CARÁTULA DE TRABAJO

MODELANDO EL CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN MEXICANA CON UNA FUNCIÓN LINEALTítulo del trabajo

DIVAS DE LAS MATEMÁTICASPseudónimo de integrantes

    

MATEMÁTICAS

ÁREA

LOCAL

CATEGORÍA

INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL

MODALIDAD

0370387Folio de Inscripción

Dudas o sugerencias sobre este sistema: feriadelasciencias@cch.unam.mx © 2018 Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades, Hecho en México, Comité Organizador 

Las proposiciones matemáticas,

en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas y,

en cuanto son ciertas, no tienen que ver con la realidad.

Albert Einstein

Resumen

A pesar de que la literatura matemática muestra que el crecimiento poblacional

(humanos, animales, bacterias, virus, plantas, etc.) en un determinado periodo de

tiempo se puede modelar usando funciones exponenciales o logísticas; en este

trabajo vamos a mostrar que el crecimiento de población mexicana en el período

de 1970 a 2015 sigue una tendencia lineal. Por lo que, usando los datos del INEGI

y aplicando el método de mínimos cuadrados, obtuvimos un modelo matemático

del crecimiento de la población mexicana en ese período.

El modelo que obtuvimos lo comparamos con el modelo exponencial que arroja

Excel cuando se realiza el ajuste de los datos, observando que nuestro modelo

tiene un coeficiente de correlación más cercano a 1, por lo que podemos afirmar,

que por lo menos en el período de 1970 a 2015 el crecimiento de la población

mexicana se puede modelar mejor con una función lineal.

1

Introducción

Los modelos matemáticos son una aproximación a fenómenos del mundo real; las

funciones lineales, cuadráticas y exponenciales se ajustan de manera muy precisa

a diversas situaciones y campos de trabajo del hombre; tales como la Física,

Biología, Economía, entre otras; donde contribuyen a describir los fenómenos que

pueden modelar.

De acuerdo con Collantes (2003), Robert Malthus publicó en 1798 el Ensayo sobre

el principio de la población, en el que plantea la tendencia de la población a crecer

más deprisa que los medios para su subsistencia, tendencia que es frenada por

controles positivos (la enfermedad, la muerte, la miseria) y preventivos (la

restricción moral). Además, plantea que la población tiende a crecer de acuerdo

con una progresión geométrica, en tanto que los medios de subsistencia lo hacen

en progresión aritmética.

El crecimiento poblacional se refiere al aumento en el número de individuos en

una cierta zona por unidad de tiempo para su cálculo. Cuando mencionamos el

término crecimiento demográfico podemos estar hablando de cualquier tipo de

especie, sin embargo comúnmente nos referimos a los seres humanos.

Actualmente ha existido un aumento considerable en la población mundial, esto se

debe a que hoy en día el tiempo de vida de los seres humanos se ha

incrementado y ha hecho que su vida productiva se eleve. También el hecho de

que la medicina haya evolucionado, permitiendo erradicar muchas enfermedades

que en el pasado ocasionaron numerosas muertes. Sin embargo, una pregunta

interesante al respecto es ¿de qué manera crece la población en nuestro país?

Para contestar esta pregunta necesitamos analizar cómo ha evolucionado la

2

población mexicana en un lapso de tiempo y con ello plantear un modelo

matemático que permita analizar tal crecimiento.

Marco Teórico

Para contestar la pregunta anterior, primero vamos a precisar algunos conceptos

importantes que emplearemos y cuáles son los modelos más comunes que se

utilizan para analizar el crecimiento de una población.

Modelo matemático

Un modelo matemático es una construcción matemática abstracta y simplificada

relacionada con una parte de la realidad y creada para un propósito particular. Así,

por ejemplo, un gráfico, una función o una ecuación pueden ser modelos

matemáticos de una situación específica (Díaz, 2010). Existen diferentes tipos de

modelos matemáticos: discretos, continuos, dinámicos, estáticos,… Un esquema

que representa bastante bien el proceso de modelado matemático es el que se

muestra en la Figura 1.

Figura 1.

Las bondades de un modelo dependerán del problema que se quiera modelar y de

los supuestos que se hagan. Diferentes modelos de una misma situación

producirán diferentes simplificaciones de la realidad y, en consecuencia,

proporcionarán distintos resultados. Además, un mismo modelo puede servir para

distintas situaciones. Por ejemplo, la función , puede modelar la (t) tf = a + b

3

velocidad de un objeto que cae desde una cierta altura después de un tiempo t

donde vendría siendo la aceleración de la gravedad y la velocidad inicial con a b

que se inicia el movimiento; así como modelar algo tan simple como la cantidad de

agua que hay en un tinaco si se llena con un flujo constante después de un tiempo

, en donde sería la velocidad con que se llena el tinaco y la cantidad det a b

agua que había en el tinaco inicialmente.

Modelos actuales de crecimiento poblacional

Actualmente en la literatura matemática se pueden encontrar tres tipos de

modelos para analizar el crecimiento poblacional: modelo lineal, el exponencial o

geométrico y el logístico (sigmoide). Por lo regular, en las investigaciones de

crecimiento poblacional de cualquier organismo en un período de tiempo se usa

principalmente el modelo exponencial o el logístico.

Crecimiento lineal

En un crecimiento lineal la magnitud va aumentando por la adición de una

cantidad constante. El modelo aritmético o de crecimiento lineal consiste en

considerar que el aumento de la población es constante e independiente del

tamaño de ésta (Torres-Degró, 2011).

En álgebra elemental, una función lineal en la variable real es una función x

polinomial de primer grado, cuya representación en el plano cartesiano es una

línea recta. Esta función se puede escribir como:

(x) x [1]f = m + b

donde y son constantes reales, con . La constante es la pendiente m b ≠0m m

de la recta y es el punto de corte de la recta con el eje . Este tipo de función b y

también se le conoce como función afín , si .≠0b

4

Figura 2. Gráfica de una función lineal.

Crecimiento exponencial

Es aquel que se modela usando una función exponencial. Recordemos que las

funciones exponenciales son aquellas cuya expresión analítica viene dada por

(x) con a y a≠1 [2] f = ax > 0

Este tipo de crecimiento es típico de poblaciones cuyo potencial biótico es muy 1

alto. La tasa de crecimiento es constante ya que a mayor tamaño de la población,

mayor es la rapidez de crecimiento. Por ejemplo, en la leche a una cierta

temperatura la bacteria de Streptococcus lactis se duplica cada 26 minutos, por lo

que si al inicio hubiera 10 bacterias, después de 26 minutos habría 20, en 52

minutos habría 40, etc.

Figura 3. Crecimiento exponencial del Streptococcus lactis.

1 El potencial biótico se puede definir como la máxima capacidad de reproducción que tiene una población en condiciones óptimas.

5

La función que modela el crecimiento del Streptococcus lactis es

(t) 0(2) [3] P = 1 t/26

Aunque generalmente para modelar este tipo de crecimiento se emplea el modelo

(t) e [4]P = P 0kt

donde es la población inicial (es decir, la existente cuando comenzamos a P 0

contar) y es la constante de crecimiento de la población.k

Crecimiento logístico

Aunque existe un sin número de ecuaciones que reflejan un modelo logístico,

partiremos de la ecuación de Verhulst,

con (t)P = KP e 0rt

K+P e −10( rt ) (t) [5]limt → ∞

P = K

La Ec. [5] fue publicada por primera vez por Pierre François Verhulst en 1838

después de haber leído el "Ensayo sobre el principio de población" de Thomas

Malthus. Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento

autolimitado de una población biológica. En ocasiones, esta ecuación también es

llamada Ecuación Verhulst-Pearl por su redescubrimiento en 1920. Alfred J. Lotka

obtuvo de nuevo la ecuación en 1925, llamándola Ley del crecimiento poblacional.

En este modelo de crecimiento, se toman en cuenta las limitaciones que tiene la

población para crecer. Al interpretar la curva de crecimiento logístico se aprecia

que al comienzo la población se multiplica con lentitud (etapa de rezago o retardo),

luego con rapidez (etapa exponencial) y nuevamente hace en forma lenta (etapa

estacionaria), debido al aumento de la resistencia ambiental. En un periodo más

extenso de tiempo, la rapidez de crecimiento disminuye hasta detenerse. Este

equilibrio se produce cuando el ambiente llega a los Iímites de su capacidad para

“sostener” la población.

6

Figura 4. Gráfica de un modelo logístico.

Método de mínimos cuadrados

Cuando queremos modelar un fenómeno, es importante saber cuáles son las

variables que vamos a considerar y cómo determinar la relación entre ellas. En

algunos casos, las leyes físicas, como la ley de Hooke, proporcionan la garantía

de que un modelo lineal es correcto, en otros casos simplemente porque parece

ajustarse a los datos. Muchas veces cuando se quiere buscar si hay una relación

entre dos variables, una inspección visual siempre es importante. Por ejemplo, en

la Figura 5, la tendencia general indica que valores altos de están asociados y

con valores altos de . Una estrategia más apropiada en tales casos consiste en x

obtener una función de aproximación que se ajuste a la forma o a la tendencia

general de los datos, sin coincidir necesariamente en todos los puntos.

Figura 5. Relación aparentemente lineal entre dos variables.

7

La Figura 6 ilustra cómo se utiliza una línea recta para caracterizar de manera

general la tendencia de los datos sin pasar a través de algún punto específico.

Una manera para determinar esta recta es inspeccionar en forma visual los datos

graficados y después trazar una “mejor” línea a través de los puntos. Aunque tales

procedimientos “a ojo” apelan al sentido común y son válidos para cálculos

“superficiales”, resultan deficientes por ser arbitrarios. Es decir, a menos que los

puntos definan una línea recta perfecta, cada persona que analice los datos

trazaría una recta distinta.

Figura. 6. Ajuste de los datos “a ojo”.

Para dejar a un lado dicha subjetividad se debe encontrar algún criterio para

establecer una base para el ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva

que minimice la discrepancia entre los puntos y la recta. Una técnica para lograr

tal objetivo, se llama método de mínimos cuadrados.

El procedimiento de mínimos cuadrados para ajustar una recta que pase por un

conjunto de puntos es semejante al método que podríamos usar si ajustamos n

una recta a simple vista; esto es, deseamos que las diferencias entre los valores

observados y los puntos correspondientes en la recta ajustada sean “pequeñas”

en un sentido general. Una forma cómoda de lograr esto es minimizando la suma

de cuadrados de las desviaciones verticales (errores) a partir de la recta ajustada

(ver Figura 7).

8

Figura 7. El criterio de mínimos cuadrados.

Si la ecuación de la recta de mejor ajuste es

(x) x [6]y = m + b

donde es el valor estimado de la variable dependiente y el valor de la y x

variable independiente, entonces la ecuación debe hacer que la suma de los

cuadrados de las desviaciones sea lo más pequeño posible, yi − yi

matemáticamente esto significa minimizar

[7]∑n

i=1(y )i − yi

2 = ∑n

i=1[y mx )]i − ( i + b 2

Gráficamente la Ec. [7] representa la suma de las áreas de los cuadrados cuyos

lados miden lo mismo que las desviaciones verticales entre cada ordenada de los

datos y la recta. Así que, minimizar [7] implica encontrar la recta tal que la suma

de los cuadrados de la Figura 8, sea la más pequeña posible.

Figura 8. La suma de las áreas de los cuadrados debe ser mínima.

9

Ahora bien, minimizar [7] no es tan simple, se requieren herramientas de Cálculo

Diferencial, las cuales están fuera del propósito de este trabajo. En lugar de

realizar dicho procedimiento, simplemente presentaremos las fórmulas para

calcular los valores de y . Así que, utilizando los datos y las ecuaciones m b

siguientes podremos calcular el valor de y .m b

[8]m =n −( )∑

n

i=1xi

2 ∑n

i=1xi

2

n y −( )( )∑n

i=1xi i ∑

n

i=1xi ∑

n

i=1yi

[9]b =n −( )∑

n

i=1xi

2 ∑n

i=1xi

2

( )( )−( y )( )∑n

i=1yi ∑

n

i=1xi

2 ∑n

i=1xi i ∑

n

i=1xi

donde

es el valor de la variable independiente para la i-ésima observación.xi

es el valor de la variable dependiente para la i-ésima observación.yi

el número de observaciones. n

Para analizar el grado aproximación de los datos a la ecuación teórica elegida

usaremos el Coeficiente de Correlación de Pearson, el cual está dado por:

[10] r =n y − ∑

n

i=1xi i (∑

n

i=1x i)(∑

n

i=1yi)

√n − ∑n

i=1x i

2 (∑n

i=1x i)

2

√n − ∑n

i=1yi

2 (∑n

i=1y i)

2

El coeficiente de Correlación de Pearson varía en el intervalo [-1,1], indicando el

signo el sentido de la relación:

● Si r = 1 , existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una

dependencia total entre las dos variables denominada relación directa:

cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción

constante.

● Si 0 < r < 1 , existe una correlación positiva.

10

● Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica

que las variables son independientes: pueden existir todavía relaciones

no lineales entre las dos variables.

● Si -1 < r < 0 , existe una correlación negativa.

● Si r = -1 , existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una

dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa:

cuando una aumenta, la otra disminuye en proporción constante.

Mientras más cercano sea r a 1 o a -1, mejor es la relación entre las variables que

se están analizando.

Objetivos

A pesar de que en la mayoría de los libros en donde se modela el crecimiento

poblacional de cualquier especie (bacterias, virus, humanos, animales, etc.) se

realiza con funciones exponenciales o logísticas. Con base a la observación

preliminar que realizamos de los datos obtenidos en la página oficial del Instituto

Nacional de Estadística y Geografía (INEGI), el crecimiento de la población desde

1970 a 2015 se puede modelar de manera lineal, por lo que el objetivo de este

proyecto es:

Mostrar que el crecimiento de la población mexicana desde 1970

a 2015 se puede modelar adecuadamente con una función lineal.

Para lograr este objetivo utilizaremos el criterio de mínimos cuadrados para

determinar la recta de mejor ajuste, y además, analizaremos el error relativo

porcentual entre los resultados que se obtienen con el modelo lineal al

compararlos con los datos proporcionados por el INEGI. También, compararemos

nuestro modelo y el modelo utilizado por el Banco Mundial para pronosticar el

crecimiento de la población mexicana y además, el modelo que proporciona Excel

al realizar un ajuste exponencial.

11

Problema

El año 2013 ha sido declarado año de las Matemáticas del Planeta Tierra,

(MPE2013), nuestro planeta es el escenario de multitud de procesos dinámicos de

todo tipo, desde los geológicos, atmosféricos, biológicos y por supuesto los

humanos. Es precisamente la matemática una herramienta adecuada para

entender, cuantificar y modelizar dichos fenómenos. La matemática constituye un

instrumento que nos permite simular los modelos y analizarlos de nuevo a la luz

de los resultados. Gracias a ello podemos entender fenómenos y predecir lo que

vendrá (Roumieu, 2014).

La población humana a lo largo de los años cambia. En cierto período de tiempo,

el tamaño de una población puede crecer, mantenerse constante o disminuir,

dependiendo del efecto que estén ejerciendo estos determinantes o componentes

de cambio. Al analizar los datos que proporciona el Instituto Nacional de

Estadística y Geografía (INEGI) en su página oficial, observamos que el

crecimiento de la población mexicana desde 1970 a 2015 es aproximadamente

lineal, por lo que decidimos analizar más a fondo dichos datos y darle un enfoque

matemático que permita proporcionar argumentos sólidos sobre lo observado;

además, es una gran oportunidad para aplicar nuestros conocimientos sobre la

función lineal a un problema real.

Hipótesis

Con base a la observación preliminar que realizamos de los datos obtenidos de la

página del INEGI sobre el crecimiento de la población mexicana, nuestra hipótesis

es:

El crecimiento de la población mexicana desde 1970 a 2015 sigue

una tendencia lineal.

12

Desarrollo

Para crear el modelo que se ajuste al crecimiento de la población mexicana

llevaremos a cabo las siguientes fases, las cuales obtuvimos de Olvera (2016):

1. Formulación del modelo: implica el diseño del modelo a nivel teórico, de

acuerdo a la información que conozcamos acerca del proceso observado.

En esta fase lo realmente importante es decidir ”qué se desea modelar y

porqué”, lo que supondrá definir cada elemento que lo integra así como las

relaciones entre ellos.

2. Verificación del modelo: el objetivo en esta fase es comprobar si el modelo

realiza lo que se piensa que debe hacer. Para ello se diseñan pruebas,

como por ejemplo aplicarlo a un caso teórico que se conozca bien.

3. Validación del modelo: se trata de aplicar el modelo a un caso real conocido

para ver si es correcta su formulación.

4. Análisis de Sensibilidad de los parámetros: en esta fase, se trata de

modificar los datos correspondientes a los factores importantes para ver

como varían los resultados con el modelo.

5. Aplicación del modelo: una vez completadas las fase anteriores, podemos

aplicar el modelo a la situación que queremos estudiar y analizar los

resultados obtenidos. El análisis de estos resultados nos va a proporcionar

información de cómo será el crecimiento de la población en un futuro

cercano.

13

Resultados, análisis e interpretaciones

Siguiendo las fases que se expusieron anteriormente, analizamos los datos y

logramos obtener un modelo que consideramos se ajusta al crecimiento de la

población mexicana en el período de 1970 a 2015.

1. Formulación del modelo

Primero obtuvimos los datos de la página oficial del INEGI, sobre la población

mexicana desde 1970 a 2015, los cuales podemos observar el la Tabla 1.

Tabla 1. Información sobre la población mexicana por año, obtenida de

la página del INEGI.

Año No. de habitantes

1970 48,225,238

1980 66,846,833

1990 81,249,645

1995 91,158,290

2000 97,483,412

2005 103,263,388

2010 112,336,538

2015 119,938,473

Al graficar estos datos usando Excel, a simple vista se observa que el crecimiento

de la población mexicana en esos años, sigue una tendencia lineal (ver Figura 9).

14

Figura 9. En el período de 1970 a 2015, el crecimiento de la población

mexicana parece ser que siguió una tendencia lineal.

Al observar la tendencia lineal, propusimos obtener un modelo de la forma

, cuya gráfica es una recta. Para obtener la ecuacion de la recta de(x) xy = m + b

mejor ajuste, empleamos el criterio del método de mínimos cuadrados, para ello

realizamos la Tabla 2.

Tabla 2. Información de apoyo para determinar nuestro modelo.

Año (x) No. de habitantes (y)

y x x2 y2

1970 48225238 95003718860 3880900 2,325,673,580,156,640

1980 66846833 132356729340 3920400 4,468,499,082,129,890

1990 81249645 161686793550 3960100 6,601,504,812,626,020

1995 91158290 181860788550 3980025 8,309,833,835,724,100

2000 97483412 194966824000 4000000 9,503,015,615,161,740

2005 103263388 207043092940 4020025 10,663,327,301,238,500

2010 112336538 225796441380 4040100 12,619,497,769,825,400

2015 119,938,473 241676023095 4060225 14,385,237,305,571,700

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Ahora bien, sumando los valores de cada columna de la Tabla 2, obtenemos los

datos necesarios para sustituir en las ecuaciones [8] y [9] para calcular y , las m b

cuales podemos visualizar en la Tabla 3.

Tabla 3. Las sumatorias de los datos del la Tabla 2.

∑8

i=1xi ∑

8

i=1yi y∑

8

i=1xi i ∑

8

i=1xi

2 ∑8

i=1yi

2

15965 720501817 1440390411715 31861775 68876589302434100

Usando la información de la Tabla 3 y sustituyendo en las ecuaciones [8] y [9],

obtenemos

, 65, 56m = 8(31861775)−(15965) 28(1440390411715)−(15965)(720501817) = 12975

20311785315 ≈ 1 5 4

y

− , 33, 99, 36b = 8(31861775)−(15965) 2(720501817)(31861775)−(1440390411715)(15965) = 12975

−39366142684800 ≈ 3 0 9 4

Por lo que la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos es

(x) , 65, 56x , 33, 99, 36 y = 1 5 4 − 3 0 9 4

Aprovechando las bondades de Excel, agregando la línea de tendencia a los datos

obtuvimos la misma ecuación (ver Figura 10).

Figura 10. Recta de mejor ajuste para los datos.

16

Para fines prácticos vamos a redondear los valores de y de . Así el modelom b

que aplicaremos será

(x) , 65, 00x , 34, 00, 00 y aprox = 1 5 0 − 3 0 0 0

El valor de la pendiente , nos indica que la población se está incrementando m

aproximadamente 1,565,000 habitantes por año y que se ha mantenido así desde

1970 hasta el 2015. El valor de es un valor teórico, aunque si queremos darle b

un significado, podríamos hacer un cambio de variable. Si consideramos el año

1970 como el año , entonces0

(z) , 65, 00(z 970) , 34, 00, 00 , 65, 00z 9, 50, 00 y aprox = 1 5 0 + 1 − 3 0 0 0 = 1 5 0 + 4 0 0

con , donde correspondería al año 2015. En este caso, , 1, 2, ... , 45 z = 0 5z = 4

el valor de 49,050,000 correspondería a la cantidad de habitantes que había en

México en 1970.

2. Verificación del modelo

Para verificar que el modelo se ajusta adecuadamente a los datos, emplearemos

dos criterios: el Coeficiente de Correlación de Pearson y el Error Relativo

Porcentual. Usando la Ec. [10] obtenemos que el Coeficiente de Correlación es

.9985r ≈ 0

Al ser este un valor muy cercano a 1, significa que nuestro modelo es adecuado

para modelar el crecimiento poblacional de México en el período de 1970 a 2015.

Mientras más cercano a 1 sea el valor de significa que la relación entre el r

número de personas varía linealmente con respecto al tiempo.

17

El Error Relativo Porcentual que cometemos al usar nuestro modelo, se pueden

observar en la última columna de la Tabla 4.

Tabla 4. Error relativo porcentual al aplicar nuestro modelo.

Año x) (

No. de habitantes según el INEGI

y) (

No. de habitantes pronosticados

y )( aprox

Error absoluto y || aprox − y

Error relativo porcentual

00y|y −y| aprox × 1

1970 48,225,238 49,050,000 824,762 1.71

1980 66,846,833 64,700,000 2,146,833 3.21

1990 81,249,645 80,350,000 899,645 1.11

1995 91,158,290 88,175,000 2,983,290 3.27

2000 97,483,412 96,000,000 1,483,412 1.52

2005 103,263,388 103,825,000 561,612 0.54

2010 112,336,538 111,650,000 686,538 0.61

2015 119,938,473 119,475,000 463,473 0.39

Así que el Error Relativo Porcentual (ERP) está entre 0.39% y 3.27%. Como

podemos observar, al usar este modelo el error es pequeño, lo que podría

significar que el modelo propuesto es adecuado.

3. Validación del modelo

Para validar nuestro modelo, ajustamos los datos usando una función exponencial

con el apoyo de Excel y obtuvimos el coeficiente de determinación. En este caso,

para obtener el coeficiente de correlación, calculamos la raíz cuadrada de , por R 2

lo que obtuvimos

.9843r ≈ 0

18

Lo que observamos es que el coeficiente de correlación obtenido al ajustar con un

modelo exponencial está más alejado de 1 que el obtenido con el modelo lineal

que propusimos (ver Figura 11). Por lo tanto, podemos decir que los datos se

ajustan mejor a una función lineal, al menos en este período.

Figura 11. Ajuste de los datos con una función exponencial.

Otra forma de validar nuestro modelo es comparando los resultados presentados

por el Banco Mundial. De hecho, no encontramos información sobre el modelo

que utiliza el Banco Mundial para sus pronósticos, en su página oficial sólo

menciona: Population estimates are usually based on national population

censuses. Estimates for the years before and after the census are interpolations or

extrapolations based on demographic models (ver Refererencias).

Con el fin de comparar la información proporcionada por el INEGI y los datos

pronosticados por el Banco Mundial, calculamos el Error Relativo Porcentual

(ERP), los cuales podemos ver en la última columna de la Tabla 5. Lo que

observamos es que el ERP está entre 3.17% y 7.89%.

Si comparamos el ERP que obtuvimos con nuestro modelo y el obtenido por el

que usa el Banco Mundial, nuestros errores son más pequeños ya que se

encuentran entre 0.39% y 3.27%. Por supuesto, esto no significa que nuestro

19

modelo sea mejor para pronosticar el crecimiento de la población mexicana, ya

que nuestro modelo posiblemente funciona mejor en el período de 1970 a 2015,

sin embargo, el modelo que usa el Banco Mundial se aplica a un período más

amplio.

Tabla 5. Error relativo porcentual al utilizar el modelo del Banco Mundial.

Año x) (

No. de habitantes según el INEGI y) (

No. de habitantes pronosticados por el

BM y ) ( BM

Error absoluto y | | BM − y

Error relativo porcentual

00y|y −y|BM × 1

1970 48,225,238 52029861 3804623 7.89

1980 66846833 69360871 2514038 3.76

1990 81249645 85357874 4108229 5.06

1995 91158290 94045579 2887289 3.17

2000 97483412 101719673 4236261 4.35

2005 103263388 108472228 5208840 5.04

2010 112336538 117318941 4982403 4.44

2015 119,938,473 125890949 5952476 4.96

De acuerdo con la información proporcionada por el Banco Mundial, la población

en México en 2016 fue de aproximadamente 127,540,423 habitantes. Mientras

que nuestro modelo, predice que hubo alrededor de

habitantes(2016) , 65, 00(2016) , 34, 00, 00 21, 40, 00 y aprox = 1 5 0 − 3 0 0 0 = 1 0 0

Obviamente no tenemos forma de comprobar cuál de las dos cifras sea la más

cercana a la realidad, al fin de cuentas ambos resultados provienen de dos

modelos distintos.

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4. Análisis de sensibilidad de los parámetros

Recordemos que el modelo lineal obtenido por el método de mínimos cuadrados

fue

(x) , 65, 55x , 33, 99, 36 y = 1 5 4 − 3 0 9 4

Sin embargo, para fines prácticos redondeamos los valores de y de . Así elm b

modelo quedó como

(x) , 65, 00x , 34, 00, 00 y aprox = 1 5 0 − 3 0 0 0

A pesar de este redondeo, la variabilidad en los Errores Relativos Porcentuales

Promedios fue menor al 0.3% (ver Tabla 6).

Tabla 6. ERP al usar el modelo real y el aproximado.

Año x) ( ERP usando y

ERP usando y aprox

1970 3.57 1.71

1980 1.86 3.21

1990 0.01 1.11

1995 2.28 3.27

2000 0.59 1.52

2005 1.43 0.54

2010 0.20 0.61

2015 0.38 0.39

Promedio 1.29 1.55

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5. Aplicación del modelo

Aplicando nuestro modelo, podemos dar una buena aproximación de la población

mexicana en cualquier año entre el período 1970 a 2015, simplemente tenemos

que sustituir el valor de al año que queremos conocer la población. Más aún, si x

el crecimiento de la población siguiera la misma tendencia lineal, podríamos

calcular aproximadamente el número de habitantes que hay actualmente en

nuestro país. Para ello, consideramos y sustituimos este valor en 018 x = 2

nuestro modelo, obteniendo así

(2018) 565000(2018) 034000000 24, 70, 00 y ˆ aprox = 1 − 3 = 1 1 0

Por lo que significa que posiblemente, en nuestro país haya alrededor de 124

millones de habitantes en este año.

Conclusiones

Realizar este proyecto nos sirvió para analizar y demostrar que el crecimiento

poblacional en México del año 1970 al 2015 se puede ajustar adecuadamente con

una función lineal y no exponencial o logística como la literatura matemática nos

indica. Observamos que la población mexicana en ese período estuvo creciendo

alrededor de un millón y medio de personas por año. Un dato bastante interesante.

Muchas veces los temas que estudiamos en matemáticas se quedan en lo

abstracto y no se ve su aplicación para modelar fenómenos de la vida real, y no es

porque los profesores no quisieran hacerlo, simplemente porque la modelación de

fenómenos físicos puede ser a veces muy complicado. Sin embargo, como vimos

en este trabajo, existen fenómenos que se pueden modelar con funciones muy

simples como lo es la función lineal.

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Referencias Bibliográficas

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demógrafo por aclamación popular. Revista Española de Investigaciones

Sociológicas. No. 101, pp. 149- 173.

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Polar. Johnson, R. y Kuby, P. (2016). Estadística Elemental. México: Cengage Learning. Mendenhall, W., Wackerly, D. y Scheaffer, R. (2010). Estadística matemática con

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el modelo lineal, geométrico y exponencial. CIDE digital, 2(1), 143-162.

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INEGI: http://www.beta.inegi.org.mx/temas/estructura/

Matemáticas finitas:

https://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/regression.html

Universidad de Sevilla:

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Rectas_de_mejor_ajuste_en_Excel

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