02 Metodos 27 Mayo 2014

19/04/23 09:07METODOS CUANTITATIVOS CONTABLES1

CURSO: METODOS CUANTITATIVOS CONTABLES CURSO: METODOS CUANTITATIVOS CONTABLES

DOCENTE : Dr. WILLIAM OJEDA PEREDADOCENTE : Dr. WILLIAM OJEDA PEREDA

ESCUELA : CONTABILIDADESCUELA : CONTABILIDAD

CICLO : VIICICLO : VII

TEMA : PROGRAMACION LINEALTEMA : PROGRAMACION LINEAL


LA PROGRAMACION LINEAL (PL)LA PROGRAMACION LINEAL (PL)

Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en: Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en: Modelos Determistas Modelos Determistas (MD) o (MD) o Modelos Estocásticos Modelos Estocásticos (ME). (ME).

En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con son conocidos con certeza absolutacerteza absoluta, a diferencia de los Modelos , a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una una distribución de probabilidad distribución de probabilidad asociada. asociada.

Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Determistas.enfocan sólo en Modelos Determistas.



La Programación Lineal (PL) La Programación Lineal (PL)

Es una herramienta para resolver Es una herramienta para resolver problemas de optimización. problemas de optimización.

Los modelos de Programación Lineal por Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de para abordar una gran variedad de problemas en las empresas modernas. problemas en las empresas modernas.



La Programación Lineal (PL) La Programación Lineal (PL) es una de las es una de las principales ramas de la Investigación principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo optimización donde las funciones que lo componen, es decir, componen, es decir, función objetivo función objetivo y y restriccionesrestricciones, son , son funciones lineales funciones lineales de de las variables de decisiones. las variables de decisiones.

Los modelos de Programación Lineal por Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de para abordar una gran variedad de problemas en las empresas modernas. problemas en las empresas modernas.



Aplicaciones de PL en empresas del Aplicaciones de PL en empresas del Perú Perú

1.1. PETROPERUPETROPERU

Modelo Matemático de Transporte de crudos y Modelo Matemático de Transporte de crudos y refinados para la asignación optima de la flota refinados para la asignación optima de la flota nacional.nacional.

Modelo de refinerías para la obtención de Modelo de refinerías para la obtención de gasolina del octanaje adecuado al mínimo costo.gasolina del octanaje adecuado al mínimo costo.

Modelos de selección de crudos.Modelos de selección de crudos.

Modelo matemático para la planta de lubricantes Modelo matemático para la planta de lubricantes del callao.del callao.

2.2. ALICORP (NICOLINI S.A.)ALICORP (NICOLINI S.A.)

Modelo de mezcla de insumos para la fabricación Modelo de mezcla de insumos para la fabricación de alimentos balanceados para aves.de alimentos balanceados para aves.



3.3. GLORIA (UNILECHE S.A.)GLORIA (UNILECHE S.A.)

Modelo de Transporte para las asignaciones de Modelo de Transporte para las asignaciones de rutas y vehículos de reparto de leche en Lima rutas y vehículos de reparto de leche en Lima Metropolitana.Metropolitana.

4.4. SIDERPERUSIDERPERU

Modelo de mezcla de insumos para la Modelo de mezcla de insumos para la alimentación del alto horno.alimentación del alto horno.

5.5. PARAMONGA LIMITADAPARAMONGA LIMITADA

Modelo ce corte optimo de bobinas de papel (trim Modelo ce corte optimo de bobinas de papel (trim prob lem).prob lem).

6.6. MINISTERIO DE TRANSPORTESMINISTERIO DE TRANSPORTES

Modelo de evaluación de proyectos de Modelo de evaluación de proyectos de construcción vial considerando los efectos construcción vial considerando los efectos regionales de centros de producción y consumo.regionales de centros de producción y consumo.



7.7. INSTITUTO NACIONAL DE PLANIFICACIONINSTITUTO NACIONAL DE PLANIFICACION

Modelo de selección de cartera de proyectos de Modelo de selección de cartera de proyectos de desarrollo económico.desarrollo económico.

8.8. SAGA, OSHLE, ETC (SEARS ROEBUCK DEL PERU)SAGA, OSHLE, ETC (SEARS ROEBUCK DEL PERU)

Modelo de selección de líneas de Modelo de selección de líneas de comercialización.comercialización.

9.9. MINISTERIO DE AGRICULTURAMINISTERIO DE AGRICULTURA

Modelo de rotación de cultivos para los valles de Modelo de rotación de cultivos para los valles de la costa norte del Perú.la costa norte del Perú.



10.10.MODELOS MATEMATICOS DE CENTROMIN- PERUMODELOS MATEMATICOS DE CENTROMIN- PERU

Modelo de minas de casapalca: Modelo de minas de casapalca: determinar un plan determinar un plan de minado optimo para la mina casapalca.de minado optimo para la mina casapalca.

Modelo de cobre y plomo: Modelo de cobre y plomo: es una herramienta para es una herramienta para la toma de decisiones formuladas en PL que tiene la toma de decisiones formuladas en PL que tiene como objetivo estructura los estimados de como objetivo estructura los estimados de producción de cinco minerales(cobre, plomo, plata, producción de cinco minerales(cobre, plomo, plata, oro y bismuto).oro y bismuto).

Modelo para la comercialización de concentrado de Modelo para la comercialización de concentrado de Zinc Nacional: Zinc Nacional: la producción es colocada a través de la producción es colocada a través de mas de cincuenta contratosmas de cincuenta contratos de venta en los de venta en los mercados de Europa (53%), Japón (12%), África (6%) mercados de Europa (53%), Japón (12%), África (6%) y otros (6%), cada uno de estos contratos tiene y otros (6%), cada uno de estos contratos tiene características propias, pudiendo cada uno características propias, pudiendo cada uno involucrase una o mas producciones.involucrase una o mas producciones.


2.2. GE CapitalGE Capital, usa la PL para ayudar a determinar la estructuración óptima del arrendamiento.

3.3. Marathon Oil CompanyMarathon Oil Company, emplea la PL para elaborar gasolina y para evaluar la economía de nuevos terminales u oleoductos.


Aplicaciones PL en las empresas Aplicaciones PL en las empresas multinacionales:multinacionales:

1.1. Eastman Kodad, Eastman Kodad, usa la PL para determinar en usa la PL para determinar en cuál de sus plantas, localizadas en todo el mundo, cuál de sus plantas, localizadas en todo el mundo, producirá sus productos.producirá sus productos.


Otras aplicaciones generales de la Programación Otras aplicaciones generales de la Programación Lineal:Lineal:

1.1. Un fabricante Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventarios que satisfagan la demanda de ventas en periodos futuros. El programa y la política permitirán a la compañía satisfacer la demanda y al mismo tiempo minimizar la producción total y los costos de inventarios.


4.4. MC en AcciónMC en Acción, usa la PL para el modelo de recolección de madera en Mead Westovaco Corporation:

5.5. Hanshin Expresway Public CorporationHanshin Expresway Public Corporation, utiliza la PL, para el control del transito en una autopista urbana de cuota en Osaka, Japón.


3.3. Un gerente de mercadotecnia Un gerente de mercadotecnia desea determinar cómo asignar mejor un Ptto., de publicidad fijo entre los medios alternativos: radio TV, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría determinar la mezcla de medios que maximice la efectividad de la publicidad.

4.4. Una empresa tiene almacenes Una empresa tiene almacenes en diversas ubicaciones. Dadas las demandas específicas de los clientes, a la compañía le gustaría determinar cuánto debería embarcar de cada almacén a cada cliente, de modo que se minimicen los costos de transporte total.


2.2. Un analista financiero Un analista financiero debe seleccionar un portafolio de inversión elegido entre varias alternativas de acciones y bonos. Al analista le gustaría establecer el portafolio que maximice el retorno de la inversión.

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Estos ejemplos son sólo unas algunas aplicaciones donde se ha usado exitosamente la PL, ilustran la diversidad de sus aplicaciones. En los ejemplos anteriores estamos interesados en maximizar o minimizar alguna cantidad.

1.1. El fabricante El fabricante desea minimizar costosminimizar costos.

2.2. El analista financiero El analista financiero desea maximizarmaximizar el retorno sobre la inversión.inversión.

3.3. El gerente de mercadotecnia El gerente de mercadotecnia desea maximizarmaximizar la efectividad de la publicidad.publicidad.

4.4. La compañía La compañía deseo minimizarminimizar los costoscostos de transporte totales.



Todos los problemas de PL tienen una segunda propiedad:

LIMITACIONESLIMITACIONES oo RESTRICCIONESRESTRICCIONES que reducen el grado en que puede conseguir su objetivo.En los ejemplos anteriores las restricciones son :

1.1. El fabricante El fabricante está limitado por restriccionesrestricciones que requieren que satisfaga la demanda del producto y por las restricciones que limitan la capacidad de produccióncapacidad de producción.

2. El problema de portafolios del analista financiero analista financiero está restringidorestringido por la capacidad total de fondos de inversión fondos de inversión disponibles y las cantidades máximas que pueden invertirseinvertirse en cada acción o bono.


3. La decisión de selección de medios del gerente de gerente de mercadotecnia mercadotecnia está restringidarestringida por un PttoPtto., para publicidad fijo y la disponibilidad de los diversos mediosdiversos medios.

4. El problema de transportetransporte, el calendario de embarques se costo mínimo está restringidorestringido por el suministro de productos disponibles en cada almacéndisponibles en cada almacén.



FUNCIÓN FUNCIÓN OBJETIVOOBJETIVO

minimizaminimizarr

RESTRICCIONESRESTRICCIONES

MODELO DE MODELO DE PROGRAMACIOPROGRAMACION LINEAL (PL)N LINEAL (PL)

maximizamaximizarr

limitaciólimitaciónn

requerimienrequerimientoto

RESUMEN:


≥≥ representa la restricción de requerimiento (cuando menos tan grande como, por lo menoscuando menos tan grande como, por lo menos)

≤≤ representa la restricción de una limitación (no mas no mas

queque)

== representa una igualdad (exactamente igual queexactamente igual que)

Se debe tener en cuenta si los coeficientes de la función objetivo se refieren a dólares por kilo, las variables de decisión de la función objetivo deberán estar en kilos

De igual modo las restricciones del LD deben ser iguales

a las del LI, respecto a las unidades de medida.


RESUMEN



Un problema de PL consiste en encontrar el Un problema de PL consiste en encontrar el máximomáximo o el o el mínimomínimo de una función, como, por ejemplo, los beneficios de una empresa de una función, como, por ejemplo, los beneficios de una empresa o el costo de una dieta, teniendo en cuenta una serie de o el costo de una dieta, teniendo en cuenta una serie de limitaciones (limitaciones (restriccionesrestricciones) impuestas por las ) impuestas por las condicionescondiciones materiales en las que se desarrolla nuestro problema (número de materiales en las que se desarrolla nuestro problema (número de trabajadores, cantidad mínima diaria de calorías, etc.) trabajadores, cantidad mínima diaria de calorías, etc.)

Un problema de PL presenta siempre los siguientes elementos:Un problema de PL presenta siempre los siguientes elementos:

Un Un sistema de inecuacionessistema de inecuaciones, llamadas , llamadas restriccionesrestricciones, , impuestas por la naturaleza del problema. El polígono convexo impuestas por la naturaleza del problema. El polígono convexo formado por las soluciones del sistema recibe el nombre de formado por las soluciones del sistema recibe el nombre de región región factible.factible.Una función lineal de dos variables, de la forma Una función lineal de dos variables, de la forma f(x,y)=ax+by+cf(x,y)=ax+by+c, , que recibe el nombre de que recibe el nombre de función objetivofunción objetivo. Resolver el problema . Resolver el problema

consiste en encontrar el consiste en encontrar el puntopunto, o los , o los puntospuntos, de la región factible , de la región factible

en los que f(x,y) alcanza su en los que f(x,y) alcanza su máximomáximo o su o su mínimomínimo. .

En qué consiste un problema de Programación LinealEn qué consiste un problema de Programación Lineal


optimizar (maximizar o minimizar) optimizar (maximizar o minimizar)

Z = cZ = c11××11 + c + c22××2 2 +….+ c+….+ cnnxxnn

sujeta a las restricciones: sujeta a las restricciones:

aa1111xx11 + a + a1212xx22 +....+ a +....+ a1n1nxxnn ((<=,<=,>=,>=,==) b) b11

aa2121xx11 + a + a2222xx22 +....+ a +....+ a2n2nxxnn ((<=<=,>=,,>=,==) b) b22

. . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . .aam1m1xx11 + a + am2m2xx22 +....+ a +....+ amnmnxxnn ((<=<=,>=,,>=,==) b) bmm

XX11 >= 0, X >= 0, X22 >= 0, ..., X >= 0, ..., Xnn >=0. >=0.

FORMA ESTANDAR DEL MODELO DE PLFORMA ESTANDAR DEL MODELO DE PL


RESUMEN


El método Simplex es un procedimiento El método Simplex es un procedimiento general para resolver problemas de general para resolver problemas de programación lineal. Desarrollado por George programación lineal. Desarrollado por George Dantzig en 1947, esta comprobada su Dantzig en 1947, esta comprobada su extraordinaria eficiencia, y se usa en forma extraordinaria eficiencia, y se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes enrutinaria para resolver problemas grandes encomputadoras actuales. También se usan computadoras actuales. También se usan extensiones y variaciones del método extensiones y variaciones del método Simplex para realizar Simplex para realizar análisis posoptimo (que análisis posoptimo (que incluye el análisis de sensibilidad) sobre el incluye el análisis de sensibilidad) sobre el modelo.modelo.


METODO SIMPLEX: METODO SIMPLEX: SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL


Esencia del Método Simplex.Esencia del Método Simplex.El método Simplex es un procedimiento algebraico, Sin embargo, El método Simplex es un procedimiento algebraico, Sin embargo,

sus conceptos fundamentales son geométricos, por lo que la sus conceptos fundamentales son geométricos, por lo que la comprensión de estos conceptos geométricos nos proporciona comprensión de estos conceptos geométricos nos proporciona una fuerte intuición sobre como opera el método Simplex y una fuerte intuición sobre como opera el método Simplex y porque es tan eficiente. porque es tan eficiente.

Para comprender los conceptos geométricos, volveremos a analizar Para comprender los conceptos geométricos, volveremos a analizar el problema de la W Glass, En la figura 1 se marcaron las cinco el problema de la W Glass, En la figura 1 se marcaron las cinco restricciones de frontera y sus puntos de intersección ya que son restricciones de frontera y sus puntos de intersección ya que son puntos clave para el análisis. Una frontera de restricción es una puntos clave para el análisis. Una frontera de restricción es una recta que marca el límite de lo que permite la restricción recta que marca el límite de lo que permite la restricción correspondiente. Los puntos de intersección son las soluciones correspondiente. Los puntos de intersección son las soluciones en los vértices para el problema. Los cinco puntos que se en los vértices para el problema. Los cinco puntos que se encuentran en los vértices de la región factible son:encuentran en los vértices de la región factible son:

(0,0), (0,6), (2,6), (4,3) y (4,0), y corresponden a las soluciones (0,0), (0,6), (2,6), (4,3) y (4,0), y corresponden a las soluciones factibles en los vértices (soluciones FEV). Los otros tres: (0,9), factibles en los vértices (soluciones FEV). Los otros tres: (0,9), (4,6) y (6,0) se (4,6) y (6,0) se

El llaman soluciones no factibles en un vértice. El llaman soluciones no factibles en un vértice.










1.1. Preparar una gráfica para cada restricción que muestre las Preparar una gráfica para cada restricción que muestre las soluciones que satisfagan la restricción.soluciones que satisfagan la restricción.

2.2. Determinar la región factible identificando las soluciones que Determinar la región factible identificando las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones.satisfacen simultáneamente todas las restricciones.

3.3. Trazar líneas de función objetivo que muestren los valores Trazar líneas de función objetivo que muestren los valores de las variables de decisión que producen valores de las variables de decisión que producen valores especificados para la misma.especificados para la misma.

4.4. Mover líneas de función objetivo paralelas hacia valores Mover líneas de función objetivo paralelas hacia valores mayores de la función objetivo hasta que un mayor mayores de la función objetivo hasta que un mayor movimiento sacaría a la línea por completo de la región movimiento sacaría a la línea por completo de la región factible.factible.

5.5. Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con el valor máximo encontrado el valor máximo encontrado por el procedimiento anterior es por el procedimiento anterior es una solución óptima. una solución óptima.


MAXIMIZACIONProcedimiento de solución gráfica para problemas de Procedimiento de solución gráfica para problemas de

maximizaciónmaximización


RMC es una pequeña empresa que fabrica una variedad de productos basados en sustancias químicas. En un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustibles y una base para solvente. Este aditivo para combustible se vende a compañías petroleras y se usa para la producción de gasolina y combustibles . La base para solvente se vende a una variedad de empresas químicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar y la industria, como se indica en el siguiente cuadro:


EJEMPLO Nº 01


MATERIAL PRODUCTO

ADITIVO BASE

Material 1 0,4 0,5

Material 2 - 0,2

Material 3 0,6 0,3


EJEMPLO Nº 01


La producción de RMC está restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el periodo actual se tiene la siguiente información:

MATERIAL CANTIDAD DISPONIBLE PARA LA PRODUCCION

Material 1 20 Toneladas




EJEMPLO Nº 01


EL DEPARTAMENTO DE CONTABILIDAD analizó las cifras de producción, asignó todos los costos relevantes y fijó precios para ambos productos, produciendo una contribución a la utilidad de $40utilidad de $40 por cada tonelada de aditivo del combustible producido y $30 por cada $30 por cada tonelada producidotonelada producido de base para solvente.

Usando la PL determinar la cantidad de aditivo para combustible y la cantidad de base para el solvente por producir a fin de maximizar la contribución a la ganancia total.


EJEMPLO Nº 01


FORMULACION DEL PROBLEMA

MODELO MATEMATICO

DESCRIBIR EL OBJETIVO

MAXIMIZAR LA CONTRIBUCION TOTAL A LA GANANCIA

RESTRICCIONES 3 RESTRICCIONES :

MATERIAL 1 ≤ 20 TONELADAS




EJEMPLO Nº 01


VARIABLES DE DECISION

F = Cantidad de toneladas de aditivo para combustible

S = Cantidad de toneladas de base para solvente

FUNCION OBJETIVO

Maximizar Z = 40F +30S

AGREGAR LAS AGREGAR LAS RESTRICCIONES RESTRICCIONES DE NO DE NO NEGATIVIDADNEGATIVIDAD

0 ; S 0 (F,S 0) F


EJEMPLO Nº 01


MODELO MATEMATICO

Maximizar Z = 40F +30S

Sujeto a (s. a.)

0,4F +0,5S ≤ 20 material 1

0,2S ≤ 5 material 2

0,6F +0,3S ≤ 21 material 3

La idea es hallar la mezcla de productos (es decir la combinación de F y S) que satisfaga las restricciones y, al mismo tiempo produzcan un valor máximo para la función objetivo. Una vez que se han calculado estos valores se F y S, habremos encontrado la solución óptima para el problema.

SOLUCIÓN


EJEMPLO Nº 01



EJEMPLO Nº 01

La solución óptima es F = 25 y S = 20

Maximizar S/. 1600.00

S

F1

54

3

2

40F + 50S = 160040F + 50S = 1600

Punto optimoPunto optimo

(F = 25 , S = 20)


VARIABLE DE VARIABLE DE HOLGURAHOLGURA

Además de la solución óptima y su contribución a la ganancia asociada, los gerentes de RMC desearán información de los requerimientos de producción para las tres materiales. Se determina esta información sustituyendo los valores de solución óptima (F = 25 y S= 20) en las restricciones del programa lineal. Toneladas requeridas toneladas toneladas

Restricción F = 25 y S= 20 disponibles no usadas

Material 1 0,4(25) +0,5(20) = 20 20 0

Material 2 0,2(20) = 4 5 1

Material 3 0,6(25) +0,3(20) = 21 21 0


EJEMPLO Nº 01


Por tanto, la solución completa indica a la administración que la producción de 25 toneladas de aditivo para combustible y 20 toneladas de base para solventes requerirán todo el material 1 y material 3 disponibles, pero sólo 4 de las 5 toneladas del material 2.

La tonelada del material 2 sin usar se conoce como una HOLGURA

Por tanto, la restricción del material 2 tiene una holgura de una tonelada.


EJEMPLO Nº 01


EJEMPLO Nº 01

Restricción Valor de la variable de holgura

Material 1 S1 = 0

Material 2 S2 = 1

Material 3 S3 = 0


Es la cantidad de Es la cantidad de recursos no usados recursos no usados (sin usar)(sin usar), una restricción <= se le , una restricción <= se le conoce como una holgura asociada con conoce como una holgura asociada con la restricción.la restricción.


EJEMPLO Nº 02


Utilice el método grafico para resolver el problema:Maximizar Z = 2X1 + X2

s.a. X2 ≤ 10 2X1 + 5X2 ≤ 60 X1 + X2 ≤ 18 3X1 + X2 ≤ 44 X1,X2 ≥ 0

Hallar la solución optima mediante el método grafico. Hallar las variables de holgura y/o excedente


EJEMPLO Nº 03


Utilice el método grafico para resolver el problema:Maximizar Z = 10X1 + 20X2

s.a. -X1 + 2X2 ≤ 15 X1 + X2 ≤ 12 5X1 + 3X2 ≤ 45 X1,X2 ≥ 0

Hallar la solución optima mediante el método grafico. Hallar las variables de holgura y/o excedente


1.1. Preparar una gráfica para cada restricción que muestre Preparar una gráfica para cada restricción que muestre las soluciones que satisfagan la restricción.las soluciones que satisfagan la restricción.

2.2. Determinar la región factible identificando las soluciones Determinar la región factible identificando las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones.que satisfacen simultáneamente todas las restricciones.

3.3. Trazar líneas de función objetivo que muestren los Trazar líneas de función objetivo que muestren los valores de las variables de decisión que producen valores valores de las variables de decisión que producen valores especificados para la misma.especificados para la misma.

4.4. Mover líneas de función objetivo paralelas hacia valores Mover líneas de función objetivo paralelas hacia valores más pequeños de la función objetivo hasta que un más pequeños de la función objetivo hasta que un movimiento mayor a la línea por completo de la región movimiento mayor a la línea por completo de la región factible.factible.

5.5. Cualquier solución factible en la línea de función objetivo Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con con el valor más pequeño el valor más pequeño es una solución óptima. es una solución óptima.


MINIMIZACIONProcedimiento de solución gráfica para problemas de Procedimiento de solución gráfica para problemas de

minimizaciónminimización


EJEMPLO Nº 04

M & D Chemical produce productos que se venden como materias primas a compañías que fabrican jabones para baño y detergentes para ropa. Basado en un análisis de los niveles de inventarios actuales y de la demanda potencial para el mesa siguiente, la gerencia de M & D ha especificado que la producción combinada para los productos A y B debe ser en total al menos 350 galonesal menos 350 galones. Por separado, tambiéntambién debe satisfacer un pedido de un cliente importante de 125 galones125 galones del producto A. El producto A requiere dos horas de procesamiento por galón, mientras el producto B requiere una hora de procesamiento por galón, y para el siguiente mes se dispone de 600 horas600 horas de tiempo de procesamientode tiempo de procesamiento. El objetivo de M & D es satisfacer estos requerimientos con un costo total de producción MÍNIMAMÍNIMA. Los costos de producción $2$2 por galón para el producto A y $3$3 por galón para el producto B.



EJEMPLO Nº 04

A = Cantidad de galones del A = Cantidad de galones del producto Aproducto A

B = Cantidad de galones del B = Cantidad de galones del producto Bproducto B

FUNCION OBJETIVO

Minimizar Z = 2A +3B

VARIABLES DE VARIABLES DE DECISIONDECISION

RESTRICCIONES

Demanda del producto A ≥ 125 galones

Producción total ≥ 350 galones

Tiempo de procesamiento ≤ 600 horas

0 ; B 0 (A,B 0)A RESTRICCIONES DE RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDADNO NEGATIVIDAD



EJEMPLO Nº 04

MODELO MATEMATICO

Minimizar Z = 2A +3B

s. a.

A 125

A + B 350

2A + B ≤ 600

A,B 0


Demanda para el producto A

Producción total

Tiempo de procesamiento


EJEMPLO Nº 04


La solución óptima es A = 250 y B = 100

Minimizar S/. 800.00

SOLUCION

B

A

Punto optimo

(A = 250 , B = 100)


EJEMPLO Nº 04

VARIABLE DE EXCEDENTE

La solución óptima del problema de M & D Chemical muestra la producción total deseada de:

A + B = 350 250 +100 = 350 galones se ha logrado todo el tiempo de procesamiento

2A + B = 600 2(250) +100 = 600 horas

Se observa en la restricción 1: requiere que la demanda del producto A se debe cumplir con A = 250 galones. La producción del producto A excede en: 250 – 125 = 125 galones. Este exceso de producción del producto A se conoce EXCEDENTEEXCEDENTE



EJEMPLO Nº 04

Restricción Valor de la variable de excedente

Demanda del producto A S1 = 125

Producción total S2 = 0

Tiempo de procesamiento S3 = 0


Generalmente, el valor de esta Generalmente, el valor de esta variable puede interpretarse como variable puede interpretarse como la la cantidad por encima cantidad por encima de algún de algún nivel mínimo requerido. nivel mínimo requerido. (satisface (satisface en exceso)en exceso)


EJEMPLO Nº 05


Minimizar Z = 40XMinimizar Z = 40X11 + 50X + 50X22

s.a. s.a. 2X2X11 + 3X + 3X22 ≥ 30 ≥ 30 XX11 + X + X22 ≥ 12 ≥ 12 2X2X11 + X + X22 ≥ 20 ≥ 20 XX11,X,X22 ≥ 0 ≥ 0

Hallar la variable de holgura y/o Hallar la variable de holgura y/o excedente. excedente.


EJEMPLO Nº 06


Minimizar Z = 3XMinimizar Z = 3X11 + 2X + 2X22

s.a. s.a. XX11 + 2X + 2X22 ≤ 12 ≤ 12 2X2X11 + 3X + 3X22 = 12 = 12 2X2X11 + X + X22 ≥ 8 ≥ 8 XX11,X,X22 ≥ 0 ≥ 0Hallar la variable de holgura y/o Hallar la variable de holgura y/o excedente. excedente.


POR LO TANTO:POR LO TANTO:

El problema de RMC todas las restricciones fueron del

tipo ≤, el problema de M & D Chemical las

restricciones fueron una mezcla de tipos y ≤ .

La cantidad y tipos de restricciones en un problema de PL, depende de las condiciones específicas existentes en el problema.

En los problemas de PL se pueden tener restricciones

, ≤ y =. Para la = Las soluciones factibles están en la misma línea de restricción.



1

23

4

5

S

F

40F + 50S = 200040F + 50S = 2000




CASOS ESPECIALESA.A. SOLUCIONES OPTIMAS ALTERNATIVAS.-SOLUCIONES OPTIMAS ALTERNATIVAS.- en donde más

de una solución proporciona el valor óptimo para la función objetivo


POR LO TANTO:POR LO TANTO:

Para un problema de PL, con soluciones óptimas alternativas es una buena situación para el gerente; significa que varias combinaciones de las variables de

decisión son óptimas y que el

gerente puede seleccionar las solución óptimas más adecuada.


CASOS ESPECIALES


B.B. SOLUCION NO FACTIBLE.-SOLUCION NO FACTIBLE.- significa que ninguna solución al problema de PL satisface todas las restricciones, incluyendo las restricciones de no negatividad. Gráficamente esto significa que no existe una región factible, ningún punto satisface todas las ecuaciones de restricción y las condiciones de no negatividad de manera simultanea.


CASOS ESPECIALES

S

F

Puntos que satisfacen Los requerimientosde material

Puntos que satisfacen Los requerimientos deproducción Mínimos(F30 , S15)


C. SOLUCION ILIMITADA.- la solución a un problema de PL de maximización es ilimitado si el valor de la solución puede hacerse infinitamente grande sin violar ninguna de las restricciones; para un problema de minimización, la solución es ilimitada si el valor puede hacerse infinitamente pequeño. Bajo esta condición se denomina UTOPIA GERENCIAL.

p.e, si esta condición ocurriera en un problema de maximización de la ganancia, el gerente podría lograr una ganancia ilimitada.


CASOS ESPECIALES


S

F

REGION FACTIBLE

La función objetivo aumenta sin limite

20X + 10Y = 160

20X +

10Y =

240

20X +

10Y =

240

20X +

10Y =

240


CASOS ESPECIALES

Maximizar 20X +10Y

s. a.

X 2

Y ≤ 5

X,Y 0

p.e.


EJEMPLO Nº 07

Un asesor financiero en Diehl Investments identifico dos compañías que Un asesor financiero en Diehl Investments identifico dos compañías que son probables candidatos para una adquisición en el futuro cercano. son probables candidatos para una adquisición en el futuro cercano. Eastern Cable es un fabricante importante de sistemas de cable flexible Eastern Cable es un fabricante importante de sistemas de cable flexible usados en la industria de la construcción, y ComSwitch es una empresa usados en la industria de la construcción, y ComSwitch es una empresa nueva especializada en sistemas de conmutación digital. Eastern Cable en nueva especializada en sistemas de conmutación digital. Eastern Cable en la actualidad esta cotizando a $40 por acción y ComSwitch a $25 por la actualidad esta cotizando a $40 por acción y ComSwitch a $25 por acción. Si ocurre la adquisición, el asesor financiero estima que el precio acción. Si ocurre la adquisición, el asesor financiero estima que el precio de Eastern Cable subirá a $55 por acción y ComSwitch a $43, en este punto de Eastern Cable subirá a $55 por acción y ComSwitch a $43, en este punto en el tiempo, el asesor financiero ha identificado a ComSwitch como la en el tiempo, el asesor financiero ha identificado a ComSwitch como la alternativa de mayor riesgo. Suponga que un cliente indico una alternativa de mayor riesgo. Suponga que un cliente indico una disposición a invertir un máximo de $500000 en las dos compañías. El disposición a invertir un máximo de $500000 en las dos compañías. El cliente desea invertir al menos $15000 en Eastern Cable y al menos cliente desea invertir al menos $15000 en Eastern Cable y al menos $10000 en ComSwitch. Debido al mayor riesgo asociado con ComSwitch, el $10000 en ComSwitch. Debido al mayor riesgo asociado con ComSwitch, el asesor financiero ha recomendado que deberían invertirse cuando mucho asesor financiero ha recomendado que deberían invertirse cuando mucho $25000 en ella.$25000 en ella.


a)a) Formule un modelo de PL que pueda usarse para determinar la cantidad Formule un modelo de PL que pueda usarse para determinar la cantidad de acciones de Eastern Cable y la cantidad de acciones de ComSwitch de acciones de Eastern Cable y la cantidad de acciones de ComSwitch

que cumplan que cumplan con las restricciones de la inversión y maximicen con las restricciones de la inversión y maximicen los los intereses totales por la intereses totales por la inversión. Y su solución factible.inversión. Y su solución factible.

b)b) Determinar las coordenadas en cada punto.Determinar las coordenadas en cada punto.


EJEMPLO Nº 07

Según los datos que se indica en la sgte tabla, cuyo objetivo es Según los datos que se indica en la sgte tabla, cuyo objetivo es minimizar el costo de realizar dos actividades no negativas para minimizar el costo de realizar dos actividades no negativas para lograr tres beneficios que nunca están por debajo de ciertos lograr tres beneficios que nunca están por debajo de ciertos niveles mínimos.niveles mínimos.


a)a) Formular el modelo de PL y su respectiva solución Formular el modelo de PL y su respectiva solución optima.optima.

b)b) Hallar la variable de holgura y/o Excedente.Hallar la variable de holgura y/o Excedente.

BENEFICIOSBENEFICIOS

CONTRIBUCION AL CONTRIBUCION AL BENEFICIO POR BENEFICIO POR

UNIDAD DE ACTIVIDADUNIDAD DE ACTIVIDADNIVEL NIVEL

MINIMO MINIMO ACEPTABLEACEPTABLEACTIV 1ACTIV 1 ACTIV 2ACTIV 2

11

22

33

55

22

77

33

22

99

6060

3030

126126

COSTO COSTO UNITARIOUNITARIO

$60,00$60,00 $50,00$50,00


EJEMPLO Nº 08

Al restaurante Sea Whart le gustaría determinar la mejor forma de Al restaurante Sea Whart le gustaría determinar la mejor forma de asignar un Pptto de publicidad mensual de $1000,00 entre periódico y asignar un Pptto de publicidad mensual de $1000,00 entre periódico y radio. La administración decidió que al menos 25% del Pptto debe radio. La administración decidió que al menos 25% del Pptto debe gastarse en cada tipo de medio de comunicación y que la cantidad de gastarse en cada tipo de medio de comunicación y que la cantidad de dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe ser al menos el dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe ser al menos el doble de la cantidad gastada en publicidad en radio. Un asesor en doble de la cantidad gastada en publicidad en radio. Un asesor en mercadotecnia elaboro un índice que mide la penetración en la mercadotecnia elaboro un índice que mide la penetración en la audiencia por dólar de publicidad en una escala de 0 a 100, en la que audiencia por dólar de publicidad en una escala de 0 a 100, en la que valores mas altos implican una mayor penetración. Si el valor del índice valores mas altos implican una mayor penetración. Si el valor del índice para publicidad en periódicos locales es 50 y el valor del índice para los para publicidad en periódicos locales es 50 y el valor del índice para los espacios publicitarios en radio es 80. como debería asignar el espacios publicitarios en radio es 80. como debería asignar el restaurante su Pptto de publicidad a fin de maximizar el valor de la restaurante su Pptto de publicidad a fin de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia.penetración total en la audiencia.


a)a) Formule un modelo de PL, para determinar como debería asignar el Formule un modelo de PL, para determinar como debería asignar el restaurante su Pptto de publicidad a fin de maximizar el valor de la restaurante su Pptto de publicidad a fin de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia.penetración total en la audiencia.

b)b) Resolver el problema mediante el modelo grafico y software.Resolver el problema mediante el modelo grafico y software.




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02 Metodos 27 Mayo 2014