04 capitolul IV.pdf

8/19/2019 04 capitolul IV.pdf

1/65

Petru Florin Gavril Capitolul IV - Matrice

101

CAPITOLUL IV - MATRICE

IV.1. Matricea în algebră

IV.1.1. Generalităţi. Notaţii şi definiţii

Definiţia 4.1.1

O ecua ţie liniară cu n necunoscute x 1 , x 2 , ...,x n este o ecuaţie de forma

a1 x1+a2 x2+......+an xn=b (1)

unde ai(i=1,2,...,n) şi b sunt numere complexe.

Vom considera un sistem de m astfel de ecuaţii cu n necunoscute:

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

...

.............................................

...

...

2211

22222121

11212111

(2)

unde aij,bi(i=1,2,...,m,j=1,2,…,n) sunt numere complexe. Numerele aij poartă numele de

coeficienţi ai necunoscutelor, iar numerele bi se numesc termeni liberi.

A rezolva sistemul (2) înseamnă a determina toate sistemele ordonate de numere

(α1, α2, ... αn) astfel încât înlocuim în sistem necunoscutele x1, x2, ...,xn respectiv cu

numerele α1, α2, ... αn fiecare dintre ecuaţiile sistemului este verificată. Se ştie că un astfel

de sistem pentru cazul n=m=2 sau n=m=3 se pot rezolva folosind metoda substituţiei sau a

reducerii. Cum practica impune rezolvarea unor sisteme de forma (2) care au un număr

mare de ecuaţii şi necunoscute, există metode generale de rezolvare prin operaţii aplicate

coeficienţilor necunoscutelor precum şi termenilor liberi ai sistemului. Acest lucru impune

un studiu mai atent al sistemelor de ecuaţii liniare, studiu în care un rol important îl au

următoarele două matrice:

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

respectiv A =

Prima matrice se numeşte matricea sistemului (2) , iar a doua matrice este cunoscută sub

numele de matricea extinsă a sistemului (2) . În capitolul următor vom vedea clar

importanţa acestor două matrice în studiul sistemelor de ecuaţii liniare.

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

...

...............

...

...

21

222221

111211


2/65


102

Noţiunea de matrice:

Fie M = 1, 2, … m, N = 1, 2, … n mulţimea primelor m respectiv n numere naturale

nenule. Vom nota cu C, aşa cum am obişnuit, mulţimea numerelor complexe şi fie E C.

Definiţia 4.1.2 Numim matrice de tipul (m, n) cu elemente din E o funcţie A : M N → E, astfel

încât perechii ordonate (i, j) îi corespunde elementul aij E,:

A(i, j) = aij E, () (i, j) M N.

Reprezentarea în mod natural a unei matrice este un tablou bidimensional cu m linii şi n

coloane se face astfel:

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

(3)

Datorită notaţiei (3), în loc de matrice de tipul (m, n) se mai spune matrice cu m linii şi n

coloane. Numerele aij se numesc elementele matricii A; i reprezintă linia, iar j reprezintă

coloana în care este situat elementul aij al tabloului A.

De multe ori matricea A se mai notează şi astfel:

A =n j

miija

1

1 sau A =n j

miija,...1

,...1

(3’)

Restricţia funcţiei A la mulţimea elementelor de forma (i, 1), (i, 2), … (i, n) defineşte linia

de rang i a matricei. De fapt, linia de rang i a matricei este determinată de şirul de

elemente ai1, ai2, … ain, i 1, 2, … m.

În mod analog, restricţia funcţiei A la mulţimea elementelor de forma (1, j), (2, j), … (n, j),

unde j 1, 2, … n, defineşte coloana de rang j a matricei A.

O matrice de tipul (m, n) are m*n elemente.

Noţiunea de matrice a fost introdusă în studiul sistemelor de ecuaţii liniare de cătrematematicianul englez Arthur Caylay (1821-1895) în anul 1858. El a folosit notaţia A =

n jmiija

11 , notaţia (3’) fiind introdusă de M. Bocher în anul 1919.

Noţiunea de matrice s-a introdus pentru „ algebrizarea noţiunii de reprezentare geometrică”

– unei transformări geometrice asociindu-i-se o matrice pentru a reduce studiul

transformărilor geometrice la studiul matricelor.

Matricele pot fi gândite şi ca o generalizare a vectorilor – vectorii sunt matrice cu o singură

linie sau cu o singură coloană.


3/65


103

Cazuri particulare:

1) Dacă n = 1, matricea de tipul (m, 1) se numeşte matrice coloană şi este de

forma:

A =

1

31

21

11

ma

a

a

a

.

2) Dacă m = 1, matricea de tipul (1, n) se numeşte matrice linie şi este de forma:

A = (a11, a12, a13, … a1n)

3) Dacă m = n, matricea de tipul (m, n) se numeşte matrice pătratică de ordinul n

şi este de forma:

A =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

.

Pentru o matrice pătratică de ordin n, sistemul ordonat de elemente

(a11, a22, a33, … ann) se numeşte diagonala principală a matricei A, iar sistemul ordonat de

elemente (a1n, a2n-1, a3n-2, … an1) se numeşte diagonala secundară a matricei A.Suma de forma a11 + a22 + a33 + … + ann se numeşte urma matricei A şi se

notează:

Tr(A) =

n

i

iia1

.

Vom nota cu M n(C) mulţimea tuturor matricelor pătratice de ordin n cu elemente din C şi

cu M mn(C) mulţimea tuturor matricelor de tip (m, n) cu elemente din C. În mulţimea M

n(C) există şi următoarele cazuri particulare de matrice: 1) matricea unitate de ordin n de forma:

In =

1...000

...............

0...010

0...001

cu a11 = 1, i = 1, … n şi aij =0, () i j.

Se mai notează astfel:

In = (ij) n ji ,1 , unde ij este simbolul lui Kronecker, definit astfel


4/65


104

ij =

jidaca

jidaca

0

1.

2) matricea diagonală de ordin n de forma:

A =

nna

aa

...000

...............

0...000...00

22

11

= (aij∙ij) n ji ,1 .

3) matrice triung hiulară de ordin n care poate fi de forma:

A1 =

nnnnn aaaa

aa

a

...

...............

0...0

0...00

321

2221

11

sau A2 =

nn

n

n

a

aaa

aaaa

...000

...............

...0

...

22322

1131211

.

Este matricea în care aij = 0 pentru i j, sau pentru i j.

A1 se numeşte matrice triunghiulară inferior, iar A2 se numeşte matrice

triunghiulară superior

4) matricea scalară de forma:

A =

...000

...............

0...00

0...00

, unde α C.

5) matricea nulă este matricea în care toate elementele sunt egale cu 0; este de

forma:

0n =

0...000

...............

0...000

0...000

În mulţimea M mn(C) distingem câteva submulţimi importante şi anume:

M mn( ) care reprezintă mulţimea matricelor pătratice de tipul (m, n) cu elemente numere

reale, M mn(Q) care reprezintă mulţimea matricelor pătratice de tipul (m, n) cu elemente

numere raţionale, M mn(Z) care reprezintă mulţimea matricelor pă tratice de tipul (m, n) cu

elemente numere întregi.

Este clar că avem incluziunile:

M mn(Z) M mn(Q) M mn( ) M mn(C).


5/65


105

Elementele mulţimii M mn(C) se notează cu litere mari din alfabetul latin: A, B, C, … sau

A’, B’, C’, … .

Egalitatea matricelor

Fie A şi B M mn(C) două matrice. Cum A şi B sunt funcţii A, B : M N → C, spunemcă matricele A şi B sunt egale dacă şi numai dacă sunt egale ca funcţii.

Deci, A = B () i M, j N, A(i, j) = B(i, j).

Folosind notaţia (3) corespunzătoare unei matrice şi presupunând că:

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

şi B =

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

...

............

...

...

21

22221

11211

Atunci A = B aij = bij, () i M, j N.

IV.1.2. Operaţii cu matrice

IV.1.2.1 Adunarea matricelor

Definiţia 4.1.3

Fie A, B M m n( C ), A =n jmiija

11 , B =

n jmiijb

11 . Definim matricea

C =n jmiijc 1

1 astfel:

cij = aij + bij , () i = m,1 , j = n,1 .

Matricea C se numeşte suma matricelor A şi B şi se notează C = A + B.

Definiţia 4.1.4

Operaţia internă pe M m n( C ), prin care oricăror două matrice A, B se asociază

suma lor C, se numeşte adunarea matricelor.

Observaţie: Are sens să vorbim de adunarea matricelor doar dacă ele sunt de acelaşi tip.

Proprietăţile adunării matricelor:

1) Comutativitatea: ()A, B M mn(C), A + B = B + A.

2) Asociativitatea: ()A, B, C M mn(C), (A + B) + C = A + (B + C).

Demonstraţia decurge din asociativitatea numerelor complexe.

3) Element neutru: matricea nulă (cu toate elementele nule) are rol de element

neutru la adunarea matricelor, adică: ()A M mn(C), A + Omn = Omn + A.


6/65


106

4) Matricea opusă: ()A M mn(C), () – A M mn(C), astfel încât

A + (-A) = (-A) + A = Omn

Observaţii:

1) Proprietăţile de mai sus arată că mulţimea M mn(C) are o structură de grupabelian.

2) Odată cu adunarea, se defineşte şi operaţia de scădere a matricelor. Prin

diferenţa A-B se înţelege matricea A+(-B).

3) Ecuaţia matriceală B + X = A, unde A, B M mn(C) are drept soluţie unică

matricea X = A-B, cu X M mn(C).

IV.1.2.2. Înmulţirea matricelor cu scalari din corpul K

Definiţia 4.1.5Se numeşte produs dintre numărul λ K şi matricea A =

n jmiija

11 M m n( K ),

matricea B =n jmiijb

11 M m n( K ), notată B = λA, unde b ij= λaij.

Deci, înmulţirea cu scalari din corpul K a matricelor din M mn(K ) este o operaţie

externă, care asociază fiecărei perechi (λ, A) K M mn(K ) o matrice λA M mn(K ).

Observaţie:

Înmulţirea cu scalari din corpul K se poate defini pentru orice matrice, adică esteo operaţie peste tot definită pe M (K ), unde am notat cu M (K ) mulţimea tuturor matricelor

cu elemente din corpul K.

Operaţia astfel definită are următoarele

Proprietăţi:

1) 1∙A = A, 1 K este elementul unitate din K.

2) λ∙(∙A) = (λ∙)∙A, unde λ, K, A M (K ).

3) λ∙(A + B) = λ∙A + λ∙B, unde λ K, A, B M (K ).4) (λ + )∙A = λ∙A + ∙A, unde λ, K, A M (K ).

Se constată deci că operaţiile de adunare şi înmulţire a matricelor cu scalari din

corpul K determină pe M mn(K ) o structură de spaţiu liniar peste corpul K.

IV.1.2.3. Înmulţirea matricelor

Definiţia 4.1.6

Fie A =n jmiija

11 o matrice de tip (m, n) şi B =

p jniijb

11 o matrice de tip (n, p). Prin

produsul matricelor A şi B, notat AB se înţelege o nouă matrice C= p jmiijc

11 de tipul (m, p)


7/65


107

în care orice element cij situat la intersecţia liniei „i” cu coloana „j” este egal cu suma

produselor elementelor din linia „i” a matricei A cu elementele din coloana „j” a matricei

B, efectuată după regula următoare.

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj = kjn

k

ik ba1 , ( ) i= m,1 , j= n,1 (1)

Proprietăţi:

1) Distributivitatea faţă de adunare

Dacă A M mn(K ), iar B1, B2 M n p(K ), atunci are loc relaţia:

A(B1 + B2) = A B1 + AB2 (2)

Dacă A1, A2 M mn(K ), iar B M n p(K ), atunci are loc relaţia:

(A1 + A2)B = A1B + A2B (3)

2) Asociativitatea

() A M mn(K ), B M n p(K ) şi C M pq(K ), are loc egalitatea:

(AB)C = A(BC) (4)

3) () A M mn(K ), au loc relaţiile:

ImA = A (5)

AIn = A (6)

unde Im este matricea unitate de ordin m, iar I n matricea unitate de ordin n.

4) () A M mn(K ), au loc relaţiile:

O pm ∙ A = O pn (7)

A ∙ Onp = Omp (8)

unde O pm , O pn , Onp , Omp sunt matrice nule.

5) Înmulţirea matricelor, în general, nu este comutativă

Definiţia 4.1.7

Dacă A ∙B = B ∙A, atunci matricele A şi B se numesc permutabile.

Observaţii:

1) Matricea nulă On şi matricea unitate In de ordin n sunt permutabile cu orice

matrice de acelaşi ordin, adică au loc relaţiile următoare:

A ∙ In = In ∙ A = A (10)

A ∙ On = On ∙ A = On (11)

() A M nn(K ).


8/65


9/65


109

Propoziţia 4.1.1

Mulţimea matricelor simetrice de ordin n formează un subspaţiu liniar al

spaţiului liniar M n( K ).

Observaţie:

Produsul a două matrice simetrice nu este, în general, o matrice simetrică.

Definiţia 4.1.10

O matrice A se numeşte antisimetrică dacă satisface condiţia:t A = - A.

Observaţie:

Într -o matrice antisimetrică, elementele situate simetric în raport cu diagonala

principală sunt opuse, iar elementele diagonalei principale sunt nule, adică:

aij = a ji , () i, j = 1, 2, … n, i j

aii = 0, () i = 1, 2, … n.

Propoziţia 4.1.2

Mulţimea matricelor antisimetrice de ordin n formează un subspaţiu liniar al lui

M n( K ).

Propoziţia 4.1.3

Produsul a două matrice antisimetrice de ordin n, permutabile între ele, este o

matrice simetrică de ordin n.

Definiţia 4.1.11

O matrice A M n( ) se numeşte ortogonală dacă şi numai dacă A∙t A = I n , unde

I n este matricea unitate de ordin n.

Definiţia 4.1.12

O matrice A M n( C )este cu elemente pur imaginare dacă aij=

ija , ( )i, j= n,1

unde

ija este conjugatul numărului complex a ij.

Definiţia 4.1.13

O matrice A M n( C ) se numeşte hermitică dacă A =t ( A ).

Definiţia 4.1.14

O matrice A M n( C ) se numeşte antihermitică dacă A = -t ( A ).

Definiţia 4.1.15

O matrice A M n( C ) se numeşte unitară dacăt ( A )∙A = A ∙ t ( A ) = I n.


10/65


110

IV.1.4. Permutările unei mulţimi finite. Determinanţi.

Permutările unei mulţimi

Definiţia 4.1.16

Să notăm cu A mulţimea primelor n numere naturale, adică A = 1, 2, …, n.O funcţie bijectivă σ : A A se numeşte permutare (substituţie) de gradul n.

Observaţii:

1.Vom nota mulţimea tuturor permutărilor de gradul n cu Sn sau cu σn, iar

elementele din Sn le vom nota cu litere mici greceşti: υ, ψ, θ, …, σ, τ. Se

obişnuieşte ca o permutare σ de gradul n să se noteze astfel:

σ =

n

n

.........21

...........21

2. Numărul tuturor permutărilor de gr ad n este n!.

În mulţimea Sn distingem un element remarcabil şi anume funcţia identică

1A : A A, care poartă numele de permutare identică, notată cu e. Aşadar,

e =

n

n

...321

...321.

Definiţia 4.1.17

Fie A = 1, 2, …, n. Definim submulţimea M = (i, j) / 1≤ i j ≤ n. Dacă σ S neste o permutare de gradul n, o pereche ordonată (i, j) M se numeşte inversiune a

permutării σ dacă σ(i) σ(j).

Vom nota cu m(σ) numărul tuturor inversiunilor permutării σ. Se observă că m(σ)

este cel mult egal cu numărul elementelor mulţimii M, care este egal cu C 2n .

Deci, 0 ≤ m(σ) ≤ C 2n = 2

)1( nn.

Numărul ε(σ ) = (-1)m(σ)

se numeşte signatura permutării σ. Permutarea σ se numeşte pară, respectiv impară dacă ε(σ ) = +1 respectiv

ε(σ ) = -1.

Determinanţi

Definiţia 4.1.18

Se numeşte determinant asociat unei matrice de ordin 2 cu a ij K,

K – corp comutativ, i, j 1, 2 , A =

2221

1211

aa

aa , numărul Δ K, notat cu:


11/65


111

Δ = detA =2221

1211

aa

aa = a11a22 - a12a21

Observaţie:

Mulţimea S2 a permutărilor mulţimii 1, 2 este formată din două elemente:

σ1 =

21

21 şi σ2 =

12

21. m(σ1) = 0; m(σ2) = 1 deci σ1 – permutare pară, iar σ2 –

permutare impară.

Definiţia 4.1.19

Se numeşte determinant asociat unei matrice de ordin 3 cu a ij K (K – corp

comutativ), i, j 1, 2, 3 , A=

333231

232221

131211

aaaaaa

aaa

, numărul Δ K, notat cu:

Δ = detA =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= 3

3

21 321 i

S

ii aaa

Definiţia 4.1.22:

Se numeşte determinant asociat unei matrice pătratice de ordin n cu a ij K

( K – corp comutativ) , i, j 1, 2, …, n , A =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

numărul unic

determinat Δ K, dat de formula:

Δ = detA =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

= nS

nnaaa

)()2(2)1(1 ...)(

Observaţii:

1. Produsul a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n) se numeşte termen al determinantului de ordinul n.

2. Uneori numărul Δ = detA se mai notează prescurtat şi A saun jniija

11 .

3. În formula determinantului unei matrice există n! termeni, dintre care n!/2 au

semnul (+), iar n!/2 au semnul (-).


12/65


112

4. Definiţia determinantului se aplică şi matricelor de ordin 1, când A = (a 11). În

acest caz, detA = a11.

5. Noţiunea de determinant are sens numai pentru matrice pătratice.

Teorema 4.1.1

Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (sau

coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi

matricea A.

Teorema 4.1.2

Dacă A, B sunt două matrice pătratice de ordin n cu elemente din acelaşi corp,

atunci det(AB) = detA ∙ detB.

Calculul determinanţilor

Calculul determinanţilor de ordin doi şi trei

Fie determinantul de ordin doi

Δ =2221

1211

aa

aa

cu două linii şi două coloane format din 4 elemente. Valoarea determinantului (4) este dată

de expresia

Δ = a11a22 – a12a21

Valoare care se obţine făcând diferenţa dintre produsul elementelor de pe

diagonala principală şi produsul elementelor de pe diagonala secundară.

Să considerăm acum determinantul de ordin trei

Δ =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Valoarea acestui determinant poate fi calculată în două moduri şi anume:

Regula triunghiurilor

Valoarea determinantului (5) este dată de expresia:

Δ = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a32

Termenii cu „+” din (5’) sunt: produsul elementelor de pe diagonala principală şi

două produse de elemente situate în vârfurile a două triunghiuri (isoscele) care au bazele

paralele cu prima diagonală (vezi Fig.1). Termenii cu „-” sunt: produsul elementelor de pe


13/65


113

diagonala secundară şi două produse de elemente situate în vârfurile a două triunghiuri

(isoscele) care au bazele paralele cu diagonala secundară (vezi figura4.2).

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Figura 4.1 Figura 4.2

Calculul determinanţilor de ordin n

Fie determinantul de ordin n următor:

d =

nnnnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

321

2232221

1131211

Determinantul de ordin n-1 care se obţine din d suprimând linia i şi coloana j se

numeşte minorul elementului aij şi se notează cu d ij.

Numărul Aij = (-1)i+j

dij se numeşte complementul algebric al elementului aij în

determinantul d.

Teorema 4.1.3

Fie determinantul de ordin n, d =n jniija

11 . Atunci, ( ) 1 ≤ i ≤ n are loc

egalitatea:

d = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + … + ain Ain

Egalitatea (1) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după linia i.

Teorema 4.1.4

Fie determinantul de ordin n, d =n jniija

11 . Atunci, ( ) 1≤ j ≤ n are loc

egalitatea

d = a1j A1j + a2j A2j + … + anj Anj

Egalitatea (3) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după coloana j.


14/65


114

Determinanţi triunghiulari

Sunt acei determinanţi care au toate elementele situate deasupra uneia din diagonale, nule.

Δ =

nnnn aaa

aa

a

...

............

00

000

21

2221

11

(1)

Dezvoltându-l după prima linie, vom avea:

Δ = a11

nnnn aaa

aa

a

...

............

0...

0...0

32

3332

22

Procedând analog, vom obţine:

Δ = a11 a22 a33 … an-1n-1 ann.

Valoarea unui determinant triunghiular de tipul (1) este egală cu produsul elementelor de

pe diagonala principală.

Determinanţi simetrici şi antisimetrici

1) Un determinant Δ =n jniija

11 se numeşte simetric, dacă elementele simetrice faţă

de diagonala principală sunt egale, adică aij=a ji

Un astfel de determinant are2

)1( nn elemente diferite.

2) Un determinant Δ =n jniija

11 se numeşte antisimetric, dacă elementele sale au

proprietatea aij = - a ji adică elementele simetrice faţă de diagonala principală

sunt egale şi de semn contrar.

IV.1.5. Rangul unei matrice. Matrice inversabile

Rangul unei matrice

Fien jmi jia A

11, )( o matrice din M mn(C) şi k N astfel încât 1 ≤ k ≤ min(m,n).

Dacă luăm din matricea a k linii şi k coloane, elementele care se găsesc la intersecţia

acestor linii şi coloane formează o matrice pătratică al cărei determinant se numeşte mino r

de ordin k al matricei A.

Din matricea A se pot obţine k n

k

m C C minori de ordin k.


15/65


16/65


116

iterative prezentate în capitolul IV al prezentei lucrări, precum şi cu ajutorul

sistemelor de ecuaţii liniare prezentate în acelaşi capitol.

Matrice inversabile

Definiţia 4.1.24

O matrice pătratică A M n( K ) se numeşte singulară sau degenerată dacă

detA=0 şi se numeşte nesingulară sau nedegenerată dacă detA 0, unde prin detA am

notat determinantul matricei A.

Observaţie:

Matricea unitatea de ordin n, In, este nesingulară deoarece detIn = 1 0.

Definiţia 4.1.25

O matrice pătratică A M n( K ) este inversabilă dacă () B M n( K )astfel încât

A∙B = B∙A = I n.

Matricea B se numeşte inversa matricei A.

Observăm că şi A este inversa matricei B.

Teorema 4.1.7

Inversa unei matrice, dacă există, este unică.

Notaţie: Inversa unei matrice A, dacă există, se notează cu A-1 şi astfel vom avea:

A ∙ A-1 =A-1 ∙ A = In, de unde (A-1

)-1

= A.

Teorema 4.1.8

Fie A M n( K ) o matrice pătratică. Matricea A este inversabilă dacă şi numai

dacă este nesingulară (detA 0).

Proprietăţi:

1) Dacă A M n(K ) este inversabilă, atunci şi A-1

este inversabilă şi are loc

egalitatea (A-1

)-1

= A.

2) Dacă A M n(K ) este nesingulară, atunci şi A-1

este nesingulară deoarece are

loc egalitatea (A-1

)-1

= A.

3) Între determinantul matricei A şi determinantul matricei A-1 are loc egalitatea

det A-1

= Adet

1

4) Inversa matricei unitate de ordin n este tot matricea unitate de ordin n:

In-1

= In

5) Inversa matricei transpuse este egală cu transpusa matricei inverse:

(tA)-1 = t(A-1)


17/65


117

6) Dacă A şi B sunt matrice inversabile , de acelaşi ordin, atunci produsul lor

este AB este tot o matrice inversabilă şi inversa matricei produs este egală cu

produsul matricelor inverse, luate în ordine schimbată, adică:(AB)-1 = B-1A-1

7) Dacă A M n(Q) sau A M n( ), cu detA 0, atunci A-1

M n(Q) sau

A-1M n( ) .

8) Dacă A Mn(Z) şi detA = 1 , atunci A-1 Mn(Z), adică A este inversabilă

în Mn(Z).

9) Fie A, B Mn(C) astfel încât A să fie nesingulară şi ecuaţiile matriceale

A∙X=B, Y∙A=B. Soluţiile celor două ecuaţii sunt două matrice distincte,

deoarece înmulţirea matricelor în Mn(C) nu este comutativă.

X = A

-1

∙ B şi Y = B ∙ A

-1

.

IV.1.6. Sisteme de ecuaţii liniare

IV.1.6.1. Definiţii. Notaţii.

Sistemele de ecuaţii liniare intervin aproape în toate domeniile matematicii aplicate. În

unele cazuri, ele apar în mod natural, din însăşi formularea problemei. În alte cazuri,

sistemele de ecuaţii liniare rezultă din aplicarea unor metode numerice de rezolvare a

problemelor iniţiale. Problema aproximării funcţiilor şi problema rezolvării de sisteme de

ecuaţii diferenţiale sunt exemple tipice de astfel de probleme.

Definiţia 4.1.23:

Fie K un corp comutativ. Se numeşte sistem de ecuaţii liniare cu coeficienţi în K

în necunoscutele x1 , x2 , …, xn un ansamblu de egalităţi:

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

...

......................................

...

...

2211

22222121

11212111

(1)

unde aij , bi K .

Sistemul (1) poate fi scris sub formă condensată astfel:

n

j

i jij b xa1

, 1 ≤ i ≤ m (2)

Matricea de tip mn:


18/65


118

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

, notată şi A =n jmiija

11 , se numeşte

matricea coeficienţilor sistemului, iar matricea de tip m(n-1):

A =

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

...

...............

...

...

21

22221

111211

,

având primele n coloane, coloanele matricei A şi ultima coloană formată din coloana

termenilor liberi ai sistemului se numeşte matricea extinsă.

Matricea B =

mb

b

b

...

2

1

este matricea termenilor liberi, iar dacă notăm cu X =

m x

x

x

...

2

1

,

matricea necunoscutelor, sistemul (1) se mai scr ie şi sub forma matriceală:

A ∙ X = B (3)

Definiţia 4.1.24:

Un sistem ordonat de elemente n ,...,, 21 din K se numeşte soluţie a

sistemului (1), dacă înlocuind în (1) x j prin j , 1 ≤ j ≤ n, toate cele m ecuaţii sunt

verificate, adică

n

j

i jij ba1

, 1 ≤ i ≤ m.

Dacă sistemul (1) are măcar o soluţie, se spune că este compatibil determinat

dacă soluţia este unică şi nedeterminat, dacă există mai multe soluţii.

Dacă sistemul (1) nu admite soluţii, se spune că este incompatibil.

A r ezolva un sistem de ecuaţii liniare (1) înseamnă a decide dacă acesta este

compatibil sau incompatibil, iar în cazul compatibilităţii, a -i găsi soluţia unică, atunci când

este determinat, şi soluţia generală când este nedeterminat.

De studiul compatibilităţii unui sistem de ecuaţii liniare mă voi ocupa în

continuare în cadrul acestui capitol al lucrării, totodată trecând în revistă şi câteva clase

importante de astfel de sisteme.


19/65


119

IV.1.6.2. Sisteme de tip Cramer

Sistemele liniare de forma:

nnnnnn

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

...

......................................

...

...

2211

22222121

11212111

(4)

în care matricea A a sistemului este o matrice pătratică cu elemente din corpul comutativ

K , A M n(K ) şi B =t(b1, b2, …, bn) este o matrice nenulă de tip n1, sunt sisteme de tip

Cramer.

Sistemele de mai sus se pot scrie sub formă matriceală astfel:

A ∙ X = B (5)

unde, X =t(x1, x2, …, xn) este coloana necunoscutelor.

Teoremă: - regulile lui Cramer

Cu notaţiile de mai sus, dacă d = detA este nenul, atunci sistemul (4) are soluţie

unică şi anume

x1 =d

d 1 , x2 =d

d 2 , …, xn =

d

d n (6)

d j fiind determinantul care se obţine din d prin înlocuirea coloanei j cu coloana termenilor

liberi.

Observaţie:

Formulele (6) poartă numele de formulele lui Cramer. În concluzie, un sistem de

tip Cramer este compatibil determinat dacă matricea sa este nesingulară, iar soluţia este

dată de formulele (6). Pentru a găsi soluţia sistemului (4) avem de calculat aşadar n+1

determinanţi şi de efectuat n împărţiri.

IV.1.6.3. Sisteme de m ecuaţii cu n necunoscute

Revenim la un sistem de forma (1) prezentat la începutul capitolului, şi anume:

mnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

...

......................................

...

...

2211

22222121

11212111

(1)

Vom păstra de asemenea toate notaţiile făcute la început. Evident, în cele ce urmează, se

pune problema compatibilităţii unui astfel de sistem de ecuaţii liniare. Pentru rezolvarea

acestei situaţii există câteva rezultate remarcabile şi anume:


20/65


120

Teorema lui Kronecker-Capelli

Sistemul de ecuaţii liniare (1) este compatibil rangA = rang A .

Având în vedere consideraţiile făcute la calculul rangului unei matrice în

capitolul anterior, această teoremă se mai poate enunţa şi în felul următor:

Teorema lui Rouché:

Sistemul (1) este compatibil toţi minorii caracteristici sunt nuli.

După cum se poate observa, aceste teoreme nu spun nimic de rezolvarea propriu-

zisă a unui sistem de forma (1). Despre acest lucru ne vom ocupa în continuare.

Vom numi minor principal al unei matrice de rang r, un minor de ordin r nenul şi

minor caracteristic de ordin r+1 , minorul obţinut din minorul principal bordându-l cu

elemente corespunzătoare coloanei termenilor liberi, precum şi cu cele ale uneia din liniile

rămase din A .

Observaţie:

Minori caracteristici există dacă m r, iar numărul lor este egal cu m-r (m –

numărul de ecuaţii, iar r – rangul matricei A).

Presupunem că sistemul (1) este compatibil şi că rangA = r. Vom lua minorul

principal ca fiind situat la intersecţia primelor r linii cu primele r coloane din A:

rr r r

r

r

aaa

aaaaaa

...

............

...

...

21

22221

11211

0.

Orice linie i, i r, a matricelor A şi A este o combinaţie liniară a primelor r linii

(toţi minorii de ordin r fiind nuli). De aici rezultă că orice ecuaţie i (i r) a sistemului (1)

este o combinaţie liniară de primele r ecuaţii ale sistemului, cu anumiţi coeficienţi. De

aceea, orice soluţie a primelor r ecuaţii satisfac toate ecuaţiile din (1). Astfel, este suficient

să rezolvăm sistemul:

r nrnr r

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

...

.........................................

...

...

2211

22222121

11212111

(1’)

care va fi echivalent cu (1), având aceeaşi mulţime de soluţii.

Matricea noului sistem are rangul r, r ≤ n.


21/65


121

1) Dacă r = n, sistemul (1’) este de tip Cramer, compatibil determinat, iar soluţia

unică a sistemului, dată de formulele (6), va fi soluţia sistemului.

2) Dacă r n, fixăm minorul principal, necunoscutele corespunzătoare lui –

necunoscute principale şi trecem în (1’), în membrul drept, toţi termenii care

conţin necunoscutele secundare: xr+1, xr+2, …, xn. Acestora din urmă le atribuim

valori arbitrare, respectiv λ1, λ2, λ3, …, λn-r .

Se obţine sistemul:

r nrnr r r rr rr r r

r nnr r r

r nnr r r

aab xa xa xa

aab xa xa xa

aab xa xa xa

......

..........................................................................

......

......

11,2211

211,222222121

111,111212111

(1’’)

care este un sistem Cramer, compatibil şi se rezolvă cu ajutorul formulelor (6). Soluţia

unică a sistemului (1’’) este ( r ,...,, 21 ) iar ( r ,...,, 21 ,λ1, λ2, λ3, …, λn-r ) este

soluţia sistemului (1’), adică a sistemului (1). Deoarece λ1, λ2, λ3, …, λn-r sunt alese

arbitrar, obţinem pentru (1) o infinitate de soluţii, care constituie mulţimea tuturor

soluţiilor sistemului (1).

Deci, pentru a rezolva un sistem de m ecuaţii cu n necunoscute procedăm în felul următor:

1) Se studiază compatibilitatea sistemului. Pentru aceasta se caută un minor

principal al lui A, matricea sistemului, apoi se caută şi se calculează minorii

caracteristici.

Putem avea cazurile:

există cel puţin unul nenul, sistemul fiind astfel incompatibil;

toţi sunt nuli, sistemul fiind astfel compatibil.

2) Dacă sistemul (1) este compatibil atunci formulăm sistemul de tip (1’’).

3) Se rezolvă sistemul (1’’) şi se scrie apoi mulţimea soluţiilor sistemului (1) de

forma ( r ,...,, 21 ,λ1, λ2, λ3, …, λn-r ).

IV.1.6.4. Sisteme omogene

Definiţia 4.1.25:

Un sistem de ecuaţii liniare se numeşte sistem omogen dacă termenul liber al

fiecărei ecuaţii este nul (adică fiecare ecuaţie este omogenă).

Forma generală a unui sistem omogen cu m ecuaţii şi n necunoscute este

următoarea:


22/65


122

0...

.........................................

0...

0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xa xa xa

xa xa xa

xa xa xa

(9)

Observăm de la început că un sistem omogen este totdeauna compatibil deoarece

admite soluţia banală x1 = x2 = … = xn = 0.

Se pune în schimb problema dacă sistemele omogene admit şi alte soluţii şi dacă

da, atunci rămâne de studiat cum le determinăm. Este de remarcat faptul că rezultatele de

la celelalte tipuri de sisteme se aplică şi sistemelor omogene, cu condiţia să considerăm

termenii liberi zero.

Procedăm astfel:

vom scrie matricea ataşată sistemului (A) şi-i determinăm rangul. Fie acesta r.

putem avea situaţiile:

dacă r = n, atunci sistemul admite soluţia banală ca soluţie unică;

dacă r n, sistemul admite o infinitate de soluţii care se determină în acelaşi

mod cu soluţiile sistemelor discutate în paragraful IV.3. din prezentul

capitol.

Observaţie

Deoarece necunoscutelor secundare li se atribuie valori arbitrare, obţinem şi

soluţii nenule în acest caz pentru un sistem omogen.

Deci, condiţia necesară şi suficientă ca un sistem omogen să admită şi soluţii

nenule este ca r n.

În cazul în care sistemul omogen are n ecuaţii şi n necunoscute, se scrie matricea

sistemului şi se calculează determinantul acesteia, după care se constată una din

următoarele sitaţii:

dacă detA 0, rangA = n, sistemul admite soluţia banală, soluţie unică;

dacă detA = 0, rangA n, sistemul admite şi soluţii nenule.

Deci, condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistem omogen, cu n ecuaţii şi n

necunoscute, să admită şi soluţii diferite de soluţia banală este ca determinantul matricei

sistemului să fie nul.

Dacă un sistem omogen are n ecuaţii şi n+1 necunoscute, iar rangul matricei A

este n, atunci sistemul este compatibil. Fie sistemul:


23/65


123

0...

.........................................

0...

0...

11,2211

11,22222121

11,11212111

nnnnnnnn

nnnn

nnnn

xa xa xa xa

xa xa xa xa

xa xa xa xa

(10)

cu matricea A =1.1

,1

n j

niija . Cum rangA = n, se pot forma n+1 minori de ordin maxim n,

nenuli. Vom considera un 1 , minor de ordin n nenul suprimând din A coloana 1. Acesta

va fi ales minor principal, necunoscuta x1 – necunoscută secundară şi x2, x3, …, xn+1 ca

necunoscute principale. Analog putem alege minorii 2 , 3 , …, 1n .

Putem rezolva ecuaţiile principale în raport cu necunoscutele principale după

formulele lui Cramer deoarece i 0. Soluţiile sistemului (10) sunt formate din sisteme

de (n+1) numere proporţionale cu 1 , - 2 , 3 , …, (-1)n

1n :

1

1

x = -

2

2

x =

3

3

x = … =

11

1

nn

n x = t.

De obţinem că:

x1 = t ∙ 1

x2 = -t ∙ 2

x3 = t ∙ 3

………….

xn+1 = (-1)n t ∙ 1n .

Dând lui t valori arbitrare obţinem toate soluţiile sistemului (10).

Proprietăţi:

1) Dacă n ,...,, 21 şi n ,...,, 21 sunt soluţii ale unui sistem omogen

atunci şi nn ,...,, 2211 este soluţie a sistemului. 2) Dacă n ,...,, 21 este soluţie a unui sistem omogen, atunci şi

nk k k ,...,, 21 este soluţie a aceluiaşi sistem.

IV.1.6.5. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

Regulile lui Cramer de rezolvare a sistemelor pătratice de ordin n, cu matricea

sistemului nesingulară nu reprezintă un algoritm practic atunci când n este mare, deoarece

implică un număr mare de calcule, n+1 determinanţi, fiecare cu (n -1)n! înmulţiri.

În aplicaţiile practice se folosesc două tipuri de metode:


24/65


124

1) metode directe, prin care soluţia exactă se obţine într -un număr finit de operaţii

aritmetice (f ăcând abstracţie de erorile de rotunjire);

2) metode iterative pentru care vectorul x – soluţia sistemului (1) Ax = b – este

limita unui şir de vectori xn pentru n → ∞.

Metodele directe pot fi încadrate în următoarea schemă generală:

Se determină transformarea P nesingulară cu care sistemul (1) devine

P∙Ax = Pb (2)

Astfel încât noua matrice PA, să fie de o formă cât mai simplă, care să permită o rezolvare

imediată. Dacă PA nu este suficient de simplă, se mai foloseşte o transformare nesingulară

Q la dreapta, astfel încât sistemul devine:

PAQy = Pb, cu x = Qy (3)

De obicei, matricele PA şi PAQ sunt matrice triunghiulare dar pot fi şi de altă formă

convenabilă pentru rezolvarea sistemului (1).

De exemplu, dacă în sistemul (3) PA este o matrice superior triunghiulară

PA = n j

niijt ,1

,1

şi Pb = niic ,1 , atunci sistemul devine:

nnmn

nn

nn

c xt

c xt xt

c xt xt xt

.........

...

...

22222

11212111

(4)

Din ultima ecuaţie se obţine:

xn =mn

n

t

c.

Înlocuind în penultima ecuaţie, avem:

xn-1 =1,1

,11

nnmn

nnnmnn

t t

t ct c

şi tot aşa până la prima ecuaţie, de unde se obţine:

x1 =11

2

11

t

xt cn

j

j j

.

Algoritmul este:

xn =mn

n

t

c


25/65


26/65


126

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

∙

3

2

1

x

x

x

=

3

2

1

b

b

b

(2)

unde A = 3,1, jiija este matricea sistemului, X = 3,1ii x este matricea coloană a

necunoscutelor, iar B = 3,1iib este matricea coloană a termenilor liberi, notaţii cu care ne-

am întâlnit şi în capitolul 3.

La primul pas al metodei lui Gauss urmări eliminarea necunoscutei x1 din toate

ecuaţiile sistemului, cu excepţia primei ecuaţii. Pentru aceasta împărţim mai întâi prima

linie la elementul pivot a11, presupus nenul (dacă nu este aşa, reordonăm şi renumerotăm

ecuaţiile pentru a fi îndeplinită această condiţie):

3333231131

2323222121

1

13

1

132

)1(

121

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa x

Scădem apoi prima ecuaţie înmulţită cu primul coeficient al celei de -a doua

ecuaţii, din această ecuaţie şi, respectiv, înmulţită cu primul coeficient al celei de -a treia

ecuaţii, din aceasta din urmă. Obţinem astfel sistemul:

1

33

1

332

1

32

123

1232

122

1

13

1

132

)1(

121

b xa xa

b xa xa

b xa xa x

,

unde

1

11

1

1

11

1

111

1

1

111

1

1

3,2,1,3,2,1,

3,2,1,

babb

jiaaaa

abb

jaaa

iii

jiijij

j j

.

Matriceal, primul pas al metodei lui Gauss duce la

1

33

1

32

1

23

1

22

1

13

1

12

0

0

1

aa

aa

aa

∙

3

2

1

x

x

x

=

1

3

1

2

1

1

b

b

b

(3)

În continuare, urmărim eliminarea necunoscutei x2 din ultima ecuaţie. Pentru

aceasta, împărţim mai întâi a doua ecuaţie la elementul pivot 122a , presupus nenul (dacă nu

este aşa, interschimbăm ecuaţiile a doua şi a treia) şi apoi scădem linia obţinută, înmulţită

cu 132a din ecuaţia a treia.


27/65


127

Obţinem:

2

33

2

23

1

13

1

12

00

10

1

a

a

aa

∙

3

2

1

x

x

x

=

2

3

2

2

1

1

b

b

b

(4)

unde

2

2

1

2

12

2

2

1

2

12

1

22

1

2

2

2

1

22

1

2

2

2

3,2,3,

3,2,

babb

jiaaaa

abb

jaaa

iii

jiijij

j j

.

În sfârşit, încheiem faza eliminării împărţind cea de-a treia ecuaţie la elementul pivot 233a ,

care, pentru un sistem cu matrice nesingulară, trebuie să fie nenul. Rezultă:

100

10

12

23

1

13

1

12

a

aa

∙

3

2

1

x

x

x

=

3

3

2

2

1

1

b

b

b

(5)

unde

233

2

3

3

3 abb .

Faza substituţiei implică parcurgerea ecuaţiilor sistemului (5) rezultat în fazaeliminării, în sens invers şi stabilirea soluţiei sistemului potrivit procedeului recursiv:

x3 = 33b

x2 = 22b -

223a x3 (6)

x1 = 11b - (

112a x2 +

113a x3)

Metoda de eliminare a lui Gauss permite şi calculul determinantului matricei

sistemului. Se observă că, matricea A(3) a sistemului (5) fiind triunghiulară, are

determinantul egal cu produsul elementelor diagonale, adică det A(3) = 1.

Având în vedere că împărţirea liniilor matricei sistemului la elementele pivot a

condus la o matrice având determinantul egal cu determinantul matricei iniţiale împărţit la

produsul elementelor pivot, rezultă:

det A(3)

= 233

1

2211

det

aaa

A = 1

adică

detA = a11 122a

233a (7)


28/65


128

Metoda de eliminare a lui Gauss pentru cazul unui sistem de n ecuaţii cu n

necunoscute scris matricial sub forma:

A ∙ X = B

se aplică în acelaşi mod.

Metoda Gauss-Jordan

Metoda Gauss-Jordan reprezintă o formă modificată a metodei lui Gauss. Spre

deosebire de metoda Gauss, în care matricea sistemului este adusă prin transformări

elementare la formă superior triunghiulară, în metoda Gauss-Jordan matricea sistemului

este transformată în matricea unitate. Prin aceasta, deşi faza eliminării este mai laborioasă,

faza substituirii inverse este eliminată. În plus, printr -o codificare eficientă, simultan cu

rezolvarea unei ecuaţii matriceale, metoda Gauss-Jordan permite înlocuirea matricei

sistemului cu inversa acestaia.

În urma pasului k de eliminare este eliminată necunoscuta xk din toate ecuaţiile

sistemului, cu excepţia ecuaţiei pivot k şi sistemul este adus la forma:

k

nn

k

nk

k

nk

k

k k

k

kn

k

kk

nk

nk

aa

aa

aa

aa

aa

1

111

1

2

2

2

12

1

1

1

11

000

000

100

010

001

∙

n

k

k

x

x

x

x

x

1

2

1

=

k

n

k

k

k

k

b

b

b

b

b

1

2

2

1

1

(18)

unde noile elemente ale liniei pivot k sunt, ca şi în metoda Gauss:

11

11 ,...,1,

1

k

kk

k

k

k

k

k

kk

k

kj

k

kj

k

kk

abb

nk jaaa

a

(19)

iar noile elemente ale liniilor nepivot sunt:

k

k

k

ik

k

i

k

i

k

kj

k

ik

k

ij

k

ij

k

ik

babb

k inink jaaaa

a

11

11 ,,...1,,...1,

0

(20)

Se observă că la pasul k se modifică toate elementele matricei sistemului situate

în dreapta coloanei k, coloană care devine identică cu coloana corespunzătoare a matricei

unitate. La fiecare pas se modifică, în schimb, toate elementele matricei termenilor liberi.

În final, după pasul k=n, sistemul are forma


29/65


129

In∙X=B(n)

(21)

unde In reprezintă matricea unitate de ordinul n. Este evident că nu este necesară, ca în

cazul metodei Gauss, o fază a substituţiei inverse, iar soluţia sistemului este:

xk = k

k b , k = 1,…,n (22)

Ca şi în cazul metodei Gauss, determinantul matricei A(n) = In este egal cu 1. Având însă în

vedere că în obţinerea matricei A(n) liniile matricei iniţiale au fost împărţite pe rând la

elementele pivot, avem:

det A(n)

= 112211 ...

detn

nnaaa

A = 1

de unde

detA = a11 1

22a …

1n

nna (23)

Ca şi în cazul metodei Gauss, deoarece după pasul k informaţia utilă din matricea

A(k)

se găseşte exclusiv în coloanele k+1, …, n, coloana k fiind în fond identică cu coloana

corespunzătoare a matricei unitate, noile elemente ale matricei A(k) sunt calculate efectiv

numai pentru j=k+1, …, n. În ceea ce priveşte pivotarea, aceasta se poate realiza la fel ca în

cazul metodei Gauss.

IV.1.6.5.2. Metode iterative de aproximare a soluţiilor sistemelor de ecuaţii

liniareFie sistemul de n ecuaţii cu n necunoscute

Ax = b, det A 0 (1)

Ideea generală a metodelor iterative constă în construirea unor şiruri de vectori ce

converg la soluţia exactă, care se obţin fără a modifica forma matricei:

...2,1,0,

,1

0

k x F x

dat xk k

n

cu şirul )(k

x convergent la soluţia sistemului (1).O clasă largă de metode iterative se obţine dacă avem o descompunere a matricei

A de forma A = B – C, unde B este o matrice nesingulară şi uşor de inversat, de regulă

diagonală sau triunghiulară. Există o infinitate de astfel de descompuneri, pentru că

alegându-l pe B cum dorim, luăm C = B – A şi avem descompunerea A = B – C. Sistemul

(1) se scrie atunci sub forma Bx = Cx + b, care permite definirea unei metode iterative

astfel: oricare ar fi iteraţia iniţială x(0)n se determină termenii succesivi ai unui şir )(k x

prin recurenţă, cu relaţia:


30/65


130

b xC x B k k )()1( , k = 1,2,3,… (2)

Deoarece B este nesingulară şi uşor de inversat pentru orice x(k) deja determinat,

se obţine următorul vector din şir x (k+1) cu relaţia

b B xC B x

k k

1)(1)1(

(3) adică

c x M x k k )()1( , (4)

unde C B M 1 (matricea iteraţiei) şi b Bc 1 .

Propoziţia 4.1.4

Dacă şirul )(k x este convergent atunci el converge la soluţia sistemului (1).

Să vedem în ce condiţii şirul )(k x este convergent.

Teorema 4.1.9

Condiţia necesară şi suficientă ca şirul )(k x dat de relaţia (2) să fie convergent

pentru orice x(0)

n este ca raza spectrală a matricei M să fie subunitară, adică

1)( M . O condiţie suficientă de convergenţă este existenţa unei norme naturale pentru

care M 1 M max ; este valoare proprie a lui M .Metoda lui Jacobi

Una dintre cele mai vechi şi mai cunoscute metode iterative pentru rezolvarea

sistemelor de ecuaţii liniare este metoda lui Jacobi.

Fie ij n nA a şi i n b b . În descompunerea anterioară alegem

11 22 nnB diag a ,a ,...,a , iar metoda iterativă corespunzătoare este:

i

nk 1 k

ii i ij j

j 1

j i

a x b a x

, i 1,n , unde ik

x şi i

k 1x

sunt componentele vectorilor

k x respectiv

k 1x

. În ipoteza importantă iia 0, i 1,n , care asigură că matricea

B este nesingulară, obţinem recurenţa i

nk 1 k

i ij j

j 1ii j i

1x b a x ,

a

i 1,n care se

numeşte metoda lui Jacobi.

Conform teoremei anterioare, condiţia necesară şi suficientă de convergenţă ametodei lui Jacobi este ca modulele valorilor proprii ale matricei iteraţiei să fie subunitare.


31/65


131

Ecuaţia caracteristică a acestei matrice este 0)det( 1 C B I sau, echivalent,

0))(det( 1 C B B . Cum 1B 0 , condiţia necesară şi suficientă de convergenţă este

ca toate modulele rădăcinilor ecuaţiei 0)det( C B să fie subunitare. Această condiţie

nu are decât o valoare teoretică. În practică se folosesc doar condiţii suficiente, care din

teorema anterioară cer să existe o normă a matricei M a iteraţiei care să fie subunitară. Din

metoda lui Jacobi se vede că elementele acestei matrice ij i,j 1,nM m sunt

ij

ij ii

a, pentru i j

m a

0, pentru i j

. Dacă luăm1

, adică1

M 1 echivalent cu

n

ij1 j 1,ni 1

M max m 1

(sume pe coloane) obţinem condiţia suficientă de convergenţă

nij

i 1 iii j

a1, j 1, n

a

.

Dacă luăm e , adică eM 1 echivalent cu

1/ 2

2n n

ijei 1 j 1i j

M m 1

obţinem

condiţia suficientă de convergenţă

2n n

ij

i 1 j 1 ii j i

a 1

a

.

Luând norma

, adică M 1

, iarn

ij

i 1,n

j 1 ii

aM max 1

a

(sume pe linii),

obţinem condiţia suficientă de convergenţăn

ij

i 1 iii j

a1, j 1, n

a

sau

n

ij ii

j 1 j i

a a , pentru i 1, n

, condiţie care se numeşte dominanţa diagonală pe linii.


32/65


132

Metoda Gauss-Seidel

Metoda Gauss-Seidel reprezintă o modificare a metodei Jacobi, cu scopul

creşterii vitezei de convergenţă şi reducerii memoriei necesare. Ideea de bază a metodei

Gauss-Seidel constă în utilizarea în calculul componentei k 1ix

a aproximaţiei soluţiei

sistemului de la pasul k 1 a componentelor k 1 k 1 k 11 2 i 1x ,x ,...x

, deja calculate, în

locul componentelork k k

1 2 i 1x ,x ,...x de la iteraţia anterioară, cum se întâmplă în cazul

metodei Jacobi.

În metoda Gauss-Seidel, recurenţa devine:

i 1 n

k 1 k 1 k ij ijii j j

j 1 j i 1ii ii ii

a a bx x x

a a a

, pentru i 1,n , k = 0,1,2,…

(1)

Aceasta se încadrează în schema precedentă dacă presupunem că iia 0 pentru i 1,n

şi luăm drept

11

21 22

n1 n2 nn

a 0 ... 0

a a ... 0B

..... ..... ... ..

a a ... a

matrice triunghiulară inferior, iar C = B – A

matrice inferioară superior cu 0 pe diagonala principală. Cu această alegere sistemul

B x C x b se scrie după împărţirea la iia :

i 1 nij iji

i j j

j 1 j i 1ii ii ii

a a bx x x

a a a

(2)

pentru i 1,n iar sistemul k 1 k Bx Cx b , k = 0,1,2,… se scrie sub forma (1). Teorema 4.1.10

Criteriul de dominanţă a diagonalei pe linii asigură convergenţa metodei G auss-

Seidel pentru orice iteraţie iniţială 0

x .


33/65


133

IV.2. Tablouri bidimensionale

IV.2.1. Generalităţi. Notaţii şi definiţii

Definiţia 4.2.1:

Numim tablou bidimensional o structură de date formată din elemente de acelaşitip organizate pe linii şi coloane. Se utilizeză frecvent noțiunea preluată din matematică de

matrice.

Fiecare element se identifică în mod unic prin linia şi coloana la intersecţia cărora

se află. Astfel dacă notăm o matrice cu a elementul aflat la intersecţia liniei i cu coloana j

în matricea a se notează a[i][j],a[i,j] sau a(i,j) în funcţie de limbajul de programare utilizat.

O matrice mai poate fi privită şi ca un „vector de vectori”, adică ca un tablou

unidimensional ce conţine elemente de tip tablou unidimensional(fiecare linie este privităca un singur element), abordare ce permite utilizarea subprogramelor ce prelucrează

vectori pentru a prelucra linii dintr-o matrice ce vor fi transmise ca parametru.

Ilustrăm în continuare o matrice a cu 4 linii şi 3 coloane, având elemente numere

întregi.

Declaraţia unei variabile de tip matrice este asemănătoare cu a unui vector. La

declarare trebuie să specificăm în unele limbaje un număr maxim de linii şi coloane iar în

altele subdomeniu. Numărul de linii şi coloane depinde de enunţ, de modul de prelucrare a

matricei(se utilizează sau nu linia şi coloana 0) dar şi de mediul de programare

utilizat(Borland Pascal/Free Pascal, Borland C++/MinGW Studio).

Declaraţie Pascal

:array[1..,1..] of

sau

:array[1..]of array[1..] of

Pentru utilizarea subprogramelor ce primesc parametrii de tip vector pentru a prelucra linii

dintr-o matrice se utilizează o declaraţie de tipul:

type

linie|vector=array[1..] of

matrice=array[1..] of linie|vector

11105

950

7412

211

4

3

2

1

321

linia 3

coloana 2

a[3][2]=-5


34/65


134

var :matrice;

Observaţie:

Declaraţia cu tipuri permite atribuiri de linii şi coloane.

Declaraţie C++

[][]

unde:

- identificatorul variabilei matrice

- tipul elementelor matricei

, - numărul maxim de linii, respectiv coloane

Exemplu:

Pascal: a:array[1..20,1..30] of integer; – se declar ă o matrice cu 20 de linii

numerotate de la 1 la 20 şi 30 de coloane numerotate de la 1 la 30. Numărulmaxim de valori ce poate fi memorat este 600.

C++: float a[20][30]; – se declar ă o matrice cu 20 de linii numerotate de la 0 la

19 şi 30 de coloane numerotate de la 0 la 29. Numărul maxim de valori ce poate fi

memorat este 600.

Dimensiunile declarate sunt maxime pentru programul sursă în care au fost făcute, în

practică utilizându-se declararea a două variabile n respectiv m pentru a memora numărul

de linii şi coloane. Valorile lui n şi m se citesc anterior elementelor matricei sau sedetermină pe parcursul execuţiei programului(de obicei la citirea matricelor de dimensiuni

necunoscute din fişiere sau la utilizarea matricelor cu număr necunoscut de linii şi un

număr variabil de coloane, caz în care se ataşează un tablou d ce reţine în d[i] numărul de

coloane completate pe linia i).

IV.2.2. Parcurgerea, citirea şi afişarea unei matrice

Parcurgeri în matrice

Pentru a parcurge o matrice se utilizează în general două structuri repetitive, una pentru a parcurge liniile şi una pentru a parcurge coloanele. Ordinea în care sunt executate

cele două structuri determină prelucrarea elementelor pe linii sau pe coloane.

Descriem în continuare algoritmii de parcurgere precum şi ordinea în care vor fi

prelucrate elementele:

Prelucrare pe linii

Pascal C++

var a:array[1..10,1..20] of ;

n,m,i,j:integer;

a[10][20];

int n,m,i,j;


35/65


135

………

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

............

for(i=0;i


36/65


136

Afișările a[i][j]=_ nu sunt obligatorii, ele se folosesc doar pentru a şti care este

elementul curent ce urmează a fi citit.

Afişarea unei matrice

Afişarea matricelor se face pe linii şi coloane aşa încât să poată fi urmărită

distribuţia elementelor pe linii şi coloane.

Pascal C++

var a:array[1..10,1..20] of

;

n,m,i,j:integer;

………

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to m do

write(a[i,j],’ ‘);

writeln;

end;

a[10][20];

int n,m,i,j;

............

for(i=0;i


37/65


137

Diagonala secundară

Diagonala secundară conţine elementele a1n, a2 n-1 , a3 n-2,...,an1 caracterizate de

relaţia i+j=n+1.

Zona de deasupra diagonalei principale

Elementele de deasupra diagonalei principale sunt a12, a13, a14,...,a1n, a23, a24,

a25,...,a2n, ...., an-1 n-1, an-1 n. Relaţia dintre coordonate comună tuturor elementelor din

această zonă este ij.

În practică prelucrarea elementelor se poate face exclusiv pe diagonale respectiv

pe zonele identificate mai sus(ex:ordonarea diagonalelor respectiv verificarea simetriei sau

a triunghiularităţii) sau se poate opta pentru o parcurgere a tuturor elementelor matricei şi

prelucrarea diferenţiată a elementelor în funcţie de relaţia dintre coordonate(ex:

completarea elementelor cu anumite valori, calculul simultan al mai multor rezultate

obţinute pentru fiecare zonă în parte).

În funcţie de enunţ se mai pot identifica zona de deasupra diagonalei

secundare(i+jn+1), precum şi zonele N, S, E,

V situate între cele două diagonale.

Modalităţi de prelucrare a elementelor în matrice pătratică de dimensiune n

Implementare Pascal Implementare C++

//primul element este a[1][1]

Diagonala principală

for i:=1 to n do

for (i=1;i


38/65


138

Sub diagonala principală

for i:=2 to n do

for j:=1 to i-1 do

for (i=2;i


39/65


139

cunoscut fiind faptul ca elevii aprofundează mai bine cunoştinţele de manipulare a

vectorilor sau sunt utilizate la capitolul şiruri(cu precădere la clasele cu predare C++ acolo

unde este necesară utilizarea unui tablou de cuvinte, limbajul Pascal permiţând utilizarea

unui array of string ). Parcurgerile matricelor sunt reluate la capitolul Recursivitate tot în

acelaşi an punând din nou în evidenţă particularităţile matricelor pătratice. Tot în capitolul

Recursivitate matricea este abordată ca mijloc de memorare a hărţilor sau a unor fotografii

atunci când sunt prezentaţi algoritmii Fill . În clasa a XI-a(intensiv şi neintensiv) matricele

sunt utilizate masiv în capitolul Teoria grafurilor. Grafuri neorientate.Grafuri orientate

reprezentând fie matricea de adiacenţă, matricea vârfuri-arce, matrici de existenţă a

lanţurilor/drumurilor(algoritmul Roy-Warshall ), matricea costurilor, matricea drumurilor

minime(algoritmul Roy-Floyd ) sau pentru a memora listele de adiacenţă în acest caz fiind

necesar şi vectorul gradelor. Capitolul Backtracking utilizează matricele la probleme cum

ar fi Comis voiajor , Cavalerii mesei rotunde ce se pot trata şi prin teoria grafurilor ,

matricea fiind un mijloc de memorare a soluţiilor optime atunci când acestea sunt cerute

sau „harta” în probleme tratate prin Backtracking în plan de tipul Labirint , Săritura

calului. Programarea dinamică(clasa a XI-a intensiv) este un alt capitol în care matricele

reprezintă f ie posibilitatea de a stoca rezultate intermediare(utile pentru calculul rapid al

soluţiilor acolo unde spaţiul de memorie ocupat nu reprezintă o problemă) – Piramida de

numere, Înmulţirea optimă de matrice, fie stochează datele de intrare în probleme

rezolvabile utilizând, spre exemplu, algoritmul Lee.

La matematică prima abordare a matricelor se face la algebră în clasa a XI -

a(determinanţi, inversă, rang, sisteme) şi continuă în algebra de clasa a XII-a(monoizi,

grupuri, inele, corpuri).

Chiar dacă operaţiile cu matrice se studiază la matematică în clasa XI-a,

informatic ele sunt abordate încă din clasa a IX -a. Adunarea, înmulţirea cu scalar şi

înmulţirea matricelor sunt probleme abordate la clasă în cadrul capitoluluiTablouri.Tablouri bidimensionale(Matrice) ca aplicaţii elementare cu grad redus de

dificultate(adunarea matricelor, înmulţirea cu scalar ) sau cu grad mediu de

dificultate(înmulţirea matricelor).

Tipurile particulare de matrice pătratice(matricea diagonală, matricea simetrică,

matricea triunghiulară inferior/superior) apar ca probleme ce se rezolvă în clasa a IX -a

după prezentarea matricelor pătratice şi a elementelor particulare lor(diagonale, zonele de

deasupra/sub diagonala principală).


40/65


140

Determinanţii, matricele inversabile şi sistemele de ecuaţii se studiază la

matematică în clasa a XI-a ceea ce permite realizarea în paralel la orele de informatică a

unor subprograme pentru calculul determinantului unei matrice(prin triunghiularizare –

metoda lui Gauss în cadrul capitolului Subprograme, sau recursiv prin dezvoltare după o

linie), pentru determinarea rangului unei matrice, a matricei inverse acolo unde este

posibil, precum şi a unor aplicaţii de rezolvare a sistemelor de m ecuaţii cu n necunoscute.

Abordarea problematicii mai sus amintite se poate realiza la clasele de profil informatică

neintensiv fie în orele din trunchiul comun fie în cadrul unui opţional în timp ce la profilul

intensiv, care nu permite adăugarea unui opţional(indiferent de disciplină) – numărul de

ore din trunchiul comun fiind maxim, abordarea se poate realiza printr-o bună organizare a

materiei în cadrul capitolului Programare orientată obiect (unde prezintă posibilitatea de

supraîncărcare a operatorilor pentru realizarea operaţiilor de adunare, înmulţire cu scalar şi

înmulţire a matricelor), pentru o parcurgere cât mai facilă a problematicii fiind necesar şi

un colectiv de elevi de nivel mediu spre înalt.

Aplicaţiile create în cadrul orelor ce tratează problematica matematică a

matricelor se pot realiza individual sau ca un tot unitar, un proiect(ales uneori de elevii cu

un nivel bun de pregătire ca temă de proiect pentru obţinerea Atestatului de competenţe

profesionale) ce se poate caracteriza în funcţie de finalitate ca un soft utilitar sau

educaţional(după cum oferă rezultatele direct sau prezintă calea/metoda prin care se obţine

rezultatul). Bineînţeles că sursele pot fi optimizate, dar ideea ce se urmăreşte este de a arăta

elevilor că informatica poate fi şi este un sprijin în rezolvarea unor probleme de matrice

aplicând întocmai algoritmii prezentaţi la orele de matematică fără a beneficia, din păcate,

de intuiţia umană, de „flerul” rezolvitorului ce poate găsi uneori soluţii mai rapide(de

exemplu calculul prin dezvoltare după o linie a unui determinant care are două linii sau

două coloane proporţionale, ori triunghiularizarea unui determinant Vandermonde).

IV.3.2 Aplicaţii interdisciplinare

Vom prezenta în continuare codurile sursă Pascal şi C++ ale unor programe ce

realizează operaţiile de bază(adunarea matricelor, înmulţirea cu scalar, înmulţirea

matricelor) şi programe/subprograme ce realizează calculul determinantului unei matrice,

determină rangul unei matrice, construieşte matricea inversă sau realizează discuţia naturii

unui sistem cu calculul soluţiei atunci când este compatibil determinat respectiv afişarea

unei soluţii pentru o instanţă dată a necunoscutelor secundare în cazul unui sistem

compatibil nedeterminat. Pentru determinant se vor prezenta două subprograme diferite de


41/65


141

calcul – unul prin dezvoltare după o linie, celălalt prin transformarea în matrice

triunghiulară. Descrierea matematică a metodelor aplicată nu va fi reluată în secţiunile

următoare ele fiind detaliate în secţiunea IV.1 a capitolului curent. Ultima aplicaţie

descrisă, Parantezarea optimă a înmulţirii matricelor , va fi descrisă pe larg. Sursele au fost

realizate în orele de curs cu elevii din clasele IX-XII.

IV.3.2.1 Suma a două matrice

Pascal C++

program suma_matrice;

type

vector=array[1..10] of integer;

matrice=array[1..10] of vector;

var n,m:integer;

a,b,s:matrice;

procedure citire(var

a:matrice;n,m:integer);

var i,j:integer;

begin

writeln('Introduceti elementele

de pe fiecare linie separate prin

spatii!');

for i:=1 to n dofor j:=1 to m do

read(a[i,j]);

end;

procedure suma(a,b:matrice; var

c:matrice; n,m:integer);

var i,j:integer;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

c[i,j]:=a[i,j]+b[i,j];

end;

procedure afisare(a:matrice;

n,m:integer);

var i,j:integer;

begin

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to m do

#include

void citire(int a[][10],int n,int m)

{int i,j;

cin>>"Introduceti elementele de pe

fiecare linie separate prin spatii!";

for(i=1;ia[i][j];

}

void suma(int a[][10],int b[][10],int

c[][10],int n, int m)

{int i,j;

for(i=1;i


42/65


142

write(a[i,j]:5,' ');

writeln;

end;

end;

begin

write('Numarul de linii:');

readln(n);

write('Numarul de coloane:');

readln(m);

citire(a,n,m); citire(b,n,m);

suma(a,b,s,n,m);

writeln('Suma dintre A:');

afisare(a,n,m);

writeln('si B:'); afisare(b,n,m);

writeln('este C:');

afisare(s,n,m); readln;

end.

cin>>m;

citire(a,n,m);

citire(b,n,m);

suma(a,b,s,n,m);

cout


43/65


143


n,m:integer);

var i,j:integer;

begin {afisare matrice a} end;

beginwrite('Numarul de linii:');

readln(n);


readln(m);

citire(a,n,m);

write(’Valoare

scalar:’);readln(scalar);

writeln('Produsul scalar dintre

A:');

afisare(a,n,m); writeln('si

’,scalar,’este:’);

inmultire_scalar(a,scalar,n,m);

writeln('este :'); afisare(a,n,m);

readln; end.

int n,m, scalar;

cout


44/65


144

s:=0;

for k:=1 to m do

s:=s+a[i,k]*b[k,j];

c[i,j]:=s;

end;end;


n,m:integer);

var i,j:integer;

begin

{afisare matrice a}

end;

begin

writeln(’Matricea A:’);

write('Numarul de linii:');

readln(n);


readln(m); citire(a,n,m);

writeln(’Matricea B:’);


readln(p); citire(b,m,p);

produs(a,b,pr,n,m,p);

writeln('Produsul dintre

A:');afisare(a,n,m);writeln('si

B:'); afisare(b,m,p); writeln('este

C:'); afisare(pr,n,p); end.

m);

{int i,j;

//afisare matrice a

}

void main(){int a[10][10],b[10][10],pr[10][10];

int n,m,p;

cout


45/65


145

a:matrice;n:integer)

var i,j:integer;

begin

{citire matrice a}

end;function det

(a:matrice;n:integer;i,j,p:inte ger

):integer;

var b:matrice;

k,l,x:integer;

begin

if n=1

then

det:=a[1][1]

else

begin

x:=a[i,j];

{constr. complementul algebric al

a[i][j]}

for k:=1 to i-1 do

b[k]:=a[k];

for k:=i to n-1 do

b[k]:=a[k+1];

for l:=1 to n-1 do

for k:=j to n-1 do

b[l][k]:=b[l][k+1];

if j


46/65


146

else p=-1;

writeln('det(A)=',detl(a,n,L,1,p));

end.

p=1;

else

p=-1;

cout


47/65


147

Pascal

(secvenţă program)

C++


program rang_matrice;

type

vector=array[1..10] of integer;


var ms:matrice;

vlin,vcol,lr,cr:vector;

i,j,r1,r2,nlin,nlr,ncr,ec,nec:integ

er;

procedure cauta

(a:matrice;m,n:integer; var

x,y:integer);

var i,j:integer;

begin

{se cauta in matricea a un element

diferit de 0; coordonatele sale se

memoreaza in x si y}

end;

procedure

c_minor(vlin,vcol:vector;nlin:

integer;a:matrice;var

minor:matrice; m,n:integer);

var i,j:integer;

begin

for i:=1 to nlin do

for j:=1 to nlin do

minor[i,j]:=a[vlin[i],vcol[j]];

end;

procedure init (m,n:integer);

var i:integer;

begin{lr si cr retin liniile si

coloane ramase neselectate; initial

nu se alege nimic}

for i:=1 to m do

lr[i]:=i;

#include

int

ms[10][10],vlin[10],vcol[10],lr[10];

int nlin,nlr,ncr,ec,nec, cr[10];

void cauta(int a[][10],int m, int n,

int &x,int &y)

{int i,j;

/*se cauta in matricea a un element

diferit de 0; coordonatele sale se

memoreaza in x si y*/

}

void c_minor(int vlin[],int

vcol[],int nlin, int a[][10],int

minor[][10])

{int i,j;

for(i=1;i


48/65


148

nlr:=m;

for i:=1 to n do

cr[i]:=i;

ncr:=n;

end;

procedure elimina(var v:vector;var

dv:integer;x:integer);

var j,i:integer;

begin{elimina o linie sau o coloana

din lr sau cr dupa selectare}

i:=1;

while (i


49/65


149

vlin[nlin]:=l; vcol[nlin]:=c;

stoprang:=false;

if m>n then dmax:=n

else dmax:=m;

{se elimina linia si coloanapentru a nu fi reselectate}

elimina(lr,nlr,vlin[nlin]);

elimina(cr,ncr,vcol[nlin]);

while (nlin


50/65


150

then nlin:=nlin+1;

j:=ncr+1;{iesire

fortata}

i:=nlr+1; end

elseif (i=nlr)and(j=ncr)

then begin

dmax:=0;

writeln('Am epuizat

toate posibilitatile de a gasi un

minor de dimensiune ',nlin,'

diferit de 0'); end

else

writeln('Construim un

alt minor de aceeasi dimensiune')

end;

if stoprang then

stoprang:=false;

end;

if not(stoprang) then

rang:=nlin-1;

end;

end;

procedure citire;

var i,j:integer;

begin

{citire matrice ms [ecXnec]}

end;

begin

clrscr; citire; init(ec,nec);

for i:=1 to ec do

begin for j:=1 to nec do

write(ms[i,j]:5);

writeln; end;

r1:=rang(ms,ec,nec);writeln('Rangul

matricei A=',r1); end.

if (stoprang)

stoprang=0;

}

if (!stoprang)

return nlin-1;}

}

void citire()

{int i,j;

//citire matrice ms [ecXnec]

}

void main()

{

citire();

init(ec,nec);

for (i=1;i


51/65


151

IV.3.2.6 Determinarea inversei unei matrice

Algoritmul studiat la orele de algebră se aplică şi pentru determinarea inversei

unei matrice.

Pascal


C++


program determinare_inversabila;

type vector=array[1..5] of integer;


linieadj=array[1..5] of real;

matrice_reala=array[1..5] of

linieadj;

varms,mt,madj:matrice;

minv:matrice_reala;

i,j,n,i1,j1,detms:integer;

procedure citire;

begin{citire matrice ms[nXn]}end;

procedure transpunere(var

a:matrice; n:integer);

var i,j,aux:integer;

begin

for i:=1 to n-1 do

for j:=i+1 to n do

begin

aux:=a[i,j];a[i,j]:=a[j,i];a[j,i]:=

aux;

end;

writeln;

writeln('Matricea transpusa

este....');

for i:=1 to n do

begin writeln;

for j:=1 to n do

write(a[i,j]:5);

end;

writeln;

#include

#include

int

ms[10][10],mt[10][10],madj[10][10];

float minv[10][10];

int i,j,n,i1,j1,detms;

void citire();

{

//citire matrice ms

}

void transpunere(int a[][10], int

n)

{int i,j,aux;

for( i=1;i


52/65


152

end;

function determinant

(a:matrice;n:integer;

i,j,p:integer):integer;var b:matrice; k,l,x:integer;

begin

{vezi IV.3.4.1}

end;

procedure adjuncta;

var

i,j,i1,j1,i2,j2:integer;

calg:matrice;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

for i1:=1 to i-1 do

calg[i1]:=mt[i1];

for i1:=i to n-1 do

calg[i1]:=mt[i1+1];

for i1:=1 to n-1 do

for j1:=j to n-1 do

calg[i1,j1]:=calg[i1,j1+1];

writeln('Calculam determinantul

complementului algebric al

elementului

aT(',i,',',j,')=',mt[i,j]);

writeln('Complementul algebric

este:');

for i2:=1 to n-1 do

begin

for j2:=1 to n-1 do

write(calg[i2,j2]:6);

writeln;

end;

if (i+j) mod 2=0

then

begin

n,int i, int j, int p)

{int b[10][10],k,l,x;

//vezi IV.3.4.1

}

void adjuncta();

{

int i,j,i1,j1,i2,j2, calg[10][10];

for(i=1;i


53/65


153

madj[i,j]:=determinant(calg,n-

1,1,1,1);

writeln('Elementul

a*(',i,',',j,') este determinantul

complementului adica ',madj[i,j]);end

else

begin

madj[i,j]:=-

determinant(calg,n-1,1,1,1);

writeln('Elementul

a*(',i,',',j,') este determinantul

complementului cu semn schimbat

adica ',madj[i,j]);

end;

readkey;

end;

end;

procedure inversa(var

minv:matrice_reala; n:integer);

var i,j:integer;

begin

writeln;

writeln('Matricea adjuncta

este......');

for i:=1 to n do

begin

writeln;

for j:=1 to n do

write(madj[i,j]:6);

end;

writeln;

writeln('Matricea inversa se

obtine inmultind A* cu inversul

determinantului metricei A');

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

minv[i,j]:=madj[i,j];minv[i,j]:=minv[i,j]/detms;

cout


54/65


154

end;

writeln;

writeln('Mat

Documents

04 capitolul IV.pdf