Cálculo  1  

Prof.:  Thales  Vieira        

Material  online:    

h$p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2011_2.html  Moodle  

   

Limites  Laterais  

Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f se aproxima de 3:

limx→2

x2 − x+ 2 = 4

TIC  

f(x) =x2 + 2x, x ≤ 1

2− x, x > 1{

limx→1−

f(x) = 3

limx→1+

f(x) = 1

Quando x se aproxima de 1 pela direita, f se aproxima de 1:

Limites  Laterais  

Escrevemos  

limx→a−

f(x) = L

e dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende a a é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L , para x suficientemente próximo de a e x menor que a.  

Escrevemos  

e dizemos que o limite à direita de f(x) quando x tende a a é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L , para x suficientemente próximo de a e x maior que a.  

limx→a+

f(x) = L

Limites  Laterais  

limx→a

f(x) = L se e somente se limx→a−

f(x) = L e limx→a+

f(x) = L

TIC  

Limites  Laterais  

Calcule:

Limites  Laterais  

Calcule:

Limites  Infinitos  

Calcule

TIC  

Limites  Laterais  

Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então  

significa que os valores de f(x) podem se tornar arbitrariamente grandes, tomando-se x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.  

limx→a

f(x) = ∞

Analogamente:  

limx→a

f(x) = −∞

significa que os valores de f(x) podem se tornar arbitrariamente grandes e negativos, tomando-se x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.  

Limites  Laterais  

As seguintes definições também são válidas:

Assíntotas  ver@cais  

A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:

Exemplo:   TIC  

Assíntotas  ver@cais  

Calcule e TIC  

Quando x se aproxima de 3 mas é maior que 3:  

x-3 é um número pequeno sempre positivo;  

2x se aproxima de 6.  

Logo, 2x / (x-3) se torna um número grande sempre positivo.  

Quando x se aproxima de 3 mas é menor que 3:  

x-3 é um número pequeno sempre negativo;  

2x se aproxima de 6.  

Logo, 2x / (x-3) se torna um número grande sempre negativo.  

Assíntotas  ver@cais  

Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tg x TIC  

Um quociente pode ficar arbitrariamente grande quando seu denominador se aproxima de zero e seu numerador não.  

Candidatos a assíntotas verticais: x = a, tal que cos a = 0  

Quando ,  e sen x é positivo próximo de 1.  

e sen x é positivo próximo de 1.  Quando ,  

Logo:  

Assíntotas  ver@cais  

Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tg x TIC  

Daí concluímos que x = π / 2 é assíntota vertical.

Este comportamento se repete sempre que x se aproxima de (2n + 1) π/2, para n inteiro. Logo, , n inteiro, representa as assíntotas verticais de tg(x).