65
ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Задания для расчетно-графических и курсовых работ 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение …………………………………………………………………..… 5 1. Растяжение-сжатие брусьев и стержневых систем ..…………………... 7 1.1. Растяжение-сжатие статически определимых брусьев и стержневых систем …………………………………………………………………....7 Задание 1.1………………………………………………………………….... 7 Задание 1.2…………………………………………………………………...10 Задание 1.3 ..………………………………………………………………....13 1.2. Растяжение-сжатие статически неопределимых систем…………......16 Задание 1.4…………………………………………………………………...16 Задание 1.5………………………………………………………………….. 19 2. Теория напряженного состояния ..............................…………………... 24 Задание 2.1………………………………………………………………….. 24 3. Геометрические характеристики плоских сечений .....……………….. 27 Задание 3.1………………………………………………………………….. 29 Задание 3.2.…………………………………………………………………. 31 Задание 3.3…..……………………………………………………………… 36 4. Кручение круглых валов..................……………………………………. 39 Задание 4.1.…………………………………………………………………. 40 Задание 4.2.…………………………………………………………………. 42 5. Поперечный изгиб балок..................……………………………………. 47 Задание 5.1.…………………………………………………………………. 51 Задание 5.2.…………………………………………………………………. 62 Задание 5.3.…………………………………………………………………. 67 6. Сложное сопротивление.………………………………………………... 70 6.1. Внецентренное растяжение-сжатие.……………………………….… 70 6.2. Совместное действие изгиба и кручения .…………………………… 73 Задание 6.1.…………………………………………………………………. 73 Задание 6.2.…………………………………………………………………. 78 Задание 6.3.…………………………………………………………………. 81 Задание 6.4.…………………………………………………………………. 84 7. Устойчивость сжатых стержней......……………………………………..88 Задание 7.1.…………………………………………………………………. 90 Задание 7.2.…………………………………………………………………. 92 Задание 7.3.…………………………………………………………………. 95 Задание 7.4.…………………………………………………………………. 97 8. Определение перемещений методом Мора-Верещагина …………..... 98 Задание 8.1.…………………………………………………………………100 Задание 8.2.…………………………………………………………………102 9. Статически определимые рамы.......……………………………………105 Задание 9.1.…………………………………………………………………105 Задание 9.2.…………………………………………………………………108

ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

  • Upload
    vubao

  • View
    227

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Задания для расчетно-графических и курсовых работ

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………………………………..… 5 1. Растяжение-сжатие брусьев и стержневых систем ..…………………... 7 1.1. Растяжение-сжатие статически определимых брусьев и стержневых

систем …………………………………………………………………....7 Задание 1.1………………………………………………………………….... 7 Задание 1.2…………………………………………………………………...10 Задание 1.3 ..………………………………………………………………....13 1.2. Растяжение-сжатие статически неопределимых систем…………......16 Задание 1.4…………………………………………………………………...16 Задание 1.5………………………………………………………………….. 19 2. Теория напряженного состояния ..............................…………………... 24 Задание 2.1………………………………………………………………….. 24 3. Геометрические характеристики плоских сечений .....……………….. 27 Задание 3.1………………………………………………………………….. 29 Задание 3.2.…………………………………………………………………. 31 Задание 3.3…..……………………………………………………………… 36 4. Кручение круглых валов..................……………………………………. 39 Задание 4.1.…………………………………………………………………. 40 Задание 4.2.…………………………………………………………………. 42 5. Поперечный изгиб балок..................……………………………………. 47 Задание 5.1.…………………………………………………………………. 51 Задание 5.2.…………………………………………………………………. 62 Задание 5.3.…………………………………………………………………. 67 6. Сложное сопротивление.………………………………………………... 70 6.1. Внецентренное растяжение-сжатие.……………………………….… 70 6.2. Совместное действие изгиба и кручения .…………………………… 73 Задание 6.1.…………………………………………………………………. 73 Задание 6.2.…………………………………………………………………. 78 Задание 6.3.…………………………………………………………………. 81 Задание 6.4.…………………………………………………………………. 84 7. Устойчивость сжатых стержней......……………………………………..88 Задание 7.1.…………………………………………………………………. 90 Задание 7.2.…………………………………………………………………. 92 Задание 7.3.…………………………………………………………………. 95 Задание 7.4.…………………………………………………………………. 97 8. Определение перемещений методом Мора-Верещагина …………..... 98 Задание 8.1.…………………………………………………………………100 Задание 8.2.…………………………………………………………………102 9. Статически определимые рамы.......……………………………………105 Задание 9.1.…………………………………………………………………105 Задание 9.2.…………………………………………………………………108

Page 2: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

3

Задание 9.3.…………………………………………………………………111 10. Статически неопределимые рамы.......………………………………..113 Задание 10.1………………………………………………………………..116 11. Сложное сопротивление…..…………………………………………..119 11.1. Расчет на ударные нагрузки...........………………………………....119 11.2. Расчет на колебания ................................…………………………...120 Задание 11.1..………………………………………………………………122 Задание 11.2..………………………………………………………………124 Задание 11.3..………………………………………………………………126 12. Тонкостенные оболочки....................…………………………………128 Задание 12.1.….……………………………………………………………128 13. Расчет на выносливость ...................................................…………....129 Задание 13.1.……………………………………………………………….129

Библиографический список….……………………………………….…...130 Образец оформления титульного листа РГР......………………………...131

4

ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов – это наука об инженерных методах расчетов

элементов машин и конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической ме-ханики и математики, а также используются данные из разделов физики, в которых изучаются различные свойства материалов. Изучение дисциплины сопротивление материалов следует начать с основных понятий, таких как: расчетная схема и составляющие ее элементы: стержни, оболочки, пластины и массивные тела. При расчетах стержневых конструкций следует вспомнить сведения, изучаемые в курсе статики, а именно виды опор: шарнирные под-вижные и неподвижные, глухая заделка, а также вспомнить какие реакции возникают в каждом виде этих опор. Необходимо усвоить, что сопротивление материалов решает три основных задачи: проверочный расчет, проектный расчет, определение грузоподъемности. При решении этих задач основным методом сопротивления материалов является метод сечений, когда проводит-ся сечение тела некоторой поверхностью, и после ввода внутренних сил меж-ду разрезанными частями, рассматривается равновесие одной из частей. Не-обходимо запомнить, что в общем случае нагружения в поперечном сечении стержня может возникать шесть внутренних силовых факторов: нормальная сила, две поперечных силы, два изгибающих момента и крутящий момент. Следует обратить внимание на то, что конструкции могут быть как статиче-ски определимые (решаемые при помощи статики), так и статически неопре-делимые (решаемые при помощи уравнений совместности деформаций).

1. Студент обязан взять из таблицы, прилагаемой к условию задачи, дан-ные в соответствии с номером варианта выданным преподавателем.

вариант - (21)(24)(11)(06) буквы - а б в г Из каждого вертикального столбца таблицы исходных данных, обозна-

ченного внизу определенной буквой, надо взять только одно число, стоящее в той горизонтальной строке, номер которой совпадает с номером буквы в шифре. Например, вертикальные столбцы табл.1 в задании на растяжение-сжатие обозначены внизу буквами «в», «г», «б», «а», «а»,. В этом случае при указанном выше номере варианта 21241106 студент должен взять из столбцов «а» строку номер 21 (b=1 м, F=12 кН), из столбца «б» - строку номер 24 (a=4 м), из столбца «в» - строку номер 11 (схема №11) и из столбца «г» - строку 06 (Д=0,06 м).

Работы, выполненные не по своему варианту, не засчитываются. 2. Не следует приступать к выполнению расчетно-графических работ, не

изучив соответствующего раздела курса и не решив самостоятельно рекомен-дованных задач. Если студент слабо усвоил основные положения теории и не до конца разобрался в приведенных примерах, то при выполнении работ мо-гут возникнуть большие затруднения. Несамостоятельно выполненное зада-

Page 3: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

5

ние не дает возможности преподавателю-рецензенту вовремя заметить недос-татки в работе студента. В результате студент не приобретает необходимых знаний и оказывается неподготовленным к экзамену.

3. Не рекомендуется также приносить преподавателю сразу несколько выполненных заданий. Это не дает рецензенту возможности своевременно указать студенту на допущенные ошибки и задерживает рецензирование.

4. В заголовке расчетно-графической работы должны быть четко написа-ны: номер контрольной работы, название дисциплины, фамилия, имя и отче-ство студента (полностью), название факультета и специальности, учебный шифр.

5. Каждую расчетно-графическую работу следует выполнять на листах формата А4, чернилами (не красными), четким почерком, с полями.

6. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие с числовыми данными, составить аккуратный эскиз в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для расчета.

7. Решение должно сопровождаться краткими, последовательными и гра-мотными без сокращения слов объяснениями и чертежами, на которых все входящие в расчет величины должны быть показаны в числах. Надо избегать многословных пояснений и пересказа учебника: студент должен знать, что язык техники - формула и чертеж. При пользовании формулами или данными, отсутствующими в учебнике, необходимо кратко и точно указывать источник (автор, название, издание, страница, номер формулы).

8. Необходимо указать размерность всех величин и подчеркнуть оконча-тельные результаты.

9. Не следует вычислять большое число значащих цифр, вычисления должны соответствовать необходимой точности. Нет необходимости длину деревянного бруса в стропилах вычислять с точностью до миллиметра, но было бы ошибкой округлять до целых миллиметров диаметр вала, на который будет насажен шариковый подшипник.

10. В возвращенной расчетно-графической работе студент должен испра-вить все отмеченные ошибки и выполнить все данные ему указания. В случае требования рецензента следует в кратчайший срок послать ему выполненные на отдельных листах исправления, которые должны быть вложены в соответ-ствующие места рецензированной работы. Отдельно от работы исправления не рассматриваются.

6

1. РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСЬЕВ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Растяжением-сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса, возникает единственный внутренний силовой фактор – продольная сила.

Для правильного составления уравнений равновесия, при действии на стержень продольной силы, необходимо знать правило знаков, представлен-ное на рис. 1.1.

Нормальные напряжения при растяжении-сжатии определяются по фор-муле:

AN

=s ,

где A – площадь поперечного сечения стержня.

FF

F N

F F

NF

Z

Z

Z

Z

N > 0 N < 0 Рисунок 1.1. Правило знаков при растяжении-сжатии

Условие прочности выглядит следующим образом: admAN

ss £= maxmax .

Деформации при растяжении-сжатии (абсолютное удлинение) определя-ется по формуле:

EAlNl ×

=D ,

где l – длина стержня; Е – модуль упругости первого рода. Условие жесткости определяется неравенством вида:

][maxmax l

EAlN

l £×

=D .

1.1. Растяжение-сжатие статически определимых брусьев

и стержневых систем Задание 1.1. Построение эпюр продольных усилий, напряжений и пере-

мещений при растяжении - сжатии стержня постоянного поперечного сечения Для стального стержня круглого поперечного сечения диаметром D

(рис.1.2) требуется: 1) построить эпюры продольной силы; 2) определить грузоподъемность стержня, если adms = 240 МПа;

Page 4: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

7

3) определить полное удлинение стержня, если Е = 2×105 МПа. Данные взять из табл.1.1 Таблица 1.1

№ cтроки

Схема по рис.1.2

D, м

а, м

b, м

F, кН

№ cтроки

Схема по рис.1.2

D, м

а, м

b, м

F, кН

01 1 0,01 1 1,1 12 16 16 0,06 3 1,6 10 02 2 0,02 2 1,2 10 17 17 0,07 1 1,7 6 03 3 0,03 3 1,3 12 18 18 0,08 2 1,8 8 04 4 0,04 3 1,4 6 19 19 0,09 3 1,9 6 05 5 0,05 2 1,5 8 20 20 0,1 1 1,0 12 06 6 0,06 1 1,6 10 21 21 0,01 1 1,1 12 07 7 0,07 2 1,7 6 22 22 0,02 2 1,2 10 08 8 0,08 3 1,8 8 23 23 0,03 3 1,3 12 09 9 0,09 1 1,9 6 24 24 0,04 4 1,4 6 10 10 0,1 1 1,0 12 25 25 0,05 1 1,5 8 11 11 0,01 2 1,1 12 26 26 0,06 2 1,6 10 12 12 0,02 3 1,2 10 27 27 0,07 3 1,7 6 13 13 0,03 2 1,3 12 28 28 0,08 4 1,8 8 14 14 0,04 1 1,4 6 29 29 0,09 1 1,9 6 15 15 0,05 2 1,5 8 30 30 0,1 2 1,0 12 в г б а а в г б а а

1 схема 2 схема 3 схема 4 схема

5 схема 6 схема 7 схема 8 схема

Рисунок. 1.2. К заданию 1.1

8

9 схема 10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема 16 схема

17 схема 18 схема 19 схема 20 схема

21 схема 22 схема 23 схема 24 схема

Продолжение рисунка 1.2.

Page 5: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

9

25 схема 26 схема 27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

Окончание рисунка 1.2.

Задание 1.2. Построение эпюр продольных усилий и перемещений при

растяжении - сжатии стержня переменного поперечного сечения при дейст-вии распределенной нагрузки.

Для вертикального стержня, имеющего жесткую заделку на одном из концов, изображенного на рис.1.3 необходимо:

1) вычертить схему в произвольном масштабе; 2) определить значения нормальной силы на каждом участке стержня; 3) построить эпюру нормальной силы; 4) определить удлинение стержня. Длины участков стержня и нагрузки, приложенные к нему, приведены на

рис.1.3, площадь поперечного сечения узкого участка А = 0,2 м2, широкого участка 2А.

Данные взять из табл.1.2. Таблица 1.2 №

cтроки Схема

по рис.1.3

а, м

q1=q3, кН/м

q2, кН/м

F1, кН

F2,кН

F3, кН

№ cтроки

Схема по

рис.1.3

а, м

q1=q3, кН/м

q2, кН/м

F1, кН

F2,кН

F3, кН

01 1 0,8 5 30 10 35 10 16 16 1 5 30 10 5 40 02 2 1 10 25 15 30 20 17 17 1,8 20 25 15 35 10 03 3 1,2 15 20 20 25 30 18 18 2 25 25 25 30 20

б г а в б а г б г а в б а г 10

№ cтроки

Схема по

рис.1.3

а, м

q1=q3, кН/м

q2, кН/м

F1, кН

F2,кН

F3, кН

№ cтроки

Схема по

рис.1.3

а, м

q1=q3, кН/м

q2, кН/м

F1, кН

F2,кН

F3, кН

04 4 1,4 20 15 25 20 40 19 19 0,8 30 20 30 20 40 05 5 1,6 25 10 30 15 10 20 20 1 5 15 35 15 10 06 6 1,8 30 5 35 10 20 21 21 1,2 10 10 40 10 20 07 7 2 5 30 40 5 30 22 22 1,4 15 5 10 5 30 08 8 0,8 10 25 10 35 40 23 23 1,6 20 30 15 35 40 09 9 1 15 20 15 30 10 24 24 1,8 10 25 20 30 10 10 10 1,2 20 15 20 25 20 25 25 2 15 20 20 25 20 11 11 1,4 10 25 20 30 30 26 26 0,8 20 15 25 30 30 12 12 1,6 15 20 25 25 40 27 27 1 25 25 40 25 40 13 13 1,8 20 15 30 20 10 28 28 1,8 30 20 10 20 10 14 14 2 25 10 35 15 20 29 29 2 5 15 15 15 20 15 15 0,8 30 5 40 10 30 30 30 0,8 20 10 25 10 30 б г а в б а г б г а в б а г

1 схема 2 схема 3 схема 4 схема

aF3

aaq1

F3

F2

aa

a

q1

F1

F2

aa

aq3

a

F1 aaq2

5 схема 6 схема 7 схема 8 схема

F3

F1

aa

aq3

F3F1

a aa

q1

a

F1

aa

q2

aF3

aa

q1

9 схема 10 схема 11 схема 12 схема

a

F1 a

F2

aq2

F2

aa

a

q3

aF3

aaq1

F3

F2

aa

a

q1

Рисунок 1.3. К заданию 1.2

Page 6: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

11

13 схема 14 схема 15 схема 16 схема

F1

F2

aa

aq3 a

F1 aaq2

F3

F1

aa

aq3

F3F1

a aa

q1

17 схема 18 схема 19 схема 20 схема

a

F1

aa

q2

aF3

aa

q1

a

F1 a

F2

aq2

F2

aa

a

q3

21 схема 22 схема 23 схема 24 схема

aF3

aaq1

F3

F2

aa

a

q1F1

F2

aa

aq3 a

F1 aaq2

25 схема 26 схема 27 схема 28 схема

F3

F1

aa

aq3

F3F1

a aa

q1

a

F1

aa

q2

aF3

aa

q1

Продолжение рисунка 1.3.

12

29 схема 30 схема

a

F1 a

F2

aq2

F2

aa

a

q3

Окончание рисунка 1.3

Задание 1.3. Статически определимые стержневые системы растяжения-

сжатия. Два стальных (1 и 2) стержня, шарнирно соединенных в точке А, нахо-

дятся под действием силы Р (рис.1.4). Первый стержень имеет длину с и пло-щадь поперечного сечения A, второй - длину а и площадь – 2A.

1) найти величину нормальных напряжений, действующих в стержнях; 2) найти абсолютную и относительную деформации стержней. Данные взять из табл.1.3. Таблица 1.3

№ cтроки

Схема по рис.1.4

А, см2

а, м

с, м

P, кН

№ cтроки

Схема по рис.1.4

А, см2

а, м

с, м

P, кН

01 1 11 2 2,1 100 16 16 16 2 2,6 160 02 2 12 2,1 2,2 120 17 17 17 2,1 2,7 170 03 3 13 2,2 2,3 130 18 18 18 2,2 2,8 180 04 4 14 2,4 2,4 140 19 19 19 2,4 2,9 180 05 5 15 2,6 2,5 150 20 20 20 2,6 3,0 200 06 6 16 2,8 2,6 160 21 21 11 2,8 2,1 100 07 7 17 2,8 2,7 170 22 22 12 2,8 2,2 120 08 8 18 2,7 2,8 180 23 23 13 2,7 2,3 130 09 9 19 2,9 2,9 180 24 24 14 2,9 2,4 140 10 10 20 2,4 3,0 200 25 25 15 2 2,5 150 11 11 11 2,6 2,1 100 26 26 16 2,1 2,6 160 12 12 12 2,8 2,2 120 27 27 17 2,2 2,7 170 13 13 13 2,8 2,3 130 28 28 18 2,4 2,8 180 14 14 14 2,7 2,4 140 29 29 19 2,6 2,9 180 15 15 15 2,9 2,5 150 30 30 20 2,8 3,0 200

а б в г а а б в г а

Page 7: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

13

1 схема 2 схема 3 схема 4 схема

5 схема 6 схема 7 схема 8 схема

9 схема 10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема 16 схема

Рисунок 1.4. К заданию 1.3

14

17 схема 18 схема 19 схема 20 схема

21 схема 22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

Окончание рисунка 1.4

Page 8: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

15

1.2. Растяжение-сжатие статически неопределимых систем Стержневая система, рассматриваемая при решении данных задач, отно-

сится к статически неопределимым системам, в которых невозможно опреде-лить усилия в стержнях только при помощи уравнений статики, так как число неизвестных усилий превышает число уравнений статики. При решении задач со статически неопределимыми системами приходится составлять дополни-тельные уравнения, которые называются уравнениями совместности дефор-маций. После того, как дополнительные уравнения будут составлены, их ре-шают вместе с имеющимися уравнениями статики, то есть проводят синтез.

Последовательность расчета статически неопределимых систем Чтобы решить статически неопределимую систему необходимо раскрыть

статическую неопределимость. 1. Найти степень статической неопределимости.

nmS -= , где m - число неизвестных усилий; n – число уравнений статики. 2. Статическая сторона задачи. Рассматривает все возможные уравнения статики.

0=åX ; 0=åY ; 0=åm . 3. Геометрическая сторона задачи. Рассматривает деформированное состояние системы и связывает между

собой деформации или перемещения отдельных точек. Эти уравнения назы-ваются уравнениями совместности деформаций.

4. Физическая сторона задачи. Через закон Гука связывает между собой неизвестные усилия и деформа-

ции, вызванные этими усилиями. 5. Синтез. Решая совместно полученные в пунктах 2,3,4 уравнения, раскрываем

статическую неопределимость и решаем поставленную задачу. Примечание. При изменении температуры, рассматривая физическую

сторону задачи, кроме деформаций, вызванных нагрузками, нужно учитывать деформации, вызванные изменением температуры.

Задание 1.4. Статически неопределимые стержневые системы растяже-ния-сжатия.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис.1.5).

Требуется найти: 1) усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) допускаемую нагрузку admQ , приравняв большее из напряжений в

двух стержнях допускаемому напряжению adms =160 МПа; Данные взять из табл.1.4.

16

Таблица 1.4 №

cтроки Схема

по рис.1.5 F,

см2 а, м

b, м

с, м

Q, кН

№ cтроки

Схема по рис.1.5

F, см2

а, м

b, м

с, м

Q, кН

01 1 11 2 2,1 2,1 100 16 16 16 2 3,0 2,6 160 02 2 12 2,1 2,2 2,2 120 17 17 17 2,1 2,1 2,7 170 03 3 13 2,2 2,3 2,3 130 18 18 18 2,2 2,2 2,8 180 04 4 14 2,4 2,4 2,4 140 19 19 19 2,4 2,3 2,9 180 05 5 15 2,6 2,5 2,5 150 20 20 20 2,6 2,4 3,0 200 06 6 16 2,8 2,6 2,6 160 21 21 11 2,8 2,5 2,1 100 07 7 17 2,8 2,7 2,7 170 22 22 12 2,8 2,4 2,2 120 08 8 18 2,7 2,8 2,8 180 23 23 13 2,7 2,6 2,3 130 09 9 19 2,9 2,9 2,9 180 24 24 14 2,9 2,8 2,4 140 10 10 20 2,4 3,0 3,0 200 25 25 15 2 2,8 2,5 150 11 11 11 2,6 2,5 2,1 100 26 26 16 2,1 2,7 2,6 160 12 12 12 2,8 2,6 2,2 120 27 27 17 2,2 2,9 2,7 170 13 13 13 2,8 2,7 2,3 130 28 28 18 2,4 2 2,8 180 14 14 14 2,7 2,8 2,4 140 29 29 19 2,6 2,2 2,9 180 15 15 15 2,9 2,9 2,5 150 30 30 20 2,8 2,3 3,0 200

б а в б г а б а в б г а

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

Рисунок 1.5. К заданию 1.4

Page 9: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

17

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

Продолжение рисунка 1.5

18

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 1.5

Задание 1.5. Статически неопределимые стержневые системы растяже-

ния-сжатия. Расчет монтажных напряжений и температурных напряжений. Жесткий брус, шарнирно закрепленный одним концом и подкрепленный

двумя упругими стержнями, нагружен известной силой (рис. 1.6). Для заданной конструкции требуется: 1) Вычертить ее схему в произвольном масштабе.

Page 10: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

19

2) Рассчитать безопасные размеры стержней и подобрать в таблицах ГОСТа необходимые размеры равнополочных или неравнополочных уголков.

3) Рассчитать напряжения в стержнях, допустив, что один из них изго-товлен на величину D короче, то есть, найти монтажные напряжения.

4) Рассчитать напряжения в стержнях, возникающие от изменения темпе-ратуры.

5) Найти суммарные напряжения в стержнях от внешней силы, от неточ-ности монтажа, от изменения температуры.

6) Подсчитать недонапряжение или перенапряжение стержней. Примечание: принять модуль Юнга Е = 2·105 МПа, коэффициент линей-

ного расширения a = 125·10-7 1/°С. Данные взять из табл.1.5. Таблица 1.5 №

cтроки Схема

по рис.1.6

F, кН

а, м

b, м

∆, мм

∆t, °С

sadm, МПа

№ cтроки

Схема по

рис.1.6

F, кН

а, м

b, м

∆, мм

∆t, °С

sadm, МПа

01 1 60 1,5 1,7 0,2 20 90 16 16 90 1,2 1,0 0,2 25 120 02 2 65 1,4 1,6 0,3 30 100 17 17 60 1,4 0,8 0,3 30 140 03 3 70 1,3 1,5 0,4 40 110 18 18 80 1,3 1,0 0,2 35 90 04 4 75 1,2 1,4 0,2 25 120 19 19 65 1,5 1,7 0,3 20 100 05 5 80 1,0 1,3 0,1 35 140 20 20 70 1,4 1,6 0,4 30 110 06 6 85 0,9 1,2 0,4 20 90 21 21 75 1,3 1,5 0,2 40 120 07 7 90 0,8 1,1 0,2 25 100 22 22 80 1,2 1,4 0,1 25 140 08 8 60 1,2 1,0 0,3 30 120 23 23 85 1,0 1,3 0,4 35 90 09 9 80 1,4 0,8 0,4 35 140 24 24 90 0,9 1,2 0,2 20 100 10 10 100 1,3 1,0 0,5 40 120 25 25 60 0,8 1,1 0,3 25 120 11 11 65 1,3 1,5 0,3 30 110 26 26 80 1,2 1,0 0,4 30 140 12 12 70 1,2 1,4 0,4 40 120 27 27 100 1,4 0,8 0,5 35 120 13 13 75 1,0 1,3 0,2 25 140 28 28 65 1,3 1,0 0,3 40 110 14 14 80 0,9 1,2 0,1 35 90 29 29 70 1,3 1,5 0,4 30 120 15 15 85 0,8 1,1 0,4 20 100 30 30 75 1,2 1,4 0,2 40 140

г в а б г а б г в а б г а б

1 схема 2 схема

b

b

a

a

Fa/2

2S

S

b

Faa

a

a b

2S

S

Рисунок 1.6. К заданию 1.5

20

3 схема 4 схема

F

2S1,5b

a a b

b

S

b

a a

b a

a

a/2

S

F

2S

5 схема 6 схема

b

F2S

S

a b

b

b

a

a

F S

2S

a

b

b

7 схема 8 схема

a

a

b

F

2SS

b

1,5aa

F2S S

b a a

bb

9 схема 10 схема

F2S

b aa

ba

b

S

F

2S

a b

S

b

b

Продолжение рисунка 1.6

Page 11: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

21

11 схема 12 схема

b

b

a

a

Fa/2

2S

S

b

Faa

a

a b

2S

S

13 схема 14 схема

F

2S1,5b

a a b

b

S

b

a ab a

a

a/2

S

F

2S

15 схема 16 схема

b

F2S

S

a b

b

b

a

a

F S

2S

a

b

b

17 схема 18 схема

a

a

b

F

2SS

b

1,5aa

F2S S

b a a

bb

Продолжение рисунка 1.6

22

19 схема 20 схема

F2S

b aa

ba

b

S

F

2S

a b

S

b

b

21 схема 22 схема

b

b

a

a

Fa/2

2S

S

b

Faa

a

a b

2S

S

23 схема 24 схема

F

2S1,5b

a a b

b

S

b

a a

b a

a

a/2

S

F

2S

25 схема 26 схема

b

F2S

S

a b

bb

a

a

F S

2S

a

b

b

Продолжение рисунка 1.6

Page 12: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

23

27 схема 28 схема

a

a

b

F

2SS

b

1,5aa

F2S S

b a a

bb

29 схема 30 схема

F2S

b aaba

b

S

F

2S

a b

S

b

b

Окончание рисунка 1.6

2. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Задание 2.1. Стальной кубик (рис.2.1) находится под действием сил, соз-

дающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю). Требуется найти:

1) главные напряжения и направление главных площадок; 2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей разности

главных напряжений; 3) главные деформации 1e , 2e , 3e ;

4) эквивалентное напряжение IVэквs по четвертой (энергетической) теории

прочности; 5) относительное изменение объема; 6) удельную потенциальную энергию деформации. Данные взять из табл.2.1. Таблица 2.1

№ cтроки

Схема по рис.2.1

xs ys xt № cтроки

Схема по рис.2.1

xs ys xt

01 1 10 50 20 16 16 10 10 90 02 2 20 60 90 17 17 20 20 100 03 3 30 70 100 18 18 30 90 10 04 4 40 80 10 19 19 40 100 20 05 5 50 90 60 20 20 50 10 90 а г б а а г б а

24

№ cтроки

Схема по рис.2.1

xs ys xt № cтроки

Схема по рис.2.1

xs ys xt

06 6 60 100 70 21 21 90 20 100 07 7 70 60 80 22 22 100 40 10 08 8 80 70 90 23 23 10 50 20 09 9 90 80 40 24 24 20 90 40 10 10 100 90 50 25 25 30 100 80 11 11 60 100 90 26 26 80 80 90 12 12 70 40 100 27 27 90 90 100 13 13 80 50 10 28 28 100 100 10 14 14 90 90 20 29 29 10 10 20 15 15 100 100 90 30 30 20 20 40

а г б а а г б а 1 схема 2 схема 3 схема 4 схема

5 схема 6 схема 7 схема 8 схема

9 схема 10 схема 11 схема 12 схема

Рисунок 2.1. К заданию 2.1

Page 13: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

25

13 схема 14 схема 15 схема 16 схема

17 схема 18 схема 19 схема 20 схема

21 схема 22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема 28 схема

Продолжение рисунка 2.1

26

29 схема 30 схема

Окончание рисунка 2.1

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ

СЕЧЕНИЙ 1) Определение положения центра тяжести сложного сечения. Координаты центра тяжести любой сложной фигуры можно определить

по формулам:

SS

x yc

å= ,

SSy x

cå= ,

где Sx, Sy – статические моменты площади сечений простых фигур, состав-ляющих сложную фигуру; S – площадь фигуры.

Сумма статических площадей простых фигур определяется по формуле: å +++= nnx ySySySS ...2211 , å +++= nny xSxSxSS ...2211 ,

где Si – площадь i-той простой фигуры; xi, yi – координаты центра тяжести i-той простой фигуры.

2) Определение моментов инерции сечения при параллельном переносе осей.

Пусть известны все геометрические характеристики сечения относитель-но исходных осей х, у (рис.3.1). Определим моменты инерции относительно параллельных им осей хС, уС, проходящих через центр тяжести сечения.

2bSII xxС ×+= , 2aSII yyС ×+= ,

abSII xyyx СС ×+= , где Ix, Iy – осевые моменты инерции относительно исходных осей;

Ixy – центробежный момент инерции относительно исходных осей; Ixc, Iyc – осевые моменты инерции относительно центральных осей; Ixcyc – центробежный момент инерции относительно центральных осей; a, b – расстояние между осями.

Page 14: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

27

xC

yCy1

x1

ц.т.

a

Рисунок 3.1 Рисунок 3.2

3) Определение моментов инерции сечения при повороте осей. Известны все геометрические характеристики сечения относительно цен-

тральных осей хС, уС (рис. 3.2). Определим моменты инерции относительно осей х1, у1, повернутых относительно центральных на некоторый угол a.

aaa 2sinsincos 221 СССС yxyxx IIII -+= ,

aaa 2sincossin 221 СССС yxyxy IIII ++= ,

aa 2cos2sin211 СС

ССyx

yxyx I

III +

-= ,

где Ix1, Iy1 – осевые моменты инерции относительно осей х1, у1; Ix1y1 – центробежный момент инерции относительно осей х1, у1. 4) Определение положения главных центральных осей инерции. Положение главных центральных осей инерции сечения определяется по

формуле:

СС

СС

yx

yx

III

tg-

-=2

2 0a ,

где a0 – угол между центральными и главными осями инерции. 5) Определение главных моментов инерции. Главные моменты инерции сечения определяются по формуле:

( ) 22

minmax 4

21

2 СССССС

yxyxyx III

III +-±

+= .

6) Последовательность расчета сложного сечения. а) Разбить сложное сечение на простейшие геометрические фигуры [S1, S2,…;x1, y1; x2, y2, …]. б) Выбрать произвольные оси XOY. в) Определить положение центра тяжести сечения [xc, yc]. г) Провести центральные оси XcOYc. д) Вычислить моменты инерции Ixc, Iyc, используя теорему параллельного переноса осей. е) Вычислить центробежный момент инерции Ixcyc.

xC

yC

x

y

ц.т.

a

b

28

ж) Определить положение главных осей инерции tg2a0. з) Вычислить главные моменты инерции Imax, Imin. Задание 3.1. Для сечения, изображенного на рис.3.3 требуется: 1) вычертить сечение в масштабе и показать основные размеры в числах. 2) определить положение центра тяжести и указать положение главных

центральных осей. 3) вычислить величину главных моментов инерции и моментов сопро-

тивления сечения. 4) определить главные радиусы инерции сечения. При расчете все необходимые данные следует взять из таблицы 3.1. Таблица 3.1

№ строки

Сечение по рис.3.3

с, м

№ строки

Сечение по рис.3.3

с, м

01 1 0,1 16 16 0,1 02 2 0,15 17 17 0,15 03 3 0,2 18 18 0,2 04 4 0,25 19 19 0,25 05 5 0,3 20 20 0,3 06 6 0,1 21 21 0,1 07 7 0,15 22 22 0,15 08 8 0,2 23 23 0,2 09 9 0,25 24 24 0,25 10 10 0,3 25 25 0,3 11 11 0,2 26 26 0,2 12 12 0,25 27 27 0,25 13 13 0,3 28 28 0,3 14 14 0,1 29 29 0,25 15 15 0,15 30 30 0,3 в б в б

1 схема 2 схема 3 схема

Рисунок 3.3. К заданию 3.1

Page 15: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

29

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

Продолжение рисунка 3.3

30

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 3.3

Задание 3.2. Для составного поперечного сечения (рис.3.4), состоящего из двутавра, швеллера, уголка, заданных в табл.3.2, требуется:

1) определить положение центра тяжести; 2) найти величину осевых и центробежных моментов инерции относи-

тельно центральных осей; 3) определить направление главных центральных осей; 4) найти величину моментов инерции относительно главных центральных

осей;

Page 16: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

31

5) вычертить сечений в масштабе 1:2 и указать на нем все размеры в чис-лах и все оси.

При расчете все необходимые данные следует взять из таблицы 3.2 и сор-тамента.

Таблица 3.2 №

стро-ки

Сече-ние по

рис.3.4

Швел-лер №

Равно-бокий уголок

Дву-тавр №

№ стро-

ки

Сече-ние по

рис.3.4

Швел-лер №

Равно-бокий уголок

Дву-тавр №

01 1 14 8(8) 12 16 16 24 10(8) 20 02 2 16 8(6) 14 17 17 27 10(10) 22а 03 3 18 9(8) 16 18 18 30 10(12) 22 04 4 20 9(7) 18 19 19 33 12,5(10) 24а 05 5 22 9(6) 20а 20 20 36 12,5(12) 24 06 6 24 10(8) 20 21 21 14 8(8) 12 07 7 27 10(10) 22а 22 22 16 8(6) 14 08 8 30 10(12) 22 23 23 18 9(8) 16 09 9 33 12,5(10) 24а 24 24 20 9(7) 18 10 10 36 12,5(12) 24 25 25 22 9(6) 20а 11 11 14 8(8) 12 26 26 24 10(8) 20 12 12 16 8(6) 14 27 27 27 10(10) 22а 13 13 18 9(8) 16 28 28 30 10(12) 22 14 14 20 9(7) 18 29 29 33 12,5(10) 24а 15 15 22 9(6) 20а 30 30 36 12,5(12) 24 в б а г в б а г

1 схема 2 схема 3 схема

Рисунок 3.4. К заданию 3.2

32

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

Продолжение рисунка 3.4

Page 17: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

33

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

19 схема 20 схема 21 схема

Продолжение рисунка 3.4

34

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 3.4

Page 18: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

35

Задание 3.3. Для заданных схем (рис.3.5) необходимо: 1) Вычертить поперечное сечение в строгом масштабе. 2) Определить положение центра тяжести. 3) Найти величины осевых моментов инерции относительно центральных

осей. 4) Найти величину центробежного момента инерции относительно цен-

тральных осей. 5) Определить положение главных осей инерции. 6) Найти главные моменты инерции.

При расчете все необходимые данные следует взять из таблицы 3.3 и сор-тамента.

Таблица 3.3 №

строки Сечение

по рис.3.5

Швеллер№

Прямо-угольник

Дву-тавр №

Уголок рав-нополочный

Уголок нерав-нополочный

№ 01 1 8 100´30 10 30´5 50´32´4 02 2 10 100´40 12 40´6 56´36´4 03 3 12 100´20 14 50´4 63´40´8 04 4 14 80´40 16 56´4 70´45´5 05 5 14а 80´60 18 63´6 80´50´6 06 6 16 80´100 20 70´8 90´56´6 07 7 16а 80´20 20а 80´8 100´63´6 08 8 18 60´40 22 90´9 90´56´8 09 9 18а 60´60 22а 75´9 140´90´10 10 10 20 60´40 27 100´10 160´100´12 11 11 14 100´20 14 40´6 56´36´4 12 12 16 80´40 16 50´4 63´40´8 13 13 18 80´60 18 56´4 70´45´5 14 14 10 80´100 20 63´6 80´50´6 15 15 12 80´20 20а 70´8 90´56´6 16 16 14 60´40 22 80´8 100´63´6 17 17 14а 100´20 22а 90´9 90´56´8 18 18 16 80´40 22 75´9 140´90´10 19 19 16а 80´60 24а 100´10 50´32´4 20 20 18 80´100 24 63´6 56´36´4 21 21 18а 80´20 20 70´8 63´40´8 22 22 20 80´40 20а 80´8 160´100´12 23 23 14 80´60 22 90´9 56´36´4 24 24 14а 80´100 22а 75´9 63´40´8 а б в г а б

36

№ строки

Сечение по

рис.3.5

Швеллер№

Прямо-угольник

Дву-тавр №

Уголок рав-нополочный

Уголок нерав-нополочный

№ 25 25 16 80´20 27 100´10 70´45´5 26 26 8 60´40 14 40´6 80´50´6 27 27 10 100´20 16 50´4 90´56´6 28 28 12 80´40 18 56´4 100´63´6 29 29 14 80´60 20 63´6 90´56´8 30 30 14а 80´100 20а 80´8 140´90´10 а б в г а б

1 схема 2 схема 3 схема 4 схема

5 схема 6 схема 7 схема 8 схема

9 схема 10 схема 11 схема 12 схема

Рисунок 3.5. К заданию 3.3

Page 19: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

37

13 схема 14 схема 15 схема 16 схема

17 схема 18 схема 19 схема 20 схема

21 схема 22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема 28 схема

Продолжение рисунка 3.5

38

29 схема 30 схема

Окончание рисунка 3.5

4. КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ

Кручение – это такой вид деформации стержня, при котором в его попе-речных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – кру-тящий момент.

Внешние моменты, воздействующие на вал, называются скручивающи-ми.

Расчет вала на прочность начинается с построения эпюры крутящего мо-мента и отыскания опасного сечения.

Касательные напряжения при кручении определяются по формуле:

rtp

КРI

Т= ,

где ТКР – крутящий момент, действующий в сечении; r - радиус той точки поперечного сечения, в которой определяются на-

пряжения; Ip – полярный момент инерции сечения. Условие прочности при кручении записывается следующим образом:

[ ]tt £=p

КРW

Т maxmax .

где Wp – полярный момент сопротивления сечения. Угол закручивания вала определяется по формуле:

p

КРGI

lТ ×=j ,

где l – длина вала; G – модуль упругости второго рода. Условие жесткости при кручении записывается следующим образом:

[ ]jj £×

=p

КРGI

lТ .

Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления круглого сечения определяются по формулам соответственно:

Page 20: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

39

44

1,032

ddI p »=p , 3

32,0

16ddWp »=

p ,

где d – диаметр вала. Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления кольцево-

го сечения определяются по формулам соответственно: ( )44 11,0 x-= DI p , ( )43 12,0 x-= DWp ,

где D – внешний диаметр вала;

Dd

=x ;

d – внутренний диаметр вала. Задание 4.1. К стальному валу приложены скручивающие моменты: М1,

М2, М3, М4, (рис.4.1). Требуется: 1) построить эпюру крутящих моментов; 2) при заданном значении ][t определить диаметр вала из расчета на

прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания; 4) найти наибольший относительный угол закручивания. Данные взять из табл.4.1. Таблица 4.1

Расстояние, м Моменты, кНм № строки

Схема по рис.4.1 а b с М1; М3 М2; М4

][t , МПа

01 1 1,1 1,1 1,1 2,1 1,1 35 02 2 1,2 1,2 1,2 2,2 1,2 40 03 3 1,3 1,3 1,3 2,3 1,3 45 04 4 1,4 1,4 1,4 2,4 1,4 50 05 5 1,5 1,5 1,5 2,5 1,5 55 06 6 1,6 1,6 1,6 1,6 0,6 60 07 7 1,7 1,7 1,7 1,7 0,7 65 08 8 1,8 1,8 1,8 1,8 0,8 70 09 9 1,9 1,9 1,9 1,9 0,9 75 10 10 2,0 2,0 2,0 2,0 1,0 80 11 11 1,6 1,3 1,6 2,3 1,2 35 12 12 1,7 1,4 1,7 2,4 1,3 40 13 13 1,8 1,5 1,8 2,5 1,4 45 14 14 1,9 1,6 1,9 1,6 1,5 50 15 15 2,0 1,7 2,0 1,7 0,6 55 16 16 1,3 1,8 1,1 1,8 0,7 60 17 17 1,4 1,1 1,2 1,9 0,8 65 б а в г а б в

40

Расстояние, м Моменты, кНм № строки

Схема по рис.4.1 а b с М1; М3 М2; М4

][t , МПа

18 18 1,5 1,2 1,3 1,6 0,9 70 19 19 1,6 1,3 1,4 1,7 1,1 60 20 20 1,7 1,4 1,5 1,8 1,2 65 21 21 1,9 1,5 1,9 1,9 1,3 70 22 22 2,0 1,6 2,0 2,0 1,4 75 23 23 1,6 1,7 1,6 2,3 1,5 80 24 24 1,7 1,6 1,7 2,4 0,6 35 25 25 1,8 1,7 1,8 2,5 0,7 40 26 26 1,9 1,8 1,9 1,6 0,8 45 27 27 2,0 1,9 1,1 1,8 0,9 50 28 28 1,3 2,0 1,2 1,9 1,0 55 29 29 1,1 1,3 1,3 2,0 1,2 35 30 30 1,2 1,4 1,4 2,3 1,3 40 б а в г а б в

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

Рисунок 4.1. К заданию 4.1

Page 21: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

41

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 4.1

Задание 4.2. Для заданной расчетной схемы (рис.4.2) необходимо: 1) Вычертить расчетную схему вала в произвольном масштабе. 2) Построить эпюру крутящих моментов.

42

3) Из условия прочности определить размеры поперечного сечения вала, приняв сечение вала круглым, кольцевым, прямоугольным.

4) Построить эпюру углов закручивания для круглого вала, приняв жест-кость сечения постоянной.

5) Сравнить веса валов. Данные взять из табл.4.2. Таблица 4.2

№ cтроки

Схема по рис.4.2

а, м

b, м

с, м

М1, Нм

М2, Нм

М3, Нм

М4, Нм

М5, Нм

dD

x = bh

][t ,

МПа 01 1 0,2 0,7 0,5 100 500 800 400 600 0,4 1,1 50 02 2 0,3 0,6 0,6 200 600 700 300 500 0,5 1,2 60 03 3 0,4 0,5 0,4 300 700 600 800 300 0,6 1,3 70 04 4 0,5 0,4 0,3 400 800 500 700 200 0,7 1,4 80 05 5 0,6 0,3 0,5 500 900 400 600 700 0,8 1,5 90 06 6 0,7 0,2 0,8 600 1000 300 500 800 0,9 1,6 50 07 7 0,8 0,3 0,7 700 900 200 600 900 0,8 1,7 60 08 8 0,7 0,4 0,3 800 800 100 300 1000 0,7 1,8 70 09 9 0,6 0,5 0,4 900 700 1000 200 400 0,6 1,9 80 10 10 0,5 0,6 0,2 1000 100 900 300 100 0,5 2,0 90 11 11 0,3 0,6 0,6 300 600 700 800 500 0,5 1,2 60 12 12 0,4 0,5 0,4 400 700 600 700 300 0,6 1,3 70 13 13 0,5 0,4 0,3 500 800 500 600 200 0,7 1,4 80 14 14 0,6 0,3 0,5 600 900 400 500 700 0,8 1,5 90 15 15 0,7 0,2 0,8 700 1000 300 600 800 0,9 1,6 50 16 16 0,8 0,3 0,7 800 900 200 300 900 0,8 1,7 60 17 17 0,7 0,4 0,3 900 800 100 200 1000 0,7 1,8 70 18 18 0,6 0,5 0,4 1000 700 1000 300 400 0,6 1,9 80 19 19 0,5 0,7 0,5 100 600 900 800 600 0,5 2,0 90 20 20 0,5 0,6 0,6 200 700 500 700 500 0,6 1,8 60 21 21 0,6 0,5 0,4 300 800 400 600 300 0,7 1,9 70 22 22 0,7 0,4 0,3 400 900 300 500 200 0,8 2,0 80 23 23 0,8 0,3 0,5 500 1000 200 600 700 0,9 1,2 90 24 24 0,7 0,2 0,8 600 900 100 300 800 0,8 1,3 50 25 25 0,6 0,3 0,7 700 800 1000 200 900 0,7 1,4 60 26 26 0,5 0,4 0,3 800 700 900 300 1000 0,6 1,5 70 27 27 0,3 0,5 0,4 900 100 700 800 400 0,5 1,6 80 28 28 0,4 0,6 0,2 1000 600 600 700 100 0,5 1,7 90 29 29 0,5 0,6 0,6 300 700 500 600 500 0,6 1,8 60 30 30 0,6 0,5 0,4 400 800 400 500 300 0,7 1,9 70

б г в б а в б а г а б в

Page 22: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

43

1 схема 2 схема M1

M2

a b c c a

M4

M3

M5M1

a b c c a

M4M3

M2M5

3 схема 4 схема M1

a b c c a

M4

M2 M3M5

a b c c a

M4

M2 M3

M1M5

5 схема 6 схема

a b c c a

M1

M4M3

M2M5 M1

a b c c a

M4M3

M1M5

7 схема 8 схема

a b c c a

M1

M2 M3 M4

M5

a b c c a

M1

M2 M3 M4

M5

9 схема 10 схема

a b c c a

M4M3

M2

M1M5

M1

a b c c a

M3

M2 M4M5

Рисунок 4.2. К заданию 4.2

44

11 схема 12 схема M1

M2

a b c c a

M4

M3

M5 M1

a b c c a

M4M3

M2M5

13 схема 14 схема M1

a b c c a

M4

M2 M3M5

a b c c a

M4

M2 M3

M1M5

15 схема 16 схема

a b c c a

M1

M4M3

M2M5 M1

a b c c a

M4M3

M1M5

17 схема 18 схема

a b c c a

M1

M2 M3 M4

M5

a b c c a

M1

M2 M3 M4

M5

19 схема 20 схема

a b c c a

M4M3

M2

M1M5M1

a b c c a

M3

M2 M4M5

Продолжение рисунка 4.2

Page 23: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

45

21 схема 22 схема M1

M2

a b c c a

M4

M3

M5M1

a b c c a

M4M3

M2M5

23 схема 24 схема M1

a b c c a

M4

M2 M3M5

a b c c a

M4

M2 M3

M1M5

25 схема 26 схема

a b c c a

M1

M4M3

M2M5 M1

a b c c a

M4M3

M1M5

27 схема 28 схема

a b c c a

M1

M2 M3 M4

M5

a b c c a

M1

M2 M3 M4

M5

29 схема 30 схема

a b c c a

M4M3

M2

M1M5

M1

a b c c a

M3

M2 M4M5

Окончание рисунка 4.2

46

5. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК Изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечном

сечении стержня возникает внутренний силовой фактор – изгибающий мо-мент.

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать ве-личину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в кото-ром он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы. Для определения величин М и Q используют метод сече-ний. Рассмотрим схему, показанную на рис. 5.1. Составим сумму сил на ось Y, действующих на отрезанную часть балки.

Рисунок 5.1. Метод сечений при изгибе

21..

21 0 ;0FFYQ

QFFY

ЧОТС+==

=-+=

åå

Поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих по одну сторону от сечения.

å=..ЧОТСiFQ

Составим сумму моментов, действующих на отрезанную часть балки, относительно сечения.

( )( )azFzFmM

MazFzFm

ЧОТСx

x-+==

=+---=

åå

21..

21 0 ;0

Изгибающий момент равен алгебраической сумме всех моментов, дейст-вующих на отсеченную часть бруса, относительно центра тяжести сечения.

å=..ЧОТС

iMM

Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

z

za

F1

F1

MQ

F2

bF2

Page 24: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

47

димо принять правило знаков для внутренних силовых факторов. Для поперечной силы Q (рис.5.2).

F

F

F

FQ

Q

F

FF

FQ

Q

Q > 0 Q < 0 Рисунок 5.2. Правило знаков для поперечной силы Q.

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке,

то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.

Для изгибающего момент момента М (рис.5.3).

М

М

М

М М М+ +

М М

ММ М

М

а) б)

Рисунок 5.3. Правило знаков для изгибающего момента M.

Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным (рис. 5.3а). Если под действи-ем внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий мо-мент является отрицательным (рис. 5.3б).

Между интенсивностью распределенной нагрузки q, поперечной силой Q и изгибающим моментом М, действующим в некотором сечении, существуют следующие дифференциальные зависимости:

dzMdq

2= ,

dzdMQ = ,

dzdQq = .

Указанные дифференциальные зависимости при изгибе позволяют уста-новить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих момен-тов. 1) На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена

прямыми, параллельными оси эпюры, а эпюра М, в общем случае, – на-клонными прямыми (рис. 5.4).

48

2) На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная на-грузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадра-тичными параболами (рис. 5.5). При построении эпюры М на сжатых во-локнах, выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную действию распределенной нагрузки (рис. 5.6а, б).

FA B

RA

RB

z1

z2

0 0"Q"

0 0"M"

F×a

2a aF

F/2

F

AB

RA RB

0 0

"Q"

0 0

"M"

q

касательная

Рисунок 5.4. Рисунок 5.5.

3) В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна оси эпюры

(рис. 5.4, 5.5). Изгибающий момент в таких сечениях балки экстремален по величине (Мmax, Mmin).

4) На участках, где Q > 0, M возрастает, то есть слева на право положитель-ные ординаты эпюры M увеличиваются, отрицательные – уменьшаются (рис. 5.4, 5.5); на тех участках, где Q < 0, M убывает (рис. 5.4, 5.5).

5) В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы: а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных

сил (рис. 5.4, 5.5). б) на эпюре M будут переломы (рис. 5.4, 5.5), острие перелома направле-

но против действия силы. 6) В тех, сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на

эпюре M будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q никаких изменений не будет (рис. 5.7).

7) Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту (сечения C и B на рис. 5.7).

8) Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры M. Зна-чит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре M (рис. 5.5).

Page 25: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

49

"Q"

"M"

q

a)"Q"

"M"

q

б)

Рисунок 5.6.

A B

0 0

"M"

q M2

C

M1

M1

M2

Рисунок 5.7.

Порядок построения эпюр Q и М:

1) Составляется расчетная схема балки (в виде оси) с изображением дейст-вующих на нее нагрузок.

2) Влияние опор на балку заменяется соответствующими реакциями; указы-ваются обозначения реакций и их принятые направления.

3) Составляются уравнения равновесия балки, решением которых опреде-ляются значения опорных реакций.

4) Балка разбивается на участки, границами которых являются точки при-ложения внешних сосредоточенных сил и моментов, а также точки нача-ла и окончания действия или изменения характера распределенных на-грузок.

5) Составляются выражения изгибающих моментов М и поперечных сил Q для каждого участка балки. На расчетной схеме указываются начало и направление отсчета расстояний для каждого участка.

6) По полученным выражениям вычисляются ординаты эпюр для ряда сече-ний балки в количестве, достаточном для изображения этих эпюр.

50

7) Определяются сечения, в которых поперечные силы равны нулю и в ко-торых, следовательно, действуют моменты Mmax или Mmin для данного участка балки; вычисляются значения этих моментов.

8) По полученным значениям ординат строятся эпюры. 9) Производится проверка построенных эпюр путем сопоставления их друг

с другом. Эпюры внутренних силовых факторов при изгибе строят для того, чтобы

определить опасное сечение. После того, как опасное сечение будет найдено, балку рассчитывают на прочность. В общем случае поперечного изгиба, ко-гда в сечениях стержня действуют изгибающий момент и поперечная сила, в сечении балки возникают нормальные и касательные напряжения. Поэтому, логично рассматривать два условия прочности: а) по нормальным напряжениям

[ ]ss £=XW

M maxmax ;

б) по касательным напряжениям

[ ]tt £××

=bISQ

x

x*

maxmax .

Поскольку основным разрушающим фактором для балок являются нор-мальные напряжения, то и размеры поперечного сечения балки принятой формы определяют из условия прочности по нормальным напряжениям:

[ ]smaxMWX ³ .

Затем проверяют, удовлетворяет ли выбранное сечение балки условию прочности по касательным напряжениям.

Однако, такой подход к расчету балок еще не характеризует прочность балки. Во многих случаях в сечениях балок имеются точки, в которых одно-временно действуют большие нормальные и касательные напряжения. В та-ких случаях возникает необходимость проверки балки на прочность по глав-ным напряжениям. Наиболее применимы для такой проверки третья и четвер-тая теории прочности:

[ ]stss £+= 22 4IIIэкв ,

[ ]stss £+= 22 3IVэкв .

Задание 5.1. Для балок, изображенных на схемах 1-5 (рис.5.8), требуется: 1) простроить эпюры внутренних усилий; 2) указать положение опасного сечения. 3) для деревянной балки, изображенной на схеме 1, подобрать размеры

квадратного поперечного сечения из условия прочности, если [ ]s = 16 МПа;

Page 26: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

51

4) для стальной двутавровой балки, изображенной на схеме 2, подобрать номер прокатного профиля из условия прочности.

Данные для схем 1- 5 взять из табл.5.1. Таблица 5.1 №

cтроки Схема

по рис.5.8 а, м

b, м

F1, кН

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.5.8

а, м

b, м

F1, кН

М, кНм

q, кН/м

01 1 1 2 12 24 5 16 16 1 2 8 12 6 02 2 2 2 10 16 4 17 17 2 1 10 18 5 03 3 3 2 12 12 6 18 18 3 2 6 20 6 04 4 2 3 6 18 2 19 19 2 2 8 12 2 05 5 1 3 8 20 4 20 20 1 3 6 12 4 06 6 3 1 10 12 2 21 21 3 3 12 12 2 07 7 2 2 6 12 3 22 22 2 1 12 16 3 08 8 1 2 8 12 6 23 23 1 2 13 10 6 09 9 2 1 6 16 5 24 24 1 2 14 12 5 10 10 1 3 12 10 6 25 25 3 1 12 18 6 11 11 1 2 11 12 6 26 26 2 3 10 20 6 12 12 3 3 12 18 2 27 27 1 2 12 12 2 13 13 2 3 10 20 4 28 28 2 3 6 24 4 14 14 1 1 12 12 2 29 29 1 3 8 16 2 15 15 2 2 6 12 3 30 30 2 1 10 12 3 а в б в г а а в б в г а

Вариант 1

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Рисунок 5.8. К заданию 5.1

52

Вариант 2 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 3 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 4 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

Page 27: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

53

Вариант 5 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 6 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 7 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

54

Вариант 8 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 9 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 10 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

Page 28: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

55

Вариант 11 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 12 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 13 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

56

Вариант 14 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 15 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 16 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

Page 29: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

57

Вариант 17 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 18 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 19 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

58

Вариант 20 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 21 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 22 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

Page 30: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

59

Вариант 23 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 24 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 25 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

60

Вариант 26 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 27 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 28 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Продолжение рисунка 5.8

Page 31: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

61

Вариант 29 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Вариант 30 1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема

Окончание рисунка 5.8

Задание 5.2. Для заданных схем балок, изображенных на схемах а) и б)

(рис.5.9), требуется: 1) простроить эпюры внутренних усилий Q и изгибающего момента М.; 2) подобрать поперечное сечение для схемы а) круглое ][s = 10 МПа;

б) двутавровое ][s = 150 МПа. Данные для схем а) и б) взять из табл.5.2. Таблица 5.2

№ cтроки

Схема по рис.5.9

а, м

q1=q3, кН/м

q2, кН/м

F1, кН

F2, кН

F3, кН

М1, кНм

М2, кНм

М3, кНм

01 1 2 5 30 10 35 10 10 35 10 02 2 0,8 10 25 15 30 20 15 30 20 03 3 1 15 20 20 25 30 20 25 30 04 4 1,2 20 15 25 20 40 25 20 40 05 5 1,4 25 10 30 15 10 30 15 10

в б б а в в г а г в

62

№ cтроки

Схема по рис.5.9

а, м

q1=q3, кН/м

q2, кН/м

F1, кН

F2, кН

F3, кН

М1, кНм

М2, кНм

М3, кНм

06 6 1,6 30 5 35 10 20 35 10 20 07 7 1,8 5 30 40 5 30 40 5 30 08 8 2 15 35 15 30 20 15 30 20 09 9 2 20 25 20 25 30 20 25 30 10 10 0,8 25 20 25 20 40 25 20 40 11 11 1 30 15 30 15 10 30 15 10 12 12 1,2 5 10 15 10 20 35 10 20 13 13 1,4 20 25 20 5 30 40 30 30 14 14 1,6 10 20 25 20 30 20 25 30 15 15 1,8 15 15 30 15 40 25 20 40 16 16 1 20 10 35 10 10 30 15 10 17 17 1,2 25 5 40 5 20 35 10 20 18 18 1,4 30 30 15 30 30 40 5 30 19 19 1,6 5 35 20 25 20 15 30 20 20 20 1,8 15 25 25 20 30 20 25 30 21 21 2 20 20 30 15 40 25 20 40 22 22 2 25 15 25 10 10 30 15 10 23 23 0,8 30 10 30 5 20 35 10 20 24 24 1 5 35 35 25 20 40 20 30 25 25 1,2 20 25 40 20 30 20 15 20 26 26 1,4 20 20 15 15 40 25 10 30 27 27 1,4 20 15 20 10 10 30 30 40 28 28 1,6 25 10 25 5 20 35 25 10 29 29 1,8 30 25 30 20 30 40 20 20 30 30 1 5 20 15 15 30 15 15 30

в б б а в в г а г в

1 схема 2 схема

a)

б)

aaa

q2

q3

F2

a/2a a/2

q1

F1 F2

aa

M2

a

q2M1

a

q2

aaF3

M2

a)

б)

Рисунок 5.9. К заданию 5.2

Page 32: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

63

3 схема 4 схема

a)

б)

a

M2

a a

q3 q2

a

q3

a aF2

M3

a

M1 q3

aa a

q1M2

F3

a)

б)

aa

5 схема 6 схема

a

F1

aa

q2

M2

aa

q1

a

q2M1

a)

б)

a)

б)

aa a

M1 q2 M3

aa

q2

a

M1 q3

7 схема 8 схема

aaa

q3 F1

M2

aaa F2

q1 F3

a)

б)

a)

б)

aaa

M1 q2 F1 F2

aa a

q2

q1

F2

9 схема 10 схема

aa aF3

q2 M1

aa a

q2

F3 q1

a)

б)

a

M3

aa F1

q2

aa

q2

a

M1

3

a)

б)

Продолжение рисунка 5.9

64

11 схема 12 схема

a)

б)

aaa

q2

q3

F2

a/2a a/2

q1

F1 F2

aa

M2

a

q2M1

a

q2

aa F3

M2

a)

б)

13 схема 14 схема

a)

б)

a

M2

a a

q3 q2

a

q3

a aF2

M3

a

M1 q3

aa a

q1M2

F3

a)

б)

aa

15 схема 16 схема

a

F1

aa

q2

M2

aa

q1

a

q2M1

a)

б)

a)

б)

aa a

M1 q2 M3

aa

q2

a

M1 q3

17 схема 18 схема

aaa

q3 F1

M2

aaa F2

q1 F3

a)

б)

a)

б)

aaa

M1 q2 F1 F2

aa a

q2

q1

F2

Продолжение рисунка 5.9

Page 33: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

65

19 схема 20 схема

aa a F3

q2 M1

aa a

q2

F3 q1

a)

б)

a

M3

aaF1

q2

aa

q2

a

M1

3

a)

б)

21 схема 22 схема

a)

б)

aaa

q2

q3

F2

a/2a a/2

q1

F1 F2

aa

M2

a

q2M1

a

q2

aa F3

M2

a)

б)

23 схема 24 схема

a)

б)

a

M2

a a

q3 q2

a

q3

a aF2

M3

a

M1 q3

aa a

q1M2

F3

a)

б)

aa

25 схема 26 схема

a

F1

aa

q2

M2

aa

q1

a

q2M1

a)

б)

a)

б)

aa a

M1 q2 M3

aa

q2

a

M1 q3

Продолжение рисунка 5.9

66

27 схема 28 схема

aaa

q3 F1

M2

aaa F2

q1 F3

a)

б)

a)

б)

aaa

M1 q2 F1 F2

aa a

q2

q1

F2

29 схема 30 схема

aa aF3

q2 M1

aa a

q2

F3 q1

a)

б)

a

M3

aa F1

q2

aa

q2

a

M1

3

a)

б)

Окончание рисунка 5.9

Задание 5.3. Для балки, изображенной на рис.5.10, требуется: 1) простроить эпюры внутренних усилий; 2) указать положение опасного сечения. 3) для стальной балки из швеллера, подобрать номер прокатного профиля

из условия прочности. Данные взять из табл.5.3. Таблица 5.3 №

cтроки Схема

по рис.5.10 F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.5.10

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

01 1 12 1 2 24 5 16 16 8 1 2 12 6 02 2 10 2 2 16 4 17 17 10 2 1 18 5 03 3 12 3 2 12 6 18 18 6 3 2 20 6 04 4 6 2 3 18 2 19 19 8 2 2 12 2 05 5 8 1 3 20 4 20 20 6 1 3 12 4 06 6 10 3 1 12 2 21 21 12 3 3 12 2 07 7 6 2 2 12 3 22 22 12 2 1 16 3 08 8 8 1 2 12 6 23 23 13 1 2 10 6 09 9 6 2 1 16 5 24 24 14 1 2 12 5 10 10 12 1 3 10 6 25 25 12 3 1 18 6 г г а б б в г г а б б в

Page 34: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

67

№ cтроки

Схема по рис.5.10

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.5.10

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

11 11 11 1 2 12 6 26 26 10 2 3 20 6 12 12 12 3 3 18 2 27 27 12 1 2 12 2 13 13 10 2 3 20 4 28 28 6 2 3 24 4 14 14 12 1 1 12 2 29 29 8 1 3 16 2 15 15 6 2 2 12 3 30 30 10 2 1 12 3

г г а б б в г г а б б в

1 схема 2 схема

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

Рисунок 5.10. К заданию 5.3 68

11 схема 12 схема

13 схема 14 схема

15 схема 16 схема

17 схема 18 схема

19 схема 20 схема

21 схема 22 схема

Продолжение рисунка 5.10

Page 35: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

69

23 схема 24 схема

25 схема 26 схема

27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

Окончание рисунка 5.10

6. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Под сложным сопротивлением подразумевают различные комбинации

простейших деформаций бруса - растяжения или сжатия, сдвига, кручения и изгиба. При этом, на основании принципа независимости действия сил, на-пряжения и деформации в стержне при сложном сопротивлении определяют суммированием напряжений или деформаций, вызванных каждым внутрен-ним силовым фактором в отдельности. Напомним, что этот принцип приме-ним в тех случаях, когда имеют место только упругие деформации, а матери-ал подчиняется закону Гука.

6.1. Внецентренное растяжение-сжатие

Вид деформации, при котором точка приложения продольной силы не

совпадает с центром тяжести сечения, называется внецентренным растяже-

70

нием или сжатием (рис.6.1). Здесь pz , py - координаты точки приложения силы P в системе главных центральных осей инерции z и y .

1) Определение напряжений при внецентренном растяжении (сжатии). Во всех поперечных сечениях внецентренно растянутого (сжатого) бруса

действуют следующие внутренние силовые факторы: продольная сила PN = и два изгибающих момента pz yPM = и py zPM = (рис.6.1).

P

x

z

y

z p

yp

Рисунок. 6.1. Общий случай внецентренного растяжения

Полное напряжение в любой точке сечения произвольной формы с коор-

динатами z и y , будет равно:

yJM

zJM

AN

z

z

y

y ++=s .

Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точ-ка, наиболее удаленная от нейтральной линии. В связи с этим, большое зна-чение приобретают вопросы, связанные с определением положения ней-тральной линии.

2) Определение положения нейтральной линии. Нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) - это пря-

мая, не проходящая через начало координат (центр тяжести поперечного се-чения).

Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы

0122

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ++= o

z

po

y

p yi

yz

i

zAP

s или 0122

=++ oz

po

y

p yi

yz

i

z,

где oy и oz - координаты точки, лежащей на нейтральной линии,

AJi yy = и AJi zz = - радиусы инерции.

Page 36: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

71

Определение положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения, т.е. точки, в которых нормальные напряжения принимают наибольшие значения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания A и B будут яв-ляться опасными (рис. 6.2).

+

y

z

Нейтральная линия

B

A

yA

zA

yBzB

“s”

-

Полюс (yp, zp)

1

2

Рисунок. 6.2. Положение нейтральной линии и опасных точек поперечного

сечения при внецентренном растяжении (сжатии) Условия прочности для опасных точек составляют в зависимости от

свойств того материала, из которого изготовлен брус. Так как хрупкий мате-риал обладает различными свойствами в условиях растяжения и сжатия – плохо сопротивляется растяжению и хорошо сжатию, условия прочности со-ставляют для двух точек: где действуют максимальные растягивающие (т. A ) и максимальные сжимающие (т. B ) напряжения (рис. 6.2)

].[

],[

max

max

cBz

zB

y

yBc

pAz

zA

y

yAp

yJM

zJ

M

AN

yJM

zJM

AN

sss

sss

£--==

£++==

Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растя-жению и сжатию, составляют одно условие прочности для точки поперечного сечения, где имеют место максимальные по абсолютной величине нормаль-ные напряжения. В нашем случае (рис. 6.2) такой точкой является точка A , в которой действуют напряжения одного знака

][max ss £++= Az

zA

y

y yJM

zJM

AN .

3) Понятие о ядре сечения.

72

Область приложения продольных сил, которые в этом случае вызывают в поперечном сечении напряжения только одного знака, называется ядром се-чения.

Вопрос определения ядра сечения является наиболее актуальным для элементов конструкций из хрупкого материала, работающих на внецентрен-ное сжатие, с целью получения в поперечном сечении только сжимающих напряжений, т.к. хрупкий материал плохо сопротивляется деформации рас-тяжения. Для этого необходимо задаться рядом положений нейтральной ли-нии, проводя ее через граничные точки контура, и вычислить координаты соответствующих точек приложения силы. Геометрическое место рассчитан-ных таким образом точек и определит контур ядра сечения.

6.2. Совместное действие изгиба и кручения

Совместному действию изгибающего и крутящего моментов подвергают-

ся большинство деталей машин и механизмов, которые кроме скручивания, испытывают изгиб от собственного веса, от веса шкивов, зубчатых колес, от натяжения ремней, от сил зацепления колес и т.д. Расчет на прочность при изгибе с кручением обычно выполняют при расчете валов с учетом изгибаю-щих усилий и при расчете пространственных стержней.

Если внешние силы, действующие на вал, не лежат в одной плоскости, то необходимо разложить их на составляющие: вертикальную и горизонталь-ную. Далее следует построить эпюру крутящего момента, эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а затем эпюру сум-марного изгибающего момента.

При совместном действии крутящего и изгибающего моментов необхо-димо учитывать нормальные напряжения, возникающие от действия изги-бающего момента, и касательные напряжения, возникающие от действия кру-тящего момента. Максимальные эквивалентные напряжения от кручения и изгиба возникающие на поверхности круглого вала определяют по третьей или четвертой теории прочности:

OC

IIIПРИВ

OC

KPIIIЭКВ W

MW

TM=

+= S

22s ;

OC

IVПРИВ

OC

KPIVЭКВ W

MW

TM=

+= S

22 75,0s ,

где WОС – осевой момент сопротивления сечения. Условия прочности при изгибе с кручением соответственно по третьей и

четвертой теориям прочности записываются:

[ ]ss £=OC

IIIПРИВIII

ЭКВ WM ; [ ]ss £=

OC

IVПРИВIV

ЭКВ WM .

Задание 6.1. Для стойки, сжатой внецентренно приложенной силой F4 (рис.6.3), требуется:

1) определить положение нейтральной линии;

Page 37: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

73

2) определить значения наибольших растягивающих и наиболее сжи-мающих напряжений;

3) построить ядро сечения. Данные взять из табл.6.1. Таблица 6.1

№ cтроки

Схема по рис.6.3

F4, кН

с, м

№ cтроки

Схема по рис.6.3

F4, кН

с, м

01 1 400 0,1 16 16 750 0,25 02 2 500 0,15 17 17 700 0,2 03 3 600 0,2 18 18 800 0,25 04 4 700 0,25 19 19 450 0,3 05 5 800 0,3 20 20 550 0,1 06 6 450 0,1 21 21 650 0,15 07 7 550 0,15 22 22 750 0,2 08 8 650 0,2 23 23 850 0,25 09 9 750 0,25 24 24 700 0,3 10 10 850 0,3 25 25 800 0,25 11 11 700 0,25 26 26 450 0,3 12 12 800 0,3 27 27 550 0,1 13 13 450 0,1 28 28 650 0,15 14 14 550 0,15 29 29 750 0,2 15 15 650 0,2 30 30 750 0,25

г а в г а в

1 схема 2 схема

Рисунок 6.3. К заданию 6.1

74

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

Продолжение рисунка 6.3

Page 38: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

75

11 схема 12 схема

13 схема 14 схема

15 схема 16 схема

17 схема 18 схема

Продолжение рисунка 6.3

76

19 схема 20 схема

21 схема 22 схема

23 схема 24 схема

25 схема 26 схема

Продолжение рисунка 6.3

Page 39: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

77

27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

Окончание рисунка 6.3

Задание 6.2. Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис.6.4, сжимается силой Р, приложенной внецентренно в точке А. Требуется:

1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее на-пряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через Р и размеры сечения;

2) найти допускаемую нагрузку Р при заданных размерах сечения и до-пускаемых напряжениях для чугуна на сжатие ][ cs и на растяжение ][ ts .

Данные взять из табл.6.2. Таблица 6.2 №

cтроки Схема

по рис.6.4

а, см

b, см

[σс], мПа

[σt], мПа

№ cтроки

Схема по

рис.6.4

а, см

b, см

[σс], мПа

[σt], мПа

01 1 6 6 110 21 16 16 4 4 80 28 02 2 2 2 120 22 17 17 5 5 90 29 03 3 3 3 130 23 18 18 6 6 110 21 04 4 4 4 140 24 19 19 2 2 120 22 05 5 5 5 150 25 20 20 3 3 130 23

а в б г а а в б г а 78

№ cтроки

Схема по

рис.6.4

а, см

b, см

[σс], мПа

[σt], мПа

№ cтроки

Схема по

рис.6.4

а, см

b, см

[σс], мПа

[σt], мПа

06 6 6 6 60 26 21 21 4 4 140 24 07 7 2 2 70 27 22 22 5 5 150 25 08 8 3 3 80 28 23 23 3 6 60 26 09 9 4 4 90 29 24 24 4 2 70 27 10 10 5 5 100 30 25 25 5 3 80 28 11 11 3 4 130 23 26 26 6 4 90 29 12 12 4 5 140 24 27 27 2 5 100 30 13 13 5 6 150 25 28 28 6 4 130 23 14 14 6 2 60 26 29 29 2 5 140 24 15 15 2 3 70 27 30 30 3 6 150 25

а в б г а а в б г а

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

Рисунок 6.4. К заданию 6.2

Page 40: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

79

10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

19 схема 20 схема 21 схема

Продолжение рисунка 6.4

80

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 6.4

Задание 6.3. Шкив с диаметром D1 и углом наклона ветвей ремня к гори-

зонту α1 делает n оборотов в минуту и передает мощность N кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D2 и одинаковые углы наклона ветвей к горизонту α2 и каждый из них передает мощность 0,5N (рис.6.5). Требуется:

1) определить моменты, приложенные к шкивам, по заданным величинам N и n;

2) построить эпюру крутящих моментов Мкр; 3) определить окружные усилия t1 и t2, действующие на шкивы, по най-

денным моментам и заданным диаметрам шкивов D1 и D2; 4) определить давления на вал, принимая их равными трем окружным

усилиям; 5) определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной

плоскостях (вес шкивов и вала не учитывать); 6) построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных (Мгор) и

вертикальных (Мверт) сил;

Page 41: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

81

7) построить эпюру суммарных изгибающих моментов, пользуясь фор-

мулой 22вертгоризг ММM += ;

8) при помощи эпюр Мкр и Мизг найти опасное сечение и определить ве-личину максимального расчетного момента (по четвертой теории прочности);

9) подобрать диаметр вала d при [σ]=70 МПа и округлить его величину. Данные взять из табл. 6.3. Таблица 6.3

№ cтроки

Схема по рис.6.6

N, кВт

n, об/мин

a, м

b, м

c, м

D1, м

D2, м

α1 α2

01 1 10 100 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 10о 10о 02 2 20 200 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 20о 20о 03 3 30 300 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 30о 30о 04 4 40 400 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 40о 40о 05 5 50 500 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 50о 50о 06 6 60 600 1,6 1,6 1,6 0,6 0,6 60о 60о 07 7 70 700 1,7 1,7 1,7 0,7 0,7 70о 70о 08 8 80 800 1,8 1,8 1,8 0,8 0,8 80о 80о 09 9 90 900 1,9 1,9 1,9 0,9 0,9 90о 90о 10 10 100 1000 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0о 0о 11 11 30 100 1,3 1,3 1,2 1,5 1,2 20о 30о 12 12 40 200 1,4 1,4 1,3 0,6 1,3 30о 40о 13 13 50 300 1,5 1,5 1,4 0,7 1,4 40о 50о 14 14 60 400 1,6 1,6 1,5 0,8 1,5 50о 60о 15 15 70 500 1,7 1,7 1,6 0,8 0,6 60о 40о 16 16 80 600 1,8 1,8 1,7 0,9 0,7 70о 50о 17 17 10 700 1,1 1,9 1,8 1,0 0,8 80о 60о 18 18 20 800 1,2 1,1 1,1 1,5 0,9 10о 70о 19 19 30 900 1,3 1,2 1,2 0,6 1,1 20о 80о 20 20 40 1000 1,4 1,3 1,3 0,7 1,2 30о 90о 21 21 50 100 1,5 1,4 1,4 0,8 1,3 40о 0о 22 22 60 200 1,6 1,5 1,5 1,1 1,4 50о 30о 23 23 30 400 1,7 1,6 1,6 1,2 1,5 60о 40о 24 24 40 500 1,8 1,7 1,7 1,3 0,6 70о 50о 25 25 50 600 1,9 1,8 1,8 1,4 0,7 80о 60о 26 26 60 700 1,0 1,9 1,9 1,5 0,8 90о 80о 27 27 70 800 1,3 1,0 1,0 0,6 0,9 0о 90о 28 28 80 900 1,4 1,3 1,2 0,7 1,0 20о 0о 29 29 90 1000 1,5 1,4 1,3 0,8 1,2 30о 30о 30 30 100 100 1,6 1,5 1,4 0,8 1,3 40о 40о

б в а б г а в б г в

82

Рисунок 6.5. К заданию 6.3

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема

Рисунок 6.6. К заданию 6.3

Page 42: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

83

16 схема 17 схема 18 схема

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 6.6

Задание 6.4. Действие сил в разных плоскостях. Для схемы, показанной на рис. 6.7 необходимо: 1) Вычертить ее в произвольном масштабе. 2) Для произвольного поперечного сечения стержня записать уравнения

внутренних силовых факторов. 3) Построить эпюры внутренних силовых факторов. Данные взять из табл. 6.4.

84

Таблица 6.4 №

cтроки Схема

по рис.6.7 l, м

c, м

F1, кН

F2, кН

№ cтроки

Схема по рис.6.7

l, м

c, м

F1, кН

F2, кН

01 1 1,1 0,2 10 25 16 16 1,8 0,9 20 28 02 2 1,2 0,3 15 30 17 17 1,6 0,4 25 29 03 3 1,3 0,4 20 15 18 18 1,7 0,8 25 21 04 4 1,4 0,5 25 20 19 19 1,8 0,9 30 22 05 5 1,5 0,6 30 25 20 20 1,9 0,4 10 23 06 6 1,6 0,7 10 15 21 21 2,0 0,7 15 24 07 7 1,7 0,8 15 20 22 22 1,3 0,4 20 25 08 8 1,8 0,9 20 30 23 23 1,4 0,5 25 26 09 9 1,9 0,4 25 10 24 24 1,5 0,6 30 27 10 10 2,0 0,7 30 20 25 25 1,6 0,7 20 28 11 11 1,3 0,4 20 23 26 26 1,7 0,2 25 29 12 12 1,4 0,5 25 24 27 27 1,8 0,3 30 30 13 13 1,5 0,6 30 25 28 28 2,0 0,4 10 23 14 14 1,6 0,7 10 26 29 29 1,3 0,5 15 24 15 15 1,7 0,8 15 27 30 30 1,4 0,6 20 25

а б в г а а б в г а

1 схема 2 схема 3 схема

c

c

c

l

F1

F2

c/2

c

lF1

F2

l

F2

F1

№ 14

4 схема 5 схема 6 схема

c/2

c

l

F1

F2

l

c/2

c

F1

F2

F1

F2

c

l

Рисунок 6.7. К заданию 6.4

Page 43: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

85

7 схема 8 схема 9 схема

l

F1

F2

№ 10

l

c/2

c

F1

F1

c/2

c

l

F1

F2

10 схема 11 схема 12 схема

c

c

c

l

F1

F2

c/2

c

lF1

F2

c/2

c

l

F1

F2

13 схема 14 схема 15 схема

l

c/2

c

F1

F2

F1

F2

c

l

l

F1

F2

c

45°45°

Продолжение рис.6.7

86

16 схема 17 схема 18 схема

l

F1

F2

№ 10

l

c/2

c

F1

F1

c/2

c

l

F1

F2

19 схема 20 схема 21 схема

c

c

c

l

F1

F2

c/2

c

lF1

F2 l

F2

F1

№ 14

22 схема 23 схема 24 схема

c/2

c

l

F1

F2

F1

F2

c

l

l

F1

F2

c

45°45°

Продолжение рис.6.7

Page 44: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

87

25 схема 26 схема 27 схема

l

F1

F2

№ 10

l

c/2

c

F1

F1

c/2

c

l

F1

F2

28 схема 29 схема 30 схема

l

F1

F2

№ 10

F1

F2

c

l

l

F2

F1

№ 14

Окончание рисунка 6.7

7. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

В машиностроении и строительстве, наряду с проблемами прочности и

жесткости существует и проблема устойчивости, когда центрально сжатый брус, достаточно большой длины, начинает искривляться под действием внешней силы.

Устойчивым равновесием называется такая форма равновесия сжатого стержня, когда слегка отклоненный от положения равновесия стержень стре-мится под действием сжимающей силы занять исходное положение.

Критической силой называется такое минимально возможное значение нагрузки, при котором слегка отклоненный стержень теряет свою устойчи-вость.

При потере устойчивости кроме сжимающей силы, действующей на стержень, возникает дополнительный изгибающий момент. Поэтому в попе-речных сечениях стержня происходит значительный рост напряжений, а так-же значительно возрастают и деформации стержня.

88

Если в стержне возникают только упругие деформации, то расчет его на устойчивость можно вести по формуле Эйлера:

( )2min

2

lEI

F ЭKP

×=

m

p,

где Е – модуль упругости первого рода; Imin - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня; m - коэффициент приведения длины стержня; l - длина стержня. Коэффициент приведения длины стержня m зависит от условий закрепле-

ния стержня, его величину можно определить по рис. 7.1. FKP FKPFKP FKP

m = 1 m = 2 m = 0,7 m = 0,5 Рисунок 7.1. Значения коэффициента m в зависимости

от условий закрепления стержня

Критические напряжения определяются по формуле:

2

2

l

ps

ЕЭКР = ,

где l - гибкость стержня. Существует другой метод расчета стержней на устойчивость, сочетаю-

щий в себе и расчет на прочность. Этот метод известен как расчет по коэф-фициенту j. При расчете сжатых стержней коэффициент запаса устойчивости принимается большим, чем коэффициент запаса прочности, поэтому можно выразить критическое напряжение в стержне формулой:

[ ]сжKP

КР SF

sjs £=

где j - коэффициент снижения допускаемого напряжения на сжатие. Коэффициент зависит от материала стержня и от его гибкости и опреде-

ляется по специальным таблицам, его величина всегда меньше единицы. При проектном расчете стержня на устойчивость приходится использовать метод последовательных приближений, задаваясь несколькими значениями коэф-фициента j.

Page 45: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

89

Задание 7.1. Стальной стержень длиной l сжимается силой Р. Требуется найти: 1) размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие

[σ]=160 МПа (расчет производить последовательными приближениями, пред-варительно задаваясь величиной коэффициента φ =0,5);

2) величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости. Данные взять из табл. 7.1. Таблица 7.1

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

Р

кН

l м

Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

01

02

I

II

100

200

2,1

2,2 I II

03

04

III

IV

300

400

2,3

2,4 III IV

05

06

V

VI

500

600

2,5

2,6

V VI

07

08

VII

VIII

700

800

2,7

2,8

VII VIII

09

10

IX

X

900

1000

2,9

3,0

IX X

11

12

I

III

300

400

2,3

2,5

I II

б а в г

90

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

Р

кН

l м

Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

13

14

III

V

900

600

2,2

2,4 III IV

15

16

V

VII

500

900

2,5

2,8

V VI

17

18

VII

VIII

300

500

2,7

2,2

VII VIII

19

20

IX

X

100

1000

2,6

3,0

IX X

21

22

I

II

600

200

2,1

2,3

I II

23

24

III

IV

300

900

2,0

3,0

III IV

25

26

V

VI

400

600

2,2

2,5

V VI

б а в г

Page 46: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

91

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

Р

кН

l м

Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

27

28

VII

VIII

700

100

2,4

2,7

VII VIII

29

30

IX

X

200

1000

2,1

2,3

IX X

б а в г Задание 7.2. Устойчивость сжатого стержня. Определение критической и

допускаемой нагрузки. Для стержня нагруженного осевой сжимающей силой определить крити-

ческую нагрузку crP и допускаемое admP при заданном коэффициенте запаса устойчивости yK . Материал стержня Сталь 3.

Данные взять из табл. 7.2 и табл. 7.3.

Таблица коэффициентов Таблица 7.2

Материал a, мПа b, мПа c, мПа Сталь 336 1,47 --- Чугун 776 12 0,053 Дерево 29,3 0,194 ---

Таблица 7.3

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

l, м

yK Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

01

02

I

II

1,5

2,5

2,1

2,2

I №50 II №14

в г а б

92

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

l, м

yK Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

03

04

III

IV

3,0

4,0

2,5

2,8

III № 140х140х10

IV №24

05

06

V

VI

3,5

1,5

2,6

3,1

V №20 VI №10

07

08

VII

VIII

2,0

3,5

1,5

1,6

VII№100х100х6

VIII №27

09

10

IX

X

4,0

2,0

1,7

1,8

IX №22 X №90х56х6

11

12

I

III

2,5

3,0

3,2

3,0

I №8 II №20

13

14

III

V

1,5

2,0

2,8

2,7

III №14 IV №160х160х10

15

16

V

VII

2,5

3,0

3,0

2,5

V №12 VI №14

в г а б

Page 47: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

93

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

l, м

yK Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

17

18

VII

VIII

3,5

4,0

2,6

2,7

VII №12 VIII №30

19

20

IX

X

1,5

3,0

1,7

1,8

IX №160х160х10

X №12

21

22

I

II

3,5

2,0

2,5

1,9

I №22 II №20

23

24

III

IV

2,5

3,0

2,6

3,0

III №110х110х7

IV №12

25

26

V

VI

1,5

3,5

2,2

2,5

V №70 VI №80х50х5

27

28

VII

VIII

4,0

1,5

2,4

2,7

VII №24 VIII №8

29

30

IX

X

2,0

3,5

2,0

2,5

IX №50 X №90х56х6

в г а б

94

Задание 7.3. Устойчивость сжатого стержня. Определение размеров по-перечного сечения.

Для стержня нагруженного осевой сжимающей силой P определить раз-меры поперечного сечения заданной по условию задачи формы и коэффици-ент запаса устойчивости yK . Материал стержня Сталь 3.

Данные взять из табл. 7.4. Таблица 7.4

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

l, м

P, кН

adms , мПа

Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

01

02

I

II

6,0

5,0

500

400

150

160

I II

03

04

III

IV

5,5

4,0

450

300

160

150

III

IV

05

06

V

VI

3,5

2,5

100

150

150

150

V VI

07

08

VII

VIII

2,0

3,0

200

320

160

160

VII VIII

09

10

IX

X

4,0

2,0

400

350

150

160

IX X

11

12

I

III

2,5

6,0

140

350

160

150

I II

г а в б

Page 48: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

95

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

l, м

P, кН

adms , мПа

Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

13

14

III

V

5,5

2,0

400

250

150

160

III IV

15

16

V

VII

2,5

3,0

300

450

160

150

V VI

17

18

VII

VIII

3,5

4,5

100

160

160

150

VII VIII

19

20

IX

X

2,5

3,0

240

300

160

160

IX X

21

22

I

II

3,5

5,0

200

180

150

150

I II

23

24

III

IV

2,5

3,5

260

500

160

150

III IV

25

26

V

VI

1,5

4,5

400

250

160

150

V VI

г а в б

96

№ стро-

ки

Вариант схемы формы сечения

l, м

P, кН

adms , мПа

Схема закрепления

стержня

Форма сечения стержня

27

28

VII

VIII

4,0

2,5

300

240

160

160

VII VIII

29

30

IX

X

3,0

3,5

190

320

150

150

IX X

г а в б

Задание 7.4. Устойчивость сжатого стержня. Подбор поперечного сече-ния

Подобрать поперечное сечение сжатого стержня большой длины при до-пускаемом напряжении на сжатие [s] = 150 МПа. Вид закрепления стержня показан на рис.7.2.

Данные взять из табл.7.5.

FKP FKPFKP FKP

I II III IV Рисунок 7.2. К заданию 7.4

Таблица 7.5

№ cтроки

Схема по рис.7.2

F, кН

l, м

Форма поперечного сечения

01 I 50 6,5 Двутавр 02 II 60 6 Швеллер 03 III 70 5,5 Квадрат

Page 49: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

97

№ cтроки

Схема по рис.7.2

F, кН

l, м

Форма поперечного сечения

г в б г 04 IV 80 5 Окружность 05 I 90 4,5 Прямоугольник с

соотношением сторон 1/2 06 II 100 4 Двутавр 07 III 110 3,5 Швеллер 08 IV 120 3 Квадрат 09 I 130 2,5 Окружность 10 II 140 2 Прямоугольник с

соотношением сторон 1/2 11 III 60 6 Швеллер 12 IV 70 5,5 Квадрат 13 I 80 5 Окружность 14 II 90 4,5 Прямоугольник с

соотношением сторон 1/2 15 III 100 4 Двутавр 16 IV 110 3,5 Швеллер 17 I 120 3 Двутавр 18 I 130 2,5 Швеллер 19 II 50 6,5 Квадрат 20 III 60 6 Окружность 21 IV 70 5,5 Прямоугольник с

соотношением сторон 1/2 22 I 80 5 Двутавр 23 II 90 4,5 Швеллер 24 III 100 4 Квадрат 25 IV 110 3,5 Окружность 26 I 120 3 Прямоугольник с

соотношением сторон 1/2 27 II 130 2,5 Швеллер 28 III 140 2 Квадрат 29 IV 60 6 Окружность 30 I 70 5,5 Прямоугольник с

соотношением сторон 1/2 г в б г

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ

МОРА-ВЕРЕЩАГИНА Задачи расчета на жесткость требуют умения определять деформации и

98

перемещения. Одним из методов определения перемещений в стержневых системах является интеграл Мора, формула которого выглядит следующим образом:

ò= dzMMEI F1

d ,

где EI – жесткость сечения балки; MF – уравнение изгибающего момента от внешних сил; М - уравнение изгибающего момента от единичной силы. Для определения перемещений по интегралу Мора нужно:

1) Составить уравнение изгибающего момента от внешних сил MF. 2) В исследуемой точке приложить только единичную силу F = 1 или

единичный момент М = 1. 3) Записать уравнения изгибающего момента только от единичной нагрузки

М . 4) Определить перемещения.

Примечание 1) Если при определении перемещений получили их со знаком «+», то уга-

дали направление, если получили знак «-», то не угадали. 2) Интегрирование проводится по участкам.

Способ Верещагина является графическим решением интеграла Мора. Дадим некоторые определения.

Единичной называется эпюра, построенная от действия единичной силы или единичного момента.

Грузовой называется эпюра, построенная от действия внешних сил. Формула для определения перемещений по способу Верещагина:

å= CiiMEIwd

1 ,

где wi - площадь грузовой эпюры; CiМ - ордината, взятая с единичной эпюры под центром тяжести грузо-

вой. Чтобы определить перемещения по способу Верещагина необходимо:

1) Построить грузовую эпюру. 2) В исследуемой точке приложить единичную нагрузку. 3) Построить единичную эпюру. 4) Определить прогиб или угол поворота.

Примечание. 1) Перемножение производится по участкам. 2) CiМ берется только с линейной эпюры. 3) Если обе эпюры линейные (ограниченные прямыми), то перемножение

можно вести в обратном порядке. 4) Если значение перемещения получится со знаком «+», то угадали

направление перемещения, если получится знак «-», то не угадали.

Page 50: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

99

Площадь и координаты центра тяжести простейших фигур.

2l3

l 3

hl l

h

l4

3l4

l

h

3l8

5l8

Рисунок 8.1. Площадь и координаты центра тяжести

простейших фигур

Площадь треугольной эпюры hl21

=w .

Площадь эпюры с вогнутой параболой hl31

=w .

Площадь эпюры с выпуклой параболой hl32

=w .

Задание 8.1. Для деревянной балки с размерами поперечного сечения 20х20 см (рис.8.2) требуется определить прогиб сечения А; принять Е = 1×104МПа.

Данные взять из табл.8.1. Таблица 8.1 №

cтроки Схема

по рис.8.2 F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.8.2

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

01 1 12 1 2 24 5 16 16 8 1 2 12 6 02 2 10 2 2 16 4 17 17 10 2 1 18 5 03 3 12 3 2 12 6 18 18 6 3 2 20 6 04 4 6 2 3 18 2 19 19 8 2 2 12 2 05 5 8 1 3 20 4 20 20 6 1 3 12 4 06 6 10 3 1 12 2 21 21 12 3 3 12 2 07 7 6 2 2 12 3 22 22 12 2 1 16 3 08 8 8 1 2 12 6 23 23 13 1 2 10 6 09 9 6 2 1 16 5 24 24 14 1 2 12 5 10 10 12 1 3 10 6 25 25 12 3 1 18 6 11 11 11 1 2 12 6 26 26 10 2 3 20 6 12 12 12 3 3 18 2 27 27 12 1 2 12 2 13 13 10 2 3 20 4 28 28 6 2 3 24 4 14 14 12 1 1 12 2 29 29 8 1 3 16 2 15 15 6 2 2 12 3 30 30 10 2 1 12 3 в б а г б а в б а г б а

100

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

Рисунок 8.2. К заданию 8.1

Page 51: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

101

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 8.2 Задание 8.2. Для стальной балки из двутавра № 20 (рис.8.3) определить

прогиб и угол поворота сечения А. Принять Е = 2×105 МПа. Данные взять из табл.8.2.

Таблица 8.2 №

cтроки Схема

по рис.8.3 F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.8.3

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

01 1 12 1 2 24 5 16 16 8 1 2 12 6 02 2 10 2 2 16 4 17 17 10 2 1 18 5 03 3 12 3 2 12 6 18 18 6 3 2 20 6 04 4 6 2 3 18 2 19 19 8 2 2 12 2 05 5 8 1 3 20 4 20 20 6 1 3 12 4 06 6 10 3 1 12 2 21 21 12 3 3 12 2 07 7 6 2 2 12 3 22 22 12 2 1 16 3 б г а г в а б г а г в а

102

№ cтроки

Схема по рис.8.3

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.8.3

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

08 8 8 1 2 12 6 23 23 13 1 2 10 6 09 9 6 2 1 16 5 24 24 14 1 2 12 5 10 10 12 1 3 10 6 25 25 12 3 1 18 6 11 11 11 1 2 12 6 26 26 10 2 3 20 6 12 12 12 3 3 18 2 27 27 12 1 2 12 2 13 13 10 2 3 20 4 28 28 6 2 3 24 4 14 14 12 1 1 12 2 29 29 8 1 3 16 2 15 15 6 2 2 12 3 30 30 10 2 1 12 3

б г а г в а б г а г в а

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

Рисунок 8.3. К заданию 8.2

Page 52: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

103

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 8.3

104

9. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ

Часто в строительстве и машиностроении применяются конструкции, со-стоящие не из отдельных стержней, а из целых систем стержней соединенных между собой. Поэтому необходимо умение вести расчет и таких конструкций.

Система стержней, жестко соединенных между собой называется рамой. В поперечных сечениях плоских (стержни и нагрузка лежат в одной

плоскости) рам действуют три внутренних силовых фактора: нормальная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент M. Поэтому, при расчете рам, для определения опасного сечения, необходимо строить эпюры всех трех внутренних силовых факторов.

Поперечное сечение при проектном расчете рамы подбирается по макси-мальному изгибающему моменту. Подобранное сечение проверяется по усло-вию прочности:

[ ]ss £+=xW

MSN .

Задание 9.1. Для рамы (рис. 9.1), соответствующей варианту задания, с размерами и нагрузкой, выбранными по шифру из табл.9.1, требуется:

1) определить опорные реакции, используя уравнения равновесия; 2) определить участки, отличающиеся характером нагружения и отме-

тить характерные точки приложения опорных реакций, сосредоточенных сил и моментов, точки перегиба рамы, начало и конец действия распределенной нагрузки;

3) на каждом участке найти значения изгибающего момента М, по-перечной силы Q и продольной силы N;

4) построить эпюры М, Q и N; 5) выполнить статическую проверку. Таблица 9.1 №

cтроки Схема

по рис.9.1 F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.9.1

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

01 1 12 1 2 24 5 16 16 8 1 2 12 6 02 2 10 2 2 16 4 17 17 10 2 1 18 5 03 3 12 3 2 12 6 18 18 6 3 2 20 6 04 4 6 2 3 18 2 19 19 8 2 2 12 2 05 5 8 1 3 20 4 20 20 6 1 3 12 4 06 6 10 3 1 12 2 21 21 12 3 3 12 2 07 7 6 2 2 12 3 22 22 12 2 1 16 3 08 8 8 1 2 12 6 23 23 13 1 2 10 6 09 9 6 2 1 16 5 24 24 14 1 2 12 5 10 10 12 1 3 10 6 25 25 12 3 1 18 6 11 11 11 1 2 12 6 26 26 10 2 3 20 6

б б а г б а б б а г б а

Page 53: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

105

№ cтроки

Схема по рис.9.1

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.9.1

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

12 12 12 3 3 18 2 27 27 12 1 2 12 2 13 13 10 2 3 20 4 28 28 6 2 3 24 4 14 14 12 1 1 12 2 29 29 8 1 3 16 2 15 15 6 2 2 12 3 30 30 10 2 1 12 3 б б а г б а б б а г б а

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

Рисунок 9.1. К заданию 9.1

106

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

Продолжение рисунка 9.1

Page 54: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

107

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 9.1

Задание 9.2. Для рамы (рис.9.2), соответствующей варианту задания, с

размерами и нагрузкой, выбранными по шифру из табл. 9.2, требуется: 1) определить опорные реакции, используя уравнения равновесия; 2) определить участки, отличающиеся характером нагружения и отме-

тить характерные точки приложения опорных реакций, сосредоточенных сил и моментов, точки перегиба рамы, начало и конец действия распределенной нагрузки;

3) на каждом участке найти значения изгибающего момента М, по-перечной силы Q и продольной силы N;

4) построить эпюры М, Q и N; 5) выполнить статическую проверку. Таблица 9.2 №

cтроки Схема

по рис.9.2 F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.9.2

F1, кН

а, м

b, м

М, кНм

q, кН/м

01 1 12 1 2 24 5 16 16 8 1 2 12 6 02 2 10 2 2 16 4 17 17 10 2 1 18 5 03 3 12 3 2 12 6 18 18 6 3 2 20 6 04 4 6 2 3 18 2 19 19 8 2 2 12 2 05 5 8 1 3 20 4 20 20 6 1 3 12 4 06 6 10 3 1 12 2 21 21 12 3 3 12 2 07 7 6 2 2 12 3 22 22 12 2 1 16 3 08 8 8 1 2 12 6 23 23 13 1 2 10 6 09 9 6 2 1 16 5 24 24 14 1 2 12 5 10 10 12 1 3 10 6 25 25 12 3 1 18 6 11 11 11 1 2 12 6 26 26 10 2 3 20 6 12 12 12 3 3 18 2 27 27 12 1 2 12 2 13 13 10 2 3 20 4 28 28 6 2 3 24 4 14 14 12 1 1 12 2 29 29 8 1 3 16 2 15 15 6 2 2 12 3 30 30 10 2 1 12 3 г б в а б г г б в а б г

108

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема

Рисунок 9.2. К заданию 9.2

Page 55: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

109

16 схема 17 схема 18 схема

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 9.2

110

Задание 9.3. Для рамы (рис.9.3), соответствующей варианту задания, с размерами и нагрузкой, выбранными по шифру из табл.9.3, требуется:

1) Определить опорные реакции, используя уравнения равновесия; 2) Построить эпюры внутренних силовых факторов М, Q и N; 3) Определить горизонтальное и вертикальное перемещение заданного

сечения; 4) Определить угол поворота заданного сечения. Числовые данные взять из табл.9.3. Жесткость сечения вертикальных и

горизонтальных сечений рамы принять равной EI. Длина каждого из горизон-тальных участков l, длина каждого из вертикальных участков h.

Таблица 9.3

№ cтроки

Схема по рис.9.3

F, кН

h, м

l, м

Сечение № cтроки

Схема по рис.9.3

F, кН

h, м

l, м

Сечение

01 1 20 1 2 B 16 16 50 3 4 C 02 2 25 2 1 C 17 17 55 2 1 B 03 3 30 3 4 B 18 18 60 3 2 C 04 4 35 4 3 C 19 19 20 2 1 B 05 5 40 5 2 B 20 20 25 1 4 C 06 6 45 1 5 C 21 21 30 3 3 B 07 7 50 2 3 B 22 22 35 2 2 C 08 8 55 3 4 C 23 23 40 2 5 B 09 9 60 4 5 B 24 24 45 3 3 C 10 10 65 5 1 C 25 25 50 4 4 B 11 11 25 3 4 B 26 26 55 5 5 C 12 12 30 4 3 C 27 27 60 1 1 B 13 13 35 5 2 B 28 28 65 2 4 C 14 14 40 1 5 C 29 29 25 3 3 B 15 15 45 2 3 B 30 30 30 4 2 C

а б а г в а б а г в

1 схема 2 схема 3 схема 4 схема

F

AB

C

D

E F A

B

C

D

EF

A B

CD

E

F

A

B

C

D

E

Рисунок 9.3. К заданию 9.3

Page 56: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

111

5 схема 6 схема 7 схема 8 схема

F

A B

C

D

EF

A B

CD

E

F

A

B

C

D

E

FA

B

C

D

E

9 схема 10 схема 11 схема 12 схема

F

AB

CD

E

F

AB

CD

E

F

AB

C

D

EF A

B

C

D

E

13 схема 14 схема 15 схема 16 схема

F

A B

CD

E

F

A

B

C

D

E

F

A B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

17 схема 18 схема 19 схема 20 схема

FA

B

C

D

E

F

AB

CD

E

F

AB

CD

E

F

AB

C

D

E

21 схема 22 схема 23 схема 24 схема

F A

B

C

D

E F

AB

C

D

EF A

B

C

D

EF

A B

CD

E

Продолжение рисунка 9.3

112

25 схема 26 схема 27 схема 28 схема

F

A

B

C

D

E

F

A B

C

D

EF

A B

CD

E

F

A

B

C

D

E

29 схема 30 схема

FA

B

C

D

E

F

AB

CD

E

Окончание рисунка 9.3

10. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ

Статически неопределимой системой тел называется такая конструкция,

в которой число неизвестных реакций связей превышает число независимых уравнений равновесия статики.

Для расчета такой системы на прочность или на жесткость необходимо составить дополнительные уравнения, основанные на законе, не входящем в статику твердого тела.

Таким законом, как правило, является закон упругих деформаций (закон Гука).

Но прежде следует превратить статически неопределимую систему в ста-тически определимую, устранив из нее лишние связи. Полученная в результа-те этих действий система называется основной системой.

Основная система загруженная всеми внешними заданными нагрузками и неизвестными силовыми факторами (реакциями связей), называется эквива-лентной (заданной статически неопределимой системой).

Устранение каких - либо связей не изменяет внутренних усилий, возни-кающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополни-тельные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных свя-зей. Поэтому, если к основной системе, кроме заданной нагрузки, приложить реакции устраненных связей, то ее деформации и возникающие в ней внут-ренние усилия будут такими же, как и в заданной системе, т.е. обе эти систе-мы станут совершенно эквивалентными.

В заданной системе в направлениях имеющихся связей (в том числе и тех, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений

Page 57: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

113

быть не может. Они равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных свя-зей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направ-лениям равнялись бы нулю.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отбро-шенных связей, например Х1, на основании принципа независимости действие сил может быть записано в следующем виде:

0...21 =D+D++D+D=D ipiniii Первый из каждого двойного индекса при D означает направление пере-

мещения (и одновременно номер отброшенной связи), второй дает указание на причину, вызвавшую перемещение. Таким образом, слагаемое ikD пред-ставляет собой перемещение по направлению реакций связи i вызванное дей-ствием реакции связи K . Слагаемое ipD означает перемещение по направле-

нию реакций связи i , вызванное действием заданной нагрузки. Уравнение перемещений удобнее всего составить, воспользовавшись ме-

тодом сил. Перемещение вызываемое любой лишней неизвестной, можно предста-

вить как произведение перемещения d от единичной силы, действующей по направлению этой неизвестной.

Обозначив величину реакцией связи K через kX и выразив перемеще-ния ikD через единичные перемещения с помощью равенства ikkik X d=D , запишем уравнение перемещения в следующем виде:

0...2211 =D+++=D + ipinniii XXX ddd . Таким образом, условие эквивалентности основной и заданной систем

математически сводится к удовлетворению следующей системы n линейных уравнений:

ïïþ

ïïý

ü

=D++++

=D++++=D++++

0...........................................................

0...0...

2211

22222211

112211

npnnnnn

pnn

pnni

XXX

XXXXXX i

ddd

dddddd

Эти уравнения, называемые каноническими уравнениями метода сил и, являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной систе-мы. Первое из них выражает мысль о равенстве нулю перемещения в основ-ной системе по направлению первой отброшенной связи (по направлению усилия Х1), второе – по направлению второй отброшенной связи (Х2) и т.д. Число этих уравнений равно числу отброшенных связей, т.е. равно системе статической неопределимости заданной системы.

Коэффициенты nnddd ,...,, 1211 и свободные члены nppp DDD ,...,, 21 уравнений перемещений при изгибе определяются интегрированием

114

.å ò´´

=Dl EI

MM dxpiip

Причем решение такого интеграла может быть выполнено или непосред-ственным интегрированием, или перемножением эпюр. Общий порядок рас-чета любой статически неопределимой системы следующий:

1) устанавливаются неизвестные опорные реакции и показываются на схеме;

2) составляются для заданной системы уравнения статики и устанавлива-ется степень ее статической неопределимости. Определяются из уравнений статики, какие возможно, неизвестные;

3) выбираются лишние неизвестные, и изображается эквивалентная сис-тема;

4) записываются уравнения перемещений для данного случая; 5) загружают основную систему только заданной нагрузкой, составляют

аналитические выражения моментов по участкам и строят эпюры; 6) принимают лишнюю неизвестную Х1=1, изображают основную систе-

му и, загрузив ее только этой единичной силой, составляют аналитические выражения моментов по участкам и по ним строят эпюры. Аналогично по-ступают и со всеми остальными лишними неизвестными;

7) определяют коэффициенты и свободные члены уравнений перемеще-ний непосредственным интегрированием или перемножением эпюр и, решив эти уравнения перемещений, определяют лишние неизвестные;

8) изображают эквивалентную систему и, загрузив основную систему за-данной нагрузкой и всеми найденными лишними неизвестными, поступают как при обычной статически определимой системе (определяют реакции, строят эпюры всех действующих силовых факторов и проверяют прочность и жесткость элементов конструкции или соответственно подбирают их сече-ния).

Окончательная эпюра изгибающих моментов может быть построена и на основании принципа независимости действия сил и уже имеющихся эпюр от заданной нагрузки и единичных силовых факторов.

Для подсчета коэффициентов d рекомендуется вычертить единичные эпюры M изгибающих моментов в основной системе (т.е. эпюры от дейст-вия каждого неизвестного 1=X ), снабдив каждую неизвестную из них номе-ром соответствующего неизвестного. Отдельно вычерчивают грузовую эпюру

pM . Единичное перемещение ikd вычисляется умножением эпюры iM на

эпюру kM , а грузовое перемещение ipD - умножением эпюры iM на грузо-

вую эпюру pM . После вычисления коэффициентов при неизвестных в уравнениях пере-

мещений и свободных (грузовых) членов, определяют значения неизвестных,

Page 58: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

115

решая эти уравнения. Затем строят для основной системы эпюры изгибающих моментов от каждого из найденных усилий nXXX ,...,, 21 .

Для этого могут быть использованы построенные ранее единичные эпю-ры, ординаты которых необходимо теперь умножить на найденные значения соответствующих неизвестных.

Просуммировав по характерным точкам (на протяжении всей рассчиты-ваемой конструкции) ординаты эпюр от действия всех сил Х с ординатами грузовой эпюры, получают окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов в заданной статически неопределимой системе.

Расчет статически неопределимых конструкций на практике осуществля-ется на ЭВМ. Для этого имеется множество программ.

Задание 10.1. На рис. 10.1 изображена нагруженная в своей плоскости рама, вертикальные элементы которой имеют моменты инерции j, а горизон-тальные элементы k·j. Требуется:

1) установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему;

2) написать канонические уравнения; 3) построить эпюру М от единичных сил и от заданной нагрузки; 4) найти коэффициент канонических уравнений; 5) найти величины «лишних» неизвестных Х; 6) выполнить деформационную проверку правильности определения не-

известных; 7) построить окончательные эпюры внутренних силовых факторов N, Qy,

Mx. Указание. При выполнении деформационной проверки следует устано-

вить, равняется ли нулю перемещение одной из опорных точек. Для этого необходимо выбрать новую основную систему, приложить в направлении отброшенной связи единичную силу, построить эпюру моментов. Перемно-жив эпюру моментов от внешней нагрузки и от найденной неизвестной силы Х на эпюру моментов от единичной нагрузки, определить перемещение опор-ной точки. При правильно решенной задаче в результате перемножения дол-жен получиться ноль.

Данные взять из табл. 10.1. Таблица 10.1

№ cтроки

Схема по рис.10.1

l, м

h, м

k q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.10.1

l, м

h, м

k q, кН/м

01 1 11 2 1,1 15 16 16 11 5 1,1 8 02 2 12 3 1,2 20 17 17 12 4 1,2 30 03 3 3 4 1,3 30 18 18 3 5 1,3 4 04 4 4 5 1,4 4 19 19 4 6 1,4 5 05 5 5 6 1,5 5 20 20 5 2 1,5 6 б а г в а б а г в а

116

№ cтроки

Схема по рис.10.1

l, м

h, м

k q, кН/м

№ cтроки

Схема по рис.10.1

l, м

h, м

k q, кН/м

06 6 6 2 1,6 6 21 21 6 3 1,6 7 07 7 7 3 1,7 7 22 22 7 4 1,7 8 08 8 8 4 1,8 8 23 23 8 5 1,8 9 09 9 9 5 1,9 9 24 24 9 6 1,9 10 10 10 10 6 2,0 10 25 25 10 5 2,0 30 11 11 5 5 1,4 30 26 26 5 6 1,4 4 12 12 6 6 1,5 4 27 27 6 2 1,5 5 13 13 7 2 1,6 5 28 28 7 3 1,6 6 14 14 8 3 1,7 6 29 29 8 4 1,7 7 15 15 9 4 1,8 7 30 30 9 5 1,8 15

б а г в а б а г в а

1 схема 2 схема 3 схема 4 схема

5 схема 6 схема 7 схема 8 схема

Рисунок 10.1. К заданию 10.1

Page 59: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

117

9 схема 10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема 16 схема

17 схема 18 схема 19 схема 20 схема

Продолжение рисунка 10.1

118

21 схема 22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

Окончание рисунка 10.1

11. РАСЧЕТ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

11.1. Расчет на ударные нагрузки

Под ударом понимается взаимодействие двух движущихся тел в резуль-

тате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей этих тел, за весьма малый промежуток времени. При ударе нагрузки и напряжения рез-ко возрастают sуд >> sст. Теория удара опирается на некоторые допущения:

Page 60: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

119

форма изогнутой оси балки при ударе подобна изогнутой оси балки при ста-тическом ее нагружении; считают, что удар является неупругим, то есть уда-ряющее тело не отскакивает от конструкции, а продолжает двигаться вместе с ней; считают, что деформации, вызванные ударом, являются упругими, то есть smax уд < sпц; массой балки пренебрегают, то есть считают балку невесо-мой. При расчетах на удар определяют максимальные напряжения и макси-мальные деформации по формулам:

студуд k ss = , студуд k D=D ,

где sуд, sст – напряжения при ударном и статическом нагружении; kуд – ударный коэффициент; ∆уд, ∆ст – прогибы при ударном и статическом нагружении. Ударный коэффициент определяется по формуле:

студ

hkD

++=211 ,

где h – высота падения груза.

11.2. Расчет на колебания Если упругую балку вывести из положения равновесия, а затем резко

снять нагрузку, то под действием сил упругости, балка начнет совершать ко-лебания из крайнего нижнего в крайнее верхнее положение (рис. 11.1). Такие колебания называются свободными колебаниями. Если же колебания систе-мы вызываются действием периодической внешней силы, то такие колебания называются вынужденными.

Балку, к которой прикреплен груз, намного превышающий вес самой

Изогнутая ось балки при статическом равновесии

Рисунок 11.1. Свободные колебания балки

Рисунок 11.2. Система с одной степенью свободы

балки, можно рассматривать как невесомую, пренебрегая ее собственным весом (рис. 11.2). В балке, показанной на рис. 11.2, положение любого попе-речного сечения в любой момент времени можно определить, зная положение хотя бы одного поперечного сечения в начальный момент времени. Такая

120

балка представляет собой систему с одной степенью свободы. Уравнение свободных (собственных) колебаний системы с одной степе-

нью свободы записывается следующим образом: ( )bw +×=D tа sin ,

где D - прогиб балки под грузом; а – амплитуда свободных колебаний; w – частота свободных колебаний системы, совершаемых за 2p сек; t – время; b - начальная фаза колебаний. Частота свободных колебаний системы определяется по формуле:

dw

×=

Gg ,

где g - ускорение свободного падения; G – вес груза; d - перемещение от единичной силы. Промежуток времени, за который система совершает одно свободное

колебание, называется периодом свободных колебаний, который определяется по формуле:

gGT dp

wp 22

== .

Если на балку действует внешняя сила, изменяющаяся по закону ( ) tcosj×= FtF , то система совершает вынужденные колебания, уравнение

которых записывается в виде:

( ) ( ) tcos sin 22 jjw

bw-

++×=DG

gFtа ,

где j - круговая частота возмущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний системы определяется по формуле:

дFСТв kа D= ,

где FСТD - статический прогиб балки под действием возмущающей силы;

kд – динамический коэффициент. Статический прогиб балки от действия возмущающей силы определяется

по формуле: dFF

СТ =D . Динамический коэффициент определяется по формуле:

2

21

1

w

j-

=дk .

Page 61: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

121

Динамические напряжения, вызванные периодической возмущающей си-лой, определяются по формуле:

дFCT

Fд kss = ,

где FСТs - напряжения, вызванные статическим действием силы F.

Задание 11.1. На балку, выполненную из прокатных профилей, свободно лежащую на двух опорах (рис.11.3) с высоты H падает груз F5. Требуется найти наибольшее нормальное напряжение в балке.

Данные взять из табл.11.1. Таблица 11.1

№ строки

Схема по рис.11.3

а, м

b, м

H, м

F5, кг

№ строки

Схема по рис.11.3

а, м

b, м

H, м

F5, кг

01 1 1,1 1,1 1,1 1,1 16 16 1,6 1,6 1,6 0,6 02 2 1,2 1,2 1,2 1,2 17 17 1,7 1,7 1,7 0,7 03 3 1,3 1,3 1,3 1,3 18 18 1,8 1,8 1,8 0,8 04 4 1,4 1,4 1,4 1,4 19 19 1,9 1,9 1,9 0,9 05 5 1,5 1,5 1,5 1,5 20 20 1,0 1,0 1,0 1,0 06 6 1,6 1,6 1,6 0,6 21 21 1,1 1,1 1,1 1,1 07 7 1,7 1,7 1,7 0,7 22 22 1,2 1,2 1,2 1,2 08 8 1,8 1,8 1,8 0,8 23 23 1,3 1,3 1,3 1,3 09 9 1,9 1,9 1,9 0,9 24 24 1,4 1,4 1,4 1,4 10 10 1,0 1,0 1,0 1,0 25 25 1,5 1,5 1,5 1,5 11 11 1,1 1,1 1,1 1,1 26 26 1,6 1,6 1,6 0,6 12 12 1,2 1,2 1,2 1,2 27 27 1,7 1,7 1,7 0,7 13 13 1,3 1,3 1,3 1,3 28 28 1,8 1,8 1,8 0,8 14 14 1,4 1,4 1,4 1,4 29 29 1,9 1,9 1,9 0,9 15 15 1,5 1,5 1,5 1,5 30 30 1,0 1,0 1,0 1,0 в б а г а в б а г а

1 схема 2 схема 3 схема

4 схема 5 схема 6 схема

Рисунок 11.3. К заданию 11.1

122

7 схема 8 схема 9 схема

10 схема 11 схема 12 схема

13 схема 14 схема 15 схема

16 схема 17 схема 18 схема

19 схема 20 схема 21 схема

22 схема 23 схема 24 схема

25 схема 26 схема 27 схема

Продолжение рисунка 11.3

Page 62: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

123

28 схема 29 схема 30 схема

Окончание рисунка 11.3

Задание 11.2. Для стальной двутавровой балки (рис.11.4), определить

максимальные ударные напряжения и максимальный прогиб в месте падения груза.

Данные взять из табл.11.2. Таблица 11.2

№ строки

Схема по рис.11.4

№ двутавра

m, кг

h, мм

l, м

№ строки

Схема по рис.11.4

№ двутавра

m, кг

h, мм

l, м

01 1 10 20 85 4 16 16 22 50 55 4,8 02 2 12 25 80 4,2 17 17 24 55 50 5,0 03 3 14 30 75 4,6 18 18 27 60 45 5,2 04 4 16 35 70 4,8 19 19 10 20 40 5,4 05 5 18 40 65 5,0 20 20 12 25 80 5,6 06 6 20 45 60 5,2 21 21 14 30 75 5,8 07 7 22 50 55 5,4 22 22 16 35 70 6,0 08 8 24 55 50 5,6 23 23 18 40 80 4 09 9 27 60 45 5,8 24 24 20 45 75 4,8 10 10 30 65 40 6,0 25 25 22 50 70 5,0 11 11 12 25 80 4 26 26 24 55 65 5,2 12 12 14 30 75 4,2 27 27 27 60 60 5,4 13 13 16 35 70 4,6 28 28 30 65 55 5,6 14 14 18 40 65 4,8 29 29 12 25 50 5,8 15 15 20 45 60 4,6 30 30 14 30 80 6,0 б а г в а б а г в а

1 схема 2 схема 3 схема

0,6l 0,4l

h

m h

m

0,2l0,8l

0,6l0,4l

h

m

4 схема 5 схема 6 схема

h

m

0,2l 0,8l

h

m

l/2 l/2

h

m

l/32l3

Рисунок 11.4. К заданию 11.2

124

7 схема 8 схема 9 схема

h

m

0,25l 0,75l

h

m

l/32l3

h

m

0,25l0,75l

10 схема 11 схема 12 схема

h

m

l6

5l6 0,6l 0,4l

h

m h

m

0,2l0,8l

13 схема 14 схема 15 схема

0,6l0,4l

h

m h

m

0,2l 0,8l

h

m

l/2 l/2

16 схема 17 схема 18 схема

h

m

l/32l3

h

m

0,25l 0,75l

h

m

l/32l3

19 схема 20 схема 21 схема

h

m

0,25l0,75l

h

m

l6

5l6 0,6l 0,4l

h

m

22 схема 23 схема 24 схема

h

m

0,2l0,8l 0,6l0,4l

h

m h

m

0,2l 0,8l

25 схема 26 схема 27 схема

h

m

l/2 l/2

h

m

l/32l3

h

m

0,25l 0,75l

Продолжение рисунка 11.4

Page 63: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

125

28 схема 29 схема 30 схема

h

m

l/32l3

h

m

0,25l0,75l

h

m

l6

5l6

Окончание рисунка 11.4

Задание 11.3. На стальной балке (рис.11.5), установлен электродвигатель

весом G, совершающий n об/мин. Центробежная сила, возникающая вследст-вие неуравновешенности частей двигателя составляет F = 0,2G. Подобрать двутавровое поперечное сечение балки из условия отстройки от резонанса

jw 4,1= , определить максимальный прогиб и максимальные напряжения. Собственный вес балки не учитывается.

Данные взять из табл.11.3. Таблица 11.3

№ строки

Схема по рис.11.5

G, кH

n, об/мин

l, м

№ строки

Схема по рис.11.5

G, кH

n, об/мин

l, м

01 1 60 200 4 16 16 60 550 5,6 02 2 55 250 4,2 17 17 55 600 4 03 3 40 300 4,6 18 18 40 550 4,2 04 4 35 350 4,8 19 19 35 600 4,6 05 5 30 400 5,0 20 20 30 650 4,8 06 6 25 450 5,2 21 21 25 300 5,0 07 7 20 500 5,4 22 22 20 350 6,0 08 8 15 550 5,6 23 23 15 400 4,6 09 9 30 600 5,8 24 24 30 500 4,8 10 10 25 650 6,0 25 25 25 550 5,0 11 11 40 300 4,6 26 26 40 600 5,2 12 12 35 350 4,8 27 27 35 550 5,4 13 13 30 400 5,0 28 28 30 600 5,6 14 14 25 450 5,2 29 29 25 650 4 15 15 20 500 5,4 30 30 20 300 4,2 г а б в г а б в

1 схема 2 схема 3 схема

0,6l 0,4lG

0,2l0,8lG

0,6l0,4l G

Рисунок 11.5. К заданию 11.3

126

4 схема 5 схема 6 схема

0,2l 0,8lG

l/2 l/2G

l/32l3

G

7 схема 8 схема 9 схема

0,25l 0,75lG

l/32l3

G 0,25l0,75lG

10 схема 11 схема 12 схема

l6

5l6

G

0,6l 0,4lG

0,2l0,8lG

13 схема 14 схема 15 схема

0,6l0,4l G 0,2l 0,8lG

l/2 l/2G

16 схема 17 схема 18 схема

l/32l3

G 0,25l 0,75lG

l/32l3

G

19 схема 20 схема 21 схема

0,25l0,75lG

l6

5l6

G0,6l 0,4lG

22 схема 23 схема 24 схема

0,2l0,8lG

0,6l0,4l G 0,2l 0,8lG

Продолжение рисунка 11.5

Page 64: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

127

25 схема 26 схема 27 схема

l/2 l/2G

l/32l3

G 0,25l 0,75lG

28 схема 29 схема 30 схема

l/32l3

G 0,25l0,75lG

l6

5l6

G

Окончание рисунка 11.5

12. ТОНКОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ

Задание 12.1. Тонкостенный цилиндрический резервуар диаметром D за-

полнен на высоту Н жидкостью, плотность которой 3101×=r кг/м3. В резер-вуаре над жидкостью создано избыточное давление Р0 (рис.12.1).

Рисунок 12.1. К заданию 12.1

Требуется: 1) найти толщину стенки резервуара из условия прочности в нижнем се-

чении, если [s ]=160 МПа; использовать четвертую теорию прочности; 2) построить эпюры окружных и меридиональных нормальных напряже-

ний (вдоль меридиана). Данные взять из табл.12.1. Таблица 12.1

№ строки

Н, м

D, м

Р0, МПа

№ строки

Н, м

D, м

Р0, МПа

01 11 11 0,11 16 16 6 0,16 02 12 12 0,12 17 17 7 0,17

а б в а б в

128

№ строки

Н, м

D, м

Р0, МПа

№ строки

Н, м

D, м

Р0, МПа

03 13 13 0,13 18 18 8 0,18 04 14 14 0,14 19 19 9 0,19 05 15 15 0,15 20 20 10 0,20 06 16 6 0,16 21 11 11 0,11 07 17 7 0,17 22 12 12 0,12 08 18 8 0,18 23 13 13 0,13 09 19 9 0,19 24 14 14 0,14 10 20 10 0,20 25 15 15 0,15 11 11 11 0,11 26 16 6 0,16 12 12 12 0,12 27 17 7 0,17 13 13 13 0,13 28 18 8 0,18 14 14 14 0,14 29 19 9 0,19 15 15 15 0,15 30 20 10 0,20 а б в а б в

13. РАСЧЕТ НА ВЫНОСЛИВОСТЬ

Задание 13.1. На опасном сечении вала с диаметром d действует крутя-

щий момент Мк и изгибающий момент Ми. Вал сделан из углеродистой стали (предел прочности - вs , предел текучести Ts ) и не имеет резких переходов, выточек, канавок; поверхность его чисто обработана резцом.

1) определить коэффициент запаса прочности в опасном сечении вала, приняв нормальное напряжение изгиба изменяющимся по симметричному циклу, а касательные напряжения кручения - по пульсирующему циклу (от нуля до максимального значения).

2) коэффициенты концентрации напряжений считать одинаковыми для нормальных и для касательных напряжений. Данные взять из табл.13.1.

Указание. Порядок решения задачи: 1) найти максимальные нормальные напряжения и максимальные каса-

тельные напряжения; 2) по эмпирическим формулам найти предел текучести при кручении и

пределы выносливости при кручении и изгибе; 3) найти действительный коэффициент концентрации напряжений по

формуле 110

402,02,1

-×+= вks

;

4) найти масштабный коэффициент по формуле )3(1,02,1 -×+= dMb , где d в см;

5) найти коэффициент запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям;

Page 65: ОПД.Ф.02.02 СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ · 5 A ] ^ _ A Z Z Z Z l × D = , ] ^ _l: ] l £ × D =

129

6) найти общие коэффициенты запаса прочности по усталостному разру-шению и по текучести.

Таблица 13.1 №

строки d, мм

Mк, Нм

Ми, Нм

σВ, МПа

σТ, МПа

№ строки

d, мм

Mк, Нм

Ми, Нм

σВ, МПа

σТ, МПа

01 35 268 230 540 260 16 35 250 250 550 260 02 32 220 220 520 240 17 36 260 260 560 260 03 33 230 230 530 250 18 37 270 270 570 270 04 34 240 240 540 250 19 38 288 288 588 278 05 35 250 250 550 260 20 39 290 290 590 280 06 36 260 260 560 260 21 40 300 300 600 280 07 37 270 270 570 270 22 31 210 210 510 240 08 38 288 288 588 278 23 35 268 230 540 260 09 39 290 290 590 280 24 32 220 220 520 240 10 40 300 300 600 280 25 33 230 230 530 250 11 31 210 210 510 240 26 34 240 240 540 250 12 35 268 230 540 260 27 35 250 250 550 260 13 32 220 220 520 240 28 36 260 260 560 260 14 33 230 230 530 250 29 37 270 270 570 270 15 34 240 240 540 250 30 38 288 288 588 278

г в г а б г в г а б

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. В.И.Феодосьев. "Сопротивление материалов", М.: Наука, 1974. 2. А.В.Дарков, Г.С.Шпиро. "Сопротивление материалов", М.: Высшая шко-

ла, 1975. 3. "Сборник задач по сопротивлению материалов". Под. ред. А.А. Уманско-

го, М.: Наука, 1973. 4. Н.М.Беляев. "Сборник задач по сопротивлению материалов", М.: Наука,

1966. 5. П.А.Степин. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1988.

130

ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА РГР

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВПО «Башкирский государственный аграрный

университет»

Факультет: ___________________ Кафедра ТПМ Специальность: _______________ Форма обучения: очная, заочная Курс, группа: _________________

ИВАНОВ ИВАН ИВАНОВИЧ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №__

ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

«К защите допускаю» Руководитель: к.т.н., доцент кафедры ТПМ Каримов И.Ш.____________ (подпись) «___» ___________200_ г. Оценка при защите _________________ _________________ (подпись) «___» _______200_ г.

Уфа 200_