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7/21/2019 027-Tese Jean Marcos de Souza Ribeiro
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Captulo1
Universidade Estadual Paulista UNESPFaculdade de Engenharia de Ilha Solteira FEIS
Programa de Ps-Graduao em Engenharia Eltrica
Controle Discreto com Modos
Deslizantes em Sistemas Incertos com
Atraso no Sinal de Controle
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Ps
Graduao da Faculdade de Engenharia de Ilha
Solteira da Universidade Estadual Paulista
UNESP/FEIS, como parte dos requisitos necessrios
para a obteno do ttulo de Doutor em Engenharia
Eltrica, rea de concentrao em Controle e
Automao.
por
Jean Marcos de Souza RibeiroEngenheiro Eletricista FEIS/UNESP
Mestre em Engenharia Eltrica FEIS/UNESP
Ilha Solteira, Agosto de 2006
Orientador: Prof. Dr. Jos Paulo Fernandes Garcia FEIS/UNESP
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i
Controle Discreto com Modos Deslizantes em Sistemas Incertoscom Atraso no Sinal de Controle
Jean Marcos de Souza Ribeiro
TESE DE DOUTORADO SUBMETIDA FACULDADE DE ENGENHARIADE ILHA SOLTEIRA UNESP, COMO PARTE DOS REQUISITOSNECESSRIOS PARA A OBTENO DO TTULO DE DOUTOR EMENGENHARIA ELTRICA (DR).EM 30/08/2006
_________________________________________________Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira - Coordenador
COMISSO EXAMINADORA:
_________________________________________________Prof. Dr. Jos Paulo Fernandes Garcia Orientador
_________________________________________________Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira
_________________________________________________Prof. Dr. Edvaldo Assuno
_________________________________________________Prof. Dr. Fuad Kassab Junior
_________________________________________________Prof. Dr. Marco Henrique Terra
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ii
Quando passares pelas guas, estarei contigo, e quando passares pelos rios, eles no te submergir.Quando passares pelo fogo, no te queimars, nem a chama arder em ti. Pois eu sou o Senhor teu Deus
o Santo de Israel, o teu Salvador... no temas! (Isaas 43:1-2)
A Deus pelo seu imensurvel amor e
fidelidade, por ser minha retaguarda e
meu lugar seguro e por dar sentido ao
meu viver.
OFEREO
Aos meus pais, Ferrari e Flausina, pelo
incentivo, fora, apoio e, principalmente, pelo
amor incondicional que me sustenta em cada
momento de luta.
DEDICO
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iii
Agradecimentos
Toda minha fora vem dEle e no teria sentido comear meus agradecimentos sem
mencion-lo: Obrigado Deus!
Aos meus pais que, com sabedoria e pacincia, me do fora nos momentos de
dificuldade, me ajudam em cada nova fase, novo passo, novo objetivo e que fazem
minha vida valer a pena.As minhas irms Joicee Gisley, pela fora, amizade e carinho. Ao meu sobrinho Vitor
que me d nimo s de estar por perto.
Ao meu orientador Prof. Dr. Jos Paulo, pela amizade, sabedoria, compreenso,
educao, conselhos, enfim por todos anos de boa convivncia, minha eterna gratido.
A querida professora Lizete, que teve uma importante participao em minha formao
desde os anos graduao e que acompanhou de perto todos meus passos no programa de
ps-graduao, me ajudando, aconselhando e dando idias no desenvolvimento do meu
trabalho.
A minha namorada, pelo amor, pacincia, apoio e fora em minhas lutas.
Aos professores Edvaldoe Marcelopelas importantes contribuies cientficas e pela
amizade fortalecida ao longo desses anos.
Aos tcnicos Adilson, Aderson, Chaves, Everaldo e Hidemassa, que participaram
sempre de todo desenvolvimento da pesquisa.Minha gratido tambm s professoras ricae Neusinhapelas sugestes no trabalho.
A todos amigos do Laboratrio de Controle e Automao da FEIS, com os quais pude
compartilhar conhecimentos, idias, boas risadas e amizades vedadeiras.
Finalmente Capes pelo suporte financeiro e auxlios fornecidos durante a execuo
deste trabalho.
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iv
RESUMO
Este trabalho apresenta trs novas estratgias de controle discreto. O enfoque principaldo trabalho foi dado ao Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD) aplicados
em sistemas que possuem atraso no processamento do sinal de controle. As novas
estratgias de controle objetivam a elaborao de leis de fcil implementao prtica e
que ao mesmo tempo sejam robustas a incertezas da planta. Uma caracterstica destas
novas abordagens para controle discreto com atraso no tempo a utilizao de um
Controle com Modos Deslizantes sem a necessidade de predio do sinal de controle. Os
mtodos de projeto propostos podem ser aplicados no controle de plantas estveis ou
instveis com atraso no sinal de controle. Uma das estratgias foi elaborada para realizar
controle apenas em sistemas discretos que no possuem atraso no sinal de controle,
enquanto que as demais so utilizadas para controle em sistemas com atraso. So
apresentadas simulaes e resultados de implementaes prticas, sobre uma planta
estvel de Controle Automtico da Gerao (CAG) e sobre um Sistema Pndulo
Invertido, que caracteriza bem uma planta instvel. Os resultados comprovam a eficcia
dos novos controladores.
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v
ABSTRACT
This work presents three new strategies of discrete-time control. The main focus of thework was given to the Sliding Mode Control (SMC) applied in systems that present
delay in the processing of the control sign. The new control strategies provide laws of
control of easy practical implementation and that at the same time are robust to
uncertainties of the plant. A characteristic of these new approaches, for discrete-time
control with delay-time, is the use of a Sliding Mode Control without the need of
prediction of the control signal. The proposed design methods can be applied in the
control of stable or unstable plants, with delay in the control signal. One of the strategies
was elaborated to accomplish control just in discrete-time system without delay-time in
the control sign, while the others are used for control in systems with delay-time.
Simulations and experimental results are shown on a stable plant of Automatic
Generation Control (AGC) and on Inverted Pendulum System, that is an unstable plant.
The results prove the controllers' effectiveness.
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Lista de Figuras
2.1 A superfcie deslizante a interseco das i-simas superfcies existentes............................................21
2.2 Ilustrao bidimensional do domnio do modo deslizante.......................................................................22
2.3 Diagrama de blocos do sistema em exemplo............................................................................................40
2.4 Controle descontnuo sem camada limite e com camada limite..............................................................41
2.5 Trajetria dos estados e lei de controle sem usar camada limite.............................................................41
2.6 Trajetria dos estados e lei de controle usando camada limite............................................................... 42
3.1 Diagrama de bloco descrevendo um tpico sistema com atraso. ............................................................ 443.2 Diagrama de bloco descrevendo um tpico sistema com atraso. ............................................................ 44
3.3 Estratgia de controle com preditor proposto por Smith. .......................................................................45
3.4 Controle EV/MD para o sistema sem atraso - robustez. .........................................................................49
3.5 Controle EV/MD para o sistema com atraso. ..........................................................................................50
5.1 Sistema pndulo invertido.........................................................................................................................71
5.2 Equipamento utilizado para realizao do controle sobre o sistema pndulo invertido. ......................74
5.3 Representao esquemtica do sistema pndulo invertido com o dispositivo de controle..................75
5.4 Representao em diagrama de blocos da simulao do pndulo invertido utilizando CCMD...........76
5.5 CCMD realizado por um computador: simulaes com perodo de amostragem de 0.001 seg..........765.6 CCMD realizado por um computador: simulaes com perodo de amostragem de 0.065 seg........... 77
5.7 Controlador contnuo emulado em um computador digital ....................................................................77
5.8 CCMD realizado por um computador: resultados experimentais com perodo de amostragem de0.001 seg....................................................................................................................................................78
5.9 CCMD realizado por um computador: resultados experimentais com perodo de amostragem de 0.01seg. .............................................................................................................................................................78
5.10 Diagrama de blocos representando o procedimento para simulao do CDMD aplicado ao pnduloinvertido. ....................................................................................................................................................79
5.11 CDMD realizado por um computador digital: simulao com perodo de amostragem de 0.01 seg. 80
5.12 CDMD realizado por um computador digital: simulao com perodo de amostragem de 0.1 seg... 805.13 Controlador discreto implementado em um computador digital. .........................................................81
5.14 CDMD realizado por um computador: resultados experimentais com perodo de amostragem de0.001 seg....................................................................................................................................................81
5.15 CDMD realizado por um computador: resultados experimentais com perodo de amostragem de0.01 seg. .....................................................................................................................................................82
8.1a Planta, observador e lei de controle utilizando a estratgia CDMD-A. ...............................................98
8.1b Planta, observador e lei de controle utilizando a estratgia CDMD-B. ...............................................98
8.2 Planta do sistema de Controle de Gerao. ..............................................................................................98
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8.3 Resposta do sistema com entrada atrasada h=0.15 seg e perodo de amostragem de 0.20 seg,
utilizando o projeto contnuo convencional CEV-MD.........................................................................1038.4 Resposta do sistema com CEV-MD, proposto no Captulo 5 (equao 5.32), com entrada atrasada em
h=0.15 seg e perodo de amostragem de 0.20 seg.................................................................................103
8.5 Resposta do sistema com CDMD-A, proposto no Captulo 6 (equao 6.12), com entrada atrasada emh=0.15 seg e perodo de amostragem de 0.20 seg.................................................................................104
8.6 Resposta do sistema com CDMD-B, proposto no Captulo 7 (equao 7.31), com entrada atrasada emh=0.15 seg e perodo de amostragem de 0.20 seg.................................................................................104
8.7 Representao em diagrama de blocos do sistema pndulo invertido, controlado com CDMD, napresena de atraso do sinal de controle. ................................................................................................106
8.8 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD, proposto no Captulo 5 (equao 5.32), comatraso de 0.01 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.....................................................................106
8.9 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD, proposto no Captulo 5 (equao 5.32), comatraso de 0.04 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg (instvel). ...................................................107
8.10 Representao em diagrama de blocos do sistema pndulo invertido, controlado com CDMD-A, napresena de atraso do sinal de controle. ................................................................................................108
8.11a Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-A, proposto no Captulo 6 (equao 6.12),com atraso de 0.01 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.............................................................108
8.11b Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-A, proposto no Captulo 6 (equao 6.12),com atraso de 0.04 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.............................................................109
8.12 Representao em diagrama de blocos do sistema pndulo invertido, controlado com CDMD-B, napresena de atraso do sinal de controle e com incertezas.....................................................................110
8.13 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-B, proposto no Captulo 7 (equao 7.31), comatraso de 0.01 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.....................................................................110
8.14 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-B, proposto no Captulo 7 (equao 7.31), comatraso de 0.04 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.....................................................................111
8.15 Equipamento utilizado para realizao da implementao prtica dos controles sobre o sistemapndulo invertido. ...................................................................................................................................112
8.16 Esquema do sistema pndulo invertido com o dispositivo de controle .............................................113
8.17 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-A, com perodo de amostragem de 0.005 seg eatraso de 0.004 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................114
8.18 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD, com perodo de amostragem de 0.005 seg e
atraso de 0.004 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................1148.19 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-A, com perodo de amostragem de 0.010 seg eatraso de 0.009 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................115
8.20 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD, com perodo de amostragem de 0.010 seg eatraso de 0.009 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................115
8.21 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-B, com perodo de amostragem de 0 .005 seg eatraso de 0.0025 seg. Implementao atravs de computador. ............................................................116
8.22 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-B, com perodo de amostragem de 0 .010 seg eatraso de 0.005 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................116
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Lista de Smbolos e Abreviaturas
A/D Conversor Analgico/Digital
B Matriz de entrada
C Matriz de sada
CAG Controle Automtico da Gerao
CCMD Controle Contnuo com Modos Deslizantes
CDMD Controle Discreto com Modos Deslizantes
CEV Controle com Estrutura Varivel
CMD Controle com Modos Deslizantes
D/A Conversor Digital/Analgico
EDF Equao Diferencial Funcional
EDO Equao Diferencial Ordinria
EDP Equao Diferencial Parcial
EV Estrutura Varivel
FTMF Funo de Transferncia de Malha Fechada
),( xtf Matriz de estados no-linear da planta
G Planta
mG Modelo da Planta
grad Gradiente
h Atraso
K Ganho escalar
m Dimenso do vetor de entradas
MD Modos Deslizantes
MIMO Sistema com mltiplas entradas e mltiplas sadas
n Dimenso do vetor de estados
p Dimenso do vetor de sada
S Ganhos da superfcie de deslizamento
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SAT Sistemas com Atraso no Tempo
sgn Funo sinal
SISO Sistema com uma entrada e uma sada
mT Modelo do Atraso
)(tu Sinal de controle contnuo no tempo
equ Controle equivalente
ku Sinal de controle discreto no tempo
nu
Controle descontnuo
),( xtV Funo de Lyapunov
x Vetor de estados estimado
)(tx Estados da planta no sistema contnuo
kx Estados da planta no sistema discreto
ky Sada discreta
)(ty Sada contnua
Superfcie de deslizamento contnua no tempo
Ganho escalar
f Incertezas
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Sumrio
1. INTRODUO............................................................................................................................................ 13
2. CONTROLE COM ESTRUTURA VARIVEL E MODOS DESLIZANTES.................................18
2.1 Modelo do Sistema ..................................................................................................................192.1.1 Superfcie de Deslizamento .............................................................................................................192.1.2 Modos Deslizantes ...........................................................................................................................202.1.3 Condies de Existncia de um Modo Deslizante .........................................................................21
2.2 O Mtodo do Controle Equivalente........................................................................................24
2.3 Reduo de Ordem ..................................................................................................................26
2.4 Forma Regular .........................................................................................................................30
2.5 Projeto do Controlador ............................................................................................................32
2.6 Sistemas Incertos e CEV/MD.................................................................................................35
2.7 Trepidao................................................................................................................................38
2.8 Comentrios .............................................................................................................................42
3. SISTEMAS COM ATRASO NO CONTROLE......................................................................................43
3.1 Motivao e Apresentao do Problema sob o Enfoque CEV/MD...................................... 47
3.2 Comentrios .............................................................................................................................50
4. OBSERVADORES DE ESTADO DE SISTEMAS INCERTOS COM ATRASO NO CONTROLECOM EV/MD.................................................................................................................................................... 52
4.1 Projeto do Observador............................................................................................................. 554.1.1 Algoritmo para o Projeto do Observador Robusto.........................................................................58
4.2 Comentrios .............................................................................................................................60
5. UM NOVO CONTROLADOR COM MODOS DESLIZANTES DISCRETO NO TEMPO(CDMD) .............................................................................................................................................................61
5.1 Controle Contnuo com Modos Deslizantes (CCMD) ..........................................................625.1.1 Projeto da Superfcie de Deslizamento...........................................................................................635.1.2 Projeto da Lei de Controle Contnua...............................................................................................63
5.2 Nova Estratgia de Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD)...........................655.2.1 Projeto da Superfcie de Deslizamento...........................................................................................665.2.2 Projeto da Lei de Controle Discreta................................................................................................665.2.3 Anlise da Robustez da Estabilidade ..............................................................................................69
5.3 O Modelo Pndulo Invertido................................................................................................... 71
5.4 Sistema Pndulo Invertido com CMD....................................................................................72
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5.5 Simulaes e Resultados Experimentais................................................................................745.5.1 Controle Contnuo com Modos Deslizantes (CCMD)...................................................................75
5.5.1.1 Simulaes................................................................................................................................755.5.1.2 Implementao prtica..............................................................................................................77
5.5.2 Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD)....................................................................795.5.2.1 Simulaes................................................................................................................................795.5.2.2 Implementao prtica..............................................................................................................80
5.6 Comentrios .............................................................................................................................82
6. CONTROLE DISCRETO COM MODOS DESLIZANTES PARA SISTEMAS COM ATRASONO SINAL DE CONTROLE E SEM ESTIMATIVA DAS INCERTEZAS (CDMD-A).....................84
6.1 Modelo Discreto com Atraso ..................................................................................................84
6.2 Projeto da Superfcie Deslizante Discreta..............................................................................866.3 Projeto da Lei de Controle Discreta .......................................................................................87
6.4 Anlise da Robustez da Estabilidade...................................................................................... 87
6.5 Comentrios .............................................................................................................................89
7. CONTROLE DISCRETO COM MODOS DESLIZANTES PARA SISTEMAS SEM E COMATRASO NO SINAL DE CONTROLE E COM ESTIMADOR DE INCERTEZAS (CDMD-B).....90
7.1 Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD-B) sem atraso no sinal de controle... 907.1.1 Projeto da Superfcie Deslizante Discreta ......................................................................................917.1.2 Projeto da Lei de Controle Discreta................................................................................................91
7.2 Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD-B) com Atraso no Sinal de Controle 937.2.1 Projeto da Superfcie Deslizante Discreta ......................................................................................947.2.2 Projeto da Lei de Controle Discreta................................................................................................95
7.3 Comentrios .............................................................................................................................96
8. RESULTADOS: SIMULAES DOS CONTROLES CDMD, CDMD-A E CDMD-BAPLICADOS A UMA PLANTA ESTVEL E UMA INSTVEL, E IMPLEMENTAES DOSCONTROLADORES SOBRE O SISTEMA PNDULO INVERTIDO.................................................97
8.1 Simulaes do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a uma Planta Estvel: ControleAutomtico de Gerao (CAG) com Entrada Atrasada...............................................................97
8.1.1 Sistema CAG com Projeto Contnuo Convencional CEV-MD...................................................1008.1.2 Sistema CAG com o Novo Projeto CDMD..................................................................................101
8.1.3 Sistema CAG com o Novo Projeto CDMD-A .............................................................................1018.1.4 Sistema CAG com o Novo Projeto CDMD-B..............................................................................102
8.2 Simulaes do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a uma Planta Instvel: ModeloPndulo Invertido com Entrada Atrasada...................................................................................105
8.2.1 Sistema Pndulo Invertido com a Nova Estratgia CDMD ........................................................1058.2.2 Sistema Pndulo Invertido com a Nova Estratgia CDMD-A....................................................1078.2.3 Sistema Pndulo Invertido com a Nova Estratgia CDMD-B ....................................................109
8.3 Implementaes do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a uma Planta Instvel:Modelo Pndulo Invertido com Entrada Atrasada.....................................................................112
8.3.1 Resultado da Implementao das Estratgias CDMD e CDMD-A ............................................1138.3.2 Resultado da Implementao da Estratgia CDMD-B ................................................................115
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9. CONCLUSES..........................................................................................................................................117
9.1 Concluses Gerais .................................................................................................................117
9.2 Trabalhos Publicados.............................................................................................................118
9.3 Sugestes de Trabalhos .........................................................................................................119
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................................................120
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Captulo 1 13
CAPTULO 1
1. INTRODUO
H algumas dcadas o estudo de sistemas dinmicos com atraso no tempo
tem sido foco de considervel ateno por parte de vrios pesquisadores, que se sentiram
atrados pela busca de um melhor critrio para anlise e soluo de problemas causados
pelo atraso [1,2,3]. Esta concentrao de esforos, na pesquisa de solues de problemas
para sistemas com atraso no tempo, motivada pelo fato de que o fenmeno de atraso
encontrado em vrios problemas da engenharia [4], e pode ser responsvel pelocomprometimento do desempenho do controlador e, at mesmo, pode levar
instabilidade todo sistema controlado.
Sistemas com Atraso no Tempo (SAT) tambm so chamados de sistemas
com tempo morto, sistemas hereditrios ou equaes com argumento divergentes. Eles
pertencem a uma classe de equaes diferenciais funcionais (EDFs) as quais so de
dimenso infinita, ao invs de equaes diferenciais ordinrias (EDOs). Muitas
pesquisas esto sendo feitas sobre este tema [7]. O que pode motivar esse interesse e
desenvolvimento to contnuo? Quatro pontos podem dar uma possvel explicao:
i) SAT um problema aplicado: bem conhecido que, junto com as expectativas
crescentes de desempenhos dinmicos, engenheiros precisam dos modelos do
processo que se comportam mais prximo do real possvel. Muitos processos incluem
fenmenos com atraso no tempo na dinmica interna deles. Por exemplo,
Kolmanovskii e Myshkis [8] e Niculescu [9] do exemplos de atraso em biologia,
qumica, economia, mecnica, viscoelasticidade, fsica, fisiologia, dinmica de
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Captulo 1 14
populao e tambm em cincias da engenharia. Alm disso, atuadores, sensores,
redes de campo, que normalmente so envolvidas em loops de realimentao,
introduzem tal atraso. Assim, eles so fortemente envolvidos em reas de
comunicao e tecnologia de informao. Ento, o interesse para EDF contnua
crescendo em todas as reas cientficas e, especialmente, em engenharia de controle.
ii) sistemas com atraso ainda no apresentam bom desempenho a muitos
controladores clssicos: pode-se pensar que a aproximao mais simples consiste no
mtodo substituir o atraso por funes de dimenses finitas. Infelizmente, ignorar
efeitos que so representados adequadamente por EDFs no uma alternativa geral: a
melhor situao (atrasos constantes e conhecidos), conduz ao mesmo grau de
complexidade no projeto de controle. Casos crticos (atrasos com tempo variado, por
exemplo), potencialmente desastroso em termos de estabilidade e oscilaes.
iii) Propriedades do atraso tambm trazem resultados surpreendentes j que vrios
estudos mostraram que a introduo voluntria de atraso tambm pode beneficiar o
controle [7]. Por exemplo, para EDOs: amortecimento e estabilizao [61].
iv) apesar de sua complexidade, SAT freqentemente aparecem como simples
modelos de dimenso infinita na rea mais complexa de equaes diferenciais
parciais (EDP): como mencionado em Kolmanovskii e Myshkis [8], "normalmente
no difcil mostrar que o aparecimento do atraso em uma equao diferencial
resulte de alguma simplificao essencial do modelo".
Em geral, os sistemas em malha fechada, com atrasos nas malhas, esto
sujeitos a mais problemas de estabilidade do que os sistemas sem atrasos. Um atraso h
modelado pela funo de transferncia she [11], assim a equao caracterstica do
sistema ter coeficientes que dependem do atraso, podendo levar o sistema
instabilidade. Conhecendo-se exatamente o valor do atraso e tendo-se uma planta
estvel, Smith [14] props uma tcnica, com preditor, capaz de suprir os efeitos
causados pelo atraso e garantir a estabilidade do sistema atrasado podendo-se assim
utilizar normalmente os controladores. Controladores baseados em preditores incluem
um preditor para compensar o atraso, ou, pelo menos, minimizar seu efeito. Para o
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Captulo 1 15
projeto de um controlador baseado em preditor, o sistema com atraso pode ser
transformado em um sistema livre de atraso na malha de controle, contudo o efeito do
atraso estar presente no numerador da funo de transferncia em malha fechada,
podendo assim alterar o desempenho de sistema [15,20]. Contudo, na prtica, nem
sempre possvel ter-se uma planta estvel com valor conhecido do atraso no tempo.
O atraso est presente em vrios sistemas dinmicos devido a: i) utilizao,
na planta e/ou malha de controle, de dispositivos microprocessados, que necessitam de
um tempo para o processamento de informaes; ii) atraso no sistema de medio das
variveis de controle do sistema, e iii) prpria natureza da planta, que pode apresentar
atrasos embutidos em sua funo de transferncia. Vrios exemplos de sistemas
eletrnicos, biolgicos, mecnicos, qumicos, podem ser dados a respeito da presena de
atraso em um sistema, por exemplo, sistemas de controle industrial atravs de
dispositivos microprocessados, computao do sinal de controle, controle via rede,
fenmenos de transporte, transmisso pneumtica, canais de comunicao, processos
qumicos e trmicos, problemas de radiao etc [2]. Nestes sistemas, a sada no
comear a responder a uma entrada antes de transcorrer o tempo de atraso [21].Durante muito tempo as pesquisas, relacionadas ao controle de sistemas com
atraso, sempre geravam trabalhos que abordavam a estratgia de preditores, derivados
dos preditores de Smith, na tentativa de sanar os problemas de plantas instveis e
incertezas no atraso, exemplo disso que vrios trabalhos so encontrados na literatura
com o ttulo A new Smith Predictor.... Porm as malhas de controle propostas,
embora apresentem bons resultados, nem sempre so de fcil implementao, por
exemplo, Lee e Lee [2]; Mondi, Garcia e Lozano [23]. Este trabalho prope uma
soluo simples e factvel a este problema, atravs de um controlador robusto, que
utiliza a estratgia de Controle com Estrutura Varivel e Modos Deslizantes (CEV-MD).
O CEV/MD foi primeiramente proposto e elaborado nos anos 50, na Unio Sovitica
por Utkin e outros [5,6,7]. Basicamente, sistemas CEV-MD tm como principais
caractersticas: robustez na estabilidade e no desempenho diante de determinadas classes
de incertezas e no linearidades [10,12]. No entanto, tais caractersticas podem no
existir em sistemas com atraso no sinal de controle, caso tais atrasos no sejam
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Captulo 1 16
considerados durante o projeto. Neste trabalho proposta uma soluo para o problema
de atraso no sinal de controle gerado por um computador digital, atravs de um
controlador com Modos Deslizantes.
Outro problema o projeto de controladores capazes de minimizar os efeitos
das incertezas. Muitos resultados podem ser encontrados na literatura, como a
abordagem pela equao de Riccati [16,17,22], por Linear Matrix Inequalities LMI
[24,25,26] e o mtodo min-max [27]. Essas abordagens no consideram uma
compensao para a entrada com atraso. Em [28] investigou-se o problema de
estabilizao robusta para sistemas incertos com entradas com atraso usando a teoria de
controle H . Em [29,30] aplica-se a teoria de modos deslizantes em sistemas incertos
com atraso no estado. Nos trabalhos apresentados em [31,32,33] aplica-se CEV/MD em
sistemas com atraso no controle considerando somente o caso em que h acesso pleno
aos estados.
Especificamente em CEV/MD, o problema do atraso mais evidente, uma
vez que este mtodo utiliza uma lei de controle com chaveamento de alta velocidade
para conduzir e manter a trajetria dos estados de uma planta em uma superfcieespecfica escolhida no espao de estados (chamada de superfcie de deslizamento ou
superfcie de chaveamento). Este chaveamento depende dos estados atuais e executado
pelo sinal de controle. Se o efeito do atraso no for minimizado, o chaveamento poder
no direcionar a trajetria do sistema para a superfcie de deslizamento planejada,
podendo com isto levar o sistema instabilidade. Para evitar que os efeitos do atraso
interfiram de maneira mais acintosa na estrutura de controle, este trabalho prope a no
utilizao da componente chaveada da estrutura de controle (CEV), que ser substituda
por um controle sem descontinuidade, tratando assim de um controlador apenas em
Modos Deslizantes (MD).
Neste trabalho aborda-se o projeto de MD em sistemas incertos com atraso
devido computao do sinal de controle. Alm da sistematizao do projeto, algumas
anlises so feitas considerando observadores preditivos que tambm utilizam EV/MD.
Do Captulo 2 ao 4 so apresentados anlises e estratgias de CEV-MD para
sistemas contnuo no tempo.
7/21/2019 027-Tese Jean Marcos de Souza Ribeiro
18/126
Captulo 1 17
No Captulo 2, so apresentados os aspectos mais relevantes de Sistemas
com Controle de Estrutura Varivel e Modos Deslizantes.
No Captulo 3, descreve-se uma introduo sobre preditores de Smith e
alguns conceitos relacionados a sistemas com atraso no sinal de controle. Tambm,
neste captulo, apresenta-se um exemplo numrico cujos resultados obtidos em
simulaes ilustram a importncia de se considerar os atrasos na sistemtica de projeto
CEV/MD.
No Captulo 4, apresentado um observador proposto por Spurgeon e
Davies [12,38], porm com uma abordagem que leva em considerao o atraso no
tempo [21,61] e utiliza a estratgia CEV/MD.
A partir do Captulo 5 so apresentadas as novas estratgias de Controle com
Modos Deslizantes (CMD), considerando processamento digital e atraso no controle,
alm de incertezas na planta.
No Captulo 5, apresentado um novo controlador discreto no tempo, que
leva em considerao o processamento digital, mas no leva em conta o atraso no sinal
de controle [19,52]. Simulaes e resultados de implementaes deste controladortambm so apresentados neste captulo.
No Captulo 6, apresentado tambm um novo controlador discreto, com
modos deslizantes, que leva em considerao, alm do processamento digital, tambm o
atraso no sinal de controle [30]. No Captulo 7 apresentado mais um controlador
discreto, cuja estratgia compensar os efeitos do atraso no sinal de controle e
incertezas da planta, atravs de sua estimao.
Finalmente, no Captulo 8 so apresentados os resultados finais de
simulaes e implementaes em laboratrio das trs novas estratgias de controle
discreto proposto neste trabalho. So mostrados os resultados de simulaes do Controle
Automtico da Gerao (CAG) e tambm resultados obtidos de simulaes e
implementaes realizadas sobre o sistema pndulo invertido.
No Captulo 9 so dadas as concluses finais e sugestes para prximos
trabalhos.
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Captulo 2 18
CAPTULO 2
2. CONTROLE COM ESTRUTURA VARIVEL E MODOSDESLIZANTES
A caracterstica de um sistema de Controle com Estrutura Varivel e Modos
Deslizantes (CEV/MD) uma lei de controle chaveada em alta velocidade, que ocorre
quando o estado do sistema cruza certas superfcies descontnuas no espao de estados.
Essas superfcies so projetadas de forma que a dinmica dos estados obedea a um
comportamento desejado quando em deslizamento. A estrutura de controle usualmenteno-linear e resulta em um sistema com estrutura varivel que pode ser considerado
como uma combinao de subsistemas, cada um com uma estrutura fixa e que opera em
uma regio especfica do espao de estados [5].
Assim, a estratgia de CEV/MD utiliza uma lei de controle chaveada para
conduzir e manter a trajetria dos estados de uma planta em uma superfcie especfica
(chamada superfcie de deslizamento ou superfcie de chaveamento), ou sobre a
interseco de todas as superfcies escolhidas no espao de estados. Quando a trajetriados estados atinge esta superfcie e nela permanece, diz-se que o sistema est na
condio de deslizamento ou em modo deslizante e, nesta situao, o comportamento do
sistema sofre menor influncia por parte de alteraes paramtricas ou de distrbios
externos, o que d a caracterstica robusta ao sistema controlado.
A existncia de um modo deslizante requer a estabilidade da trajetria de
estado para a superfcie de deslizamento. Uma lei de controle chaveada deve ento ser
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Captulo 2 19
projetada para assegurar que a trajetria de estados se dirija superfcie de deslizamento
(alcanabilidade) e nela permanea durante todo o tempo subseqente (atratividade) [6].
Assegurar a existncia de um modo deslizante na superfcie de deslizamento
um caminho necessrio no projeto de CEV/MD. Projetar a dinmica da superfcie
um caminho complementar do problema.
Assim, so duas as etapas principais no projeto:
(a)Projeto de uma superfcie de deslizamento, tal que a dinmica da planta, quando em
deslizamento, tenha uma trajetria desejada;
(b)Desenvolvimento de uma lei de controle tal que satisfaa as condies de existncia
e alcanabilidade ao modo deslizante.
2.1 Modelo do Sistema
Considera-se uma classe de sistemas no-linear no vetor de estado )(tx e
linear no vetor controle )(tu , da forma [34]
)(),(),(),,()( tuxtBxtfuxtftx +==
(2.1)
onde o vetor de estado nx , o vetor controle mu , nxtf ),( , e
mnx),( tB . Alm disso, cada elemento de ),( xtf e ),( xtB so assumidos contnuos,
com derivadas contnuas e limitadas com respeito t e x .
2.1.1 Superfcie de Deslizamento
A superfcie de deslizamento ou superfcie de chaveamento ( ) 0x = um
espao fechado (n-m) dimensional em nR , determinado pela interseco de m
superfcies de chaveamento de dimenso (n-m). As superfcies de chaveamento so
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Captulo 2 20
projetadas tal que o sistema, restrito a superfcie ( ) 0x = , tenha comportamento
desejado.
Seja a superfcie de deslizamento definida por
{ }0))((|)( =txtx . (2.2)
Cada entrada (t)ui do controle chaveadomu(t) tem a forma
=
+
0com
1
0com
(x(t))(t, x)u
, m,i,
(x(t))
(t, x)u
(t, x)u
i
-
i
ii
i
(2.3)
onde { }0))((|)( =txtxi
a i-sima superfcie de deslizamento associada com a
superfcie de deslizamento (2.2) de dimenso (n-m).
As superfcies de deslizamento so projetadas tais que a resposta do sistema
restrito { }0))((|)( =txtx tenha o comportamento desejado.
Considera-se neste trabalho, a superfcie de deslizamento da forma
{ }0)())((|)( == txStxtx , (2.4)
em que S chamada matriz da superfcie de deslizamento, sendo nxmS .
Por simplicidade, a notao utilizada para designar a superfcie de
deslizamento ser
0)())(( == tSxtx . (2.5)
2.1.2 Modos Deslizantes
Depois de projetada a superfcie de deslizamento desejada, o prximo
aspecto importante de CEV/MD garantir a existncia de um modo deslizante. Um
modo deslizante existe se na vizinhana da superfcie de deslizamento, 0(x(t)) = , a
tangente ou vetor velocidade da trajetria de estado sempre est direcionado para
superfcie de deslizamento. Conseqentemente, se a trajetria do estado intercepta a
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Captulo 2 21
superfcie de deslizamento, o valor da trajetria de estado ou ponto representativo se
mantm dentro de uma vizinhana de { }/ ( ) 0x x = . Se o modo deslizante existe em
( ) 0x = , ento ( )x chamado superfcie de deslizamento. Como visto na Figura 2.1,
o modo deslizante no pode existir na i-sima superfcie deslizante ( ) 0i x =
separadamente, mas somente na interseco de todas superfcies.
Figura 2.1 A superfcie deslizante a interseco das i-simas superfcies existentes.
Um modo deslizante ideal existe somente quando a trajetria de estado )(tx
da planta controlada satisfaz 0))(( =tx para todo 0tt , para algum 0t . Isto requer
chaveamentos infinitamente rpidos. Em sistemas reais, todas as funes com controle
chaveados tem imperfeies tais como retardamento, histereses, etc., que foram os
deslizamentos ocorrerem em uma freqncia finita. A trajetria de estado ento oscila
em uma certa vizinhana da superfcie de deslizamento. Esta oscilao chamada
trepidao. Portanto, o modo deslizante real no ocorre sobre as superfciesdescontnuas, mas dentro de uma camada limite [5,6].
2.1.3 Condies de Existncia de um Modo Deslizante
A existncia de um modo deslizante requer estabilidade da trajetria para a
superfcie de deslizamento 0(x(t)) = , ou no mnimo para uma vizinhana desta, ou
(x0, t0)
(x1, t1)
1= 0
2= 0= 0
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Captulo 2 22
seja, os estados devem aproximar-se da superfcie assintoticamente. A maior vizinhana
chamada a regio de atrao. Geometricamente, o vetor tangente ou derivada no tempo
do vetor de estado, dever apontar para a superfcie de deslizamento, na regio de
atrao.
O problema de existncia assemelha-se a um problema de estabilidade
generalizada, ento o segundo mtodo de Lyapunov fornece um conjunto natural para a
anlise. Assim, a estabilidade para a superfcie de deslizamento requer a seleo de uma
funo de Lyapunov generalizada ),( xtV que definida positiva e tem uma derivada
negativa em relao ao tempo, na regio de atrao [34].
Definio 1: Um domnio D no espao fechado 0 = um domnio de modo
deslizante se para cada 0> , existe 0 > , tal que qualquer movimento iniciado dentro
de uma vizinhana de dimenso n de D pode deixar a vizinhana de dimenso n
de D somente atravs da vizinhana de dimenso n da fronteira de D (Figura 2.2).
x1
x2
D
Pontolimite de D
Vizinhanado ponto
limite de D
=0x1
x2
D
Pontolimite de D
Vizinhanado ponto
limite de D
=0
Figura 2.2 - Ilustrao bidimensional do domnio do modo deslizante.
Teorema 2.1: Para o domnio D, de dimenso )( mn ser o domnio de um modo
deslizante, suficiente que, para D , de dimenso n , exista uma funo ),,( xtV
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Captulo 2 23
diferencivel com respeito a todos os seus argumentos, satisfazendo as seguintes
condies [5]:
(a) ),,( xtV definida positiva em relao , isto , ),,( xtV > 0 com 0 e t, x
arbitrrios, 0)0,,( =xtV ; e na esfera = para todo
x e algum t, tem-se:
i) p
h)x,V(t,inf ==
, 0hp > (2.6)
ii) 0H,H)x,V(t,sup p
>==
(2.7)
ondepp Hh e dependem de 0)se0( hp .
(b)A derivada em relao ao tempo de ),,( xtV para o sistema (2.1) tem um supremo
negativo para todo x , exceto para x na superfcie de deslizamento onde o
controle na entrada no est definido, e por isso a derivada de ),,( xtV no existe.
Nota 2.1: Um modo deslizante globalmente alcanado se o domnio de atrao todo
o espao de estados. De outra forma o domnio de atrao um subconjunto do espao
de estado.
Considere o sistema de equao (2.1), com a notao
u) f(t, x,(t)x =
(2.8)
e a seguinte estratgia geral de controle
=
+
0se
0se
(x)(t, x)u
(x)(t, x)u
u . (2.9)
De acordo com [35], as trajetrias de estado do sistema (2.8), com controle
(2.9), na condio de deslizamento, 0(x(t))= , so as solues da equao
10,f)f-(1f(t)x 0- =+= +
onde )ux,f(t,f),ux,f(t,f -- == ++ .
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Captulo 2 24
Resolvendo a equao 0f,grad 0 = para tem-se
)f-(f,grad
f,grad
-
-
+=
.
Sendo:
(a) ( ) 0f-f,grad - >+ , e
(b) 0f,grad + e 0f,grad , em que a notao, ba, , denota o
produto interno entre a e b, tambm escrito como a.b, e grad o gradiente de (x) .
Assim, pode-se concluir que, a soluo de (2.8) com controle (2.9) existe e
unicamente definida em 0(x(t)) = [35]. Nota-se tambm que esta tcnica pode ser
usada para determinar o comportamento da planta no modo deslizante [34, 35].
O mtodo de Filippov [35] apresentado resumidamente acima uma tcnica
que torna possvel a determinao do movimento de um sistema num modo deslizante.
0f representa a velocidade mdia, x , da trajetria de estado restrita superfcie de
deslizamento. Uma outra tcnica mais simples o mtodo do controle equivalente
descrito a seguir.
2.2 O Mtodo do Controle Equivalente
O mtodo do controle equivalente [5, 34] utilizado para determinar o
movimento do sistema restrito superfcie de deslizamento 0(x(t)) = . Suponha queem 0t , a trajetria de estado da planta intercepta a superfcie de deslizamento e um
modo deslizante existe para 0tt . A existncia de um modo deslizante ideal implica
que ( ) 0)( =tx e 0(x(t)) = para todo 0tt .
Diferenciando ,0)( =x em relao t, tem-se
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Captulo 2 25
0xx
=
.
Substituindox por (2.1), tem-se
[ ] 0B(t, x) uf(t, x)x
xx
eq =+
=
(2.10)
onde ueq chamado de controle equivalente e soluo da equao (2.10).
Para calcular ueq, assume-se que o produto matricial B(t, x)x
no
singular para todo te x . Ento,
f(t, x)x
B(t, x)
x
-u
-
eq
=
1
. (2.11)
Aps a substituio deste ueq em (2.1), a equao resultante descreve o
comportamento do sistema restrito superfcie de deslizamento, desde que a condio
inicialx(t0) satisfaz ( ) 0)( 0 =tx .
Assim, dado ( ) 0)( 0 =tx , a dinmica do sistema sobre a superfcie de
deslizamento para 0tt , dada por
f(t, x)x
B(t, x)x
x)I - B(t,x
-
=
1
. (2.12)
Supondo que a superfcie de deslizamento linear e dada por
,tSxtx 0)())(( == ento Sx
=
, e (2.12) reduz-se a
[ ][ ]f(t, x)SS B(t, x)x)I - B(t,x -1= . (2.13)
Observe que (2.12), juntamente com a restrio 0(x)= determina o
movimento do sistema sobre a superfcie de deslizamento. Ento, o movimento do
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Captulo 2 26
sistema (2.1), restrito superfcie de deslizamento, ser governado por um conjunto de
equaes de ordem reduzida.
Algumas aplicaes de controle requerem uma superfcie de deslizamento
variando no tempo: 0x),( =t . Neste caso, ( ) xx
t
t, x
+
= e o controle
equivalente toma a forma
+
=
t
f(t, x)x
B(t, x)x
-u
-
eq
1
. (2.14)
2.3 Reduo de Ordem
Por simplicidade, ser estudado o caso em que a superfcie de chaveamento
linear, 0)( == xSx . Como mencionado anteriormente, em um modo deslizante, o
sistema equivalente deve satisfazer no somente a dinmica de estado de dimenso n,
mas tambm as m equaes algbricas, 0)( =x . Estas restries reduzem a dinmica
do sistema de um modelo de n-simaordem para um modelo de (n-m)-simaordem.
Suponha que o sistema no-linear (2.1) restrito superfcie de
deslizamento (2.4), isto , ,Sx(t) (x(t)) 0== com o sistema dinmico dado por
(2.13), ento, possvel resolver m variveis de estado, em termos das )( mn
variveis de estado, se o posto de [ ] mS = .
Se o posto [ ] mS = , implica que B(t, x)x
no singular para todo te
x .
Para obter a soluo, resolve-se para as m variveis de estado
( )x,,x n1m-n + em termos das )( mn variveis de estado que permanecem.
Substituindo estas relaes nas )( mn equaes de (2.13) e nas equaes
correspondendo a mvariveis de estado, o sistema resultante de ordem )( mn descreve
o sistema equivalente com condio inicial satisfazendo 0(x)= .
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Captulo 2 27
Exemplo 2.1: Para esclarecer o procedimento acima, considere o sistema
)()(),( tuBtxxtAx +=
, sendo que
=
=
10
00
01
00
00
;
),(),(),(),(),(
10000
),(),(),(),(),(
00100
00010
),(
2524232221
1514131211 B
xtaxtaxtaxtaxta
xtaxtaxtataxtaxtA
Assume-se que a terceira e quinta linhas de A(t,x) tm elementos no-
lineares variantes no tempo e so limitados. O mtodo de controle equivalente leva ao
seguinte dinmica, conforme (2.13).
[ ][ ] (t)A(t, x) xSS BI - Bx -1=
dado ( ) 0)(0
=tx para qualquer t0.
Se os parmetros da superfcie de chaveamento linear so dados por:
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
S S S S S S
S S S S S
=
ento
13 15
23 25
S SSB
S S
=
Para simplificar o exemplo, escolhe-se 123152513 = SSSS .
Especificamente, escolhe-se 1,2 25231513 ==== SSSS . Assim,
( )
25 15
1 23 13
13 25 15 23
1 1
1 2
S S
S SSB
S S S S
= =
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Captulo 2 28
O que leva seguinte equao,
)(
20220
10000
00
00100
00010
)(
241422122111
142412221121 tx
SSSSSS
SSSSSStx
=
sujeito a 0)( =x .
De 0)( =x resulta que
13 11 12 14
25 21 22 24
4
2 1
1 1
xx S S S
xx S S S
x
=
Observa-se da equao, que a principal vantagem do controle com estrutura
varivel a eliminao da influncia dos parmetros da planta quando o sistema est
sobre a superfcie de deslizamento.
Obs.: Isso vlido desde que os parmetros estejam casados, ou seja, possam ser
compensados pelas entradas do sistema.
Resolvendo a equao acima parax3ex5.
13 11 12 14
25 21 22 24
4
1 1
1 2
xx S S S
xx S S S
x
=
O sistema linear invariante no tempo equivalente de ordem reduzida dadopor:
=
3
2
1
241422122111
142412221121
3
2
1
~
~
~
222
010
~
~
~
x
x
x
SSSSSS
SSSSSS
x
x
x
sendo que 432211~,~,~ xxxxxx === .
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Captulo 2 29
Um exemplo de como o projeto de controle pode ser realizado o seguinte:
suponha que uma limitao de projeto exige que o sistema equivalente tenha os
seguintes plos {-1, -2, -3}, resultando na equao caractersitica desejada.
3 2( ) 6 11 6A = + + +
A equao caracterstica do sistema equivalente
3 212 22 24 14 12 24 14 22 11 21 11 24 14 21( ) ( 2 ) ( ) ( )A S S S S S S S S S S S S S S = + + + + +
Os coeficientes de potncias semelhantes de produzem o conjunto deequaes
11
12
1424 22
2124 14
22
24
0 1 1 0 1 2 6
1 1 0 0 11
0 0 0 0 6
S
S
SS S
SS S
S
S
=
Uma soluo que realiza o objetivo do projeto de controle :
1 1.833 2 6 1
1 1.833 1 0 1S
=
Concluindo, o sistema equivalente de ordem reduzida com os autovalores
desejados xAx ~~~ =
, sendo que,
=
6833.11
600010~
A
A facilidade na resoluo deste exemplo se deve ao fato de que a dinmica
do sistema original foi dado na forma cannica de Luenberger. Os sistemas que no
esto nesta forma freqentemente exigem uma transformao para uma forma mais
geral denominada forma regular.
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Captulo 2 30
2.4 Forma Regular
Suponha que a planta dinmica (2.1) tenha a seguinte forma regular
+=
=
(t, x)uB(t, x)fx
(t, x)fx
222
11
(2.15)
onde mn-m xx 21 e . Assume-se que ),(2 xtB seja uma funo matricial, mm ,
no singular.
Assume-se uma superfcie de deslizamento linear da forma
[ ] 02
121
x
xSS (x) =
= , (2.16)
com )(1mnmS e mmS 2 no singular.
Ento, no modo deslizante
111
22 xS- Sx-= (2.17)
e
( )111
21111 ,, xS- Sxtf(t, x)fx-==
(2.18)
Observe que se f1 tem uma estrutura linear do tipo
xAxA(t, x)fx 21211111 +==
ento a dinmica de ordem reduzida fica,
[ ] 111212111 xSS- AAx -=
(2.19)
que tem a estrutura de malha fechada FAA 1211 +
comS- SF
-
1
1
2=. Se o par
( )1211 ,AA controlvel, ento possvel calcular Ftal que FAA 1211 + proporcione a
caracterstica dinmica desejada. Tendo encontrado F, pode-se calcular [ ] SS 21 tal
que 11
2 S- SF-= . Assim, completa-se o projeto da superfcie de deslizamento.
Para o caso de uma superfcie de deslizamento no-linear da forma
0)()( 2211 =+= xSxx (2.20)
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Captulo 2 31
que linear em2
x e no-linear em1
x , a dinmica de ordem reduzida do sistema (2.15)
num modo deslizante ter a forma
( )( )111
21111 )( x, - St, xft, xfx -==
. (2.21)
Nota 2.2: Para transformar o sistema dinmico (2.1) para a forma regular (2.15),
considera-se o caso de uma superfcie de deslizamento linear (2.16) e uma
transformao invariante no tempo, linear e no singular xTz= . Derivando z em
relao a t, vem
ut, xBTt, xfTxTz )()( +==
. (2.22)
Se
= BBT
20
(2.23)
ento, na nova coordenada, a dinmica da planta (2.1) :
+==
uztBztfzztfz
),(),(),(
222
11
. (2.24)
Logo, num modo deslizante a dinmica de ordem reduzida , por (2.18),
dada por
)( 111
2111 zSS, -t, zfz-
=
(2.25)
onde [ ] 12121 -TSSSS = .
Nota 2.3: Para transformar o sistema dinmico (2.1) para a forma regular (2.15),
considera-se o caso de uma superfcie de deslizamento linear (2.16) e no existindo
uma transformao linear tal que (2.23) seja satisfeita, ento primeiro deve-se recorrer a
uma transformao no-linear da forma
== t, xT
t, xTt, xTz
)(
)()(
2
1 (2.26)
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33/126
Captulo 2 32
onde
(a) nn:,T )( uma funo diferencivel cuja inversa tambm
diferencivel,
(b) n-mn T :),(1 e
mn T :),(2 .
Diferenciando z em (2.26) em relao a t, tem-se
)()( t, xt
Txt, x
x
Tz
+
=
. (2.27)
Substituindo (2.1) em (2.27) vem
t
Ttut, xB
x
Tt, xf
x
Tz
+
+
= )()()(
. (2.28)
Se a transformao tem a propriedade
=
=
(t, x)Bt, xB
x
T
x
T
t, xBxT
22
1
0
)()( (2.29)
ento nas novas coordenadas, as equaes descrevendo o sistema (2.1) so:
( ) (t, z)ft
T(t, z)Tt,f
x
Tz
111
1~ =
+
=
( ) ( ) ( ) (t, z) uB(t, z)fu(t, z)Tt,BxT
(t, z)Tt,t
T
(t, z)Tt,fx
T
z
22
222
2
~~~
+=
+
+
=
. (2.30)
2.5 Projeto do Controlador
No projeto de controle, o objetivo a obteno de uma lei de controle tal
que satisfaa as condies de existncia e alcanabilidade ao modo deslizante. A
suposio que a superfcie de deslizamento j tenha sido projetada.
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34/126
Captulo 2 33
Em geral, o controle um vetor m dimensional que tem a estrutura da forma
=
+
0)(para)(
0)(para)(
xt, xu
xt, xuu
i
-
i
ii
i (2.31)
onde [ ] 0(x),(x),)( m1 ==T
x
.
Uma estrutura muito utilizada para o controle (2.31)
inieqi uuu += (2.32)
onde iequ a i-sima componente do controle equivalente equ (que contnuo) e onde
inu a parte descontnua ou parte chaveada do controle nu .
Para o sistema (2.1), com um controlador tendo a estrutura (2.32), tem-se
( )[ ]
[ ]
n
neq
neq
B(t, x) ux
B(t, x) ux
B(t, x) uf(t, x)
x
uuB(t, x)f(t, x)x
x
x
(x)
=
++
=
++
=
=
Sem perda de generalidade, assume-se que It, xBx
=
)( , sendo I a matriz
identidade. Entonu(x)
=
. Esta condio permite uma fcil verificao das
condies suficientes para a existncia e alcanabilidade de um modo deslizante, isto ,
condies que satisfazem a condio de Lyapunov 0(x)quando0 iii
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35/126
Captulo 2 34
Observe que este controle satisfar as condies suficientes para a existncia
de um modo deslizante, pois
( ) 0se0sgn (x)(x)(x) iiiiii
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36/126
Captulo 2 35
ondeL
mm
uma matriz constante definida positiva. A condio para a existnciade um modo deslizante facilmente vista
0.(x)se0,(x)L(x)-(x))( T
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37/126
Captulo 2 36
Definio 2.1: As parcelas de incertezas f e B que encontram-se na imagem de
( )xtB , para todos valores de texso chamadas incertezas casadas [10].
Considerando que todas as incertezas so do tipo casadas, possvel represent-
las em um nico vetor ( ) ( ) ( )( )tutrtxte ,,, . Ento o sistema (2.38) pode ser representado
por
=
++=
00 x)x(t
u)(t, x, r,B(t, x) eB(t, x)uf(t, x)x. (2.39)
Considere a seguinte estrutura de controle para o sistema (2.39)
neq uuu += (2.40)
ondeeq
u o controle equivalente assumindo todas incertezas e(t, x, r, u) nulas en
u
parte no-linear do controle projetado sem desconsiderar as incertezas. Considerando
0)x,t( = , tem-se
+
=
fx
t
Bx
-ueq
1
(2.41)
assumindo que
B
x
no singular e que ( ) 0,,, =urxte . Agora, necessrio
considerar as incertezas na planta e desenvolver uma expresso paranu . Para isto,
assume-se que
x)(t,u)r,x,e(t, (2.42)
onde )x,t( uma funo escalar com valores no negativos. Tambm, introduz-se a
funo com valores escalares
x)(t,x)(t, += (2.43)
onde 0> .
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Captulo 2 37
Antes de especificar a estrutura do controle, escolhe-se a funo de
Lyapunov generalizada,
)()(21
)( t,xt, xt, xV T= . (2.44)
Para assegurar a existncia de um modo deslizante e atratividade para a
superfcie, suficiente escolher um controle com estrutura varivel tal que
0)(
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39/126
Captulo 2 38
De fato, diferenciando a equao (2.44) em relao ao tempo, tem-se
)( BeBufx
t
V TT ++
+
=
. (2.49)
Substituindo (2.47) em (2.49), vem
-x
f -
x
f -
x
t
V TTTT
+
=
0
x
-
x
x
T
TTT
T
como a chamada Camada Limite de espessura 2 . Considere a lei de controle:
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Captulo 2 39
2
( , ) ( , ) se
( , ) ( , )
, se
T
T
eq T
T
eq
B t x t xx
u ,u
B t x t xx
u p
=
+ K suficiente
para estabilizar o sistema em malha fechada. Contudo, se um atraso na forma e-sh, sendo
h o valor do atraso, for introduzido no caminho direto da sistema G, a estabilidade,usando a escolha do Kanterior, no garante a estabilidade, pois a nova FTMF
sh
sh
eKs
eK
SR
SY
++=
1)()(
,
fazendo com que a soluo de K para estabilizar este sistema no seja bvia. A
exponencial no numerador no preocupante, pois pode ser considerada como um
distrbio ou algo que compromete apenas o desempenho do sistema. Contudo, a
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Captulo 3 44
componente exponencial presente no denominador o que dificulta o calculo do ganho
K. Algumas tcnicas de aproximao so utilizadas para o termo e-sh: expanso em srie
de Taylor, aproximao Pade, transformao equivalente digital no domnio z [59], entre
outras. Porm, essas aproximaes geram resultados divergentes e no precisos.
Assim, Smith [14] apresentou um algoritmo com preditor cujo objetivo era
eliminar os efeitos do atraso na equao caracterstica do sistema em malha fechada
garantindo assim uma melhor realizao da malha de controle.
Para ilustrar o desenvolvimento de Smith utiliza-se o diagrama de bloco,
considerando o atraso na sada da malha
Figura 3.1 Diagrama de bloco descrevendo um tpico sistema com atraso.
onde, no domnio da freqncia, R representa a entrada, C o controlador, L os
distrbios, GPa dinmica da planta, TPo atraso e YPa sada do sistema. Para um sistema
simples de primeira ordem1+
=s
KG
P
PP
com atraso puro p
hs
P eT = , pode-se obter
dois sistemas subdivididos entre um sistema livre de atraso e um puramente com atraso,
desde que a varivel fictcia B pudesse ser acessada como na Figura 3.2.
Figura 3.2 Diagrama de bloco descrevendo um tpico sistema com atraso.
Nesta condio o atraso TP movido para fora da malha de controle e o sinal Y P
ser o mesmo sinal de B, porm com o atraso. Portanto a estabilidade do sistema
garantida, pois a equao caracterstica deste sistema no depende do atraso. Contudo
C GP TPB
L
R +
-
+ + YP
C GP TPB
L
R +
-
+ + YP
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Captulo 3 45
esta realizao no possvel, pois este atraso distribudo e no se pode acessar a
varivel B antes do efeito do atraso.
Smith [14] props uma soluo para este problema tendo-se como objetivo
eliminar a influncia do atraso na equao caracterstica do sistema em malha fechada.
Um modelo do preditor de Smith descrito em diagrama de blocos do sistema abaixo
[59]
Figura 3.3 Estratgia de controle com preditor proposto por Smith.
A parte pontilhada GSP o preditor,1+
=s
KmG
mm
o modelo da planta e
mhsm eT
= o modelo do atraso.
A FTMF, considerando L=0, do sistema apresentado na Figura 3.3
PPmmm
PPP
TCGTCGGC
TCG
sR
sY
++=
1)(
)(
Se o modelo da planta e do atraso descrevem fielmente a planta real, ou seja,
Pm GG = e Pm TT = , a FTMF se reduz a
m
PPP
GC
TCG
sR
sY
+=
1)(
)(
mostrando que os efeitos do atraso no tempo so removidos do denominador da funo
de transferncia e conseqentemente facilitando a metodologia de projeto para o
controlador C. Contudo, sabe-se que na realizao desse procedimento praticamente
C GP TPB
L
R +
-
+ + YP
-
Tm
Gm
+
-
+
GSP
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Captulo 3 46
impossvel garantir quePm
GG = ePm
TT = , sendo assim, esta metodologia proposta
por Smith no a mais vivel a ser utilizada na implementao de controladores para
sistemas com atraso no tempo, a no ser que junto ao preditor proposto por Smith exista
um bom sistema adaptativo para compensar as diferenas entre a planta real e o modelo.
Por este motivo, neste trabalho utilizado um novo conceito de anlise e projeto
de controle, utilizando um Controlador em Modos Deslizantes, onde o atraso
compensado na escolha adequada da superfcie deslizante.
Pode-se considerar que existem dois tipos de atrasos em processos: atrasos de
transferncia e atrasos de transporte. Em termos prticos, o atraso de transferncia
conseqncia dos efeitos combinados devido propriedade que tm partes de um
processo em armazenar energia ou material e propriedade de partes que tm em resistir
transferncia de energia ou material. O atraso de transporte o intervalo de tempo
relacionado com o transporte de massa ou energia de um ponto a outro do processo e
durante o qual a perturbao ainda no chegou ao ponto observado [6].
Estes atrasos de transporte, tambm chamados tempo morto, atraso puro, dead
time, time delay, ocorrem quando h um fenmeno de transporte de material ou energiaou h, por exemplo, um clculo matemtico no dispositivo de controle que ocasiona um
atraso na resposta.
No caso de um sistema com uma entrada e uma sada, se este contiver atraso de
transporte puro, a equao que o descreve dada por
)()( = tuty (3.1)
sendo )(ty sua sada, )(tu o sinal de entrada e o tempo de atraso.
Em termos de sistemas descritos no espao de estados, pode-se ter atrasos nos
estados e/ou no controle. Sua descrio , genericamente, dada por [27, 28]
= =
+=p
i
q
j
jjiii rtuBrtxAtx1 1
)()()(
(3.2)
ondei
rej
r so atrasos fixos, para pi1 , qj1 ,ii
mn BeAux ,, de
dimenses apropriadas.
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Captulo 3 47
Sistemas com uma entrada e atraso no controle, na notao (3.2), ficam
)()()( htuBtxAtx +=
. (3.3)
A presena de atrasos nos sistemas tem como conseqncia maior dificuldade no
projeto dos controladores sob o ponto de vista de se obter robustez e estabilidade.
A seguir sero apresentadas algumas consideraes que envolvem o problema de
CEV/MD aplicado a sistemas incertos com atraso no controle.
3.1 Motivao e Apresentao do Problema sob o Enfoque CEV/MD
Considere um sistema com incertezas e com acesso pleno aos estados,
mn ux
txtftButAxtx
++=
,
))(,()()()(
(3.4)
onde ))(,( txtf representa as no linearidades e incertezas do sistema.
Apresenta-se, atravs de um exemplo numrico, um projeto CEV/MD que
torna o sistema (3.4) robusto em relao s incertezas. Mostra-se tambm, queconsiderando o mesmo sistema (3.4) incluindo um atraso no controle, o mesmo no
apresenta robustez.
Em [5], proposta a lei de controle EV/MD da forma:
( )
+
+=+=||)(||
)(||)))(,(||max||,(||)()(
tMx
tNxtxtfxtxLxuutu NLeq (3.5)
sendoL,Me Nmatrizes constantes; )(x o ganho da parte no-linear que depende de
||))(,(|| txtf , todos definidos em [5]. um escalar constante para evitar a trepidao
[36].
No trabalho apresentado em [5], usando a lei de controle (3.5),
demonstrada a robustez do sistema (3.4) em relao s incertezas e no linearidades
casadas [4] e so feitas anlises a respeito da influncia das incertezas no casadas na
dinmica em modo deslizante.
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Captulo 3 48
A seguir, ser dado um exemplo numrico, em que procura-se mostrar que o
sistema (3.4), com a lei de controle (3.5), robusto em relao s incertezas, mas que
no robusto quando h atraso no controle.
Exemplo 3.1:Seja o sistema linear dado pela planta nominal
13 ,
)()()(
+=
ux
tButAxtx
onde
=
=
5
0
0
;
500
49.9319.0365.0
432.598.32277.0
BA .
Projetando um controlador EV/MD, com lei de controle (3.5), conforme [5],
e realizando as simulaes para o sistema nominal, obtm-se as respostas no tempo
mostradas na Figura 3.4. Nesta figura, foram superpostas as respostas do sistema
nominal e no-nominal, com o mesmo controlador EV/MD (3.5). Os valores da matriz
1A fora das condies nominais consideradas no projeto do controle original, so
=
000.500
49.9319.1365.0
432.5000.50277.4
1A .
Os parmetros do projeto CEV/MD so:
1.0=
[ ]09.1796.758.0 =L
[ ]1.011.0 =N
[ ]1.011.0 =M
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Captulo 3 49
Figura 3.4 - Controle EV/MD para o sistema sem atraso - robustez.
Pode-se notar que o sistema manteve-se estvel tanto para o caso em que
considera-se os parmetros nominais de projeto, como para a situao em que o sistema
apresenta parmetros com valores numricos fora de suas condies nominais.
Numa terceira simulao, manteve-se o mesmo controle com EV/MD (3.5),
as mesmas matrizes nominais A e B , e considera-se um atraso no controle, tal que o
sistema tem a forma
13 ,
)()()(
+=
ux
tButAxtx
com sendo o atraso no controle considerado constante e igual a 0.02 segundos.
Os resultados grficos so mostrados na Figura 3.5. Pode-se notar que este
pequeno atraso levou o sistema instabilidade e que portanto, o controlador com
EV/MD (3.5) no manteve a estabilidade para esta situao.
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Captulo 3 50
Figura 3.5 - Controle EV/MD para o sistema com atraso de 0.02 segundos.
Este exemplo deixa evidente que a no considerao de atrasos no projeto
CEV/MD poder tornar o sistema instvel, mesmo que estes atrasos sejam
numericamente pequenos.
3.2 Comentrios
Na maioria dos sistemas reais existem atrasos. Sob o ponto de vista de
controle, a presena destes atrasos pode influenciar negativamente no que diz respeito
ao desempenho do sistema, caso no sejam levados em considerao no projeto de
controle.
No projeto de controle por modos deslizantes, so feitas vrias
consideraes para determinar o controlador com Estrutura Varivel tal que minimize a
influncia das incertezas e perturbaes. Com estas incertezas e perturbaes limitadas,
a lei de controle normalmente consegue conduzir o sistema estabilidade, desde que
este no apresente atraso no controle.
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Captulo 3 51
No entanto, como visto no Exemplo 3.1, um pequeno atraso no controle
poder implicar em instabilidade do sistema, quando este atraso no for levado em
considerao no projeto CEV/MD.
No Captulo 4, a seguir, aborda-se a questo do atraso no projeto de um
observador com CEV/MD, proposto em [21,60]. Neste trabalho, este observador ser
utilizado para estimar os estados que sero utilizados na malha de controle discreto do
sistema CAG, verificando assim sua eficincia mesmo na presena de atraso no sinal de
controle.
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Captulo 4 52
CAPTULO 4
4. OBSERVADORES DE ESTADO DE SISTEMAS INCERTOSCOM ATRASO NO CONTROLE COM EV/MD
O acesso pleno aos estados de um sistema para aplicaes de estratgias de
controle nem sempre possvel, por isso o estudo de observadores que estimem com
eficincia os valores dos estados sempre foi de grande importncia. Edwards e Spurgeon
[38] propuseram um observador muito eficiente utilizando a estratgia EV/MD. Baseado
neste observador, Garcia [21,60] props uma nova soluo para o observador com MD,porm, que leva em considerao o atraso proveniente da computao do sinal de
controle.
Neste captulo, portanto, ser apresentado um observador para uma planta
que apresenta atraso no controle e acesso somente sada [21,60]. Assim, para compor a
superfcie de deslizamento e a lei CEV/MD, utilizou-se um observador, tambm com
EV/MD, como apresentado esquematicamente na Figura 4.1.
Figura 4.1 - Esquema para o projeto.
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Captulo 4 53
Seja o sistema incerto com atraso na entrada
0,)(,)()(,)0(
)()(
))(),(,()()()(
00 =+==
=
++=
hutuuxx
txCty
htutxtfhtuBtxAtx
t
(4.1)
onde nx , mu , py e
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Captulo 4 54
Lema 4.2:Seja 0A uma matriz estvel decomposta como
=2221
1211
0AA
AAA
onde )()(11pnpnA e ppA 22 . Suponha que P seja a matriz de Lyapunov para 0A
que tem a forma diagonal em blocos dada por
=2
1
0
0
P
PP
onde )()(1pnpnP e ppP 2 . Ento as sub-matrizes 11A e 22A possuem
autovalores estveis [38].
Proposio 4.1:Seja o sistema ),,( 0 CBA para o qual existe o par ),( FP relacionado
ao observador proposto em [43]. Ento existe uma transformao no singular Ttal que
a tripla com respeito as novas coordenadas ),,( 0 CBA possui as seguintes propriedades:
( i )
=2221
1211
0AA
AAA
onde pppnpn AA 22)()(
11 , e ambas so estveis.
( ii )
=T
FPB
*22
0onde ppP *22 com 0)(
*22
*22 >=
TPP
( iii ) [ ]pIC 0=
( iv ) a matriz de Lyapunov 11 )( = TPTP T tem a forma diagonal em
blocos dada por
2
1
0
0
P
P
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Captulo 4 55
onde as matrizes )()(1
pnpnP e ppP
2
[38].
Suponha que a matriz B seja escrita como
=2
1
B
BB
onde mpmpn BB 2)(
1 , .
Considere o problema de resolver a equao matricial
02121
=+ BTB (4.2)
para ppnT )(12 .
Lema 4.3: Se existe um observador tal que o erro decai assintoticamente para sistemas
do tipo (4.1), ento existe uma transformao ppnT )(12 tal que 02121 =+ BTB [38].
Lema 4.4:Uma matriz ppnT )(12 satisfazendo 02121 =+ BTB existe se, e somente
se, mBrank =)( 2 [38].
Proposio 4.3:Existe um observador robusto, tal que o erro decai assintoticamente se,
e somente se, ),( 11 mAA detectvel [38].
Corolrio 4.1:Quando pm= , um observador robusto existe se, e somente se, 11A
estvel [38].
4.1 Projeto do Observador
Considere o sistema dado em (4.1) e suponha que exista uma mudana de
coordenadas com respeito a uma matriz no singular 1T tal que o sistema possa ser
escrito como
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Captulo 4 56
))(),(,()()()()(
)()()(
2222121
121111
htutxtBhtuBtyAtxAty
tyAtxAtx
+++=
+=
(4.3)
onde ppn yx ,)(1 , a matriz 11A tem autovalores estveis e
=
2221
1211111
AA
AAATT ,
=2
1
0
BBT
com .,,,, 222)(
21)(
12)()(
11pppppnpppnpnpn BAAAA
Considere agora o observador da forma
+
++=
+=
vPFeAA
htuBtyAtxAty
eAtyAtxAtx
y
s
y
122222
222121
12121111
)(
)()()()(
)()()(
(4.4)
onde ppT PBPF = 222 , uma matriz definida positiva e simtrica , 11A
estvel, sA22 uma matriz qualquer estvel. Seja os erros dos estados estimados
definidos por )()()(111
txtxte = e )()()( tytytey
= . O vetor v definido por
=
=
0,0
0,1
y
y
y
y
e
ee
e
v
(4.5)
com 01> .
Atravs de alguns clculos, chega-se a:
++==
))(),(,()()()()()(
21
222121
1111
htutxtBvPFteAteAteteAte
y
s
y
(4.6)
Teorema 4.1:Existe uma famlia de matrizes definidas positivas e simtricas 2P , tais
que a dinmica do erro dada pela equao (4.6) assintoticamente estvel.
Prova:
A prova similar a apresentada em [38], com a diferena de que o
observador considerado aqui possui um atraso h na entrada.
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Captulo 4 57
Sejam )()(1
pnpnQ e ppQ
2
, matrizes de projeto definidas
positivas e simtricas e define-se ppP 2 como a nica soluo definida positiva e
simtrica da equao de Lyapunov
.)( 2222222 QPAAPTss =+
Define-se
12121
22213 QAPQPAQT +=
e nota-se que TQQ 33 = e 3Q definida positiva.
Seja )()(1pnpnP a nica soluo definida positiva e simtrica da
equao de Lyapunov
3111111 QPAAPT =+ .
Considera-se
y
T
y
T
y ePeePeeeV 21111 ),( += (4.7)
como uma candidata a funo de Lyapunov. Derivando (4.7), vem
222
121222111311
22
),(
BPevFeeQe
eAPeePAeeQeeeV
T
y
T
yy
T
y
T
yy
TTT
y
+
++=
(4.8)
Note que
1212
1
22211121222112
12121
2212121
2 )()(
eAPQPAeeAPeePAeeQe
eAPQeQeAPQe
TTT
yy
TT
y
T
y
y
T
y
+=
(4.9)
Substituindo (4.9) em (4.8) e escrevendo ye~ no lugar de )( 1212
12 eAPQey ,
tem-se
222
12121
222111311
22~~)(),(
BPevFeeQe
eAPQPAeeQeeeV
T
y
T
yy
T
y
TTT
y
+
+=
y
T
y
T
y eQeeQeeeV~~),( 21111
.
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Captulo 4 58
Logo, 0),(1
==
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Captulo 5 65
0)()()(
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Captulo 5 66
onde mk
S e mxnG uma matriz constante, projetada de forma que o sistema
seja assintoticamente estvel quando este entra na condio de deslizamento. A lei de
controle (5.7) realizada por um computador digital. O controle gerado em cada
instante de amostragem k, onde o perodo de amostragem. Com um controlador
digital, a i-sima entrada de controle )(tui tem valor constante entre os instantes de
amostragens
+
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Captulo 5 67
kT
kk SSV 21
= . (5.22)
Para garantir a condio de existncia para a superfcie de deslizamento
discreta, impe-se que
kk VV
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Captulo 5 68
A equao (5.29) pode ser reescrita como
0,)(2
1
1
2
1
= kkkk VxfGxGV (5.41)
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Captulo 5 71
Ou seja, a condio de atratividade , que kk
VV