1/22/2013

1

KL3201, Kelas 02Semester II 2012/2013

k

F

u

m

mu cu ku F Beberapa kondisi:◦ F = 0 : getaran bebas (free vibration)◦ F ≠ 0 : getaran paksa (forced vibration)◦ c = 0 : getaran tak teredam (undamped vibration)◦ c ≠ 0 : getaran teredam (damped vibration)

c

c

k

F(t)

u

m

1/22/2013

2

Persamaan gerak 0mu ku

Solusi umum

Untuk kondisi awal

cos sinu A t B t

k

m di mana

0 ; 0u u u v Untuk kondisi awal 0 00 ; 0u u u v

diperoleh 00 cos sin

vu t u t t

Getaran bebas SDOF tak teredam

0 iv

dapat dituliskan dalam bentuk lain:

00 cos sinu t u t t

2

2 00 1sin

vu t u t

1 01

0

tanu

v

0

2

2 00 2cos

vu t u t

1 02

0

tanv

u

1, 2 = fasa

1/22/2013

3

m = massa k = koefisien kekakuan k koefisien kekakuan = frekuensi (angular) alami [rad/detik] f = frekuensi alami [Hz, siklus/detik] T = perioda alami [detik] 2

2 fT

20 0mu ku u u

1/22/2013

4

Sebuah beban seberat 30 kN digantung di tengahbentang balok sepanjang 6 m menggunakan pegasdengan kekakuan 9 kN/mm. Tentukan frekuensi alamidari sistem struktur ini jika diketahui balok terbuat daribaja W8×24 dengan modulus elastisitas 200 GPa daninersia penampang 34.5 × 106 mm4.

30 kN

Massa30000

3058 kg9.81

wm

g

Kekakuan

9 648 200 10 34.5 1048EI 6

balok 3 3

48 200 10 34.5 10481.53 10 N/m

6

EIk

L

6total6 6

total

1 1 11.31 10 N/m

1.53 10 9 10k

k

Frekuensi alami

61.31 1020.7 rad/detik

3058

3.29 Hz2

f

10.304 detikT

f

1/22/2013

5

Sebuah gudang satu tingkat berukuran 20 ft × 30 ft dianggap dapat diidealisasikan sebagai struktur SDOF d t k l di l l t d b t 30 dengan massa terkumpul di level atap, dengan berat 30 lb/ft2.

Denah Portal arah N-S Portal arah E-W

Keempat kolom berupa baja W8×24 dengan E = 29000 ksi, Ix = 82.8 in.4, dan Iy = 18.3 in.4. Pada portal arah E-y

W terdapat cross-bracing dengan luas penampang 0.785 in.2. Anggap hanya batang tarik yang bekerja sebagaibracing.

Tuliskan persamaan gerak bebas struktur tersebut untukarah N-S dan E-W, serta tentukan frekuensi alamigetaran struktur pada masing-masing arah tersebut.

1/22/2013

6

Massa 230 20 30

46.58 lb-s /in.386.4

wm

g

Kekakuan

612 29 10 82.812

4 4 38600 lb/ixEIk

N-S 33

4 4 38600 lb/in.12 12

xkL

2E-W 3

6 6 2

3 2 22 2

124 2 cos

12 29 10 18.3 29 10 0.785 204 2

20 12

y

b

EI EAk

L L

3 2 22 2

3

20 1212 20 1212 12

8531 119613 128.1 10 lb/in.

Persamaan gerak

Arah N-S 46.58 38600 0u u

Arah E-W 346.58 128.1 10 0u u Frekuensi alami

N-S

3860028.79 rad/detik

46.58

33

E-W

128.1 1052.45 rad/detik

46.58

1/22/2013

7

Persamaan gerak: 0mu cu ku 2

Persamaan karakteristik:

atau 22 0u u u

di manacr 2 2

c c c

c m km

Persamaan karakteristik:2 0m c k

2 4

2

c c km

m

atau 2 1

Solusi umum: 2 21 1t ttu t e Ae Be

Dengan kondisi awal

0 00 , 0u u u v diperoleh

20 0

2

1

2 1

u vA

20 0

2

1

2 1

u vB

Tidak terjadi vibrasi. Kondisi ini disebutoverdamped (teredam berlebihan).

1/22/2013

8

Solusi umum: tu t e A Bt

Dengan kondisi awal 0 00 , 0u u u v diperoleh

0 0 0tu t e u v u t

Juga tidak terjadi vibrasi. Kondisi ini disebutcritically damped (teredam kritis).

= 1.0

erpi

ndah

an,

x(t)

= 2.0

= 1.5

Waktu, t

Pe

1/22/2013

9

Solusi umum: cos sintD Du t e A t B t

Dengan kondisi awal 0 00 , 0u u u v diperoleh

21D di mana

0 00 cos sint

D DD

v xu t e u t t

Terjadi vibrasi dengan amplitudo yang semakin mengecil. Kondisi ini disebut underdamped (kurang teredam), kondisi yang umum terjadi pada bangunan sipil.

D

2

2 0 00

t

D

v uu e

Per

pind

ahan

, x(

t)

D

Waktu, t

1/22/2013

10

0.6

0.8

1

= 2%

= 5%

= 10%

= 20%

0 4

-0.2

0

0.2

0.4

x /

x 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

t / T

Adanya redaman mengakibatkan pengurangan amplitudo getaran pada setiap siklus getaran. p g p p g

Pengurangan amplitudo semakin cepat dengan meningkatnya redaman.

1/22/2013

11

m = massa c = koefisien redaman [N-s/m] c koefisien redaman [N s/m] ccr = koefisien redaman kritis k = koefisien kekakuan = rasio redaman = frekuensi alami D = frekuensi getaran teredam D = frekuensi getaran teredam

20 2 0mu cu ku u u u

Sebuah mobil sport Porsche Boxster diketahuimemiliki massa 1361 kg. Akibat beratnya sendiri, suspensi mobil berdefleksi sebesar 50 mm. Suspensi mobil tersebut dirancang memiliki nilairedaman sebesar koefisien redaman kritis.

Tentukan nilai koefisien redaman dan kekakuandari suspensi mobil tersebut.

Jika total massa penumpang bahan bakar dan Jika total massa penumpang, bahan bakar, danbagasi mobil tersebut adalah 290 kg, tentukanrasio redaman suspensi mobil tersebut dalamkondisi penuh.

1/22/2013

12

Kekakuan 51361 9.81

2.67 10 N/m0.05

wk

Frekuensi alami52.67 10

14.01 rad/detik1361

k

m

Redaman

cr

3

2

2 14.01 1361 38.1 10 N-detik/m

c c m

Kondisi penuh 1361 290 1651 kgm o d s pe u

5

3

g

2.67 1012.72 rad/detik

1651

38.1 100.91

2 12.72 1651

Parameter dinamik:◦ Massa, m

Koefisien redaman c ata rasio redaman ◦ Koefisien redaman, c, atau rasio redaman, ◦ Koefisien kekakuan, k◦ Frekuensi/perioda alami: , f, atau T

Koefisien kekakuan k umumnya dapat diperolehdari pengujian statik (hubungan gaya denganperpindahan).

Dari grafik getaran bebas perioda teredam T Dari grafik getaran bebas, perioda teredam TDdapat ditentukan dari jarak dua puncak getaran.

Rasio redaman ditentukan dari rasio amplitudodua puncak yang berturutan.

1/22/2013

13

Per

pind

ahan

, x(

t)

t1 t2

A1

A2

Waktu, t

Amplitudo puncak pertama: 1

1 1 1 1 2 1cos sintD DA u t e C t C t

Amplitudo puncak kedua 1 1 1 1 2 1cos sinD DA u t e C t C t

1

1

2 2 1

1 1 2 1

1 1 2 1

cos sin

cos sin

D

D

D

t TD D D D

t TD D

A u t u t T

e C t T C t T

e C t C t

Logarithmic decrement

1 1 2 1D D

1

2 1

ln ln i

i

AA

A A

1/22/2013

14

11 D

tT

t T

A ee

A

Untuk nilai yang kecil:

12

1

22

2ln

1

Dt T

D

A e

AT

A

Untuk nilai yang kecil:

2

Jika amplitudo yang berturutan hampir sama, karena nilai redaman yang sangat kecil, dapaty g g , pdigunakan perbandingan amplitudo setelah nsiklus getaran:

2ln

i

D

i D

tnTi

t nTi n

i

A ee

A e

A nnT

2

ln1

1ln

2

Di n

i

i n

nTA

A

n A