03 théorème de gauss

I Les coordonnées sphériques

On considère un point M repéré par ses coordonnées sphériques :

: colatitude. : longitude.

(N est la projection de M sur )

Base locale : ( est le même vecteur que dans la base cylindrique)

tangent au méridien (vers le sud) dirigé suivant un parallèle, vers l’est.

Remarque :Les vecteurs sont coplanaires :

On a Pour un déplacement élémentaire :

Chapitre 3 : Théorème de GaussElectrostatique Page 1 sur 9

Chapitre 3 : Théorème de Gauss

Donc Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques :

- Périmètre d’un méridien (½ cercle) : Longueur de la portion de chacun des méridiens : (longueur de la corde)- Périmètre d’un parallèle : Longueur du parallèle interceptée par le méridien : (pour le parallèle du bas : )

Volume élémentaire en coordonnées sphériques :

Exemple :Aire de la sphère de centre O et de rayon R :

II Flux d’un champ de vecteurs A) Définition

1) Flux élémentaire

Surface infinitésimale d’aire :

On oriente arbitrairement le contenu sur lequel s’appuie .On définit le vecteur normal de cet élément de surface : est unitaire,

perpendiculaire à la surface, de sens vérifiant la « règle de la main droite ».Vecteur élément de surface :

ou Flux élémentaire du champ à travers :


2) Flux à travers une surface

Pour une surface ouverte (qui s’appuie sur un contour fermé) :

Découpage de S en surfaces infinitésimales .

Pour une surface fermée :Cette surface définit un volume intérieur et un volume extérieur. Le vecteur

normale est choisit sortant.

B) Théorème de Gauss

On considère une surface S fermée, délimitant un volume V intérieur qui contient une charge ou :

Alors (S est appelée une surface de Gauss)

Dans les situations de symétrie, le théorème de Gauss permet ainsi un calcul plus simple de .

III Plan infini uniformément chargé A) Présentation


On considère un plan P infini ayant une densité surfacique de charge uniforme .

Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes dans le repère .

B) Calcul de 1) Symétries

Soit un point de l’espace.Les plans et sont des plans de symétrie.Donc est colinéaire à .Donc

Invariance par translation de direction . Donc

De même,

Donc , et est impair.

2) Surface de Gauss

: surface supérieure horizontale d’aire S dans le plan de constante : surface latérale du cylindre parallèle à : surface horizontale d’aire S dans le plan de côte .

est une surface fermée.

En un point P de :

Or, Donc

Donc

De même,

Pour :


Donc

Donc

Donc, d’après le théorème de Gauss :

Donc .

Ainsi,

On a une discontinuité du champ en 0,

C) Condensateur plan

Deux plaques parallèles d’aire S et distantes de e.Plaque supérieure : densité surfacique , charge Plaque inférieure : densité surfacique , charge

Modélisation :On néglige les effets de bord ; les plaques sont modélisées par des plans infinis.

Ainsi, à l’extérieur des deux plaques, , et entre les deux .


Le champ à l’intérieur est uniforme et dirigé de la charge positive vers la charge négative.

Donc

Donc V ne dépend que de z et à l’intérieur.

Et de plus à l’extérieur (la même, par continuité)

On a :

Et

Donc

IV Analogie électrostatique – gravitation

Electrique GravitationnelleForce


(on peut ainsi définir

les distributions de masse…)Potentiel

. : potentiel gravitationnel.

(charge ponctuelle q en O) (masse ponctuelle m en O)

Energie potentielle

Théorème de Gauss

Application :Champ gravitationnel créé par la Terre, considérée comme une boule de centre O

et de rayon . On suppose la masse volumique uniforme.

Masse :

1) Symétries

Symétrie sphérique : ne dépend que de r (dans les coordonnées sphériques)

2) Théorème de Gauss

On considère comme surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon r.

Elément infinitésimal de surface dS autour de :


Donc

Masse intérieure à :

Si :

Si :

Théorème de Gauss :

1er cas : ;

D’où , soit .

2ème cas : ;

Donc , soit

Ainsi, la Terre crée à l’extérieur un champ gravitationnel identique à celui d’une masse ponctuelle en O.

( signifie « proportionnel à »)

3) Potentiel gravitationnel

Donc

Donc, par continuité :


On choisit de plus , donc . Ainsi, .

Donc

4) Analogie électrique

Boule de rayon R et de densité volumique de charge uniforme.

.

Et


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