04 - 2 - F.13 - Respuestas Dinàmicas de Sistemas

Departamento de Diseo Mecnico Instrumentacin Industrial

RESPUESTAS DINMICAS DE SISTEMAS


RESPUESTAS NATURAL Y RESPUESTA FORZADA.-

Supongamos un sistema de primer orden, un tanque con descarga a la atmsfera.

qRpp h.21 = (H) flujo laminar

Adems: hgpp ..21 =

dtdhAhA

dtd

dtdVq TT .).( === dt

dhARhg Th... =

Una solucin a ste sistema se conoce como respuesta natural, dado que las entradas del sistema NO fuerzan la variable h para que cambio.

0... =+ hgdtdhAR Th ecuacin de primer grado sin trmino forzante.

Ahora:

1... qhgdtdhAR Th =+

Ahora q1, fuerza la respuesta de la salida.


RESPUESTAS TRANSITORIA Y ESTADO ESTACIONARIO.-

Respuesta transitoria: es la parte de la respuesta de un sistema que se produce cuando hay un cambio en la entrada y que desaparece despus de un breve lapso de tiempo.

Respuesta estacionaria: es la respuesta que permanece una vez que desaparecen todas las respuestas transitorias.

Supongamos, un resorte suspendido en forma vertical y en un instante se le col oca un peso

Respuesta

La incorporacin del peso es una entrada tipo escaln:

Otros tipos de entradas posibles:

Impulso de breve duracin Rampa de la forma tky .= Senoidal tsenky .= f.2pi =

Obs.: tanto la entrada como la salida estn en funcin del tiempo.


SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.----

xbyadtdy

a .. 001 =+ genrica

Entrada forzadora

(i) Resolvemos la ecuacin homognea: 0.01 =+ yadtdy

a

Suponemos solucin: tseAy ..= con A y s constantes

tsesAdtdy

.

..=

0..... .0.

1 =+tsts eAaeAsa 0. 01 =+ asa

1

0

a

as =

Solucin: t

a

a

eAy.

1

0

.

= respuesta natural

La constante A se determina con las condiciones iniciales:

Supongamos para t=0, y=0 A=1

salida

1

t

|

Sistema X(t) Y (t)


(ii) Resolvemos la ecuacin forzada: xbyadtdy

a .. 001 =+

Suponemos solucin vuy += una representa la parte transitoria y la otra representa la solucin de la parte estacionaria.

xbvuavudtd

a .).()( 001 =+++ xbvadtdv

auadtdu

a .)..()..( 00101 =+++

Entonces,

(a) xbvadtdv

a ... 001 =+

(b) 0.. 01 =+ uadtdu

a ya resuelta, t

a

a

eAu.

1

0

.

=

Obs.: para la ecuacin (a), la solucin va a depender de la funcin de entrada x(t)

Supongamos una entrada tipo escaln x= cte >0 para todo t

Se prueba con solucin de la forma kv =

Supongamos que en t=0, existe x=k entrada escaln,

Probamos con Av =

kbvadtdv

a ... 001 =+ kbAa .. 00 = ka

bv .

0

0=

Si la entrada es: ...... 2 +++= tctbax con a,b,c, . cte, probar con: ...... 2 +++= tCtBAv

Si la entrada es: senoidalsealx _= , probar con: tsenBtAv .cos. +=


Solucin general: ka

beAy

ta

a

..

0

0.

1

0

+=

CI: y=0 para t=0 ka

bA .0

0=

=

ta

a

eka

by.

10

1..0

0

y para t ka

by .0

0

si entrada: entonces, su salida:

ka

b.

0

0


Ejemplo 1:

entrada escaln, Ve =

VvdtdvRC =+.

Reconocemos:

RCa =1 , 10 =a , 10 =b

Solucin:

=

tRC

eVv.

1

1.

Ejemplo 2: Mismo circuito anterior con R=1M y C=2F. En t=0, el circuito recibe un voltaje rampa de la forma 4t V

Entonces, tvdtdvRC 4. =+ tv

dtdv 4.2 =+

Suponemos solucin 21 uuv +=

Entonces:

(a) 0..2 101 =+ uadtdu

, solucin, tseAu .1 .=

(b) tudt

du 4.2 22 =+

(a) 0....2 .. =+ tsts eAeAs 01.2 =+s 21

=s 21 .

t

eAu

=

(b) Probamos con: BtAu +=2


tBtAB 42 =++ 4=B , 8=A

tu 482 +=

Solucin: teAuuvt

48. 221 +=+=

CI: t=0, v=0 8=A solucin: tevt

48.8 2 +=


LA CONSTANTE DE TIEMPO.LA CONSTANTE DE TIEMPO.LA CONSTANTE DE TIEMPO.LA CONSTANTE DE TIEMPO.----

Para un sistema de primer orden la salida es:

=

ta

a

eka

by.

10

1..0

0

Es de la forma: =y (valor en estado estacionario).

ta

a

e.

10

1

Se observa que para 0

1

a

at = , el trmino exponencial queda de la forma: 37,0

1

=

e

=y (valor en estado estacionario). ( )37,01

Si 0

122a

at == 14,02 =e , en ese instante la salida aument a 0,86 de su valor de

rgimen.

Entonces:

t %salida

0 0

0,63

2 0,86

3 0,95

4 0,98

5 0,99

1

Por lo tanto, en ese instante, el vapor de la salida aument a 0,63 de su valor de rgimen.

A ste lapso de tiempo transcurrido, se le llama CONSTANTE DE TIEMPO


Entonces, =y (valor en estado estacionario).

ta

a

e.

10

1 = (valor en estado estacionario).

t

e1

xbyadtdy

a .. 001 =+ xa

bydtdy

.

0

0=+

y 0

0

a

b es la Ganancia en Rgimen o en estado estacionario.

xGydtdy

.=+


SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.----

Sea un sistema constituido por un resorte, masa y amortiguador:

Su ecuacin: Fxkdtdx

cdt

xdm =++ ... 2

2

Obs.: la manera como el desplazamiento x, vara con t, depender de la magnitud de amortiguamiento presente en el sistema.

- Si Faplicada = escaln, c=0, la masa puede oscilar en forma libre en el resorte y las oscilaciones continuarn de manera indefinida.

- Si hay amortiguamiento, las oscilaciones tienden a desaparecer hasta que se obtiene un desplazamiento estable de la masa.

- Si el amortiguamiento es suficiente, no se producen oscilaciones y el desplazamiento de la masa aumenta poco a poco con el tiempo, y la masa se mueve de manera gradual en torno a su posicin de desplazamiento estable.


Supongamos una masa suspendida del extremo de un resorte.

En ausencia de amortiguamiento y permitiendo que oscile en forma libre sin forzarlo, la salida del sistema de segundo orden es una oscilacin continua (movimiento armnico simple)

(1) Supongamos oscilacin de la forma: tsenAx n.=

tAdtdx

nn cos..= y xtsenAdtxd

nnn ...22

2

2

==

0.222

=+ xdt

xdn

(2) Supongamos una masa m, suspendida en un resorte de rigidez k

xkdt

xdm .. 2

2

= 0.. 22

=+ xkdt

xdm

Sea m

kn =

2 tsenAx n.= es solucin a la ecuacin diferencial

(3) Ahora supongamos la situacin con amortiguamiento:

Se cumple Fxkdtdx

cdt

xdm =++ ... 2

2

Fxxkxxdtd

cxxdtd

m fnfnfn =+++++ ).()(.)(. 22


Entonces:

(i) 0... 22

=++ nnn xk

dtdx

cdt

xdm

(ii) Fxkdt

dxc

dtxd

m fff

=++ ... 2

2

(no homognea)

Solucin a ecuacin transitoria:

Supongamos solucin de la forma: tsn eAx.

.=

tsn eAsdt

dx.

..= y tsn eAsdt

xd.2

2

2

..=

0........ ...2 =++ tststs eAkeAsceAsm 0.. 2 =++ kscsm ((1))

tsn eAx

.

.= es solucin, si se cumple ((1)) (ecuacin auxiliar o caracterstica)

m

kmkc

m

km

c

m

km

c

m

c

m

kmccs

=

=

=

42222)..4( 222

Se define: m

kn =

2 y mkc

4

22

=

Entonces: )1( 2 = nns

: FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO.

Si: 12 > , 0> , races reales. Si: 12


- si, 12 > )1( 21 += nns

)1( 22 = nns

Solucin general: tstsn eBeAx.. 21

.. += SISTEMA SOBREAMORTIGUADO.

- si, 12 = nss == 21

Solucin general: tn netBAx.)..( += SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO.

- si, 12


y tjsente tj += cos..

tjsente tj = cos..

)coscos.(.. tjBsentBtjAsentAex tn n ++=

).cos..())(cos).(( .... tsenjQtPetsenBAjtBAe tt nn +=++= SISTEMA SUBAMORTIGUADO

Solucin para la parte forzante: Fxkdt

dxc

dtxd

m fff

=++ ... 2

2

Obs.: la solucin depender de la seal de entrada.

Supongamos una entrada tipo escaln de valor F solucin cteAx f ==

022

==

dtdx

dtxd ff

FAk =. kFA =

Entonces, la solucin general: resp. natural + resp. forzada es:

- SISTEMA SOBREAMORTIGUADO: kF

eBeAx tsts ++= .. 21 ..

- SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO: kF

etBAx tn ++= .)..(


- SISTEMA SUBAMORTIGUADO: kF

tsenjQtPex tn ++= ).cos..(..

Obs.: cuando t , las tres soluciones kF

x Valor estacionario.

Ejemplo 1: R=100

L=20Hy

C=20F

Ecuacin que gobierna: LCVi

LCdtdi

LR

dtid

=++ .1

.2

2

Reconociendo trminos:

LCn12

= Hzn 158=

( )( )LC

LR

14

2

2= 16,0= 1


CI: en t=0, i=0 y 0=dtdi

Evaluando, )156.16,0156.(cos. .3,25 tsenjteVVi t =

Ejemplo 2: Supongamos un extremo fijo y en el otro se aplica el par de entrada.

Fuerzas que se oponen:

- Rigidez de torsin del eje .k

- Amortiguamiento c.dtd

En qu condiciones ste sistema es crticamente amortiguado?

.. kdtd

cCC entneto =

.... 22

kdtd

cCdtdII ent == entCkdt

dc

dtdI =++ ... 2

2

Amortiguamiento crtico: 1= kI

c

.4

22

= 1..2

==

kIc

kIc ..2=


FORMAS DE MEDIR EL COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS FORMAS DE MEDIR EL COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS FORMAS DE MEDIR EL COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS FORMAS DE MEDIR EL COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS

DE SEGUNDO ORDEN.DE SEGUNDO ORDEN.DE SEGUNDO ORDEN.DE SEGUNDO ORDEN.----

Para describir ste comportamiento, se utilizan ciertos trminos especficos:

(1) Tiempo de subida: (tr) es el tiempo que tarda la respuesta y para aumentar su valor de 0 al valor de estado estacionario.

tr: tiempo necesario para que la respuesta oscilante complete de ciclo: pi/2.

2.

pi =rt

NOTA: por lo general, el tiempo de subida se define como el tiempo que la respuesta tarda en aumentar su valor desde un determinado porcentaje del valor de estado estacionario. Por ej.: 10% al 90%.

(2) Tiempo de valor mximo o tiempo de pico: (tp) es el tiempo que tarda la respuesta en aumentar desde 0 hasta el primer valor mximo o de pico.

Tp: es el tiempo necesario para que la respuesta oscilante complete medio ciclo.

pi =pt.

(3) Sobrepico o sobreimpulso: es la cantidad mxima que la respuesta sobrepasa al valor de estado estacionario.

Obs.: el sobreimpulso en general se expresa como un porcentaje del valor de estado estacionario ye.

sobrepico

ye


e

t ytsenjQtPey n ++= ).cos..(..

En t=0, y=0 eyP =

El sobrepico se produce cuando pi =pt. eyPeyn

+= ).(..

pi

pi ..

.

n

eyyysosobreimpul ee

==

y )1( 2 = n )1(.

..

)1(...

..

22

..

pi

pi

== eyeysosobreimpul ee nn

Expresado como porcentaje del valor de estado estacionario: %100x)1(.

..

2pi

= esosobreimpul

(4) Tasa de descenso o decremento: es una indicacin e la rapidez de la disminucin en la amplitud de las oscilaciones. Es igual a la amplitud del segundo sobreimpulso dividido entre la del primer sobreimpulso.

Primer sobreimpulso: pi =t. )1(.

..

2

...

pi

= eyIS e

Segundo sobreimpulso: pi 2. =t )1(..2

..

2

...

pi

= eyIS e

Entonces, Tasa de descenso )1(.

..

2pi

= e


(5) Tiempo de estabilizacin: (ts) es una medida del tiempo que las oscilaciones tardan en desaparecer. Es el tiempo que tarda la respuesta en llegar a determinado valor y permaneces dentro de cierto porcentaje especificado. Por ej.: 2% de ye.

e

t ytsenjQtPey n ++= ).cos..(..

Obs.: los valores mximos se producen cuando t. es mltiplo de pi 1cos =t y 0=tsen

2% de ye: ).(.02,0 .. ete yey n= sn tL ..)02,0( = n

st .4

Obs.: el valor hallado, es el valor del tiempo de estabilizacin si el porcentaje especificado es 2%.

Si por ej. ts se define para 5%ye. n

st .3

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