1

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 3

Sistem koordinat kartesius dimensi 3 merupakan sistem koordinat yang terdiri dari tiga sumbu yang saling tegak lurus.

Sumbu – sumbu tersebut biasanya disebut sumbu X,Y, dan Z

DEFINISI 3

KOORDINAT KARTESIUS

Z

X

Y

P (x, y, z)

2

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 33.2

Sistem koordinat silinder dituliskan dalam r, θ, dan z.KOORDINAT SILINDER

Z

X

Y

θ r

P (r, θ, z )

z

3

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 33.2

Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat silinder adalah

Konversi silinder ke kartesiusx = r cos θy = r sin θz = z

Konversi kartesius ke silinder

r = (x2 + y2)

θ = tan– 1

z = z

KONVERSI KOORDINAT

4

xy

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 33.2

Tentukan koordinat cartesius dari titik (4, 2/3, 5).

Solusix = r cos θ = 4 cos (2/3) = –2y = r sin θ = 4 sin (2/3) = 23z = z = 5Titik dalam koordinat kartesius: (–2, 23, 5).

CONTOH 1

5

CONTOH 2 Tentukan koordinat silinder dari titik (–5, –5, 2).

Solusi

r = (x2 + y2) = 52

θ = tan– 1 = tan– 1 (1) = 5/4

z = 2Titik dalam koordinat silinder: (52, 5/4, 2)

xy

x

y

Kuadran 3

– 5

– 5

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 33.2

Tentukan persamaan silinder dari persamaan cartesius berikut: x2 + y2 = 4 – z

Solusix2 + y2 = 4 – z (r cos θ)2 + (r sin θ)2 = 4 – z

r2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = 4 – z r2 = 4 – z

CONTOH 3

6

CONTOH 4 Tentukan persamaan cartesius dari persamaan silinder berikut: r2 + 4z2 = 16

Solusir2 + 4z2 = 16 x2 + y2 + 4z2 = 16

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 33.2

Koordinat bola menunjukkan titik P di ruang dengan urutan (, θ, ) dimana

1. adalah jarak titik P ke titik asal2. θ sudut dari koordinat silinder3. sudut antara garis OP dengan sumbu z-positif (0 )

KOORDINAT BOLA

Z

X

Y

θ

P (, θ, )

7

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 33.2

Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat bola adalah

Konversi bola ke kartesiusx = sin cos θ y = sin sin θ z = cos

Konversi kartesius ke bola

= (x2 + y2 + z2)

θ = tan– 1

= cos– 1

KONVERSI KOORDINAT

xy

z

(x2 + y2 + z2)

8

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 33.2

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 3

Tentukan koordinat cartesius sebuah titik yang mempunyai koordinat bola (8, /3, 2/3)

Solusix = 8 sin 2/3 cos /3 = 8. 3/2 . ½ = 23y = 8 sin 2/3 sin /3 = 8. 3/2 . 3/2 = 6z = 8 cos 2/3 = 8. - ½ = –4Titik dalam koordinat kartesius: (23, 6, –4)

3.2

CONTOH 5

9

Tentukan persamaan koordinat bola dari persamaan x2 + y2 + (z – 1)2 = 1

Solusi( sin cos θ)2 + ( sin sin θ)2 + ( cos – 1)2 = 12 sin2 cos2 θ + 2 sin2 sin2 θ + 2 cos2 – 2 cos + 1 = 12 sin2 (cos2 θ + sin2 θ) + 2 cos2 – 2 cos + 1 = 12 (cos2 θ + sin2 θ) – 2 cos =02 = 2 cos = 2 cos

CONTOH 6

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 3

Jarak antara dua titik pada ruang dimensi 3 antara titik P (x1, y1, z1) dan Q (x2, y2, z2) adalah

|PQ| = [(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2]1/2

3.2

DEFINISI

10

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 3

1. Lengkapi tabel berikut ini

2. Tentukan dalam koordinat kartesius pusat dari bolaa. r2 + z2 = 4r cos θ + 6r sin θ + 2zb. = 2 sin (cos θ – 2 sin θ)

3.2

TUGAS PENGGANTI KULIAH

11

Kartesius Silinder Bola (0, 0, 0)(1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 1)

(1, 0, 0)(2, 0, 1)(1, /2, 1)

(3, /3, –/2)(22, /2, 3/2)

(2, , 2/2)

Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinatsilindris!

SISTEM KOORDINAT DIMENSI 3

3. Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinat silindris!

4. Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya pada vektor B = 5ax – ay + 2az!

3.2

SOAL – SOAL

12