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Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Tema 2: matrices y operaciones con matricesMatematica II
20122013
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Indice
1 Matrices y vectoresOperaciones basicasProducto entre una matriz y un vector
2 Operaciones con matricesProducto de matricesTranspuesta de una matriz
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Indice
1 Matrices y vectoresOperaciones basicasProducto entre una matriz y un vector
2 Operaciones con matricesProducto de matricesTranspuesta de una matriz
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Que es una matriz?
Tenemos dos vectores columna u y v.Estos producen una matriz de dos columnas y tres filas A.
Matriz
A =
u v =
u1 v1u2 v2u3 v3
=a11 a12a21 a22a31 a32
= ef
g
Construimos A apilando dos vectores columna.Pero es igualmente correcto pensar en A como una pila detres vectores fila e = (u1 v1), f = (u2 v2) y g = (u3 v3).Segun el problema del algebra lineal que encontremos,utilizaremos las columnas o las filas de A indistintamente.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Que es una matriz?
Tenemos dos vectores columna u y v.Estos producen una matriz de dos columnas y tres filas A.
Matriz
A =
u v =
u1 v1u2 v2u3 v3
=a11 a12a21 a22a31 a32
= ef
g
Construimos A apilando dos vectores columna.Pero es igualmente correcto pensar en A como una pila detres vectores fila e = (u1 v1), f = (u2 v2) y g = (u3 v3).Segun el problema del algebra lineal que encontremos,utilizaremos las columnas o las filas de A indistintamente.
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Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Que es una matriz?
Tenemos dos vectores columna u y v.Estos producen una matriz de dos columnas y tres filas A.
Matriz
A =
u v =
u1 v1u2 v2u3 v3
=a11 a12a21 a22a31 a32
= ef
g
Construimos A apilando dos vectores columna.Pero es igualmente correcto pensar en A como una pila detres vectores fila e = (u1 v1), f = (u2 v2) y g = (u3 v3).Segun el problema del algebra lineal que encontremos,utilizaremos las columnas o las filas de A indistintamente.
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Matrices y vectores
Operaciones basicas
Que es una matriz?
Tenemos dos vectores columna u y v.Estos producen una matriz de dos columnas y tres filas A.
Matriz
A =
u v =
u1 v1u2 v2u3 v3
=a11 a12a21 a22a31 a32
= ef
g
Construimos A apilando dos vectores columna.Pero es igualmente correcto pensar en A como una pila detres vectores fila e = (u1 v1), f = (u2 v2) y g = (u3 v3).Segun el problema del algebra lineal que encontremos,utilizaremos las columnas o las filas de A indistintamente.
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Matrices y vectores
Operaciones basicas
Que es una matriz?
Tenemos dos vectores columna u y v.Estos producen una matriz de dos columnas y tres filas A.
Matriz
A =
u v =
u1 v1u2 v2u3 v3
=a11 a12a21 a22a31 a32
= ef
g
Construimos A apilando dos vectores columna.Pero es igualmente correcto pensar en A como una pila detres vectores fila e = (u1 v1), f = (u2 v2) y g = (u3 v3).Segun el problema del algebra lineal que encontremos,utilizaremos las columnas o las filas de A indistintamente.
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Matrices y vectores
Operaciones basicas
Notacion matricial
La primera fila de una matriz de 2 2 contiene a11 y a12.La segunda fila tiene a21 y a22.El primer subndice da la fila: aij esta en la fila i .El segundo da la columna: aij esta en la columna j .Puede pensarse en A como una funcion de dos variables,que a cada i y a cada j les asigna un escalar (un numero).
A =(a11 a12a21 a22
)=
(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)
)Esta notacion A(i , j) es la utilizada generalmente por lasaplicaciones informaticas (Python, Sage, Octave, Matlab,Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.
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Operaciones basicas
Notacion matricial
La primera fila de una matriz de 2 2 contiene a11 y a12.La segunda fila tiene a21 y a22.El primer subndice da la fila: aij esta en la fila i .El segundo da la columna: aij esta en la columna j .Puede pensarse en A como una funcion de dos variables,que a cada i y a cada j les asigna un escalar (un numero).
A =(a11 a12a21 a22
)=
(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)
)Esta notacion A(i , j) es la utilizada generalmente por lasaplicaciones informaticas (Python, Sage, Octave, Matlab,Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.
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Operaciones basicas
Notacion matricial
La primera fila de una matriz de 2 2 contiene a11 y a12.La segunda fila tiene a21 y a22.El primer subndice da la fila: aij esta en la fila i .El segundo da la columna: aij esta en la columna j .Puede pensarse en A como una funcion de dos variables,que a cada i y a cada j les asigna un escalar (un numero).
A =(a11 a12a21 a22
)=
(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)
)Esta notacion A(i , j) es la utilizada generalmente por lasaplicaciones informaticas (Python, Sage, Octave, Matlab,Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.
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Operaciones basicas
Notacion matricial
La primera fila de una matriz de 2 2 contiene a11 y a12.La segunda fila tiene a21 y a22.El primer subndice da la fila: aij esta en la fila i .El segundo da la columna: aij esta en la columna j .Puede pensarse en A como una funcion de dos variables,que a cada i y a cada j les asigna un escalar (un numero).
A =(a11 a12a21 a22
)=
(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)
)Esta notacion A(i , j) es la utilizada generalmente por lasaplicaciones informaticas (Python, Sage, Octave, Matlab,Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.
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Notacion matricial
La primera fila de una matriz de 2 2 contiene a11 y a12.La segunda fila tiene a21 y a22.El primer subndice da la fila: aij esta en la fila i .El segundo da la columna: aij esta en la columna j .Puede pensarse en A como una funcion de dos variables,que a cada i y a cada j les asigna un escalar (un numero).
A =(a11 a12a21 a22
)=
(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)
)Esta notacion A(i , j) es la utilizada generalmente por lasaplicaciones informaticas (Python, Sage, Octave, Matlab,Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.
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Matrices y vectores
Operaciones basicas
Notacion matricial
La primera fila de una matriz de 2 2 contiene a11 y a12.La segunda fila tiene a21 y a22.El primer subndice da la fila: aij esta en la fila i .El segundo da la columna: aij esta en la columna j .Puede pensarse en A como una funcion de dos variables,que a cada i y a cada j les asigna un escalar (un numero).
A =(a11 a12a21 a22
)=
(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)
)Esta notacion A(i , j) es la utilizada generalmente por lasaplicaciones informaticas (Python, Sage, Octave, Matlab,Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.
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Matrices y vectores
Operaciones basicas
Suma de matrices
Podemos sumar dos matrices A y B.Los coeficientes nunca se mezclan.
Suma de matrices
A =(a11 a12a21 a22
)y B =
(b11 b12b21 b22
)suman A+ B =
(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22
)
La resta de matrices sigue la misma idea, los coeficientesde A B seran aij bij .
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Matrices y vectores
Operaciones basicas
Suma de matrices
Podemos sumar dos matrices A y B.Los coeficientes nunca se mezclan.
Suma de matrices
A =(a11 a12a21 a22
)y B =
(b11 b12b21 b22
)suman A+ B =
(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22
)
La resta de matrices sigue la misma idea, los coeficientesde A B seran aij bij .
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Suma de matrices
Podemos sumar dos matrices A y B.Los coeficientes nunca se mezclan.
Suma de matrices
A =(a11 a12a21 a22
)y B =
(b11 b12b21 b22
)suman A+ B =
(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22
)
La resta de matrices sigue la misma idea, los coeficientesde A B seran aij bij .
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion por un escalarLas matrices pueden ser multiplicadas por 2, por 1 o porcualquier otro numero c.Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumar A+ A o(mas facil) multiplicar cada coeficiente por 2.
Multiplicacion escalar
2A =(
2a11 2a122a21 2a22
) A =
(a11 a12a21 a22
)
Los coeficientes de cA son caij .
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion por un escalarLas matrices pueden ser multiplicadas por 2, por 1 o porcualquier otro numero c.Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumar A+ A o(mas facil) multiplicar cada coeficiente por 2.
Multiplicacion escalar
2A =(
2a11 2a122a21 2a22
) A =
(a11 a12a21 a22
)
Los coeficientes de cA son caij .
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Matrices y vectores
Operaciones basicas
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion por un escalarLas matrices pueden ser multiplicadas por 2, por 1 o porcualquier otro numero c.Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumar A+ A o(mas facil) multiplicar cada coeficiente por 2.
Multiplicacion escalar
2A =(
2a11 2a122a21 2a22
) A =
(a11 a12a21 a22
)
Los coeficientes de cA son caij .
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion por un escalarLas matrices pueden ser multiplicadas por 2, por 1 o porcualquier otro numero c.Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumar A+ A o(mas facil) multiplicar cada coeficiente por 2.
Multiplicacion escalar
2A =(
2a11 2a122a21 2a22
) A =
(a11 a12a21 a22
)
Los coeficientes de cA son caij .
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Matrices y vectores
Operaciones basicas
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de A y A es la matriz cero.Esto es la matriz 0, que es distinto del numero 0!El orden de la suma no altera el resultado: A+ B es iguala B+ A.
A+ B =(
1 23 1
)+
(1 00 1
)=
(2 23 2
)B+ A =
(1 00 1
)+
(1 23 1
)=
(2 23 2
)Si la cantidad de filas m y de columnas n son iguales(m = n) se dice que A es una matriz cuadrada.Si m 6= n se dice que A es una matriz rectangular.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de A y A es la matriz cero.Esto es la matriz 0, que es distinto del numero 0!El orden de la suma no altera el resultado: A+ B es iguala B+ A.
A+ B =(
1 23 1
)+
(1 00 1
)=
(2 23 2
)B+ A =
(1 00 1
)+
(1 23 1
)=
(2 23 2
)Si la cantidad de filas m y de columnas n son iguales(m = n) se dice que A es una matriz cuadrada.Si m 6= n se dice que A es una matriz rectangular.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de A y A es la matriz cero.Esto es la matriz 0, que es distinto del numero 0!El orden de la suma no altera el resultado: A+ B es iguala B+ A.
A+ B =(
1 23 1
)+
(1 00 1
)=
(2 23 2
)B+ A =
(1 00 1
)+
(1 23 1
)=
(2 23 2
)Si la cantidad de filas m y de columnas n son iguales(m = n) se dice que A es una matriz cuadrada.Si m 6= n se dice que A es una matriz rectangular.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de A y A es la matriz cero.Esto es la matriz 0, que es distinto del numero 0!El orden de la suma no altera el resultado: A+ B es iguala B+ A.
A+ B =(
1 23 1
)+
(1 00 1
)=
(2 23 2
)B+ A =
(1 00 1
)+
(1 23 1
)=
(2 23 2
)Si la cantidad de filas m y de columnas n son iguales(m = n) se dice que A es una matriz cuadrada.Si m 6= n se dice que A es una matriz rectangular.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Algunas observaciones
Hay que notar que la suma de A y A es la matriz cero.Esto es la matriz 0, que es distinto del numero 0!El orden de la suma no altera el resultado: A+ B es iguala B+ A.
A+ B =(
1 23 1
)+
(1 00 1
)=
(2 23 2
)B+ A =
(1 00 1
)+
(1 23 1
)=
(2 23 2
)Si la cantidad de filas m y de columnas n son iguales(m = n) se dice que A es una matriz cuadrada.Si m 6= n se dice que A es una matriz rectangular.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Propiedades de la suma de matrices
Propiedades de la suma de matrices
A+ B = B+ A ley conmutativac (A+ B) = cA+ cB ley distributiva
A+ (B+ C) = (A+ B) + C ley asociativa
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Propiedades de la suma de matrices
Propiedades de la suma de matrices
A+ B = B+ A ley conmutativac (A+ B) = cA+ cB ley distributiva
A+ (B+ C) = (A+ B) + C ley asociativa
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Operaciones basicas
Propiedades de la suma de matrices
Propiedades de la suma de matrices
A+ B = B+ A ley conmutativac (A+ B) = cA+ cB ley distributiva
A+ (B+ C) = (A+ B) + C ley asociativa
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Indice
1 Matrices y vectoresOperaciones basicasProducto entre una matriz y un vector
2 Operaciones con matricesProducto de matricesTranspuesta de una matriz
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Matriz multiplicando un vector columna (metodo 1)
Definicion 1 (una matriz A multiplicando un vector x)
Ax =
u v wx1x2
x3
= x1u+ x2v+ x3w = bdonde u, v y w son los vectores columna de A, y se utiliza laoperacion combinacion lineal de vectores.
El resultado sera un vector b.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Matriz multiplicando un vector columna (metodo 1)
Definicion 1 (una matriz A multiplicando un vector x)
Ax =
u v wx1x2
x3
= x1u+ x2v+ x3w = bdonde u, v y w son los vectores columna de A, y se utiliza laoperacion combinacion lineal de vectores.
El resultado sera un vector b.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
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Producto entre una matriz y un vector
Matriz multiplicando un vector columna (metodo 2)
Definicion 2 (una matriz A multiplicando un vector x)
Ax =
efg
x1x2x3
=e xf xg x
= bdonde e, f y g son los vectores fila de A, y se utiliza laoperacion producto punto de vectores.
El resultado sera exactamente el mismo vector b.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Matriz multiplicando un vector columna (metodo 2)
Definicion 2 (una matriz A multiplicando un vector x)
Ax =
efg
x1x2x3
=e xf xg x
= bdonde e, f y g son los vectores fila de A, y se utiliza laoperacion producto punto de vectores.
El resultado sera exactamente el mismo vector b.
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Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Ejemplo 1
Encontrar el vector b resultante de combinar linealmente losvectores columna i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1) conlos escalares x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 0.
Fabricando la matriz A y el vector x resulta
Ax =
1 0 00 1 00 0 1
020
= 201
0
=02
0
= bA actua sobre x y regresa un b que es identico a x!Por esto la matriz A es llamada matriz identidad I. Siemprese comprueba que Ix = x, para cualquier x.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Ejemplo 1
Encontrar el vector b resultante de combinar linealmente losvectores columna i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1) conlos escalares x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 0.
Fabricando la matriz A y el vector x resulta
Ax =
1 0 00 1 00 0 1
020
= 201
0
=02
0
= bA actua sobre x y regresa un b que es identico a x!Por esto la matriz A es llamada matriz identidad I. Siemprese comprueba que Ix = x, para cualquier x.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Ejemplo 1
Encontrar el vector b resultante de combinar linealmente losvectores columna i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1) conlos escalares x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 0.
Fabricando la matriz A y el vector x resulta
Ax =
1 0 00 1 00 0 1
020
= 201
0
=02
0
= bA actua sobre x y regresa un b que es identico a x!Por esto la matriz A es llamada matriz identidad I. Siemprese comprueba que Ix = x, para cualquier x.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Ejemplo 1
Encontrar el vector b resultante de combinar linealmente losvectores columna i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1) conlos escalares x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 0.
Fabricando la matriz A y el vector x resulta
Ax =
1 0 00 1 00 0 1
020
= 201
0
=02
0
= bA actua sobre x y regresa un b que es identico a x!Por esto la matriz A es llamada matriz identidad I. Siemprese comprueba que Ix = x, para cualquier x.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Ejemplo 2
Dados la matriz A =(
1 02 3
)y el vector columna x =
(21
),
calcular Ax = b:1 como combinacion lineal de las columnas de A.2 como productos punto de las filas de A.
1 La combinacion lineal de columnas de A resulta
Ax =(
1 02 3
)(21
)= 2
(12
)+ 1
(03
)=
(27
)= b
2 Los productos punto con las filas de A resultan
Ax =(
1 02 3
)(21
)=
((1 0) (2,1)(2 3) (2,1)
)=
(27
)= b
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Ejemplo 2
Dados la matriz A =(
1 02 3
)y el vector columna x =
(21
),
calcular Ax = b:1 como combinacion lineal de las columnas de A.2 como productos punto de las filas de A.
1 La combinacion lineal de columnas de A resulta
Ax =(
1 02 3
)(21
)= 2
(12
)+ 1
(03
)=
(27
)= b
2 Los productos punto con las filas de A resultan
Ax =(
1 02 3
)(21
)=
((1 0) (2,1)(2 3) (2,1)
)=
(27
)= b
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Ejemplo 2
Dados la matriz A =(
1 02 3
)y el vector columna x =
(21
),
calcular Ax = b:1 como combinacion lineal de las columnas de A.2 como productos punto de las filas de A.
1 La combinacion lineal de columnas de A resulta
Ax =(
1 02 3
)(21
)= 2
(12
)+ 1
(03
)=
(27
)= b
2 Los productos punto con las filas de A resultan
Ax =(
1 02 3
)(21
)=
((1 0) (2,1)(2 3) (2,1)
)=
(27
)= b
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Repaso de ideas clave
1 Una matriz A de m filas y n columnas tiene mncoeficientes (se dice que A Rmn)
2 Las operaciones basicas son
A+ B =
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33
cA =
ca11 ca12 ca13ca21 ca22 ca23ca31 ca32 ca33
3 Ax = b es una combinacion lineal de las columnas de A.4 Ax = b es tambien el producto punto con las filas de A.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Repaso de ideas clave
1 Una matriz A de m filas y n columnas tiene mncoeficientes (se dice que A Rmn)
2 Las operaciones basicas son
A+ B =
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33
cA =
ca11 ca12 ca13ca21 ca22 ca23ca31 ca32 ca33
3 Ax = b es una combinacion lineal de las columnas de A.4 Ax = b es tambien el producto punto con las filas de A.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Repaso de ideas clave
1 Una matriz A de m filas y n columnas tiene mncoeficientes (se dice que A Rmn)
2 Las operaciones basicas son
A+ B =
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33
cA =
ca11 ca12 ca13ca21 ca22 ca23ca31 ca32 ca33
3 Ax = b es una combinacion lineal de las columnas de A.4 Ax = b es tambien el producto punto con las filas de A.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Matrices y vectores
Producto entre una matriz y un vector
Repaso de ideas clave
1 Una matriz A de m filas y n columnas tiene mncoeficientes (se dice que A Rmn)
2 Las operaciones basicas son
A+ B =
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33
cA =
ca11 ca12 ca13ca21 ca22 ca23ca31 ca32 ca33
3 Ax = b es una combinacion lineal de las columnas de A.4 Ax = b es tambien el producto punto con las filas de A.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Indice
1 Matrices y vectoresOperaciones basicasProducto entre una matriz y un vector
2 Operaciones con matricesProducto de matricesTranspuesta de una matriz
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Como pueden multiplicarse dos matrices?
Definicion 3 (la matriz A multiplicando a la matriz B)
(a11 a12a21 a22
)(b11 b12b21 b22
)=
(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22
)
Definicion 4 (utilizando el producto punto)
(ab)ij = (fila i de A) (columna j de B)
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Condicion necesaria para multiplicar dos matrices
Dadas matrices A de m n y B de p q, puedenmultiplicarse como AB solamente si n = p.O sea, solamente si el numero de columnas de A es igualal numero de filas de B.Si n 6= p no puede calcularse el producto!
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Condicion necesaria para multiplicar dos matrices
Dadas matrices A de m n y B de p q, puedenmultiplicarse como AB solamente si n = p.O sea, solamente si el numero de columnas de A es igualal numero de filas de B.Si n 6= p no puede calcularse el producto!
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Condicion necesaria para multiplicar dos matrices
Dadas matrices A de m n y B de p q, puedenmultiplicarse como AB solamente si n = p.O sea, solamente si el numero de columnas de A es igualal numero de filas de B.Si n 6= p no puede calcularse el producto!
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarse solamente si tienen elmismo tamano (
1 12 1
)(2 23 4
)=
(5 61 0
)
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tresproductos punto dan 6, 1 y 0.Si A y B son de n n, tambien AB es de n n .AB contiene n2 productos punto, y cada producto puntorequiere n multiplicaciones.El computo de AB requiere n3 multiplicaciones.Si n = 100 hay que multiplicar 1000000 de veces.Si n = 2, solo 8 veces.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarse solamente si tienen elmismo tamano (
1 12 1
)(2 23 4
)=
(5 61 0
)
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tresproductos punto dan 6, 1 y 0.Si A y B son de n n, tambien AB es de n n .AB contiene n2 productos punto, y cada producto puntorequiere n multiplicaciones.El computo de AB requiere n3 multiplicaciones.Si n = 100 hay que multiplicar 1000000 de veces.Si n = 2, solo 8 veces.
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarse solamente si tienen elmismo tamano (
1 12 1
)(2 23 4
)=
(5 61 0
)
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tresproductos punto dan 6, 1 y 0.Si A y B son de n n, tambien AB es de n n .AB contiene n2 productos punto, y cada producto puntorequiere n multiplicaciones.El computo de AB requiere n3 multiplicaciones.Si n = 100 hay que multiplicar 1000000 de veces.Si n = 2, solo 8 veces.
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarse solamente si tienen elmismo tamano (
1 12 1
)(2 23 4
)=
(5 61 0
)
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tresproductos punto dan 6, 1 y 0.Si A y B son de n n, tambien AB es de n n .AB contiene n2 productos punto, y cada producto puntorequiere n multiplicaciones.El computo de AB requiere n3 multiplicaciones.Si n = 100 hay que multiplicar 1000000 de veces.Si n = 2, solo 8 veces.
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Ejemplo 3
Matrices cuadradas pueden multiplicarse solamente si tienen elmismo tamano (
1 12 1
)(2 23 4
)=
(5 61 0
)
El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tresproductos punto dan 6, 1 y 0.Si A y B son de n n, tambien AB es de n n .AB contiene n2 productos punto, y cada producto puntorequiere n multiplicaciones.El computo de AB requiere n3 multiplicaciones.Si n = 100 hay que multiplicar 1000000 de veces.Si n = 2, solo 8 veces.
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
AB 6= BA ley conmutativa no funcionaC(A+ B) = CA+ CB ley distributiva a izquierda(A+ B)C = AC+ BC ley distributiva a derecha
A(BC) = (AB)C ley asociativa
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Producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
AB 6= BA ley conmutativa no funcionaC(A+ B) = CA+ CB ley distributiva a izquierda(A+ B)C = AC+ BC ley distributiva a derecha
A(BC) = (AB)C ley asociativa
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
AB 6= BA ley conmutativa no funcionaC(A+ B) = CA+ CB ley distributiva a izquierda(A+ B)C = AC+ BC ley distributiva a derecha
A(BC) = (AB)C ley asociativa
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Producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
AB 6= BA ley conmutativa no funcionaC(A+ B) = CA+ CB ley distributiva a izquierda(A+ B)C = AC+ BC ley distributiva a derecha
A(BC) = (AB)C ley asociativa
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Ejemplo 4
Sea A una matriz fila de 13 y sea B una matriz columna de31. Entonces AB sera una matriz de 11, mientras que BAsera una matriz de 33.
A =(1 2 3
)B =
012
AB =(1 2 3
)012
BA =01
2
(1 2 3)
=(8)
=
0 0 01 2 32 4 6
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Operaciones con matrices
Producto de matrices
Ejemplo 4
Sea A una matriz fila de 13 y sea B una matriz columna de31. Entonces AB sera una matriz de 11, mientras que BAsera una matriz de 33.
A =(1 2 3
)B =
012
AB =(1 2 3
)012
BA =01
2
(1 2 3)
=(8)
=
0 0 01 2 32 4 6
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Indice
1 Matrices y vectoresOperaciones basicasProducto entre una matriz y un vector
2 Operaciones con matricesProducto de matricesTranspuesta de una matriz
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matriz AT llamada transpuesta de A.Las columnas de A son las filas de AT .Si A es de m n, la transpuesta es de n m.
Definicion 5 (traspuesta de una matriz)
El coeficiente de la fila i y la columna j de AT corresponde alde la fila j y la columna i de A(
aT)ij= aji
A =(
1 2 30 0 0
)AT =
1 02 03 0
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Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matriz AT llamada transpuesta de A.Las columnas de A son las filas de AT .Si A es de m n, la transpuesta es de n m.
Definicion 5 (traspuesta de una matriz)
El coeficiente de la fila i y la columna j de AT corresponde alde la fila j y la columna i de A(
aT)ij= aji
A =(
1 2 30 0 0
)AT =
1 02 03 0
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Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matriz AT llamada transpuesta de A.Las columnas de A son las filas de AT .Si A es de m n, la transpuesta es de n m.
Definicion 5 (traspuesta de una matriz)
El coeficiente de la fila i y la columna j de AT corresponde alde la fila j y la columna i de A(
aT)ij= aji
A =(
1 2 30 0 0
)AT =
1 02 03 0
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Transpuesta de una matriz
Convirtiendo las columnas en filas y viceversa
Definimos una matriz AT llamada transpuesta de A.Las columnas de A son las filas de AT .Si A es de m n, la transpuesta es de n m.
Definicion 5 (traspuesta de una matriz)
El coeficiente de la fila i y la columna j de AT corresponde alde la fila j y la columna i de A(
aT)ij= aji
A =(
1 2 30 0 0
)AT =
1 02 03 0
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Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Transponiendo vectores columna y vectores fila
Un vector columna v se transpone en uno fila vT .Un vector fila w se transpone en uno columna wT .
Transpuesta de un vector
v =
1020
vT = (1 0 2 0)
w =(pi pi2
)wT =
(pipi2
)
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Propiedades de la transposicion
Propiedades de la transposicion
Suma: la transpuesta de A+ B es AT + BT .Producto: la transpuesta de AB es (AB)T = BTAT .
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Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Propiedades de la transposicion
Propiedades de la transposicion
Suma: la transpuesta de A+ B es AT + BT .Producto: la transpuesta de AB es (AB)T = BTAT .
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Repaso de ideas clave
1 El (ab)ij de AB es (fila i de A) (columna j de B).2 El producto AB solo puede calcularse si el numero de
columnas n de A es igual el numero de filas p de B.3 La transpuesta pone las filas de A en las columnas de AT .
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Repaso de ideas clave
1 El (ab)ij de AB es (fila i de A) (columna j de B).2 El producto AB solo puede calcularse si el numero de
columnas n de A es igual el numero de filas p de B.3 La transpuesta pone las filas de A en las columnas de AT .
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Operaciones con matrices
Transpuesta de una matriz
Repaso de ideas clave
1 El (ab)ij de AB es (fila i de A) (columna j de B).2 El producto AB solo puede calcularse si el numero de
columnas n de A es igual el numero de filas p de B.3 La transpuesta pone las filas de A en las columnas de AT .
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Ejemplos con Sage
Operaciones con matrices de Rmn
Indice
3 Ejemplos con SageOperaciones con matrices de Rmn
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Ejemplos con Sage
Operaciones con matrices de Rmn
Hacer combinaciones lineales de matrices
# crear una matriz A R22, con filas (1,2) y (3,1)A = matrix([(1,2),(3,1)])# crear una matriz B R22, con filas (1,0) y (0,1)B = matrix([(1,0),(0,1)])# calcular la suma y la restaC = A + BD = A - Bprint Cprint D# calcular la combinacion lineal E = 2A+ 0,5BE = 2*A + 1/2*Bprint E
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Ejemplos con Sage
Operaciones con matrices de Rmn
Producto entre una matriz y un vector
# crear una matriz A R22, con filas (1,0) y (2,3)A = matrix([(1,0),(2,3)])# crear un vector x = (2,1) R2x = vector((2,1))# calcular el producto b = Axb = A*xprint b
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Ejemplos con Sage
Operaciones con matrices de Rmn
Producto entre dos matrices
# crear una matriz A R32,# con filas (2,2), (0,1) y (7,9)A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)])# crear una matriz B R23,# con filas (1,2,3) y (4,0,1)B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)])# calcular el producto ABprint A*B# calcular el producto BAprint B*A# comprobar que AB 6= BAprint (B*A)!=(A*B) # el resultado sera "True"
Tema 2: matrices y operaciones con matrices
Ejemplos con Sage
Operaciones con matrices de Rmn
Transpuesta de una matriz
# crear una matriz A R32A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)])# crear una matriz B R23B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)])# calcular la transpuesta del producto (AB)T
C = (A*B).transpose()print C# calcular el producto BTAT
D = B.transpose()*A.transpose()print D# comprobar que (AB)T == BTAT
print C == D # el resultado sera "True"
Matrices y vectoresOperaciones bsicasProducto entre una matriz y un vector
Operaciones con matricesProducto de matricesTranspuesta de una matriz
ApndiceEjemplos con SageOperaciones con matrices de Rmn