , pero solo se evidencian alACTIVARSE estos especiales puntos .

El proceso , activados estos elementos , son de una gran claridad . El lector solo se iracostumbrando a relacionarlos con el tiempo , dejando de ser necesaria su activacin , paraapreciar estos cambios .

Ejemplos de formas : traducidas de las geometras de lneas anteriores .

Las primeras que aparecen , son una tuberizacin slida variable de espesor , con la familia de curvasdobles y la madre origen , en 3D . Las segundas y posteriores , deformando la plana anterior de curvas en3D , con curvados que las sacan del plano . Por ltimo aparecen hbridas de ambas en tridimensionalidadcompleta . Estn renderizadas con materialidad metlica y luces con sombras .


17/151

17

Obsrvense las impresiones de descanso y equilibrio de estas figuras , que se corresponden con

procesos totalmente dirigidos por los elementos , sus lneas de cristalizacin y las transformacionesafectadas coherentes . Es muy difcil que siguiendo esta manera de actuar , lo anterior no surga se pierda . Por parte del actor , quedan las intenciones , los cambios y adaptaciones , las propuestasy objetivos , etc el que hacer . Por parte del instrumento , el como hacer de manerageomtrico natural y segura . Los resultados son evidentes y no neseitan muchas explicaciones ,aunque s aclaraciones .


18/151

18

Ejemplos curvados en 3D .


19/151

19

MATRICES RECTAGULARES Y POLARES DE LIEAS VIVAS .

Las lneas vivas pueden ser construidas por puntos de control por interpolacin de puntos . En el primercaso la curva no pasa por estos puntos , solo por el final y el principio . Adems permanece tangente alsegmento de recta marcado por el inicio y segundo y final y penltimo , segn ya conocemos .

Podemos establecer matrices con los puntos restantes intermedios y todas las curvas de la familiapermanecern tangentes a estos segmentos .

Las matrices pueden ser de sistema mltiple : Rectangulares Polares . El nmero de elementos yamplitud del ngulo , o de filas y columnas . En el caso de polar , si el centro esta en el mismo plano quelos puntos , la matriz es plana . En caso de no estarlo es en plano inclinado ( SCP plano C de trabajovariable ) , salindose del plano de la lnea madre ( si esta es plana ) . Por tanto las matrices polares ,puede dar lugar a lneas 3D alabeadas .

En el caso de matriz rectangular , se puede escoger que esta sea 2D 3D , con nmero de filas ycolumnas , en las tres direcciones del espacio y con amplitud variable a eleccin .

Vamos a hacer un ejercicio interesante de aplicacin de estas transformaciones :

Supongamos una lnea viva A-B-C-D-E-F y sus puntos de control . Si escogemos los C y D interiores ,sin mover los A-B y EF , cualquier transformacin aplicada , genera una familia de rectas 2D 3D . Ennuestro caso vamos a partir de una matriz rectangular 3D . En la direccin x- solo de un elementos , peroen las y - z de DOS . Las curvas de esta familia ( 4 ) sern tangentes al segmento AB de origen y alEF final y los puntos C-C1-C2-C3 y D-D1-D2-D3 , se dispondrn en el espacio segn un ortoedro .Tenemos pues cuatro curvas vivas de esta familia .

Aunque no hemos introducido el concepto de superficie ni slido , pero ya todos hemos estado encontacto con ellos , a lo largo de nuestra vida ( no hemos nacido hoy ) , parece un trnsito lgico ,comenzar a trabajar con estas formas , aunque algunos puedan nuevamente pensar que es un salto discontinuidad . La herramienta lo permite .

Podemos generar superficies ( y despus slidos ) que contengan estas curvas como generadoras demltiple manera . Presentamos dos :

Por curvas de secines transversales ( cerradas abiertas ) .Por transicin entre la cuatro curvas ( dos a dos conjuntas ) .


20/151

20

En el primer caso ,obtenidas estas curvas de seccin transversales ( de manera automtica en Rhinoceros ), podemos generar una superficie de transito entre ellas ( cerrada abierta ) . En caso de cerradas , podran genera una superficie sin tapas , que al ponrselas se convertira en un slido operablebooleanamente . En el segundo al ser superficies independiente ( regladas ) seran independientes . Paragenera un slido deberemos unirlas .

Estos solidos ( polisuperficies cerradas ) pueden ser operables con uniones, diferencias interseccionescon otros slidos ( primitivas no ) , habindolo efectuado en nuestro caso con cajas ( ortoedros ) .

Los slidos resultantes ( diferentes en este caso ) , pueden seguir operndose boolenamente , pero notransformarse ( doblarse , curvarse , etc ) . Para ello necesitamos transformarlos en mallas (completas por partes . Estas malla ya si pueden transformarse , con el amplio conjunto detransformaciones de Rhinoceros . Estas transformaciones pueden hacerse a la figura completa porpartes , al explotarse descomponerse . Tambien editando sus puntos de control ( como mallas ) ,

pueden ser afectados de estas transformaciones todos parcialmente ( uno solo incluso ) . Lasmallas se transforman consecuentemente ( dentro de la familia creada ) .


21/151

21

Se acompaan varias visualizaciones para que el lector , se acostumbre y entienda partes no

entendidas .

Visualizacin con visin de superficies caras .

Visualizacin con aristas vistas .


22/151

22

Visualizacin semitransparente.


23/151

23

Visualizacion en aristado ( almbrica ) , donde se aprecian la diferencia entre el mallado y solido .El mallado O TIEE ARISTAS , solo caras trianguladas cuadrilteras .

A las formas malladas , se les aplican ahora transformaciones , de RETORCIMIETOS ,

CURVADOS , ALARGAMIETOS ACORTAMIETOS ( escalados 1D 2D 3D ) , en lasdirecciones elegidas convenientes y con parmetros a voluntad .

La forma obtenida , vuelve a ser objetos de transformaciones de matrificacin polar rectangular yse obtienen formas complejas , por procedimientos naturales , que dan objeto a formas tambinreflejada en la naturaleza .

Todas estas formas , tienen relaciones evidentemente de familias y procesos , que a menudo Oparecen ser observables .En nuestro caso hemos llegado a una flor .


24/151

24

Dira alguien que estas formas tienen su origen en un proceso geomtrico


25/151

25

La lnea curva 2D bsica . La parbola .

Podemos pues definir esta figura , como la curva generada por 3 PUNTOS DE CONTROL NOALINEADOS . Es una Parbola y tiene esas singulares propiedades y elementos .

La parbola si parece existir en la naturaleza ( elementos colgantes por ejemplo ) .

La riqueza formal generable con este simple elementos MULTIPLICA INCREBLEMENTE susposibilidades y a ellas vamos a referirnos de inmediato .


26/151

26

Recordemos , que el segmento AB , de recta solo tena dos puntos de control A y C . Al introducir elB , surge la curva ( parbola ) . El triangulo asociado ABC , tiene unos elementos geomtricosclsicos : Centro , incentro , circuncentro , medinas , mediatrices , bisectrices , lados y angulos .Puntos medios de sus lados etc.. De entre estos en el caso de la parbola , destacan unos ms queotros ( a primera vista ) .

Podemos activar sus puntos de control ( A,B,C ) y manejarlos para obtener familias ( tambinparbolas ) , pero todas ellas quedarn ligadas por condiciones de paso , tangencias etc ..

Incluso estas familias pueden salirse del plano 2D y pasar al 3D , en virtud de la transformacinelegida , los puntos elegidos los elementos y parmetros de estas .

El objetivo de estas transformaciones ( que hacer ) lo cristalizar el actor , pero una vez admitido ,el procesos de crar geomtricamente estas familias , lo har automticamente la herramienta y elactor interpretar en el como hacer ( nuevamente el mismo proceso ) . uevamente laherramienta dirigida se transformar en instrumento creador .

o nos cansaremos de volver a este proceso , base del trabajo .

Transformaciones por matrices polares y rectangulares 2D


27/151

27

Estas familias de curvas , son muy utilizables para el diseo de formas . Estas lneas , adems , sonmodificables por transformaciones controladas , dando origen siempre a nuevas familias de curvas conrelacin a la origen madre . En caso de partir de parbolas , siempre sern parbolas ( en el plano 2dnaturalmente , ya que posteriormente veremos que estas transformaciones , pueden convertir a curvas 2Den 3D , no siendo ya naturalmente parbolas , pero si curticas , como veremos .

Determinacin del eje y vrtice de una parbola bitangente a dos rectas .


28/151

28

Triangulo 345:

Un triangulo muy especial , adems de rectngulo , es el de nominado 345 . Dos de sus catetos tienenlongitudes 3 y 4 y la hipotenusa fuerza a ser 5 , por el teorema de Pitgoras .Adems de estas propiedades , pose una gran cantidad de otras , algunas de las cuales enunciamosgrficamente aqu .

01. Su area es 6 . La de su circulo incrito es PI , por tener su radio igual a la unidad . el cuadradocircunscrito a este circulo es de arista 2 y su rea por tanto es 4 . Su permetro es 2PI .

02. Si trazamos la curva por sus puntos de control en los vrtice ( cerrando ABCA ) , su centro es elcentro de gravedad del triangulo y coincide con el baricentro punto de coirte de las medianas .

03. Estas medianas cortan a la tal curva de control en los puntos de edicin , de esta , es decir queestos estn en las medianas . ( 3 puntos ) .

04. Estos puntos determinan una serie de Fibonacci ( cada termino es la suma de los dos anteriores ).05. Es de los pocos ( si no el nico ) de los triangulos que tiene su baricentro a la misma altura que

su circuncentro ( bisectrices ) .06. Esta compuesto por tres tringulos issceles de acuerdo .

Etc....Esto hace que este triangulo rectngulo fuera muy usado por los egipcios , para determinarexactamente un angulo recto de 90 , con una simple cuerda de ms de 12 unidades de longitud

( 3+4+5 = 12 ) .

Triangulo equiltero : Polgono regular de tres lados iguales . Definen 2D .

Este triangulo regular, tiene tres lados iguales , lo que hace que tanto sus medianas , bisectrices y alturascoincidan en un UNICO punto su CENTRO . Sus circulos inscritos y circunscritos , son concntricos ymuchas propiedades se simplifican y multiplican . La mediana altura ( bisectriz) de un lado lo dividenen dos rectngulos iguales . Es el denominado cartabn , marcando un angulo de 30 otro de 60 y el

restante de 90 . Cualquier lector entiende los que este triangulo ha significado para todo , junto alissceles denominado escuadra ( 45+45 + 90 ) .


29/151

29

De estas propiedades , algunas son ya antiguas conocidas . Otras no tanto , pero vamos a cargar enaquellas , casi desconocidas no usuales .

La informtica , los ordenadores y los programas de CAD diseo geomtrico , nos permiten si esfuerzo,relacionar nuevas propiedades y teoremas interesantes y con multitud de futuras aplicaciones .

Si aplicamos una serie de operaciones a un triangulo , que en principio supondremos regular y equiltero ,

podremos con comodidad establecer nuevas propiedades geomtricas relacionadas con laueva geometra que estas herramientas y medios conllevan .

Estas nuevas geometras , aparecen ligadas a las nuevas transformaciones generaciones de lascurvas formas que las van a hacer aparecer .Tetraedro 00 :Cuatro puntos en el espacio 3D , NO COPLANARIOS , A , B , C , D , DEFIE U TETRAEDROIrregular .Aparente salto para inconformistas nuevamente . ueva lgica .Los puntos medios de sus seis aristas M , N , P , Q , R , S , definen un OCTAEDRO asociado altetraedro inicial . Sus dos volmenes quedan relacionados siendo el del octaedro la MITAD deltetraedro . Los cuatro tetraedros de aristas mitades , tienen por tanto sus volmenes en un cuartodel octaedro ( este es cuatro veces ms ) .

Las Lneas alabeadas y 3D . El cuarto punto de control y siguientes .

La introduccin de un cuarto punto ( ms ) de control , introduce riqueza en la curva , la curva pasa aser un a forma viva tanto en 2D , como en 3D . Si es en el espacio 3D , la curva puede seralabeada( el cuarto punto O est en el mismo plano que los tres primeros ) . Estas curvasalabeadas 3D y las planas 2D , se pueden obtener uniendo puntos de control defiguras formas conocidas ( poliedros regulares , semirregulares y otros , polgonos tambin regulares ) . Posteriormente dedicaremos un amplio captulo aestos tipos de curvas


30/151

30

.

Otro salto , a las superficies curvadas . Pero las relaciones entre los cuatro puntos ( 3D) nocoplanarios , el cuadriltero alabeado y el paraboloide hiperblico , lo hacen necesario .

Cualquiera de los paraboloides hiperblicos , divide a ambas figuras en partes del mismo volumen .Vemos que estas figuras formanun sistema de medidas mltiples , aunque son formas diferentes .Podemos considerar al paraboloide hiperblico definido por un cuadriltero alabeado , como unsuperficie equipartidora , por medio de los tetraedros asociados al cuadriltero alabeado .Las tres medianas ( de centro de lado a centro de lado opuesto , son por tanto rectas muy singulares .Estas tres rectas ( segmentos ) marcan tambin las direcciones de los ejes de los consecuentesparaboloides hiperblicos , alojados en el tetraedro . Si el tetraedro fuera regular , tambin lo sera elOctaedro y estas rectas seran los ejes . Por lo que el punto de corte ( centro ) sera el vrtice de todos .

La curva parablica 3D : Otra peripecia geomtrica y nueva posible crtica .


31/151

31

Veamos que la curva parbola era la curva de tres puntos de control y que esta curva era bitangente en elprimero y ltimo al las dos rectas definidas por el primero y segundo y segundo y tercero .Si hacemos una correspondencia entre el triangulo ( 3Puntos ) y el Tetraedro ( 4 Puntos ) y trazamos lacurva por los cuatro vrtices como puntos de control , definiremos la Curva Parablica ( 3D ) .Dado que el comienzo y sentido de estos cuatro puntos , aporta varias soluciones ( ms bien posiciones )de la misma curva , orientada en diferentes posiciones . El sentido dextrgiro levgiro de la eleccin de

puntos de una cara y despus el exterior ( 4 ) produce 6 curvas por cara , es decir 24 curvas , algunas delas cuales son coincidentes . Todas ellas pasan por el centro del Tetraedro y es este su nico puntocomn .

Podemos partir de la cara base de un tetraedro regular y trazar la curva de puntos de control ABCD y

proyectarla sobre esta base ABC . Ambas curvas forman una superficie cilndrica , que se representa en lafigura . Estas curvas son importantes para un diseo espacial , como la parbola , lo es en 2D . Es unacurva alabeada bsica en 3D , como la parbola lo es en 2D.

En la figura anterior , se han volumetrado en tubos , todas estas curvas , para apreciar su belleza y sistemageomtrico compositivo .


32/151

32

Utilizando esta curva su proyeccin y la altura , se ha generado una forma slida de tres carassuperficiales alabeadas , cilndrica y plana de base , que es ajustable y cerrada y puede integrar una formaslida polisuperficial cerrada . Esta forma es tratable booleanamente y convertible en mallas , parasus deformaciones y trasnsformaciones , tambin muy interesantes .

Con esta forma solidificada se han realizado las siguientes formas , aplicanos deformaciones aescala y matrificaciones .

El lector puede practicar sus lecturas y entendimientos , de lo anterior , al mismo tiempo que practica elprograma y su manejo .

Esta curva parablica , 3D , es a la otra parbola 2D , lo mismo que a esta solidificacin formalen superficie en volumen .


33/151

33

Esta forma solida tratada com tal, booleanamente , permite obtener formas asociables entransformaciones , que ya van dando un tinte al que hacer , y explicado el como , geomtricamentehablando . Todo est en relacin con un prinicpio , que puede no verse , pero all esta , seguro .Activando sus puntos de control , edicin y fases , este proceso quedar clarificado , pero no fijo ,ya que puede actuarse en cualquier momento , incorporando nuevos factores .


34/151

34

Operaciones entre tetraedro y esferas inscritos en un cubo de arista 2 :

es una tercera parte del del cubo , que es 8 . Es por tanto 8/3 . Igualmente estan relacionados con la esferay sus diferencias booleanas slidas . En la lmina aparecen algunas de estas relaciones .

Estos cuartos de las diferencias , tambin son intersantes por las formas que pueden producir , alaplicarse transformaciones deformaciones que Rhinoceros permite obtener automatizadamente .

Presentamos a continuacin algunas , como ejercicios propuestos para aprender geometra de estosobjetos y el programa simultneamente . Los resultados sern sorprendentes por inesperados y bellos .


35/151

35

El cuarto de la diferencia booleana del tetraedro y esfera inscritos en el cubo , se ha puesto apoyadohorizontalmente en sus tres patas , e pirmide triangular regular ( otro tetraedro , de arista mitad ) . Subase es un casquete triangular regular esferico . A este slido se le ha n restado prismas otrodricosverticales , que producen la figura representada . Comprobamos pus que son slidas y las podemosdiferenciar . El resultado es tambin slido y es transformable a malla , para poder transformarlo deformarlo y matriciarlo despus en tres formas que a su vez son escaladas solo en altura ( para obteneralturas diferentes , pero con igual base . Esta figura finalmente es matriciada polarmente en 3elementos en 360 . La forma obtenida puede observarse con facilidad en las representacionesaportadas .


36/151

36

uevamente recordamos al lector :

El lector puede fcilmente observar el proceso formal que aqu planteamos :

01- Se parte del anlisis de un objeto geomtrico bsicamente conocido . Se estudian susgeneraciones y elementos , tambin geomtricamente .

02- De entre estos elementos , se escogen aquellos ms relacionados con el hecho estudiado .Esta seleccin , ser valorable en funcin del cocnocimiento del objeto de partida . Su

anlisis y coherencia con el desarrollo , fines y objetivos investigacin .03- Se investigarn las trasformaciones deformaciones pertinentes al caso y se aplicarn alobjeto , trasformndolo previamente en mallas .

04- Finalomente obtendremos resultados , que podrn ser aplicados desarrollados einvestigados .

La observacin y visualizaciones , con efectos luz - sombra material , ser siempre posible a lolargo del trabajo , que siempre podr ser almacenado y formarn parte del proceso completo y suhistorial . Siendo posible su reentrada siempre .

.


37/151

37

MODULACIOES DEL ESPACIO 3D

El relleno macizado del espacio tridimensional 3D , ha preocupado desde siempre . Sabemos que elCUBO puede macizar ese espacio de una manera ortopdica u ortodrica simple .Los otros poliedros , necesitan piezas complementarias , que en su momento explicaremos .Particularmente el TETRAEDRO por si solo No rellena espacio : Necesita una p eza ( u otras piezas )para hecerlo .La primera es el Octaedro de arista mitad .Asociados en una sola OCTAEDRO+ TETRAEDRO , forman un poliedro de caras y aristas iguales( pero no ngulos ) que si rellena espacio . Esta pieza va a ser llamada macizadora .


38/151

38

Son interesantes las siguientes afinidades mtricas de estas piezas :

Volveremos a tomar como base un cubo de arista 2. Esto nos hace ms fcil ver relaciones entre susfiguras integradas : Esfera , Tetraedro . Octaedro y Stella octangula .

La esfera , al tener un radio UNITARIO , tiene un volumen igual a CUATRO TERCIOS DE PI .El Octaedro , tiene un volumen de CUATRO TERCIOS . Es decir que la relacin entre el volumen dela esfera es precisamente PI ( el volumen de la esfera es PI veces el del Octaedro ) .El volumen del cubo es OCHO .El volumen de la STELLA OCTANGULA es CUATRO , es decir la mitad del cubo .

El volumen del Tetraedro es OCHO TERCIOS . Es decir el doble del octaedro y tambin estarelacionado con la esfera mediante PI , al igual que el CUBO .La pieza macizadora tiene un volumen de CINCO TERCIOS . Como vemos aparece el nmero CINCO ,por primera vez .VEMOS QUE TOPDAS ESTAS FIGURAS ESTA RELACIOADAS ETRE SI , E SUSELEMETOS MTRICOS ( al menos ) . Posteriormente veremos que los otros dos poliedrosDODECAEDRO e ICOSAEDRO , tambin lo estn ( pero con otros nuevos nmeros , dondeparecer de alguna manera PHI y la relacin urea ) .


39/151

39

2 manera de macizar espacio :

Si suponemos un tetraedro cualquiera A-B-C-D en el espacio 3D de inmersin , podemos disponer encada cara su centro de gravedad de cara ( punto de corte de las medianas -baricentro ) . Sean estosM--P-Q . Estos cuatro puntos determinan un tetredro semejante al inicial y su volumen es 1/27 delinicial ( obserservese que es 3 elevado al cubo ) . Recordemos que el volumen de este tetredro es a su vez

la tercera parte d e su prisma base .Este tetraedro MPQ es el primer mdulo .Definamos despus el Tetredro inverso , con sus mismas dimensiones , pero complementario. Esterer el modulo inverso . El antiprisma de bases las de ambos y altura igual , ser la tercera forma mdulo .

Sin ms que observar la figura adjunta , vemos que el tetraedro ABCD , se regenera utilizando:

Un mdulo madre central .4 mdulos antiprismas a su arrope .10 mdulos inversos .

Todos estos mdulos tienen las mismas cuatro aristas igual altura y los mismos volmenes , en elcaso de los tetraedros , complementndose con los cuatro antiprismas .

Esta descomposicin espacial , en estas tres piezas es siempre posible , y resulta interesante para infinidad

de modulaciones espaciales trianguladas , ya que como hemos dicho utiliza CUATRO dimensioneslineales .

Si el tetraedro es REGULAR , estas tres piezas tienen unas singularidades especiales .Dejamos al lector , su ejercitacin e investigacin .

Esta segunda macizacin , es ms compleja , pero tiene algunas ventajas , ya que en la primera Oes un antiprisma . Utilizando una forma hbrida del antiprisma y cada una de las pirmides ,temdramos DOS piezas nicamente . Observese que las dos pirmides O pueden integrarse enuna pieza por sus caras y si por sus aristas . El paralelismo de los planos y cxaras de las tres pieza( de igual longitud de aristas ) . las hace facil de ensamblar .


40/151

40

Este tipo de modulaciones ( trianguladas ) hace posible sus utilizacin en construcciones formastrianguladas . La primera necesita en el octaedro una triangulacin supletoria en la base cuadrada.La segunda es completamente triangulada y por tanto indeformable . Esto hace fcil seleccionarsu aplicacin en cualquier caso .

.El triangulo sagrado Egipcio :

Es en realidad el anteriormente denominado 345 . Como anteriormente hemos indicado , enagrimensiones fue y es utilizado en todo el mundo . Permite definir un angulo recto con una cuerda de 12unidades de longitud ( 3-4-5 rectngulo el ngulo entre catetos 3 y 4 ) .Los Ehgipcios no utilizaban los decimales , pero si los quebrados . As 1/3 era para ellos perfectamenteclaro y sin embargo 0.3333... no lo era , sino aproximado siempre .

Este triangulo , del que ya hemos visto bastantes singularidades , goza de otras ( infinitas ) ms . En la lminasiguiente , se reflejan algunas , curiosas que dotaron de sagrado a este triangulo . La circunferencia inscrita tienede radio 1 ( unitario ) , por lo que su are es PI y su longitud de arco 2PI . Si continuamos inscribiendo circulotritangentes en cada direccin de vrtice , desde el centro de la circunferencia ( 1,1) , los radios de estas siguen unaserie urea , donde la razn e PHI ( y es Fibonnaci ) . Si inscribimos en cada circulo un pentgono regular (

polgono regular cualquiera ) esta propiedad subsiste . No es de extraar que esto se considerara por los Egipcios ,como un sistma grfico de medidas y asignarle poderes casi mgicos .


41/151

41

PROPUESTAS DE ALISIS Y EJERCICIOS :

Como posteriormente veremos , estas relaciones y propiedades fueron tenidas en cuentaen casi todas las construcciones egipcias , en particularidad en las pirmides .


42/151

42

En todas estas culturas , la utilizacin y aplicaciones de composiciones poligonales , ha sido constante .Los rosetones gticos , los dibujos y arabescos , motivos de decoracin 2D y 3D . han sido siempre basede sus composiciones .


43/151

43

El diseo geomtrico , era base en determinadas fases , desde el inicio de los tiempos y que el hombrecomenz a dibujar . Estas geometras ( observadas a menudo en su cuerpo y en lo que les rodeaba )caracterizaba los primeros momentos de este quehacer , despus se desarrollaba y finalmente languidecadando entrada a otros nuevos estilos , que tambin se iniciaban en estos primeros pasos geomtricos .

En geometras de crecimientos y adosamientos ,se encontraban a menudo ( si no siempre ) bases para la creacin imaginacin de elementos de diseo . La ley de la mitad el doble , imperaba en ciertosmomentos . Igualmente la suma de dos terminos anteriores ( Fibonnacci aureas ) . La proporcinconservada impuesta , como pareca entreverse en todo lo natural , pareca gozar de respeto .

Los crecimientos eran a ms a menos , pero parecan juntarse al final al principio y etsos conceptos desiempre , parecan insalvables , con su carga tradicional , simblica transcendental .


44/151

44

Los crecimientos en PHI , de polgonos regulares , poliedros elementos y su adosamiento , conllevarona los crecimientos en espiral , ( que luego trataremos ).En estos crecimientos , positivos negativos , aparecan factores de relacin entre polgonos y formas , alparecer sin conexin . Entre los polgonos regulares , aparecan con distintos caracteres los de nmeropar , que los de nmero impar y entre ellos destacaban el ms simple , el triangulo y el pentgono . Msbsico el cuadrado y desconectado el hexgono , realmente 6 triangulos .

Veremos ms tarde que daban origen a distintos crecimientos en espiral , que aparecan en distintaproporcin en lo natural y a escala .

Junto a los poliedros regulares ,les fue asignada ancestralmente y en todos los lugares por separado ,

aunque en los mismos tiempos ( aunque separados por grandes distancias ) , una relacin con lo natural .Sobre todo con los elementos FUEGO , AIRE , AGUA , TIERRA Y CIELO . Lo religioso , dndosecuenta de su importancia , lo asumi como suyo . Lo cientfico , lo tom como base de su investigacin ysu asepsia . El arte , el gran aprovechado de todo , no quiso perdrselo . aunque pareca no aceptarlo . Lagran mentira . Ciencia , Arte y religin , he aqu el problema . Por separado y marginadamente ,solo serva para marginar , por parejas , para acercarse y pocas veces para sopesada ycontroladamente darle la razn a la naturaleza .


45/151

45

Hasta

Hasta este momento las lineas rectas y segmentos , mandaban , por su aparente dominio y sencillez. Conello sera suficiente . La mano al dibujarlas n las insegurizaba . Aparecieron las curvas , que parecan estaren todo .Las rectas eran solo de cierta parte de los hombres . Pero las curvas parecan estar en todoloo visto y observable . Las primeras lneas , debieron ser las comodas rectas . Las primeras curvas, las de mano alzada ( libres como el viento y los pjaros ) y muy personalizables . Aquel que lasdominaba y dibujaba bien , tena su poder y origen .

Posteriormente el conocimiento de las Conicas , elipses , parbolas e hiprbolas , enriqueci lasbases de diseo geomtrico . El intento de dibujar estas curvas fuera de la cuerda , el comps ... yotros medios auxiliares , pudo obligar a la mano alzada y las deformaciones propias el capricho ,trajeron otras curva aparentemente libres y caprichosas pero que en realidad nunca lo fueron ,salvo para el engreimiento del autor .Por otra parte los cientficos , humildemente , se encargaron de su anlisis y estudios . Los pseudo artistas , no los aceptaron nunca como naturales y si con sus musas .


46/151

46

Las diferencias sirvieron para separar a artistas y cientficos y a la religin , para librarse de ambos porcondenacin . adie les poda discutir nada , ni arstisticamente , ni cientficamente . El que no , a lahoguera y a condernarse para siempre . Uno menos , gracias a Dios .La maravillosa belleza de las hiprbolas y parbolas , hacan por despegarse de la elipse ( demasiadoparecida a un circulo ( maravilloso pero demasiado exacto y riguroso ) .

Adems pareca mucho ms rica la hiprbola que la parbola y estas a su vez ms que la elipse y elcirculo . A pesar de esto , era el circulo el ms utilizado ( una mitad arco , resolvia muchas cosas y dabaprestigio y conocer ) .La herramienta tena por tanto un gran valor . Gracias a un jardinero , laelipse se comenz a emplear . Jardinero , vena de jardn , naturaleza domesticada , peronaturaleza al fn .

Era realmente spero aceptar que no creaban sino reflejaban algo y se crearon sus mundos , que en larealidad potica y filosfica , eran los mismos . La ciencia y el arte eran dos aspectos de lo mismo . Diosera otra cosa , pero existieron algunos , que tambin los asimilaron . Generalmente fuero quemado lapidados .


47/151

47

Esta realidad y reflejo de lo natural , fue apareciendo , a medida que el creador absorval

lo natural y la naturaleza y trataba de aprenderlo mediante la ciencia .

Un gran ejemplo , bastante posterior y a pocos aos de nuestro momento , fue el genial ArquitectoAntonio Gaud . Naturalmente , antes nos lo haban dicho en el Romnico , Gtico y Renacimiento ,nombres como Leonardo , Miguel Angel , etc , pero prefiero indicar a Gaud , como ms nuestro , originalY humilde esplendoroso genio diseador .

Han ido trabajando en estos temas de relacin de elementos geomtricos , con la idea de remontarse a la

conjuncin total , infinidad de personas . Destacamos algunos de sus trabajos , que a menudo puedenparecer elementales , pero son tan elementales y verdaderos como la poesa natural .


48/151

48

y

En la Arquitectura , a caballo de las tres , con componentes independientemente valorables , para cadacaso y creador , parece tomar arte y parte en las tres . En ciertos momentos ms que en otros . Un puente, un palacio vivienda y una iglesia catedral , claramente lo denotan . Estos han sido capaces de separarestilos y maneras de disear . Siempre sern un recurso , para el que no llega a ms . Incluso algunasarquitecturas parecen tener sus propios estilos geomtricos , al igual que ciertas formas de edificar ,tambin los tienen .


49/151

49

De cualquier manera los sistemas de medidas , seguirn existiendo . Unos valorarn el nmero.Otros las proporciones . Otros las estructuras entre estos y su coherencia .

De cualquier forma all siguen y all estarn .

Particularmente , al igual que Gaud , creo que todo es lo mismo y est en todo .

La herramienta . con la que se trabaje , deber conocerse y controlarse . Es ms debe ser habituaday la base ser siempre la misma , aunque a veces con distinto traje .

Si la herramienta no cae en el olvido , por lo incmoda , debe adecuarse en cada caso y persona encada momento . En estos momentos la necesidad de dibujar puede no ser obstculo . Pero lafacilidad al dibujo y su utilizacin , puede seguir siendo un indicador de aptitudes y actitudes .


50/151

50

Pero la formacin geomtrica , a la vista de este nuevo medio herramental , puede convertirla en unmaravilloso instrumento de aprender , de crear y de ensear comunicar .

Sus lneas vivas , naturales en la naturaleza , fueron siempre observadas con respeto en susvisitas a la naturaleza , sus formas , sus crecimientos , sus colores y materializacin , sus luces ysombras , sus efectos visuales y sobre todo SUS GEOMETRAS .

Sus estudios obligados de geometras , fueron minuciosamente comprobados en lo que le rodeaba ycoherentizados con sus estudios de Ciencias de lo natural y mecnica . No fueron demasiado dibujados ,pero en su lugar se ejercit en la construccin de maquetas orgnicamente dispuestas . Pero siempreestaban sus geometras , que lo envolvan todo y parecan cristalizarse en formas 3D . Para ser posible su

realizacin , deberan ser Eucldeas y tridimensionalmente vlidas , para luego resplandecer con todas susmgias .Pero tambin esas mgias tenan sus geometras .


51/151

51

Espacio formas Gaudinianas : Soportes de seccin variable y estructurasarboles

Estos complejos productos , son simples traduciones reflejos de lo natural a su dimensin posibleen lo material .

Estas formas son cristalizaciones materializadas de la poesa de lo natural .

Cuando el observaba sus lneas en maquetas vivas , posiblemente la mano tratara de dibujarlas y , secrearon su lneas vivas en todo .

El no conoca el ordenador , pero si tena un ordenador en su cabeza ( y que ordenador ) .

Hoy da si lo tenemos a mano y nos permite su manejo , de otra manera ms automatizada .

En estos momentos con la herramienta informtica , todas esas curvas y su familias . sonautomticamente generadas . Como repetidamente hemos indicado , sus puntos de control , edicin


52/151

52

interpolacin , permiten sus trazados cmodos y creacin de familias variadas . Su manejo , deformaciny transformaciones , son perfecta y fcilmente ejecutables , y almacenadas para su reentre .

La mano es cambiada por el trazador automtico . La mente debe adecuarse y manejarla .

Las mas impensables operaciones de transformacin 1D , 2D 3D , se juntan a las yaconocidad


53/151

53


54/151

54

Al mismo tiempo , la herramienta permite revisar , conocimientos ancestrales mas recientes ,abandonados por sus inconvenientes e incomodos trabajos de representacin .

Surgen nuevos teoremas a diario , al menor intento de investigacin . Propiedades nuevas y msinteresantes . Revisiones de antiguos teoremas , para su generalizacin .. etc .

A continuacin reflejamos algunos de ellos , para su ejemplarizacin . Rwsulta increblemente fcil, ahondar en cualquier propiedad , ya conocida para asociarla a otras a otros muchos casos .

DE ALGUA MAERA SE TOMA COCIECIA DE QUE EL TODO ES U UO Y QUE LOCOMPLICADO , PASAR A SER COMPLEJO , PERO RELACIOADO . El mundo sitio

geomtrico lo invade todo y TODO SE RELACIOA ETRE SI , FORMADO LO PERFECTO .


55/151

55

Reentrada informtica , en geometras tradicionales ( solo algunos ejemplos de casos )


56/151

56


57/151

57


58/151

58

Toda esta situacin , ya aventurada en la historia por infinidad de pensadores , comienza a indicarla unidad perfecta entre todo , particularizndose en cada caso posible en relacin al resto .

El diseo como investigacin y aplicacin . El todo hacia lo uno .

ota :Aunque parece prevalecer lo plano 2D , en lo expuesto , es solo un reflejo por el orden impuesto .El juego 2D 3D ( incluso un 3D temporizado , es decir cuatridimensional de dimensiones Ohomogneas . Alto , ancho y grueso , en un tiempo determinado ) ser el objetivo primordial .Podemos decir que se tratar de un dibujo tridimensionalizado en pantalla , en lugar de un dibujo2D , en el plano . La ventaja esta clara , las desventajas tambin pero menos , pero lo actual y eneste momento es la nueva herramienta informtica y su medio , que debe transcender ainstrumento . Estamos inicindonos con ella y aprendiendola con bases establecidas , es muy posibleque ella sea capaz de generar su propio entorno y reentrada al adaptar las bases a su nuevaidentidad . Aunque realmente sern otras maneras de ver lo mismo , cambiando de microscopio alastronmico laser . Lo grande no quita la razn a lo pequeo , ni esto a lo diminuto .Evidentemente los cambios de escala de apreciacin , ampliarn lo visto , aunque no deje de ser lo

mismo y la misma naturaleza .


59/151

59

Las espirales y volutas : otras curvas .

La espiral 2D 3D , son curvas vivas , generalmente sin inicio ni fn determinado . Las conocemos portramos parcialmente , e incluso algunas ni tan siquiera debieran ser llamadas espirales .Una de las primeras conocidas se debi a Arqumedes y de este tomo su nombre .Las planas ( 2D ) se generan al desplazarse un punto ,segn dos movimientos simultneos : uno de giro y

otro de alejamiento acercamiento . Propiamente O pueden dibujarse con las herramientas decomps y reglas , aunque s aproximaciones de ellas ( como la voluta clsica jnica ) . por estemtivo no fue aceptada por los acadmicos griegos , ya que consideraban que no era ciencia lono dibujable con estas herramientas . Curiosamente si lo fue las mal llamadas espiralesposteriormente que no eran sino pseudoespirales aproximadas , que s se podan dibujar .

ESPIRAL DE ARQUMEDES :La forma de entenderla es el simple arrollamiento de una cuerda en el suelo , a cada vuelta la cuerda sealeja del origen , su espesor , a la forma marinera . Su primera vuelta , difiere de las dems y goza de unaserie de curiosas propiedades , ya estudiadas por Arqumedes .


60/151

60

Primer tramo de la espiral aritmtica de Arqumedes : Algunas propiedades .Este primer tramo, suponiendo que empieza en O marca cuatro triangulos rectngulo 345 ,Que van creciendo proporcionalmente , hasta el cuarto de medidas realmente 3-4-5 , como puedeverse en la figura . Su longitud coincide con la mitad del circulo de centroO y radio 4 , que la envuelvey se adapta .

Esta espiral aunque aparece en ciertos momentos en la naturaleza , no es muy abundante .

Tiene origen en O , pero no final . Los modernos medios informticos de dibujo , suelen dibujaraproximaciones automticas con bastante exactitud ( aunque nunca completa ). La vurvatura delos puntos va amplindose con el ngulo . o coincide en ningn punto . El centro suele llamrsetambin POLO y es un punto determinado .


61/151

61

En las lminas se pueden ver diseos obtenidos con estas espirales y sus composiciones .

COMPARATIVO DE ESPIRALES.


62/151

62

La espiral LOGARTMICA : Crecimiento geomtrico . Parablicas.

El giro permanece , dando vueltas , pero el alejamiento NO CRECE aritmticamente sinoLOGARITMICAMENTE . Cada alejamiente depende de un parmetro creciente , no como en lasarquimedianas que era fijo y sumado .

Los triangulos marcados crecen en giros iguales , semejantes .Este tipo de espirales abunda en la naturaleza . Caparazones de moluscos caracoles ,Todo tipo de movimiento y crecimiento proporcionado , que exija giro y ageandamiento , sueleaparejarse con este tipo de espirales , desde el microcosmos , comos macrocsmos .

Este tipo de espirales , se puede generar en los crecimientos de figuras como los polgonos regularescon un parmetro multiplicador fijo creciente , a cada giro . En estos polgonos regulares , el giropuede ser el de acoplamiento de la misma figura , ampliada reducida ( segn el parmetro ) . Este

parmetro resulta especialmente interesante si se ajusta a parmetros de crecimiento como PHI .Unos polgonos crean espirales , ms ricas que otros : Particularmente el PETGOO , creauna serie en espiral , que aparece en infinidad de casos en la naturaleza , sobre todo en caracolas ymoluscos y caparazones . Este pentgono adems , como ya sabemos incluye esta proporcin en simismo . Estas espirales tienen polo centro , al que tienden al decrecer .


63/151

63

En esta representada en la lmina , del hexgono , podemos observar el crecimiento y el polo .Adems en este caso vemos que es el punto de corte ( comn )entre las circunferencias que pasanpor G ( vrtice del estrellado ) A y B y sus consecuentes y consecutivas . Esta propiedadinteresante indica , que existen relaciones en espirales entre los polgonos regulares y suscorrespondientes estrellados . Dejamos al lector, extender a otros polgonos estas propiedades .

En los casos de la naturaleza ( moluscos , caparazones etc ... ) , pudieran sugerir que de algunamanera estos animales puedieran incluir en sus genes , ciertos conocimientos aplicables a sucrecimiento . o son ms que seguimientos que la geometra impone a la naturaleza , si tiene queajustarse a crecimientos ordenados y formales .


64/151

64

Espiral asinttica hiperblica .

El giro permanece , pero el alejamiento es mucho ms rpido . En la naturaleza , suele aparecer enfenmenos como el de la luz ( no tiene movimiento recto , es curvado en espiral logartmica hiperblica ) . tiende a la tangencia a una determinada recta asntota . o da vueltas por lo tantohacia fuera , pero si hacia dentro y el polo .ace y tiende a la tangencia a la asntota , pero nunca llega a ella .

Son interesantes por sus aplicaciones y propiedades , las espirales generadas por crecimientospoligonales , con parmetro PHI espirales ureas en PHI , tambin en estos casos , al igual queen las anteriores . En las prximas lminas representaremos algunos casos , para practicas dellector , a eleccin .

Existen muchos ms tipos de espirales planas , pero en nuestro estudio , nicamente nos hemosreferido a los tres ms prototpicamente estudiados y aplicados .


65/151

65

EJEMPLOS de ESPIRALES DE LOS TRES TIPOS .


66/151

66

Conjuntos de espirales en el crecimiento proporcionado ( PHI ) del Pentgono y Hexgono .Aparecen mltitud de casos en lo natural .

Tamben se representan con el triangulo equiltero y el cuadrado . Aunque estas no son tan

frecuentes como las anteriores .


67/151

67


68/151

68


69/151

69


70/151

70

.


71/151

71


72/151

72


73/151

73

PSEUDO ESPIRALES VOLUTAS : La mentira y el engao .

La imposibilidad de dibujar con comps y reglas , estas curvas vivas , de giro y crecimiento alejamiento , llev a los dibujantes y pensantes a sustituir los tramos de curva por arcos de crculocambiante de radio . o son propiamente espirales , ya que conservan la curvatura por tramos dearcos iguales y no constantemente cambiante . o obstante algunos de sus manejadores , las dieron

el nombre de espirales . Siendo realmente pseudo espirales volutas .

Los capiteles de muchos ordenes , realmente se han resuelto con volutas y el parecido es a vecesgrande , pero no son espirales geomtricamente hablando .

o existen en lo natural , salvo por la mano del hombre , de lo cual se siente ufano , encandilado ymuy orgulloso de su engao .


74/151

74

Hlicoide Desarrollable

Si suponemos un tramo de huna hlice de eje vertical y trazamos las tangentes en puntos de ella , esastangentes tienen igual inclinacin , respecto al plano base . Los triangulos formados por los tramos detangemte entre el punto de la hlice , su proyeccin en el plano base y las tangentes al circulo base ,proyectadas , son semejantes , adems de rectngulos verticales . es decir son semejantes . LA

SUPERFICIE GEERADA POR ETAS TAGETES E HELICOIDE ES DESARROLLABLEY DE IGUAL ICLIACI , constante de tangente igual al cociente de los dos catetos .

Esta superficie es de gran inters , constructivamente hablando , pus puede dar origen a consytruccionestrianguladas MODULADAS , repetidamente en el espacio 3D , como posteriormente veremos .


75/151

75

LIEAS CUARTICAS :Las superficies Cudricas ( Esfera , Elipsoide , Paraboloide elptico , Paraboloide Hiperblico ,Paraboloide Hiperblico , Hiperboloide de dos hojas , Conos y Cilindros cudricos ) al cortarse definenlneas cuarticas . Pueden degenerar en rectas , en determinadas posiciones y situaciones y tambinen cnicas , o puntos en caso de tangencias

En el caso de la figura , se trata de la interseccin de un cilindro y una esfera .Estas lneas , cerradas o abiertas , tienen unas propiedades ( en relacin con las superficies que lasproducen ) que resultan ineresantes para el diseo .Dado que son curvas sobre ambas superficies , pueden generar superficies de revolucin , la serrevolucionadas alrededor de ejes de las cuadricas origen . Estas nuevas superficies de revolucin ,son aparentemente iguales a las originales . Pero si activamos sus puntos de control , podremos observarque no es as . por tener puntos de control diferentes , se deformarn diferentemente . En la lmina

siguiente representamos un caso , con los mismos elementos que en la anterior :P

Vemos como al generar por revolucin ambas superficies , difieren bastante sus puntos de control .Al ser aplicadas deformaciones , transformaciones u operaciones , sobre las figuras , estas actuan sobrelos puntos de control seleccionados y al poder no ser los mismos ,diferiran consecuentemente .


76/151

76

En la siguiente lmina comprobamos loa anterior.

Estas propiedades pueden ser utilizadas para el diseo de formas , aparentemente conocidas , perode generacin primitiva , con otras sensiblemente iguales , pero que producen diferentes resultados, simplemente por contener puntos de control diferentes .

TRIDIMESIOALIDADES CLSICAS .POLIEDROS REGULARES .LA SERIE PHI PROPORCI AUREA UMERO DE ORO .Si planteamos una serie de tres segmentos a-b y c , de manera que la proporcin entre el primero ysegundo , sea igual a la del segundo con el tercero , tendremos la relacin de crecimiento proporcionalperfecta . Esta ecuacin dara la solucin de 1.6180340... , como factor proporcional nmero deoro . PHI . Si aplicamos este factor al tercero y sucesivos , esta serie es tal que cada trmino , esigual a la suma de los dos anteriores . Es una serie Fibonacci .

Si tomamos un cubo de arista dos y dividimos aureamente esta arista , tendremos dos partes :estas sern las dos aristas del Dodecaedro ( la ms pequea ) y las de Icosaedro ( la mayor ) ,AMBAS E PROPORCI PHI Y SUMADAS IGUALAR LA ARISTA DEL CUBO QUEICLUE A AMBOS POLIEDROS , cosn us aristas centradas en los centros de las caras yorientadas en las tres direcciones del cubo , dos a dos , en caras opuestas .

Fcilmente el lector , entender que esta es una sencilla manera de construir estos dos poliedros y obtenersus relaciones elementales , en estas posiciones primadas .El dodecaedro tiene 12 caras poligonales regulares y el icosaedro 20 triangulares regulares .Ya conocemos la inclusin en este mismo cubo del tetraedro y octaedro .Por consiguiente tenemos unarelacin entre los cinco poliedros regulares , de fcil aplicacin y uso .


77/151

77

Ningn problema tendra el lector en construir estos cuatro poliedros en el cubo y relacionar suselementos . Si adems se generan en slidos , podremos interceptarlos entre ellos , dando lugar a nuevospoliedros . Observando que el Tetraedro y, dodecaedro e icosaedro , dan dos soluciones , las operacionesbooleanas de suma , resta diferencia , nos suministraran otros poliedros semirregulares yestrellados, de manera automtica . Presentamos algunas de esas figuras en las siguientes lminas .

El estudio de los prismas y pirmides , ha sido considerado siempre como bsico y todava lo siguesiendo . Para el nefito resultan ejercicios sencillos y claros . Con la herramienta informtica ,suelen ser automticos y rpidos , as como el estudio de sus sombras . Puede parecer que elrenderizado con sombras resuelve el problema , pero es conveniente estudiar las separatrices y

lneas luz - sombra , como intersecciones de los cuerpos con los cilindros prismas de luz paralela, o bien con conos en luz puntual .


78/151

78

Igualmente , permiten adquirir prctica y soltura , los estudios de las seccione y proyecciones ,puntuales paralela ( tamben prismas conos , cilindros prismas . Tambin las seccione planas pr superficies , que al ser automatizadas , parecen no incluir aspectos geomtricos bsicos .

Presentamos alguna lmina de estos procesos de luz sombra , para que el lector ejercite susconocimientos adquiridos . Acumule conocimientos y practique y utilice el ordenador .


79/151

79

LOS POLIEDROS REGULARES ( prologo )

Los estudios sobre poliedros regulares , empezaron con el tiempo humano .En los tiempos de estatuariascomo la conocida venus de Willendorf (hace varios miles de aos ) y las ruinas de Stonhenge yaaparecieron vestigios de algn poliedro en piedra con increble exactitud de tallado y evidenciandoconocimientos sobre estos .

En todos los estudios medios , en la formacin de nuestros hijos , han estado incluidos al menos hanaparecido , de alguna manera . Bien es verdad , que formando parte de la denominada Geometra hermana pobre de las matemticas . Todos los hemos tenido en la mano alguna vez , unos de madera ,otros de plstico y otros , ms afortunados de cristal .La sensacin en nuestras manos era muy diferente . Algunos como el Dodecaedro icosaedro , casimerecan apretarse al menos envolverlos completamente con ella . No pinchaban . Otros como elTetraedro , que si pinchaban , pedan una caricia diferente , casi visual y oida . Por que tenan diferentemsica y sonido . Por los vrtices puntiagudos se escapaba todas las energas . Pero las caras parecan irhacia dentro . El peso de los puntos de control , hemos visto que repele o atrae , geomtricamentehablando . Pero esta ciencia ha traido su magia implicada y anexa .

NO SE COGEN TODOS LOS POLIEDROS IGUAL . El cubo se toma por los centros de sus caras

opuestas , con dos dedos ( si su peso es pequeo , claro ) . As se tomaban los sillares en el Escorial yHerrera ide unas fuertes pinzas para ello . Su propio peso las apretaba contra los lados .

El Tetraedro , con esos dos mismo dedos , pero tomando dos vrtices .Dodecaedro e icosaedro , depositndolos en la palma de la mano y abrazando los dedos sobre ellos .Casi son bolas ( esferas ) y NO pinchan, pesan .

La Bola esfera , se deposita siembre en la palma de la mano y esta siente unos contactos casi intimos ysensuales . Que esplndido tacto tiene una esfera bola . Todos hemos tenido una bola , baln , esfera ,alguna vez en la mano . La forma ciencia se transforma en magia .

UNA ESFERA ES UN POLIEDRO REGULAR DE INFINITOS LADOS , QUE SE CURVAN YALABEAN CON EL NMERO .

Un PUNTO , tambin es un poliedro regular de 0 lados . No tiene ningn lado , arista ni vrtice .La formula de EULER : CARAS MS VRTICES = ARISTAS MAS DOS . Se cumplen tanto ms que en los otros CINCO , en su propia indefinicin de cero e infinito . Ciencficamente no existen losdos nmeros CERO e INFINITO , PE.RO AMBOS SON MGICOS .

Nada hay ms mgico que la bola esfera , ni nada ms inexistente que el punto

SON POR TANTO SIETE , LOS POLIEDROS REGULARES , que pueden corresponderse a los sietedas de la semana . Dejamos al lector , pensar en su correspondencia y asociacin .

Esos cinco poliedros regulares llegaban a ser construidos con cartn , recordando su composicin con

caras poligonales regulares tambin . Llegaba a ser una proeza y sntomas de posibilidadestridimensionales , partiendo de la bidimensionalidad 2D de sus caras de cartn papel . Luego eranabndonadas depositadas en una estantera para siempre jams : Nadie se aterva a tirarlas a la basura .Que hubiera pensado un indigente al encontrarse en la basura , semejantes joyas .

Con el ordenador y la era informtica , han cambiado mucho las cosas . Existen programas que los creansin ningn esfuerzo y por doquier . Redes de poliedros pueblan nuestras vidas y espacios y parece quecomienza en serio su investigacin , que puede ser el TODO .

Paccioli y Jemmnitzer , los estudiaron a mano , los trabajaron . Sus maravillosos trabajos y obras , erantan laboriosas y al alcance de tan pocos , que solo fueron un reflejo de lo posible . Hoy dia con esasnuevas herramientas empezarn a entrar en sus verdaderas dimensiones No se puede pensar en una teorade la forma ( cientfica y mgica ) sin su base y conocimiento profundo ( que siempre ser superficial ,

seguro ) . Aqu aparecen casi como otras muchas cosas, de las que sin duda son parte esencial , pero essu forma humilde de aparecer y el l

Documents

02-El_Diseño_Geométrico_con_ordenador