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8/18/2019 02 Modelos de programación lineal.pptx
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Modelos de programación
linealMiguel Mejía Puente
8/18/2019 02 Modelos de programación lineal.pptx
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Contenido
• Problema de programación lineal.• Requerimientos del problema de programación lineal.
• Método gráfco para resolver problemas demaimi!ación con dos variables.
• Método gráfco para resolver problemas deminimi!ación con dos variables.
• Casos especiales de programación lineal.
• "olución de problemas de programación lineal
usando computadora.• #nálisis de sensibilidad gráfco $ por computadora.
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Problema de programación lineal
Programación lineal %P&'
• (s una técnica de modelado usada en elproceso de toma de decisiones.
•Primera etapa.) variables de decisión.• "egunda etapa.) restricciones.
• *ercera etapa.) +unción objetivo.
Problema de programación lineal %PP&'
• ,estión de las industrias.
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Requerimientos del problema deprogramación lineal
• &a programación lineal %P&' es un problema deoptimi!ación para el cual se e+ect-a losiguiente "e intenta maimi!ar %o minimi!ar' una +unción
lineal %llamada +unción objetivo' de las variables dedecisión. &os valores de las variables de decisión deben
satis+acer un conjunto de restricciones. Cadarestricción debe ser una ecuación o inecuación
lineal. /na restricción de signo es asociada con cada
variable.
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Cinco suposiciones básicas de P&%0'
Certe!a. &os n-meros en la +unción objetivo$ las restricciones son conocidos concerte!a $ no pueden cambiar durante elperiodo en que se está 1aciendo el estudio.
Proporcionalidad. (iste en la +unciónobjetivo $ las restricciones.
#ditividad.) (l total de todas las actividades
es igual a la suma de las actividadesindividuales.
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Cinco suposiciones básicas de P&%2'
3ivisibilidad.) &as soluciones no necesitanser n-meros enteros. &as soluciones sondivisibles $ pueden tomar cualquier valor
+raccionario.4o negatividad.) *odas las respuestas ovariables son no negativas %5 6'.&osvalores negativos de cantidades +ísicasson imposibles.
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7ormulación de un problema deP& %0'
3ado un conjunto de m ecuaciones oinecuaciones lineales $ n variables de decisión8se requiere 1allar valores no negativos de estasvariables que satis+agan las restricciones $
maimicen o minimicen la +unción lineal de lasvariables llamada +unción objetivo.
Matemáticamente tenemos la siguiente+ormulación
9ariables de 3ecisión
: j 8 j ; 08 28
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7ormulación de un problema deP& %2'
7unción objetivoMa %ó Min' = ; C
0:
0 > C
2:
2 > . . . . . . > C
n:
n
Restricciones
a00:0 > a02:2 > ... > a0n:n ?≤8 =8 ≥ b0
a20
:0 > a
22:
2 > ... > a
2n:
n ?≤8 =8 ≥ b
2
...
am0:0 > am2:2 > ...> amn:n ?≤
8=
8≥
bmRango de eistencia
: j ≥ 68 j ; 08 28
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(jemplos de +ormulación de PP&%0'9ariables de decisión:0 n-mero de automóviles que se compran $ venden por mes
:2 n-mero de camionetas que se compran $ venden por mes
7unción objetivoMaimi!ar utilidades
Ma = ; A66 :0 > B66 :2 RestriccionesCantidad máima de automóviles que puede proveer el +abricante:0 ≤ A66
Cantidad máima de camionetas que puede proveer el +abricante:2 ≤ 266
*iempo disponible para preparar automóviles $ camionetas2 :0 > A :2 ≤ 66
Rango de eistencia:08 :2 ≥ 63/29/16 Miguel Mejía Puente 9
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(jemplos de +ormulación de PP&%2'9ariables de decisión:0 cantidad de acres de brócoli que se cultivan $ venden por
temporada:2 cantidad de acres de coliDor que se cultivan $ venden por
temporada
7unción objetivoMaimi!ar utilidadesMa = ; E666 :0 > 0666 :2Restricciones3isponibilidad de acres para cultivar brócoli $ coliDor0 :0 > 0 :2 ≤ E66
Restricción gubernamental para cultivar brócoli0 :0 ≤ 266
3isponibilidad de tiempo en 1oras)1ombre2.E :0 > E.E :2 ≤ 0 266
Rango de eistencia3/29/16 Miguel Mejía Puente 10
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(jemplos de +ormulación de PP&%A'9ariables de decisión:0 cantidad de camionetas que se compran $ venden durante el
aFo:2 cantidad de autobuses pequeFos que se compran $ venden
durante el aFo
:A cantidad de autobuses grandes que se compran $ vendendurante el aFo7unción objetivoMaimi!ar utilidadesMa = ; 2666 :0 > 2G66 :2 > HE66 :ARestricciones
Inversión disponibleHE66 :0 > 06E66 :2 > 2 666 :A ≤ E66666
Capacidad de mantenimiento %t es el tiempo de mantenimiento deuna camioneta't:0 > 0.Et :2 > At :A ≤ A6t3/29/16 Miguel Mejía Puente 11
é á
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Método gráfco para resolverproblemas de maimi!ación condos variables• &a +orma más +ácil de resolver un problema de
P& con dos variables es con el método gráfco.
• (l método gráfco +unciona sólo cuandoeisten dos variables de decisión8 pero es
invaluable $a que da una idea de cómo+uncionan otros métodos.
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(mpresa maderera %0'
• /na empresa maderera +abrica dos productos8mesas $ sillas8 que usan recursos limitados8tales como8 personal8 máquinas8 materiasprimas8 etc.
• &a empresa desea maimi!ar utilidades queestán basadas en la contribución de cadamesa $ silla producida.
• "e desea determinar cuántas mesas $ sillasdebería +abricar la empresa para maimi!arutilidades8 dados sus recursos limitados.
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(mpresa maderera %2'
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Maimi!ar la utilidad"ujeta a
Joras de carpintería utili!adas ≤ 2B6 1oras porsemana
Joras de pintura $ barni!ado utili!adas ≤ 066
Identifcar el objetivo $ las restricciones
Joras requeridas para producir una unidad
3epartamento Mesas
"illas3isponibilida
d%1orasKsema
na'Carpintería Pintura $
barni!ado
B2
A0
2B6066
/tilidad %/M porunidad'
L.66E.66
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epresen ac n gr ca e as
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&as condicionesde no
negatividad :0 56 $ :2 5 6signifcan quesiempre se
trabaja en elprimercuadrante.
epresen ac n gr ca e asrestricciones%0'
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epresen ac n gr ca e as
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epresen ac n gr ca e asrestricciones%2'
• &a restricción de Carpintería es B:0 > A:2 2B6.
• "e grafca la restricción en +orma de igualdadB:0 > A:2 ; 2B6.
Primero8 sea :0 ; 6 $ resuelva para el punto
donde la línea cru!a el eje :2. B%6' > A%:2' ; 2B68:2 ; G6 sillas.
3espués sea :2 ; 6 $ resuelva para el punto
donde la línea cru!a el eje :0. B%:0' > A%6' ; 2B68:0 ; H6 mesas.
• &a restricción de Carpintería está limitada porla línea que va del punto %:0 ; 68 :2 ; G6' al3/29/16 Miguel Mejía Puente 17
epresen ac n gr ca e as
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epresen ac n gr ca e asrestricciones%A'
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epresen ac n gr ca e as
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epresen ac n gr ca e asrestricciones%B'
• &a restricción de Pintura $ Narni!ado es 2:0 >0:2 066.
• "e grafca la restricción en +orma de igualdad2:0 > 0:2 ; 066.
Primero8 sea :0 ; 6 $ resuelva para el punto
donde la línea cru!a el eje :2. 2%6' > 0%:2' ; 0668
:2 ; 066 sillas.
3espués8 sea :2 ; 6 $ resuelva para el punto
donde la línea cru!a el eje :0. 2%:0' > 0%6' ; 0668
:0 ; E6 mesas.
• &a restricción de Pintura $ Narni!ado está3/29/16 Miguel Mejía Puente 19
epresen ac n gr ca e as
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epresen ac n gr ca e asrestricciones%E'
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epresen ac n gr ca e as
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epresen ac n gr ca e asrestricciones%H'
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é ó í
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Método de solución de línea deisoutilidad
0. ,rafque todas las restricciones $ encuentre laregión +actible.
2. "eleccione una línea de utilidad $ grafque estapara encontrar la pendiente.
A. Mueva la línea de la +unción objetivo endirección para incrementar la utilidad mientrasse mantiene la pendiente. (l -ltimo punto entocar la región +actible es la solución óptima.
B. (ncuentre los valores de las variables dedecisión en este -ltimo punto $ calcule lautilidad.
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&ínea de isoutilidad %0'
• Comience asignando utilidades iguales acantidades arbitrarias pero pequeFas enunidades monetarias %/M'.
• (legimos una utilidad de = ; 206. (ste es un nivel de utilidad que puede ser
alcan!ado con +acilidad sin violar ninguna de lasdos restricciones.
• &a +unción objetivo se escribe como 206 ; L:0
> E:2.
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&ínea de isoutilidad %2'
• &a +unción objetivo es justo la ecuación de una líneallamada línea de isoutilidad. (sta representa todas las combinaciones de %:08 :2' que
producirían una utilidad total de 206.• Para tra!ar la +unción objetivo8 se procede de
manera similar a la que se empleó para tra!ar lasrestricciones Primero8 sea :0 ; 6 $ resuelva para el punto donde la
línea cru!a el eje :2. 206 ; L%6' > E%:2'8 :2 ; B2 sillas. 3espués8 sea :2 ; 6 $ resuelva para el punto donde la
línea cru!a el eje :0. 206 ; L%:0' > E%6'8 :0 ; A6 mesas.
• &a +unción objetivo está limitada por la línea que vadel punto %:0 ; 68 :2 ; B2' al punto %:0 ; A68 :2 ;6'.
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&ínea de isoutilidad %A'
• *odos los puntos en la línea representansoluciones +actibles que producen una utilidadde 206.
• Obviamente8 la línea de isoutilidad de 206 no
produce la más alta utilidad posible para laempresa.• "e tra!an dos líneas más8 = ; 2G6 $ = ; AGE8
cada una de las cuales produce una utilidadma$or.
• "e tra!a otra línea8 = ; EH6.
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&ínea de isoutilidad %B'
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&ínea de isoutilidad %E'
• Cuando :0 ; 68 EH6 ; L%6' > E%:2'8 :2 ; 002sillas.
• Cuando :2 ; 68 EH6 ; L%:0' > E%6'8 :0 ; G6mesas.
• (sta línea no se considera porqué no llega atocar la región +actible.
• &a línea con ma$or utilidad que toca elcontorno de la región +actible pasa por el punto
esquina %:0 ; A68 :2 ; B6' $ tiene una utilidadde = ; B06.
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"olución óptima
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Punto esquina %0'
• &a región +actible para el problema de la (mpresa Madereraes un polígono de cuatro lados con cuatro puntos esquina.(stos puntos son los designados como 08 28 A8 $ B.
• Para encontrar los valores %:08 :2' que producen la utilidadmáima8 se locali!an las coordenadas de cada puntoesquina $ se calcula su utilidad.
Punto 0 %:0 ; 68 :2 ; 6'8 /tilidad ; L%6' > E%6' ; 6
Punto 2 %:0 ; 68 :2 ; G6'8 /tilidad ; L%6' > E%G6' ; B66
Punto A %:0 ; A68 :2 ; B6'8 /tilidad ; L%A6' > E%B6' ; B06
Punto B %:0 ; E68 :
2 ; 6'8 /tilidad ; L%E6' > E%6' ; AE6
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Punto esquina %2'
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Método gráfco para resolver
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Método gráfco para resolverproblemas de minimi!ación condos variables• &os problemas de P& de minimi!ación
con dos variables8 también pueden serresueltos gráfcamente.
• (isten dos métodos para encontrar lasolución óptima línea de isocosto $punto esquina.
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Método de solución de línea de
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Método de solución de línea deisocosto
0. ,rafque todas las restricciones $ encuentrela región +actible.
2. "eleccione una línea de isocosto $ grafqueesta para encontrar la pendiente.
A. Mueva la línea de la +unción objetivo endirección para decrementar el costo mientrasse mantiene la pendiente. (l -ltimo punto entocar la región +actible es la solución óptima.
B. (ncuentre los valores de las variables de
decisión en este -ltimo punto $ calcule elcosto.
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Método de solución del punto
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Método de solución del puntoesquina
0. ,rafque todas las restricciones $ encuentrela región +actible.
2. (ncuentre los puntos esquina de la región+actible.
A. Calcule el costo en cada punto esquina de laregión +actible.
B. "eleccione el punto esquina con el menorvalor de la +unción objetivo. (sta es lasolución óptima.
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Ingrediente Marca 0%o!.Klb.'
Marca 2 %o!.Klb.'
Requerimientomínimo mensual
por pavo %o!.'
# N C
06 A 6
6BG0.E
Costo %/MKlb.' 6.62
6.6A
EB
6.E
,ranja de pavos
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Problema de minimi!ación
9ariables de decisión:0 n-mero de libras adquiridas del alimento marca 0:2 n-mero de libras adquiridas del alimento marca 27unción objetivoMinimi!ar costos
Min = ; 2 :0 > A :2RestriccionesE :0 > 06 :2 5 6 %requerimiento mínimo del ingrediente #'B :0 > A :2 5 BG %requerimiento mínimo del ingrediente N'6.E :0 5 0.E %requerimiento mínimo del ingrediente C'
Rango de eistencia:08 :2 5 6
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Método de solución de la línea de
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Método de solución de la línea deisocosto %0'
0. "e constru$e la región +actible.2. "e tra!a una línea de isocosto8 por ejemplo =
; EB o sea EB ; 2:0 > A:28 sin embargo8
eisten muc1os puntos en la región +actible
que darían un costo total más bajo.A. "e mueve la línea de isocosto de +orma
paralela 1acia el origen.
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Método de solución de la línea de
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Método de solución de la línea deisocosto %2'
A. (l -ltimo punto que toca mientras a-n estáen contacto con la región +actible es lasolución óptima. (ste punto tiene lascoordenadas %:0 ; G.B8 :2 ; B.G' $ tiene uncosto asociado de A0.2. &as coordenadas+ueron 1alladas resolviendo un sistema dedos ecuaciones para :0 $ :2.
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Método de solución de la línea de
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Método de solución de la línea deisocosto %A'
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Método de solución del punto
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pesquina%0'0."e constru$e la región +actible.2."e encuentran los puntos esquina. (ste
problema tiene tres puntos esquina 08 2 $ A.
Punto 0 %:0 ; A8 :2 ; 02'8 Costo ; 2%A' > A%02' ;
B2Punto 2 %:0 ; G.B8 :2 ; B.G'8 Costo ; 2%G.B' >
A%B.G' ; A0.2
Punto A %:0 ; 0G8 :2 ; 6'8 Costo ; 2%0G' > A%6'
;AH&a solución óptima es el punto 2.
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Método de solución del puntoi
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pesquina%2'
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Casos especiales de
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Casos especiales deprogramación lineal %0'
Cuatro casos especiales se planteancuando se utili!a el método gráfco pararesolver problemas de P&.
• In+actibilidad.• 4o acotamiento.• 3egeneración.
• M-ltiples soluciones óptimas.
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Casos especiales de
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Casos especiales deprogramación lineal %2'
• In+actibilidad.) (n este caso no 1a$ región +actible.• 4o acotamiento.) &a +alta de una o más restricciones
puede 1acer que la región +actible sea infnitamentegrande %región no acotada'8 en tal caso la soluciónóptima $ la +unción objetivo podrían ser no acotadas.
• 3egeneración.) (n el gráfco cuando se observa que másde dos restricciones pasan por la solución óptima8 seafrma que la solución óptima es degenerada.
• M-ltiples soluciones óptimas.) Cuando eiste paralelismoentre la +unción objetivo $ una de las restricciones quecon+orman la región +actible $ que coincide con la+unción objetivo8 se tiene m-ltiples soluciones óptimas.
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I + tibilid d
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In+actibilidad
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X2
X1
8
6
4
2
0
0 2 4
6 8
Región que
satis+ace latercera restricción
Región que satis+ace las dos primerasrestricciones
4 t i t
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4o acotamiento
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:2
:0
0E
06
E
6 6 E 06 0E
Región +actible
:0 5 E :2 06
:0 > 2:2 5 06
3egeneración
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3egeneración
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:2
:0
0E
06
E
6 6 E 06 0E26 A6
Región +actible
:0 5 E :2 06
2:0 > A:2 5 B6
:0 A6Min = ; A :
0
> :2
&ínea de
isoutilidad
M-ltiples soluciones óptimas
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M-ltiples soluciones óptimas
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Ma = ; A :0 > 2 :2"ujeta a H :0 > B :2 2B
:0 A
Con :08 :2 5 6
&ínea de isoutilidad para02.66 /M sobre el
segmento AB
&ínea de isoutilidad para G.66 /M A
B
AB
6
430 :0
:2
&a solución óptima se compone de todas lascombinaciones de :
0
$ :2
a lo largo del
segmento AB
"olución de problemas deprogramación lineal usando
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programación lineal usandocomputadora
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&indo PC
Programa de computadora &I43O
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g p%0'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 49
Pantalla de ingreso de datos
Programa de computadora &I43O
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g p%2'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 50
Reporte de +ormulación
Programa de computadora &I43O
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g p%A'
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Reporte de solución
#nálisis de sensibilidad gráfco $
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por computadora %0'
• &as soluciones óptimas 1an sido encontradas bajosuposiciones deterministas.
• (sto signifca que se supone una certe!a completaen los datos $ relaciones de un problema.
• Por ejemplo las utilidades unitarias son fjas8 lascantidades de recursos disponibles conocidas8 eltiempo necesario para producir 0 unidad es eacto8
Pero en el mundo real8 las condiciones sondinámicas $ cambiantes.
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#nálisis de sensibilidad gráfco $d
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por computadora %2'
• /na manera de reconciliar esta discrepanciaentre los supuestos deterministas $ lascondiciones dinámicas $ cambiantes delmundo real es determinar cuán sensible es la
solución óptima a los supuestos del modelo $los datos.
• (l análisis de sensibilidad permite
eperimentar con los valores de los datos deentrada.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 53
7ormas para reali!ar el análisis deibilid d
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sensibilidad
Ja$ dos métodos para determinar lasensibilidad de una solución óptima a loscambios.
• Método de ensa$o $ error.• #nálisis postoptimal.
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Método de ensa$o $ error
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Método de ensa$o $ error
(ste método resuelve todo el problema8 depre+erencia con una computadora8 cada ve! quecambia un dato de entrada o parámetro.
(sto puede tomar muc1o tiempo para probaruna serie de posibles cambios.
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#nálisis postoptimal
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#nálisis postoptimal
3espués que el problema de P& 1a sido resuelto8se intenta determinar un intervalo de cambiosen los parámetros que no a+ectan la soluciónóptima o cambian las variables en la solución.
(sto se reali!a sin resolver el problemanuevamente.
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#nálisis de sensibilidad usando elé d áf
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método gráfco
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9ariación de los coefcientes de la+ ió bj i áf %0'
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+unción objetivo gráfco %0'
"upónganse que los datos de las restriccionespermanecen invariables $ que solo se cambianlos coefcientes de la +unción objetivo.
(l cambio de los coefcientes de la +unciónobjetivo8 produce un cambio en la pendiente deesta.
(sto puede a+ectar o no a la solución óptima $ alvalor óptimo de la +unción objetivo.
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9ariación de los coefcientes de la+ ió bj ti áf %2'
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+unción objetivo gráfco %2'
Regla"i un coefciente de la +unción objetivo esaumentado %disminuido'8 la solución óptima nocambia8 pero el valor óptimo de la +unción
objetivo aumenta %disminu$e' en un valor iguala dic1a cantidad multiplicada por el valor de lavariable asociada a ese coefciente.
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9ariación de los coefcientes de la+ ió bj ti áf %A'
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+unción objetivo gráfco %A'
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0.E C0 B
C0 ; B
= ; A0.2 > %B)2'QG.B ; BG
C0 ; 0.E
= ; A0.2 > %0.E)2'QG.B ; 2L
9ariación de los coefcientes de la+ ió bj ti áf %B'
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+unción objetivo gráfco %B'
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0.E C2 B
C2 ; 0.E
= ; A0.2 > %0.E)A'QB.G ; 2B
C2 ; B= ; A0.2 > %B)A'QB.G; AH
9ariación en los lados derec1os%0'
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%0'
"in modifcar la +unción objetivo8 veamos a1oravariaciones en el lado derec1o de lasrestricciones.
/n cambio en el lado derec1o de una restricciónocasiona un movimiento paralelo de la restricciónmodifcada.
(sto puede a+ectar tanto a la solución óptimacomo al valor óptimo de la +unción objetivo.
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9ariación en los lados derec1os%2'
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%2'
• "i el lado derec1o de una restricción escambiado &a región +actible cambiará %a menos que la
restricción no sea parte de la región +actible' la solución óptima cambiará.
• (l valor del cambio en la +unción objetivo resulta de 0 unidad de cambio en el ladoderec1o de una restricción8 $ es llamadoprecio dual.
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9ariación en los lados derec1os%A'
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%A'
• (l precio dual indica el valor en que la +unciónobjetivo será modifcado como consecuenciade modifcar 0 unidad en el lado derec1o dela restricción asociada a dic1o precio dual.
• "in embargo8 el valor del cambio posible del
lado derec1o de una restricción es limitado.• "i el valor +uera cambiado más allá de loslímites permitidos8 entonces el valor de la+unción objetivo $a no se modifcaría por elprecio dual.
• Por ello8 el precio dual sólo es válido dentrode los límites permitidos.
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9ariación en los lados derec1os gráfco %0'
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gráfco %0'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 65
H6 b0
0AE
b0 ; 0AE
= ; 2QA > AQ02; B2
b0 ; H6= ; 2Q02 > AQ6; 2B
9ariación en los lados derec1os gráfco %2'
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gráfco %2'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 66
precio dual ;)6.2B
P3 ; ) S= K Sb
P3 ; ) %A0.BB A0.2' K %0 6' ; )6.2B
9ariación en los lados derec1os gráfco %A'
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gráfco %A'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 67
AB.E b2
L2
b2 ; AB.E
= ; 2QA > AQL.E
; 2G.E b2 ; L2= ; 2Q0G > AQ6; AH
9ariación en los lados derec1os gráfco %B'
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gráfco %B'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 68
precio dual ;)6.26
P3 ; ) S= K Sb
P3 ; ) %A0.B A0.2' K %B BG'; )6.26
9ariación en los lados derec1os gráfco %E'
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gráfco %E'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 69
)T bA
B.2
bA ;)T
= ; )T
bA ; B.2= ; 2QG.B > AQB.G; A0.2
9ariación en los lados derec1os gráfco %H'
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gráfco %H'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 70
precio dual ;6.66
P3 ; S= K Sb
P3 ; %A0.2 A0.2' K %2.E 0.E'; 6.66
#dición o eliminación de restricciones
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Ja$ una observación general que nos indica deinmediato el método gráfco. (sta se refere alos e+ectos de agregar o eliminar restricciones.9eamos algunos casos
• &a adición de restricciones a un modelo o bienempeora el valor óptimo de la +unción objetivoo lo deja inalterado.
• &a eliminación de restricciones de un modelo o
bien mejora el valor óptimo de la +unciónobjetivo o lo deja inalterado.
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#nálisis de sensibilidad usando unprograma de computadora
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programa de computadora
3/29/16 Miguel Mejía Puente 72
&indo PC
Programa de computadora &I43O
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3/29/16 Miguel Mejía Puente 73
9ariación de los coefcientes de la+unción objetivo %0'
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+unción objetivo %0'
• &I43O produce un reporte de sensibilidad.• (ste reporte muestra los incrementos $decrementos admisibles para los coefcientesde la +unción objetivo.
•"umando el incremento admisible% ALLOWABLE INCREASE' al valor actual%CURRENT COEF ' se obtiene el límite superior.
• Restando el decremento admisible% ALLOWABLE DECREASE' del valor actual%CURRENT COEF ' se obtiene el límite in+erior.
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9ariación de los coefcientes de la+unción objetivo %2'
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3/29/16 Miguel Mejía Puente 75
0.E C0 B
0.E C2 B
Reporte deanálisis desensibilidad
9ariación de los coefcientes de la+unción objetivo %A'
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u c ó obje o %A'
"i la solución óptima es no degenerada8 podemosafrmar lo siguiente
UCuando un coefciente en particular esaumentado %disminuido' en una cantidadaceptable %es decir8 dentro del rango donde labase óptima no cambia'8 la solución óptima nocambia8 pero el valor óptimo de la +unción objetivoaumenta %disminu$e' en un valor igual a dic1a
cantidad multiplicada por el valor de la variableasociada a ese coefcienteV.
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9ariación en los lados derec1os%0'
R t d
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)T bA B.2Wprecio dual ;
6.663/29/16 Miguel Mejía Puente 77
H6 b0 0AEW
precio dual ;
)6.2BAB.E b2 L2W
precio dual ;)6.26
Reporte de
análisis desensibilidad
9ariación en los lados derec1os%2'
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%2'•
&os valores del lado derec1o de lasrestricciones a menudo representan recursosdisponibles para la empresa.
• &os recursos podrían ser 1oras de mano deobra o tiempo de máquina o qui!ás dinero omateriales de producción disponibles.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 78
9ariación en los lados derec1os%A'
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%A'• "i el lado derec1o de una restricción es cambiado
&a región +actible cambiará %a menos que larestricción no sea parte de la región +actible' $ lasolución óptima cambiará.
• (l valor de cambio en la +unción objetivo que
resulta de 0 unidad de cambio en uno de losrecursos disponibles es llamado precio dual. (lprecio dual de una restricción es el mejoramientodel valor de la +unción objetivo que resulta del
incremento de 0 unidad en el lado derec1o de larestricción.
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Precio dual Precio sombra %0'
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(l precio dual de un recurso indica el valor enque la +unción objetivo será incrementada %odecrementada' debido a otra unidad delrecurso.
"in embargo8 el valor del incremento posible dellado derec1o de un recurso es limitado.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 80
Precio dual Precio sombra %2'
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"i el valor +uera incrementado más allá dellímite superior8 entonces la +unción objetivo $ano se incrementará por el precio dual.
"i +uera ecedido este n-mero límite delrecurso8 qui!ás cambie la +unción objetivo8 peropor un valor di+erente al precio dual.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 81
Precio dual Precio sombra %A'
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#sí8 el precio dual solo es relevante dentro de loslímites $ dentro de tales la epresión del preciosombra es
Precio sombra ; X= K Xb
3onde X= es la variación de la +unción objetivo $ Xb es la variación del lado derec1o dentro del
límite en donde la base óptima actual no cambia.
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9ariación en el lado derec1o de unarestricción
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• Caso 0.) 7unción objetivo demaimi!ación.
• Caso 2.) 7unción objetivo deminimi!ación.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 83
Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción
%0'
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%0'"i la solución óptima es no degenerada $ la +unciónobjetivo es de maimi!ación8 podemos afrmar
UCuando el lado derec1o de una restricciónactiva del tipo ≤ es aumentado en una cantidadaceptable %dentro del rango'8 la base óptima no
cambia8 pero la solución óptima sí cambia8 $ elvalor óptimo de la +unción objetivo aumenta enun valor igual a dic1a cantidad multiplicada porel valor del precio dual asociado a esa
restricciónV.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 84
Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción
%2'
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%2'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 85
Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción
%A'
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%A'"i la solución óptima es no degenerada $ la +unciónobjetivo es de maimi!ación8 podemos afrmar
UCuando el lado derec1o de una restricción activadel tipo ≤ es disminuido en una cantidadaceptable %dentro del rango'8 la base óptima no
cambia8 pero la solución óptima sí cambia8 $ elvalor óptimo de la +unción objetivo disminu$e enun valor igual a dic1a cantidad multiplicada porel valor del precio dual asociado a esa
restricciónV.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 86
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Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción
%E'
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%E'&a restricción :
0
G tiene
precio dual %preciosombra' igual a A.
&a restricción :2 06
tiene precio dual %preciosombra' igual a 6.
"e afrma que lasrestricciones del tipo ≤ siempre tienen preciosombra no ne ativo 3/29/16 Miguel Mejía Puente 88
Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción
5 %0'
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5 %0'"i la solución óptima es no degenerada $ la +unciónobjetivo es de maimi!ación8 podemos afrmar
UCuando el lado derec1o de una restricción activadel tipo ≥ es aumentado en una cantidadaceptable %dentro del rango'8 la base óptima no
cambia8 pero la solución óptima sí cambia8 $ elvalor óptimo de la +unción objetivo disminu$e enun valor igual a dic1a cantidad multiplicada porel valor del precio dual asociado a esa
restricciónV.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 89
Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %2'
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5 %2'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 90
Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %A'
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5 %A'"i la solución óptima es no degenerada $ la +unciónobjetivo es de maimi!ación8 podemos afrmar
UCuando el lado derec1o de una restricción activadel tipo ≥ es disminuido en una cantidadaceptable %dentro del rango'8 la base óptima no
cambia8 pero la solución óptima sí cambia8 $ elvalor óptimo de la +unción objetivo aumenta enun valor igual a dic1a cantidad multiplicada porel valor del precio dual asociado a esa
restricciónV.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 91
Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %B'
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5 %B'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 92
Caso 0.) Maimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %E'
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5 %E'&a restricción E:
0 ) B:
2 5
)26 tiene precio dual%precio sombra' igual a 6.&a restricción :2 5 A tieneprecio dual %precio sombra'
igual a )E.&a restricción E:0 > B:2 526 tiene precio dual %preciosombra' igual a 6.
"e afrma que lasrestricciones del tipo ≥ siempre tienen preciosombra no ositivo
3/29/16 Miguel Mejía Puente 93
Caso 0.) Maimi!ación
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4uevo valor óptimo de = ; #ntiguo valor óptimode = > %precio sombra de la restricción i'Q%Sbi'
3onde
*anto el precio sombra de la restricción i8 como
la variación del lado derec1o dado por Sbi debenreempla!arse con su signo respectivo.
#demás
Sbi Y 6 cuando aumenta el lado derec1o $ Sbi Z
6 cuando disminu$e el lado derec1o.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 94
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción %0'
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%0'"i la solución óptima es no degenerada $ la +unción
objetivo es de minimi!ación8 podemos afrmarCuando el lado derec1o de una restricción activa del tipo ≤ es aumentado en una cantidadaceptable %dentro del rango'8 la base óptima no
cambia8 pero la solución óptima sí cambia8 $ elvalor óptimo de la +unción objetivo disminu$e enun valor igual a dic1a cantidad multiplicada porel valor del precio dual asociado a esa
restricción.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 95
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción %2'
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%2'
3/29/16 Miguel Mejía Puente 96
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción %A'
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97/109
%A'"i la solución óptima es no degenerada $ la +unción
objetivo es de minimi!ación8 podemos afrmarCuando el lado derec1o de una restricción activadel tipo ≤ es disminuido en una cantidadaceptable %dentro del rango'8 la base óptima no
cambia8 pero la solución óptima sí cambia8 $ elvalor óptimo de la +unción objetivo aumenta enun valor igual a dic1a cantidad multiplicada porel valor del precio dual asociado a esa
restricción.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 97
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción %B'
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% '
3/29/16 Miguel Mejía Puente 98
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción %E'
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% '&a restricción :0 G
tiene precio dual%precio sombra' igual a6.&a restricción :2 06
tiene precio dual%precio sombra' igual a2.H."e afrma que lasrestricciones del tipo ≤ siempre tienen preciosombra no ne ativo3/29/16 Miguel Mejía Puente 99
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %0'
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% '"i la solución óptima es no degenerada $ la +unción
objetivo es de minimi!ación8 podemos afrmarCuando el lado derec1o de una restricción activadel tipo ≥ es aumentada en una cantidadaceptable %dentro del rango'8 la base óptima no
cambia8 pero la solución óptima sí cambia8 $ elvalor óptimo de la +unción objetivo aumenta enun valor igual a dic1a cantidad multiplicada porel valor del precio dual asociado a esa restricción
cambiado de signo.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 100
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %2'
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101/109
% '
3/29/16 Miguel Mejía Puente 101
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %A'
"i l l ió ó i d d l + ió
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"i la solución óptima es no degenerada $ la +unción
objetivo es de minimi!ación8 podemos afrmarCuando el lado derec1o de una restricción activadel tipo ≥ es disminuida en una cantidadaceptable %dentro del rango'8 la base óptima no
cambia8 pero la solución óptima sí cambia8 $ elvalor óptimo de la +unción objetivo disminu$e enun valor igual a dic1a cantidad multiplicada porel valor del precio dual asociado a esa restricción
cambiado de signo.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 102
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %B'
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3/29/16 Miguel Mejía Puente 103
Caso 2.) Minimi!ación&ado derec1o de una restricción5 %E'
& t i ió E: B:
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&a restricción E:0 ) B:2 5
)26 tiene precio dual%precio sombra' igual a)6.H.&a restricción :2 5 A tiene
precio dual %preciosombra' igual a 6.&a restricción E:0 > B:2 526 tiene precio dual
%precio sombra' igual a 6."e afrma que lasrestricciones del tipo ≥ siempre tienen precio3/29/16 Miguel Mejía Puente 104
Caso 2.) Minimi!ación
4 l ó ti d = # ti l ó ti
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4uevo valor óptimo de = ; #ntiguo valor óptimo
de = ) %precio sombra de la restricción i'Q%Sbi'
3onde
*anto el precio sombra de la restricción i8 comola variación del lado derec1o dado por Sbi deben
reempla!arse con su signo respectivo.
#demás
Sbi Y 6 cuando aumenta el lado derec1o $ Sbi Z6 cuando disminu$e el lado derec1o.3/29/16 Miguel Mejía Puente 105
9ariación en los lados derec1os%2B'
"i la solución óptima es no degenerada
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"i la solución óptima es no degenerada8
podemos afrmarCuando el lado derec1o de una restriccióninactiva es aumentado %disminuido' en unacantidad aceptable %dentro del rango'8 lasolución óptima no cambia.
3/29/16 Miguel Mejía Puente 106
Costo reducido
"i una solución óptima es no degenerada $
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"i una solución óptima es no degenerada8 $
tiene una variable de decisión cu$o valor óptimoes cero8 podemos afrmar lo siguiente
U(l coefciente de esa variable en la +unción
objetivo debe ser cambiado por lo menos en elcosto reducido8 con el objeto de que 1a$a unasolución óptima en la que la variable apare!cacon un valor positivoV.
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Costo reducido &I43O
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(l costo reducido es elvalor en que debe serincrementado elcoefciente de la variable
no básica en la +unciónobjetivo para obtener unasolución óptimaalternativa.
&I43O
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Modelos de programaciónlineal
7in del tema