02_Meh 2 - Pol Pok Tela u Prostoru

Dr Vera Nkolić, red. prof.

Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavković 1

2

ODREĐIVANJE POLOŽAJA POKRETNOGTELA U PROSTORU

• BROJ STEPENI SLOBODE SISTEMA MATERIJALNIH TAČAKA. VEZE• BROJ STEPENI SLOBODE KRUTOG TELA

a) Slobodno kruto telob) Kruto telo čije tačke mogu da se kreću u ravnima paralelnim

nepomičnoj ravnic) kruto telo koje ima nepomičnu tačkud) Kruto telo koje ima nepomičnu osue) Kruto telo kod koga je duž između bilo koje dve tačke paralelna

nepomičnom pravcu• VRSTE KRETANJA KRUTOG TELA. ZADATAK KINEMATIKE KRUTOG TELA

TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA• PUTANJE, BRZINE I UBRZANJA TAČAKA TELA

• ZAKON OBRTANJA TELA. UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE• BRZINE I UBRZANJA TAČAKA TELA

OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOMIČNE OSE

3

ODREĐIVANJE POLOŽAJA POKRETNOGTELA U PROSTORU

BROJ STEPENI SLOBODE SISTEMA MATERIJALNIH TAČAKA. VEZE

Sistem materijalnih tačaka ili mehanički sistem predstavlja skup materijalnih tačaka u kome kretanje svake tačke zavisi od kretanja ostalih tačaka.

Vektori položaja:

Pri kretanju sistema, vektori položaja su neke funkcije vremena t:

,,, 1111 zyxr

,,, 2222 zyxr

..............

.,, nnnn zyxr

O

M n

x

y

z

r2

r1

rn

M 2M 1

,)(11 trr

,)(22 trr

........ .)(trr nn

Neka sistem sačinjava n tačaka

nMMM ,...,, 21

4

Slobodan sistem – kretanje svake tačke je nezavisno od kretanja ostalih tačaka sistema.Treba znati 3n koordinate svih n tačaka, da bi se u svakom trenutku poznavalo kretanje sistema, Znači za poznavanje položaja sistema potrebno je znati p parametara, tj.

Broj nezavisnih parametara, pomoću kojih se može jednoznačno odrediti položaj krutog tela u prostoru u odnosu na proizvoljno izabrani sistem referencije, naziva se broj stepeni slobode kretanja sistema (p).

Stepen slobode predstavlja broj mogućnosti kretanja tela.

Znači p je broj stepeni slobode sistema

np 3

5

Vezani sistem → kretanja tačaka sistema su međusobno zavisna. Zavisnost između kretanja tačaka nazivamo vezama.

- geometrijsko – kinematičke (formulisane preko položaja i brzina tačaka)

Veze:- geometrijske (formulisane preko položaja tačaka)

Veze mogu biti: • nestacionarne,(ako je vreme t eksplicitno prisutno u jednačinama)• stacionarne (vreme t nije eksplicitno izraženo u jednačinama

0,,...,, 21 trrr n

0,,...,,,,...,, 2121 tvvvrrr nn

Neka sistem ima k veza, oblika:

Sistem od n materijalnih tačaka sa k veza ima stepeni slobode kretanja.

,0,,...,, 211 trrrf n

,0,,...,, 212 trrrf n

.................. ,0,,...,,,,...,, 21211 tvvvrrrf nnk

.0,,...,,,,...,, 2121 tvvvrrrf nnk

knp 3

To znači da je potrebno p parametara za određivanje položaja sistema.

6

O

x

y

z

C

MA

R

0v t + H

Primer: Tačka M se kreće po kružnom žljebu na horizontalnoj platformi koja se kreće vertikalno uvis konstantnom brzinom v0 .

Parametar koji određuje kretanje može da bude:

(jedna stacionarna a druga nestacionarna), gde je H početni položaj platforme u odnosu na ravan Oxy, pa je broj stepeni slobode kretanja

Veze su oblika:

k=2 (broj veza)

OxIIAC

OxyII

,0)(),,,( 01 Htvztzyxf

.12133 knp

.)(t

.0),,( 2222 Ryxzyxf

7

Primer: Tačka M se kreće po sfernoj nepokretnoj površi.

Veza je stacionarna – geometrijska (k=1), oblika

Parametri koji određuju kretanje mogu da budu:

pa je broj stepeni slobode

n=1

,0),,( 2222 Rzyxzyxf

.21133 knp

,)(t

.)(t

O

x

y

z

M

(k=1)

8

Primer: Dve tačke (n=2), sa međusobnim konstantnim rastojanjem kreću se u nepomičnoj ravni.

Veze su stacionarne – geometrijske:

(Rastojanje dve tačke u ravni)

k=3 -broj veza

Nezavisni parametri, koji određuju kretanje su:

pa je broj stepeni slobode

n=2

,0),( 1211 xrrf

,0),( 2212 xrrf

.33233 knp

,)(11 tyy

,)(11 tzz

.)(t

O

x

y

z

M 2

M 1l

1y

z1

.0)()(),( 2212

212213 lzzyyrrf

9

BROJ STEPENI SLOBODE KRUTOG TELA...

Rastojanje između bilo koje dve čestice tela ostaje nepromenjeno u toku vremena.

Pod krutim telom u mehanici se podrazumeva telo koje ne menja svoj geometrijski oblik.Kruto telo se može posmatrati kao specijalan slučaj vezanog sistema materijalnih tačaka

constrrMM lkkl

nlk ,...,2,1,

O

M n

x

y

z

r2

r1

rn M 2

M 1

rl

rk M l

M k rk rl-

Ove veze objašnjavaju unutrašnji sastavkrutog tela. Broj stepeni slobode zavisi od načina veza.

10

Osnovni zadaci kinematike krutog tela:

Generalisane koordinate tela ili tačke su nezavisni parametri pomoću kojih se može jednoznačno odrediti položaj tela u svakom trenutku vremena u odnosu na izabrani sistem referencije.

1 Utvrđivanje matematičkih metoda za definisanje položaja krutog tela pri kretanju u prostoru u odnosu na izabrani referentni sistem.

2) Određivanje kinematičkih karakteristika krutog tela kao celine i svake tačke tela posebno na osnovu poznatih jednačina kretanja tela.

11

1. Slobodno kruto telo

Ukupan broj veza krutog tela je:

Broj stepeni slobode slobodnog krutog tela je:

O

M i

x

y

z

M 2M 1

M 3

Sloboda kretanja tela kao celine nije ničim ograničena. Takvo kretanje zovemo opštim kretanjem krutog tela. Posmatrajmo neke tri tačke tela M1, M2 i M3. Veze su.

,)()()( 212

212

2121221 constzzyyxxrrMM

,)()()( 223

223


.)()()( 231

231


,11 constrrMM ii

,22 constrrMM ii

.33 constrrMM ii

63)3(33 nnks63 ss knp

Za neku proizvoljnu tačku Mi, od ostalih n-3 tačaka, važe veze (i = 4,5,6,..., n):

12

2. Kruto telo čije tačke mogu da se kreću u ravnimaparalelnim nepomičnoj ravni

Pored navedenih unutrašnjih veza koje važe za slobodno kruto telo, dopunske spoljašnje veze su oblika:

Za ovakvo telo se kaže da može da izvodi ”ravno” kretanje.

Broj stepeni slobode pri ravnom kretanju krutog tela je:


,1 constz ,2 constz .3 constz

333(3333 nnkk s

33 knp

O

M i

x

y

z

M 2M 1

M 3

- nepomična ravan-koordinat. ravan Oxy

(Izraz u srednjoj zagradi –kao u prethodnom slučaju, tj. 63)3(33 nnks

Ostalih n -3 veza zi = const, i= 4,5,..., n, nisu nezavisne i ne ulaze u broj k

13

3. Kruto telo koje ima nepomičnu tačku

Broj stepeni slobode krutog tela:

M1 – nepomična tačka, usvojena tako da se poklapa sa koordinatnim početkom


Dopunske spoljašnje veze su oblika:

O

M i

x

y

z

M 2

M 1

M 3

=

,01 x,01 y.01 z

333 nkk s

33 knp

gde je 63)3(33 nnks

14

4. Kruto telo koje ima nepomičnu osu



Dopunske spoljašnje veze su oblika:

,01 x,01 y

,1 constz ,02 x.02 y

O

M i

xy

z

M 2

M 1

M 3

135 nkk s

13 knp

Koordinatni sistem je tako postavljen da se osa z poklapa sa nepomičnom osom tela. Na nepomičnoj osi izabrane su tačke M1 i M2 .

63)3(33 nnks

Veze zi = const, i =2,3, ..., n , su posledica z1 = const i veza (slajd 11) i nisu nezavisne.

15

5. Kruto telo kod koga je duž između bilo koje dve tačkeparalelna nepomičnom pravcu

Skalarni oblik gornjih jedn je: (Ima k=6 veza):

Važi odnos

O

M i

x

y

z

M 2M 1

M 3

,)()()( 1212121221 constzzkyyjxxirrMM

,)()()( 2323232332 constzzkyyjxxirrMM

.)()()( 3131313113 constzzkyyjxxirrMM

,12 constxx ,12 constyy ,12 constzz

,23 constxx ,23 constyy .23 constzz

Za uočene tačke M1, M2, M3, važe relacije (k=3):

322112233113 )()( MMMMrrrrrrMM

koji sledi iz prve dve jed. pa nije nezavisna jed.

16



33)3(36 nnk

33 knp

Za bilo koju od preostalih n-3 tačaka moraju da važe relacije (k=3)

Navedene vektorske veze su ekvivalentne skalarnim vezama:

,1 constMM i

,2 constMM i .3 constMM i

,1 constMM i ,2 constMM i

.3 constMM i

O

M i

x

y

z

M 2M 1

M 3

17

KRETANJE KRUTOG TELA

18

VRSTE KRETANJA KRUTOG TELA.

a) translatorno kretanje,b) obrtanje oko nepomične ose,c) obrtanje oko nepomične tačke,d) ravno kretanje,e) opšte kretanje krutog tela,f) složeno kretanje.

a) određivanje karakteristika kretanja tela kao celine (ugaona brzina, ugaono ubrzanje, ugaono obrtanje tela),

b) određivanje karakteristika kretanja tačaka tela (putanja, brzina, ubrzanja).

ZADATAK KINEMATIKE KRUTOG TELA

19

TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA

Na primer, translatorno kretanje u pravcu ose x

Pri translatornom kretanju krutog tela svaka materijalna duž tela (duž koja spaja dve tačke) ostaje paralelna tokom čitavog kretanja odgovarajućem nepomičnom pravcu.

PUTANJE, BRZINE I UBRZANJA TAČAKA TELA

Pravolinijska i krivolinijska translacija

20

TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA...

Kruto telo se kreće translatorno (slika) i uoćimo dve tačke A i B u trenutku t0 i trenutku t. Po definiciji, translatorno kretranje se može opisati relacijom:


00BAconstAB

00 AB rr

AB rr

O

x

y

z rB

rA

A

B

A 0

B 0

rB 0

rA 0

(t )0 (t)

Znači, ako je poznata putanja jedne tačke krutog tela, npr. tačke A, putanja bilo koje druge tačke tela, npr. B određuje se tako što se svaka tačka putanje tačke A pomeri za konstantan vektor

Vektori položaja tačaka B i B0 su:

00BASledi da su putanje svih tačaka krutog tela koje izvodi translaciju identične ali medjusobno pomerene.

21

TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA...

Brzine tačaka A i B:

Diferenciranjem, vektora položaja tačke B, po vremenu, dobije se:


dtd

dtrd

dtrd AB

0dtdconst

B

defB v

dtrd

A

defA v

dtrd

O

x

y

z rB

rA

A

B

A 0

B 0

rB 0

rA 0

(t )0 (t)

AB vv

constBAAB oo

ABAB rrirroo

22

Brzine i ubrzanja svih tačaka tela koje izvodi translaciju međusobno su jednake.

Diferenciranjem jednačine po vremenu dobija se:AB vv

B

defB a

dtvd

A

defA a

dtvd

AB aa

Ubrzanja tačaka A i B:

Znači, nezavisni parametri koji određuju kretanje tela pri translatornom kretanju mogu biti tri koordinate- to su ustvari zakoni translatornog kretanja:

)(txx AA )(tyy AA )(tzz AA

Zaključak: Pri translatornom kretanju krutog tela sve tačke tela kreću se na isti način, imaju istovetne putanje, vektore brzina i vektore ubrzanja.

Zavisno od toga da li su putanje tačaka tela pravolinijske ili krivolinijske, razlikujemo pravolinijsku i krivolinijsku translaciju.

Broj stepeni slobode tela koje izvodi translaciju je tri (to je i broj stepeni slobode bilo koje tačke tod tela)

23

Primer: Pravolinijska translatorna oscilacija klipa I.

Putanje tačaka klipa su duži, paralelne osi x, dužine 2b a međusobno prostorno pomerene.

Brzina i ubrzanje bilo koje tačke M klizača su određeni relacijama:

Zakoni kretanja klizača mogu se predstaviti pomoću zakona kretanja tačke A klizača koja leži na osi x:

ptbxA sin0Ay0Az

ptbpixivv AAM cos

ptbpixiaa AAM sin2

constpb ,

,,.

,

.

x

y

z

AOl

b s in p t

24

y

x

B

RlR

O

AaAaB

vAv

B

sA

A 0

M

O1

Pravci i smerovi brzina i ubrzanja svih tačaka štapa prikazani su na slici.

Brzina bilo koje tačke M štapa jednaka je:

Zakoni kretanja štapa mogu biti definisani na dva načina, preko a) Dekartovog ili b) prirodnog koordinatnog sistema:

Primer: Štap AB, dužine l, ostaje pri kretanju paralelan nepomičnoj osi OO1 zahvaljujući tome što mu se krajevi A i B kreću po dva ista nepomična kružna prstena koji leže u istoj ravni.

Ubrzanje tačke M je:

ktRxA cosktRyA sin

0Az

ktRRsA

AM vv

Rkdt

dsv AAT

ATMT aa

0

dtdv

dtdva AAT

AT

ANMN aa

22

RkRva A

AN

kt constk

b)a)

putanja:

.0,222

zRyx

25

OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOMIČNE OSE

Ugao obrtanja, ugaona brzina i ugaono ubrzanje su veličine koje predstavljaju karakteristike kretanja tela kao celine.

Nepokretne su i sve ostale tačke koje se nalaze na pravoj liniji koja prolazi kroz te dve nepokretne tačke i koja se naziva nepokretna osa.

Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose je takvo kretanje tela pri kome bilo koje dve tačke tela ostaju za vreme kretanja nepokretne.

Obrtanje krutog tela oko nepomične ose je jedan od najprostijih vidova kretanja krutog tela.

Brzine i ubrzanja tačaka tela su međusobno različite (za rzliku od translatornog kretanja)

Telo koje se obrće oko nepomične ose ima jedan stepen slobode, što znači da je potrebna samo jedna generalisana koordinata koja određuje kretanje, npr. .

26

Primeri obrtanja krutog tela oko nepomične ose

Rotor parne turbine Avionski propeler

Propeleri helikopteraBrodska elisa

27


Rotor mašine za bušenje tunela Rotor Peltonove turbine

Rotor hard diska

Rotor mlaznog motora

28


Rotor pokazivača vremena Rotor ventilatora

29

0

x y

z

O

A

B

ZAKON OBRTANJA TELA.UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE

Zakon promene generalisane koordinate u funkciji vremena predstavlja zakon obrtanja krutog tela oko nepomične ose, tj.

Položaj tela pri obrtanju određen je uglom - to je generalisana koordinata. Ugao obrtanja je ugao između nepomične ravni 0 (koja sadrži osu obrtanja) i pokretne ravni (koja je čvrsto vezana za teloi koja sadrži osu obrtanja.Da bi se odredila orijentacija ugla usvojen je nepokretni kord. sistem Oxyz i pokretni koord. sistem Očvrsto vezan za telo. Sada se ugao definiše kao pozitivan ako ima smer suprotan smeru obrtanja kazaljke na satu, gledano sa vrha ose Oz ili O.

)(t

30

0

x y

z

O

A

B

ZAKON OBRTANJA TELA. ....UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE....

Trenutna ugaona brzina krutog tela koje se obrće oko nepomične ose jednaka je po intenzitetu prvom izvodu ugla obrtanja po vremenu.

Srednja ugaona brzina:

Položaj tela pri obrtanju određen je uglom - to je generalisana koordinata.

tttttdef

srz

)()()(

dt

dttsrzt

def

z 00lim)(lim

Trenutna ugaona brzina dtt je konačan priraštaj vremena.

0 je nepokretna ravan, a pokretna

31

0

x y

z

O

A

B

0z

0z

0z

sTz11

Dimenzija

Onda je priraštaj ugla obrtanja, gledano s vrha ose z pozitivan

Ako je

Onda je priraštaj ugla obrtanja gledano s vrha ose z negativan i obrtanje je negativno

U tehnici se često koristi i tehnička ugaona brzina nz, (tzv. broj obrtaja u minutu).

30602 zz

znn

minobnz

Trenutni zastoj ako jesamo u jednom trenutku vremena,

Odnosno mirivanje ako jeu konačnom intervalu vremena.

0z

0z

32

Ugaono ubrzanje tela, koje se obrće oko nepomične ose u datom trenutku vremena, po intenzitetu je jednako prvom izvodu po vremenu ugaone brzine ili drugom izvodu po vremenu ugla obrtanja tela.

Ugaono ubrzanje u datom trenutku vremena:

Srednje ugaono ubrzanje je relativni priraštaj ugaone brzine, tj.:

Priraštaj ugaone brzine u konačnom intervalu t:

)()( ttt zzz

tz

def

srz

)( 22

11sTz

2

2

00lim)(lim

dtd

dtd

t zzz

tsrzt

def

33

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje - u vektorskom obliku:

Definicija: Vektor ugaonog ubrzanja jednak je prvom izvodu vektora ugaone brzine po vremenu

Pošto je osa z nepomična

Definicija: Vektorom ugaone brzine tela koje se obrće oko nepomične ose nazivamo vektor čiji je intenzitet jednak apsolutnoj vrednosti prvog izvoda ugla obrtanja po vremenu, pravac mu se poklapa sa pravcem ose obrtanja, a smer vektora je takav da obrtanje gledano sa njegovog vrha ima smer suprotan smeru obrtanja kazaljke na satu.

dtdkk

t z

k

dtd

z

x y

z

O

i

k

j

kkdt

ddtkdk

dtd

t zz

zz

0

0, dtkdjepaconstk

34

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje – vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja su kolinearni

dt

td )( dtd

35

Slučajevi obrtanja u zavisnosti od smerova ugaone brzine i ugaonog ubrzanja:

1. - ugaona brzina i ugaono ubrzanje su istog smera – ubrzano obrtanje.

0

0

3. - ako je u jednom trenutku vremena znači da tada ugaona brzina ima ekstremnu vrednost, a ako je u konačnom intervalu vremena to znači da je ravnomerno obrtanje.

0

2. - ugaona brzina i ugaonoubrzanje suprotnih smerova – -usporeno obrtanje.

0

0

36

Posebni slučajevi obrtanja krutog tela oko nepomične ose, bitni sa gledišta primene u tehničkoj praksi.

Tada je:

Zakon obrtanja:

Kada se telo obrće oko nepomične ose tako da je ugaono ubrzanje tela jednako nuli, obrtanje tela naziva se ravnomernim.

1. Ravnomerno obrtanje

constz

zdtd

dtd z

0 tz

0dt

d zz

Zakon obrtanja predstavlja linearno rastuću ili opadajuću funkciju od vremena zavisno da li je ili .0z 0z

37

2. Ravnomerno promenljivo kretanjeAko se telo obrće oko nepomične ose tako da je ugaono ubrzanie konstantno:

tada je:constz zz

dtd

1Cdtd zz

21 CdtCdttd z

020100000 ,)(,)(,0 CCttt z

002

21 ttz

0 tzz

0zz 0zz

dtdCtzz 1

212

21 CtCtz

kretanje je ubrzano,

kretanje je usporeno.

38

x y

z

O

C .

a

M

r

v

Brzine i ubrzanja tačaka tela koje se obrće oko nepomične ose

0xyz - nepokretni koordinatni sistem

- pokretni koordinatni sistem čvrsto vezan za telo. 0-jedinični bazni vektori, pokretnog koord. sistema,su promenljivi

.,

dtd

dtd

0dtd

Uočimo proizvoljnu tačku M

,,r

Ox

y

dtd dt

d

z

Izvodi jed. vektora po vremenu su:

39

Brzina tačke M:

Brzina proizvoljne tačke krutog tela, koje se obrće oko nepomične ose, jednaka je vektorskom proizvodu vektora ugaone brzine krutog tela i vektora položaja te tačke.

ima iste projekcije na ose , , i , dobijamo relaciju:

Pošto vektorski proizvod

Projekcije vektora brzine tačke M:

dtd

dtd

dtd

dtrdv

v v

0v

00r

rv

x y

z

O

C .

a

M

r

v

40

M

x y

z

O

C .

a

M

r

v

Vektor brzine proizvoljne tačke tela koje se obrće oko nepomične ose, jednaka je vektorskom proizvodu ugaone brzine krutog tela i vektora položaja te tačke: To je čuveni Ojlerov obrazac.

rv

sinrv

- pravac upravan na vektore i ,

-smer takav da , i čine sistem vektora desne orjentacije (gledano sa vrha vektora vektor se poklapa s pozitivnim matematičkim obrtanjem),-intenzitet mu je jednak proizvodu intenziteta ugaone brzine i najkraćeg rastojanja tačke od ose,

r

r v

v

r

-Iz ove relacije se vidi da brzina tačke raste sa njenim udaljenjem od ose oko koje se telo obrće.

41

x y

z

O

C .

a

M

r

v

Ubrzanje proizvoljne tačke M krutog tela koje se obrće oko nepomične ose:

Intenzitet obrtnog ubrzanja:

Obrtno ubrzanje, tj.

Vektor posledica je ugaonog ubrzanja; upravan je na vektore

a kako su kolinearni , to znači da je

Vektor kolinearan sa brzinom

vrdtrdr

dtdr

dtd

dtvda

def �

)(

radef

sin),sin( rrra

Intenzitet ubrzanja usmerenog ka osi:

Ubrzanje usmereno ka osi – aksipetalno ubrzanje:

2),sin(

vvva )( rva

def

r

ri

ir

v

Pravac vektora je upravan na vektore tj. leži na pravcu normale povučene iz tačke na osu i usmeren je ka osi.

(To se može i dokazati).

Kako je svaka tačka krutog tela sve vreme na nepromenjenom rastojanju od ose, što znači da se tačka kreće po kružnoj putanji, pa se može kretanje tela svesti na proučavanje kretanja tačke.

Odavde sledi jedna teorema (sledeći slajd)

42

a

,vi a

43

Teorema. Pri obrtanju krutog tela oko nepomične ose obrtno ubrzanje tačke jednako je tangencijalnom ubrzanju, dok je ubrzanje tačke usmereno ka osi jednako njenom normalnom ubrzanju.

vT – projekcija vektora brzine na pravac tangente putanje tačke M.

Kada se telo obrne za ugao , tačka M opiše luk s:Dokaz:

consts ,

z

Tvv T

dtdsvT

C

M

M 0s

aT

aN

a T

z

O

NB

44

Tangencijalno ubrzanje tačke M:

S obzirom da je:

Normalno ubrzanje tačke M:

2

2

dtsd

dtdva T

Tz

Taa TT

22

vaN Naa NN

aaT

aaN

radef

sin),sin( rrra

Upoređenjem prethodnih izraza sledi:

Intenzitet ubrzanja:

422222 aaaaa NT2

aa

aatg

N

T

C

M

M 0s

aT

aN

a T

z

O

NB

2),sin(

vvva

)( rvadef

45

Koordinate vektora brzine i ubrzanja

U odnosu na pokretni koordinatni sistem čvrsto vezan za telo važi: 0

00rv

v

v

0v

00raaT

)()( aaT

)()( aaT

0)()( aaT

vvvvv

vaaN

00

2)()( vaa NN2)()( vaaN

0)()( aaN

46

Odrediti ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje diska kao i brzine i ubrzanja tačaka A i C.

Primer: Disk poluprečnika R, čvrsto je vezan za vratilo O1O2 upravno na njegovu bazisnu ravan, obrće se po zakonu su konstanteptsin0 0,0 p

Vektor ugaone brzine:

odakle je:

tada je:

Vektor ugaonog ubrzanja:

,cos0 dtdptpk

dtdk

,0 .cos0 ptp

,

k

dtd

,0 .sin2

0 ptp

A

x

y

z C

O

aAN aAT

v A

v C

aCN

aCT

O1

O2

47

Pošto je:

Karakter kretanja ispitujemo prema proizvodu:

.2sin21cossin 32

032

0 ptpptptp

...,2,1,0,)1(22)12(,02sin

,)12(22,02sin

mmptmpt

mptmpt

kretanje je usporeno za: ,2

12 p

mtpm

kretanje je ubrzano za: .12

12 p

mtp

m

U trenucima kada je odnosno ,

intenzitet ugaone brzine je maksimalan

,0

,,0sinp

mtpt

,0maxp

U trenucima kada je odnosno,

telo je u trenutnom zastoju sa

,0

,2

)12(,0cosp

mtpt

.0max

48

Vektor brzine tačke C je:

Po intenzitetu:

i sa projekcijama:

Tangencijalno (obrtno) ubrzanja tačke C:

sa projekcijama:

,00

00

RR

OCvC

ptpROCvC cos0

,0 CC vv

.cos0 RptpRvC

,00

00)(

RR

OCaa CT

,0)()( CTCT aa

.sin)( 20 ptpRRaCT

Normalno ubrzanje tačke C:

sa projekcijama:

,00

00)(

C

C

CCCN vv

vaa

,cos)( 2220

2 ptpRRva CCN

.0)()( CNCN aa

A

x

y

z C

O

aAN aAT

v A

v C

aCN

aCT

O1

O2

49

II način određivanja brzine i ubrzanja:

a brzina i ubrzanje:

Tačka A opisuje kružnu putanju poluprečnika pa je njena lučna koordinata:

2ROA ,sin2 0 ptROAsA

,cos2 0 ptpRdt

dsv AAT

,sin2 20 ptpR

dtdva AT

AT

.cos2 2220

2ptpR

OAva A

AN

Documents

02_Meh 2 - Pol Pok Tela u Prostoru