03.Lg. Trazados, Arco Capaz MB

7/25/2019 03.Lg. Trazados, Arco Capaz MB

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1. LUGARES GEOMTRICOS.- Llamamos LUGAR GEOMTRICO a un conjunto de puntos(uno o ms) que cumplen una determinadacondicin o propiedad geomtrica.

- Los lugares geomtricos pueden ser elementos diversos: puntos, rectas, arcos, superficies, etc. Ejemplosconocidos son la circunferencia, la recta mediatriz, la semirrecta bisectriz, la recta paralela, el arco capaz,el circuncentrode un tringulo, el incentrode un tringulo, la elipse, la parbola, la hiprbola, etc.

1.1.LA CIRCUNFERENCIA:

DEFINICIN: Lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan(estn a igual distancia) de un puntofijo ll amado centro(O).

- Observando su forma podemos definirla como la lnea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan deotro pun to situado en el plano.

- Dichaequidistanciaes un segmento que une cada punto de la circunferencia con el centro, y se denominaradio(r).

1.2.

LA RECTA MEDIATRIZ:

DEFINICIN: Lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan (estn a igual distancia) de dospuntosfijos (Dichos puntos suelen ser los extremos de un segmento).

- Observando su forma podemos definirla como la lnea recta perpendicular a un segmento que lo divideen dos partes iguales. Dicha recta pasa por su punto medio (M).

C

A

B

O

rr

r

Cualquier punto A, B, Cdel plano equidista (est aigual distancia) del centro O.La equidistancia se llamaradio (r).

r

r

r

A

B

C

O

En una superficie esfrica,seda la misma propiedad, peroen este caso el centro Oy lospuntos equidistantes A, B,Cno estn en el plano sinoen el espacio.

BACualquier punto 1, 2, 3de la recta mediatriz (m)est a igual distancia delos puntos A y B. Cadapunto tiene su propiaequidistancia (e1,e2, e3).

A B

1

2

e1e1

e2 e2

M

AM =BM


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Trazado de la mediatriz al segmento: Para definir cualquier recta hacen falta dos puntos como mnimo. Porlo tanto, para trazar la mediatriz de un segmento, se buscan dos puntos equidistantes sus extremos (A y B).Cul es la medida de la distancia que podemos tomar para esos puntos?La mxima equidistanciaesinfinita como la propia recta, y la mnima equidistanciacoincide con la mitad exacta del segmento (mitad AMo BM). El problema es que si el segmento tiene una medida decimal (47,5 mm. por ejemplo) resulta imposibledibujar la mitad, por lo que la equidistancia necesaria para trazar la mediatriz ser siempre mayor a la mitad

del segmento.

APLICACIONES DE LA RECTA MEDIATRIZ:

1. Trazar una recta perpendicular a otra recta (r) desde un punto exterior (C):

2. Trazar una recta perpendicular a otra recta (r) desde un punto de la misma (C):

BA M

emn.

e mx.

1

e mx.

2

1.Trazar dos arcos de radio (e)mayora la mitad del segmentodesde los puntos A y B.

2.Ambos arcos determinan al cortarsedos puntos C y Dque equidistande Ay B, y por tanto, pertenecen a lamediatriz mbuscada:

BAB

A

C

D

m

Equidistancia mnima: AMpuntos B1,

2 en el infinito .

PASOS A SEGUIR:

y mxima:B

e

e

Antes de comenzar un ejercicio hay queclarificar los DATOS que se conocen.Luego imaginamos el ejercicio resueltopara analizar el mtodo que vamos autilizar:

Debemos convertir este ejercicio en el dela mediatriz.Como ya tenemos el punto C,hallamos dos puntos A y B (extremos desegmento) que equidisten de C. Lo hacemoscon un arco que corte la recta.

Con el mismo radio y desdeA y B,obtenemos el punto D.

r

C

El ejercicio es similar alanterior, slo que el puntoest contenido en la recta. ElMtodo a aplicar ser elmismo: convertimos estetrazado en el de la rectamediatriz.

1.Desde C trazamos un arco deradio cualquiera que corte la rectaen A y B, (extremos de unsegmento):

2. Desde A y B resolvemos Dusando una medidamayor a la mitad del segmento, como en la mediatriz.

r C

r CA B

pD

r CA B

A B

Dr

C

r

C

r

C


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3. Trazar una recta perpendicular en el extremo de una semirrecta:

El ejercicio es similar alanterior, slo que tenemosque prolongarla semirrectapara obtener los dos puntos

equidistantes deC

1.Desde C trazamos un arco deradio cualquiera que corte la rectaen A y B, (extremos de unsegmento):

2. Desde A y B resolvemos Dusando una medidamayor a la mitad del segmento, como en la mediatriz.

s CA B

pD

ss C

s

C

4. Dibujar una circunferencia de 20 mm. de radio que pase por dos puntos (A y B) del plano situados a15 mm. de distancia:

5. Dibujar una circunferencia que pase por t res puntos (A, B y C) del plano no alineados: (Si los puntosestn alineados, forman una recta, y no puede pasar por ellos una circunferencia)

A B

C

Datos:

Anlisis: Si imaginamos el ejercicio resuelto, seobserva cmo el centro O de la circunferenciaequidista de A y B. Por tanto, estar en sumediatriz:

A B r

A B

Pasos a seguir: Hallar la mediatriz al segmento y luego trasladarsobre ella el radio r trazndolo desde Ao B. Hay dos soluciones,segn tomemos el radio por encima o por debajo del segmento(centros O1y O2).

O A BA B

O1

O2

r

r

Como vimos en el caso anterior, la circunferenciaque pasa por dos puntos tiene su centro en la

mediatriz, ya que equidistade ellos. Qu ocurrirentre tres puntos?

Al trazar las mediatrices m1y m2entre los puntosAB y AC, ambas se cortan en un punto comn O.

El punto O,al pertenecer a las dos mediatrices, equidista deA,deBydeC, por lo que es el centro de una circunferencia que pasa por esos

tres puntos no alineados. Desde el centro Oy con radio OB, hacemosla circunferencia.

A B

C

O

A B

C

m1

m2

O


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6. Dibujar la circunferencia circunscrita del tringulo ABC. Para resolver el ejercicio hay que hallar elcircuncentro.

1.3.

LA RECTA PARALELA:

DEFINICIN: Lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de una recta (r).

- Dos rectas del mismo plano son paralelas cuando por ms que se prolonguen no llegan nunca a cortarse.

Es decir, son dos rectas que no tienen ningn punto en comn, y por tanto, la pareja de puntos msprximos de ambas, guardan la misma distancia.

El CIRCUNCENTRO, es el punto de interseccin entre lastres mediatrices de los lados de un tringulo. Es tambinun lugar geomtrico, ya que equidista de los vrtices deun tringulo. Por tanto, es centro de la circunferencia que

pasa por los tres vrtices del tringulo, llamadacircunferencia circunscrita:

Basta con dibujar dos mediatricesa los lados del tringulo:

A

B

C

O r

r

p1

p2

Al trazar puntos equidistantes a la recta,se da lugar a dos rectas paralelascontenidasen el mismo plano.

Si la recta ry los puntos estn en elespacio, el nmero de rectas es infinito,y da lugar a una superficie c ilndrica.

r

r = segmento OB


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Trazado de la recta paralela: Una recta viene determinada por dos puntos, de modo que para trazar unarecta paralela a otra necesitaremos situar dos puntos equidistantesde ella:

Como la equidistancia (e) se mide enperpendicular (90) respecto a la recta r, habrque trazar dos rectas perpendiculares para tomar

sobre ellas la medida que se nos pida.r

e

e

A B p

ACTIVIDADES:

1. Trazar una recta paralela a otra (m) a 20 mm de distancia.

Sobre la recta m, tomamos dospuntos cualesquieraA y B:

Otros dos mtodos de resolucin:

2. Trazar una recta paralela a otra (m) a una distancia cualquiera.

Trazamos rectas perpendiculares enlos puntosA y B:

Con centro en A y B,y radio 20 mm., cortamos lasdos perpendiculares en los puntos C y D de laparalela.

A Bm A Bm A Bm

C Dp

r r

r r r

1. Trazamos una perpendicular porA,y trascortarla con el radio rluego otra por C. 2. Trazamos una perpendicular porA,y tras cortarla con el radio r,obtenemoslos puntosB y C. Despus, con el mismo radio r, desde B y C obtenemos elpunto D.

A m

C p

r

r

Am

B

r

C

A C

m

B D

rr

p

r

Desde un punto P cualquiera, trazamos un arco (de radiocualquiera) que corta a la recta en los puntos A y B.

Desde A y B,con el mismo radio que utilizamos (o uno menor)obtenemos los puntosC y D de la paralela:

A m P B A m P B

p C D


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1.4.LA SEMIRRECTA BISECTRIZ:

DEFINICIN: Lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ngulo.

- La bisectrizes una semirrecta que divide un ngulo en dos partes (ngulos) iguales desde su vrtice (V).

Mtodos de trazado:

3. Bisectriz a un ngulo dado por dos rectas concurrentes (cuyo vrtice se encuentra fuera del papel):

b

e1

e1

V

Para trazar la bisectriz,como conocemosun punto de ella (el vrtice V), slonecesitaremos otro punto (1) equidistantede los lados del ngulo.

1

V

A

B

C

A

B

V

1. Desde el vrtice trazamos un arco que determina en loslados del ngulo los puntos A y B (equidistantes del vrtice).Tomando desde ellos otra equidistancia cualquiera (dos arcosque se corten), obtenemos el punto Cde la bisectriz:

2. Desde el vrtice Vtrazamos 2 arcos de radio cualquieraque determinan en los lados los pares de puntos A y B,C y D. Si unimos dichos puntos mediante dos segmentosque se corten, obtenemos el punto ctriz.Ede la bise

A

B

C

D

V E

Mtodo primero:Unimos dos puntos cualesquiera (A y B) de los lados mediante un segmento que divide el plano en cuatrongulos. Si trazamos la bisectriz a cada uno de ellos, obtenemos dos puntos C y Dde la bisectriz que buscamos:

Dato conocido:

A

DC

b

B


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Mtodo segundo:Trazamos desde dos puntos cualesquiera (A y B) de los lados un par de rectas que sean paralelas a ellos yestn a la misma distancia. De este modo, obtenemos el vrtice del ngulo en el interior, y resolvemos el ejercicio con eltrazado de la bisectriz por el primer mtodo que hemos estudiado:

A

B

Dato conocido:

V C b

4. Dibujar la ci rcunferencia inscrita al tr ingulo ABC. Para resolver el ejercicio hay que hallar el incentro.

El INCENTRO, es el punto de interseccin entre las tresbisectrices de los ngulos de un tringulo. Es tambin unlugar geomtrico, ya que equidista de los tres lados deltringulo. Por tanto, es centro de la circunferenciatangente a los lados, llamada circunferencia inscrita:

Basta con dibujar dos bisectricesa los ngulos del tringulo.Desde el incentro (I), trazaremos tres perpendiculares a loslados y obtendremos los puntos de tangencia (T1, T2, T3)porlos que pasar la circunferencia.

A

B

C

I

T1

T2

T3

r= segmento T

I r

I 1


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1.5.- EL ARCO CAPAZ

1.5.1. DEFINICIN:Es un segmento de circunferencia (es decir, arco) formado por puntos desde los quese observa un segmento con un ngulo determinado(o sea, fijo).

El ejemplo clsico para entender este concepto es el del NGULO DE TIRO A UNA PORTERA:

A

B

1

2

A

B

3

4

Como puede apreciarse, los jugadores 1 y 2, situados en dos puntos al azar del arco capaz, tienen elmismo ngulo de tiro. Ocurrira lo mismo desde cualquier otro punto que eligiramos.

En cambio, los jugadores3y4, situados fuera del arco, uno ms cerca y otro ms lejos de la portera, stendran un ngulo de tiro muy diferente: el ngulo del jugador 3 es ms estrecho y el del jugador 4 es ms amplio.

1.5.2. TIPOS DE ARCOS:existen arcos capaces para ngulos rectos (de 90), agudos y obtusos. El arcocapaz de 90 es la semic ircunferencia y su construccin es la ms sencilla. Vemos los tres ejemplos:

Cualquier punto de estearco, forma el mismongulo obtuso

Arco capaz de 90

Arco capaz de ngulo agudocomo en el ejemplo de la portera

El resto de circunferencia que sobra en cada uno de los casos anteriores, es tambin arco capaz y

su medida es la que resta hasta 180 (por tanto es un ngulo suplementario). Ejemplos:- En un arco capaz de 60 (agudo), el resto de la circunferencia sera de 180- 60 = arco capaz de 120 (obtuso).- En un arco capaz de 90, el resto de la circunferencia sera 180 - 90 = arco capaz de 90 (la otra semicircunferencia).


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1.5.3. CONSTRUCCIN.

Recordamos: para que una circunferencia pase por 2puntos del plano (puntos A y B, extremos de unsegmento de recta, por ejemplo), su CENTRO debe encontrarse en la recta mediatriz entre dichos puntos:

A B

O2

O3

O1

M

O4

O5

m

Cualquier punto de la mediatriz ser centro O1, O2, O3, M,O4, etc. de una circunferencia que pase por Ay B.Por consiguiente, el primer paso para obtener un ARCO CAPAZ, es trazar la recta mediatriz, y posteriormentehabr que averiguar qu punto de ella es el centrodel arco que forma determinado ngulo con A y B.

Para obtener el arco capaz de un ngulo agudo u obtuso, hay 2 mtodos, aunque nosotros utilizaremosuno de ellos (el ms sencillo). Ejercicio: Trazar el arco capaz de 30 a un segmento AB de 20 mm.

A B

r r

O

Como el centro Oest a lamisma distancia (el radio)

de los puntos AyB, coincidircon la mediatriz de ambos.

A B

m

O

A M B

Como el arco capaz de 90es la semicircunferencia, su centro seobtiene con facilidad: trazamos la mediatrizal segmento AB, y elcentro que buscamos es el punto medio Si abrimos el comps

con radio MA o MB, obtenemos una semicircunferencia que es arcocapaz de 90. Ya sabemos que el resto de circunferencia es tambinarco ca

M.

paz de 90.

Arco capaz de 90

Arco capaz suplementario: 180 - 90 = arco capaz de 90 tambin.

A B

1.- Hallar la mediatriz. 2.-Situar sobre uno de los puntos A oB el ngulo que se obtiene de restar

3.- Con radio OA trazamos unarco que pase por los puntos AyB. Si tomamos un punto Ccual

90- 30 = 60. Hallamos as el centro Oquiera, formar 30 con A y B.

A B60

O

Construccin del ngulo

de 60, ya conocida.Se puede trazar tambincon el transportador dengulos.

60

O

A B

O

30

C


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ANLISIS: Por qu para hallar un arco capaz de 30 necesitamos trazar uno de 60 (90-30) y as obtener su centro? (Fig.1)

EJERCICIOS:1.- Dibujar un tringulo rectngulo issceles del que conocemos la hipotenusa de 45 mm.

2.- Dibujar un cuadrado del que conocemos la diagonal de 50 mm.

60

30

2

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

30

30

?90

Fig. 2: Para entender el problema, hay que saber que cualquier ngulodel arco capaz mide la mitad del ngulo central que le corresponde.

Fig. 3: La mediatriz divide el ngulo central en dos partes iguales, por lo que conoceremos dos ngulos: de (mitad delcentral

30

) y de 90. En un tringulo rectngulo,los dos ngulos restantes al de 90 suman tambin 90, luego = 90- 30 60=

hDato:

c c

AhA BO h BO

C

2.El vrtice Cse encuentra en el puntode corte entre la mediatriz y el arco capaz.

1.Trazamos la mediatriz y desde elpunto medio O el arco capaz de 90

h = 45

Analizamos: conociendo slo lahipotenusa hel resto se deduce:los lados iguales son los catetos, y

su vrtice estar en un arco capazde 90, justo a la mitad.

dDato:

d= 50

Analizamos: conociendo slo ladiagonal d el resto se deduce:los 2 vrtices restantes estarn endos arcos capaces de 90. Es untrazado similar al anterior.

dA B

1. Trazamos la mediatriz y los dosarcos capaces de 90.

A d B

C

D

2. Los vrtices C y D estn en elcorte entre la mediatriz y los arcos.


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3.- Dibujar un tringulo rectngulo del que conocemos la hipotenusa de 50 mm y un cateto de 25 mm.

hDatos:

c1

25

50

c2

4.- Dibujar un rectngulo del que conocemos la diagonal de 60 mm y un lado de 30 mm.

Analizamos: partiendo de lahipotenusa, trazamos el arcocapaz de 90 y sobre ltrasladamos la medida delcateto. Este ejercicio tendrdos soluciones si situamos el

cateto c1desde el vrtice B.

hA B hA B

c1

1. 2.C

30 Analizamos: partiendo de la diagonal, trazamos dos arcos capacesde 90 y sobre ellos trasladamos la medida del lado, uno por encimade la diagonal y otro por debajo. Este ejercicio tendr dos

soluciones como en el caso del tringulo rectngulo escaleno.

l2

60

l2 30 dDatos:

l1

hA B

1. 2.

hA B

l1

l1

C

D


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COMPRENDER EL ARCO CAPAZ

Para entender cmo se construye y por qu, hay que estudiardos ngulos de la circunferencia: el inscritoy el central (comprendido en l):

2

O

A B

r

r r

2

O

A B

O

m

90 -

A B

++90 = 180

+ = 180 - 90 += 90

= 90 -

Por qu el ngulo inscrito () es la mitad del central (2)?

Para responder a este problema variamos un poco el dibujo,moviendo el ngulo inscrito para que uno de sus lados coincidacon un lado del central.

Al hacerlo as, vemos cmo aparecen dos tringulos isscelescon vrtices en O y lados iguales r (radio). Sabemos que alados iguales le corresponden ngulos iguales, por lo que en eltringulo de la derecha tendremos ngulos,y.

21

Si observamos el dibujo, hay dos tipos de ngulos:

- El inscrito() que est formado por dos cuerdas que

van a los puntos A y B.- El central (2), formado por dos radios y que

tambin situamos respecto a A y B.

O

A B

Si la cuestin es saber por qu utilizamos un ngulo quemide 90 - , analizaremos el tringulo rectngulo de laizquierda, cuyo ngulo superior ser (la mitad del ngulo

central). La frmula que se obtiene es: + +90 = 180.Por tanto si des eamos lle amos a : = 90 -

4

La explicacin anterior nos va a servir para entender cmoobtenemos el arco capaz: recordemos que haba que trazar lamediatriz my cortarla con un ngulo (90 - ). Por qu serealizan estas dos operaciones? Si observamos bien,dividimos as el ngulo central en 2 tringulos rectngulos.

3

Como podemos observar: + += 180

2 += 1802 = 180 -

Ocurre igual al sumar:ngulo central+= 180ngulo central= 180 -

En consecuencia, siunimos las dos frmulas,vemos que el ngulocentral mide 2 , ya queambos son iguales.

Como puede apreciarse, el ngulo inscrito () es la mitad

del central correspondiente (2), lo cual analizaremos.


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Nombre:__________________________________________________________Grupo:_________________

1. Dibujar un hexgono regulardel que conocemos la circunferencia circunscrita.

- Dicha circunferencia viene dada por los puntos A, B y C.

- Uno de los vrtices del he!"ono es el punto #.

A

B C

2. $allar los puntos del plano que est!n a%& mm.de la rectar ' (& mm. del punto P.

P

r


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A B

1. Dibuja dos circunferencias que pasen por los puntos Ay By tengan un radio de 25 mm.

2. Dibujar una circunferencia de la que conocemostres puntos: el punto Cse encuentra por debajo, a70 mm. del punto A y 40 mm. del punto B.

A

B

3. Traar rectas perpendiculares a la recta dada rque pasen por los puntos A yB.

4. Traar la bisectriz a un !ngulo dado por las rectas

concurrentes "m# y "n#.

n

m r

A

P

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