04 Funciones Acotadas 2

Juan Antonio Gonzlez Mota Profesor de Matemticas del Colegio Juan XIII Zaidn de Granada

FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMTRICAS, PERIDICAS. 51

SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES:

Una funcin es simtrica respecto del origen cuando todo punto de la grfica de f tiene su simtrico respecto de O en la misma grfica.

(0, 0)O

Si es un punto de la grfica, su simtrico pertenece tambin a la misma grfica:

Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y ' son simtricos respecto del origen y sus coordenadas

verifican que

( , ( ))P x f x'( ', ( '))P x f x

P

'( ') ( )

x xf x f= = x

Por tanto,

Una funcin es simtrica respecto del origen

cuando para todo punto x del dominio D se tiene que

(0, 0)O

x pertenece a D y ( ) ( )f x f x = . Las funciones simtricas respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES.

Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinmicas simtricas respecto del origen, stas tienen todos sus exponentes impares.

Ejemplos de funciones simtricas respecto del origen:

La funcin 1( )f xx

= ya que 1 1( ) ( )f x fx x

= = = x Su grfica como sabemos es (hiprbola equiltera) :

La funcin 3( )f x x= ya que 3 3( ) ( ) ( )f x x x f x= = =

La funcin ( ) | |f x x x= ya que ( ) ( ) | | | | ( )f x x x x x f x = = =

( , ( ))P x f x

'( ', ( '))P x f x

xx ( )f x

( )f x

1( )f xx

=3( )f x x=



SIMETRIA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS (OY). FUNCIONES PARES:

Sea . Se dice que f es simtrica respecto del eje de ordenadas (OY) cuando todo punto de la grfica de f tiene su simtrico respecto de OY en la misma grfica.

:f D \

Si es un punto de la grfica, su simtrico pertenece tambin a la misma grfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y son simtricos respecto del eje OY y sus coordenadas verifican que

( , ( ))P x f x'( ', ( '))P x f x

'P

'( ') ( )

x xf x f x= =

Una funcin es simtrica respecto del eje de

ordenadas (OY) cuando para todo punto x del

dominio D se tiene que x pertenece a D y ( ) ( )f x f x = .

Geomtricamente significa que si doblamos el papel por el eje OY, las dos partes de la grfica coinciden.

Estas funciones reciben tambin el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinmicas simtricas respecto del eje OY, stas tienen todos sus exponentes pares.

Ejemplos de funciones simtricas respecto del eje de ordenadas:

La funcin cuadrtica 2( )f x x= ya que 2 2( ) ( ) ( )f x x x f x= . = = La funcin valor absoluto ( ) | |f x x= ya que ( ) | | | | ( )f x x x f x = = = La funcin 2 | |( )f x x= x ya que | ( )2 2( ) ( ) | | |f x x x x x = = = f x

Sus respectivas grficas seran:

( , ( ))P x f x'( ', ( '))P x f x

( )f x

( )f x

x x

2( )f x x= ( ) | |f x x=2( ) | |f x x x=



FUNCIN PERIDICA: Sea . Se dice que f es peridica si existe un nmero real, no nulo, T,

llamado PERIODO, tal que para todo :f D \

x D , x T D+ y se verifica que ( ) ( )f x + T = f x . De la propia definicin se deduce que si T es un periodo de la funcin f, tambin lo es 2T, 3T,..., es decir sus periodos son mltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodo principal o propio.

El conocimiento de la grfica de una funcin en un periodo nos permite construir por periodicidad toda la grfica. Ejemplos de funciones peridicas: Todas las funciones circulares:

Las funciones seno y coseno tienen por periodo T 2= , mientras que la funcin tangente y la cotangente tienen por periodo T = .

La funcin decimal o mantisa: su periodo principal es 1.

FUNCIONES ACOTADAS. Funciones acotadas superiormente. Una funcin f se dice que est acotada

superiormente si existe un nmero real M tal que

)()( fDom xM xf Este nmero real M recibe el nombre de

COTA SUPERIOR de la funcin f.

Geomtricamente significa que ninguna imagen es

superior al valor M y, por tanto, la grfica de la

funcin f estar por debajo de la recta y = M.

NOTA: Si M es una cota superior de la funcin f, cualquier otro nmero real M mayor que M,

tambin es cota superior de f. En consecuencia, si una funcin est acotada superiormente siempre tendr un conjunto de cotas superiores.

( )f x

M

'M



Funciones acotadas inferiormente.

Una funcin f se dice que est acotada inferiormente si existe un nmero real m tal que

( ) ( )f x m x Dom f

( )

Este nmero real m recibe el nombre de COTA INFERIOR de la funcin f. Geomtricamente significa que ninguna imagen es inferior al valor m y, por tanto, la grfica de la funcin f estar por encima de la recta y = m.

NOTA: Si m es una cota superior de la funcin f, cualquier otro nmero real m menor que m, tambin es cota inferior de f. En consecuencia, si una funcin est acotada inferiormente siempre tendr un conjunto de cotas inferiores. Funciones acotadas. Una funcin se dice que est acotada si lo est inferior y superiormente.

Por estar acotada superiormente, existir un nmero real M que es mayor o igual que todas las imgenes de la funcin y por estar acotada inferiormente, existir otro nmero real m que es menor o igual que todas las imgenes de la funcin. En consecuencia,

, ( )m M / m f x M x Dom f lo cual significa que todas las imgenes de nuestra funcin estaran comprendidas entre m y M y, por tanto, geomtricamente, la grfica de la funcin f estara en la banda comprendida entre las rectas y = m e y = M.

Ejemplo: La funcin ( ) sen( )f x = x es una funcin acotada ya que est acotada superiormente por 1M = e inferiormente por . 1m =

Una definicin equivalente de funcin acotada sera la siguiente:

* est acotada / | ( ) | ( )f k R f x k x Dom f+

( )f x

m

'm

( ) sen( )f x x=1y =

1y =


Podramos demostrar que la suma y el producto de funciones acotadas es otra funcin acotada y, en consecuencia, el conjunto de funciones acotadas tendra la misma estructura que el conjunto de funciones reales de variable real.

Funciones acotadas en un punto. Sea f una funcin definida de D en y sea a un punto perteneciente a D ( ). \ a D

Se dice que f est acotada superiormente en el punto a D si existe un entorno ),,( raV en el cual la funcin est acotada superiormente.

Se dice que f est acotada inferiormente en el punto a D si existe un entorno ),,( raV en el cual la funcin est acotada inferiormente.

Se dice que f est acotada en el punto a D si est acotada superior e inferiormente en el punto a D

Resulta evidente que si una funcin f est acotada en su dominio D estar acotada en cada uno de los puntos de D, pero el recproco no tiene por qu verificarse: una funcin puede estar acotada en cada uno de los puntos de su dominio y, sin embargo, no estar acotada en su dominio. Es lo que le ocurre, por ejemplo, a la funcin cuadrtica : est acotada en todos sus puntos y no est acotada en su dominio.

2)( xxf =

Extremo superior. Mximo absoluto. Se llama extremo superior de una funcin f a la menor de las cotas superiores de dicha funcin. Se representa por ).sup( f

Si este valor lo alcanza la funcin en algn punto de su dominio, recibe el nombre de mximo absoluto. Por tanto, se dice que una funcin f tiene un mximo absoluto o global en un punto

si se verifica que Da . )()( Dxafxf Extremo inferior. Mnimo absoluto.

Se llama extremo inferior de una funcin f a la mayor de las cotas inferiores de dicha funcin. Se representa por ).inf( f

Si este valor lo alcanza la funcin en algn punto de su dominio, recibe el nombre de mnimo absoluto. Por tanto, se dice que una funcin f tiene un mnimo absoluto o global en un punto Da si se verifica que . )()( Dxafxf



Ejemplos: La funcin 2( )f x x= est acotada inferiormente por

el cero y cualquier valor negativo. La mayor de las cotas inferiores sera el cero, por lo que nuestra funcin tiene extremo inferior y como existe un punto en el dominio en el que se alcanza este extremo inferior, diremos que nuestra funcin tiene un mnimo absoluto en el punto 0x = .

2( )f x x=

2

1( )f xx

=

La funcin 21( )f xx

= tambin tiene como cota inferior mxima el valor 0k = ; sin embargo, esta funcin no alcanza el valor

cero en ningn punto de su dominio, por lo

que tiene extremo inferior y no tiene mximo

absoluto.

Mximos y mnimos relativos de una funcin. Sea f una funcin definida de D en y sea a un punto perteneciente a D. \ Se dice que una funcin f tiene un mximo relativo en un punto si existe un entorno de a, , en el cual se verifica que

Da( , )V a r .),( )()( DraVxafxf

Se dice que una funcin f tiene un mnimo relativo en un punto si existe un entorno de a, , en el cual se verifica que

Da( , )V a r .),( )()( DraVxafxf

La palabra relativo nos indica que estamos

comparando la imagen de f en el punto a con la

imagen de puntos prximos al punto a. En

consecuencia, no debemos confundir los mximos

y mnimos absolutos de una funcin con los

mximos y mnimos relativos de la misma:

mientras que los primeros son nicos, los

segundos no tienen por qu serlos (puede haber

ms de uno).




Tambin debemos tener en cuenta que los mximos y mnimos absolutos son al mismo tiempo relativos, pero la recproca no siempre es cierta: un mximo o mnimo relativo no tiene por qu ser absoluto. En el ejemplo cuya grfica se adjunta vemos que la funcin tiene un mximo y un mnimo relativos, pero no tiene extremos absolutos. FUNCIONES MONTONAS. Una funcin f se dice que es montona en un punto a cuando sea creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente en ese punto. Funciones crecientes en un punto.

Una funcin es creciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que:

si ( ) ( )( , ) :

si ( ) ( )x a f x f

x V a ra

x a f x f< > a

Esta relacin tambin puede expresarse en funcin de la tasa de variacin de la siguiente forma: pasando todo al primer miembro de las desigualdades obtenemos

si x a f x f asi x a f x f a

< >

0 00 0

( ) ( )( ) ( )

Por tanto, si dividimos la variacin de la imagen entre la variacin del original, tanto si el punto x est a la izquierda como si est a la derecha del punto a, el cociente (tasa de variacin media) ser mayor o igual que cero:

f x f ax a

( ) ( ) 0

Funciones estrictamente crecientes en un punto. Una funcin es estrictamente creciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que:

>>

0 00 0

( ) ( )( ) ( )


f x f ax a

( ) ( ) > 0


Funciones decrecientes en un punto. Una funcin es decreciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que:

>

0 00 0

( ) ( )( ) ( )


f x f ax a

( ) ( ) 0

Funciones estrictamente decrecientes en un punto. Una funcin es decreciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que:

>


En resumen: Sea f una funcin definida de D en y sea a un punto perteneciente a D. \

0000

)()(:),( en

es ax

afxfraVxDa

ientente decrecestrictameedecrecient

ntente crecieestrictamecreciente

f

Ejemplos: Estudiar la monotona de la funcin 3)( xx en el punto de abscisa x = 0. f =

Para ello calculamos la tasa de variacin media de la funcin en el punto de abscisa cero:

),0( 000

0)0()( 233 rVxx

xx

xx

xfxf >==

=

En consecuencia, al ser la tasa de variacin media estrictamente positiva en cualquier entorno de cero, la funcin cbica es estrictamente creciente en el punto de abscisa .0=x

Estudiar la monotona de la funcin 23 en el punto de abscisa x = 1. )( 2 += xxxfPara ello calculamos la tasa de variacin media de la funcin en el punto de abscisa uno:

),1( 021

)2).(1(1

0)23(1

)1()( 2 rVxxx

xxxxx

xfxf


Es evidente que si una funcin es montona en D, lo es en cada uno de sus puntos. Sin embargo, el recproco es falso: una funcin puede ser montona en todos sus puntos y no serlo en su dominio.

En la prctica, el mtodo ms cmodo para estudiar la monotona de una funcin es mediante la tasa de variacin media. Operando igual que en la monotona de una funcin en un punto llegamos a la siguiente definicin de funcin montona en un intervalo (equivalente a la anterior):

Sea f una funcin definida de D en \ .

0000

')'()(:', en

es xx

xfxfIxxDI

ientente decrecestrictameedecrecient

ntente crecieestrictamecreciente

f

Ejemplos: Estudiar la monotona de la funcin lineal baxxf +=)( segn los distintos valores de a

Calculamos el cociente incremental:

axxxxa

xxaxax

xxbaxbax

xxxfxf =

==

++=

')'(

''

')'()(

')'()(

Al ser el cociente incremental igual a a, tendremos:

Si a > 0, entonces la funcin ser estrictamente creciente. Si a < 0, entonces la funcin ser estrictamente decreciente.

Demostrar que la funcin 3)( xx es estrictamente creciente en R. f =

Calculamos el cociente incremental:

Rxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxfxf >++=

++==

', 0'''

)'')('(''

')'()( 222233

Por tanto, la funcin cbica es estrictamente creciente en R. EJERCICIOS. 1. Calcular el dominio, ceros y simetras de las siguientes funciones:

12)( 2

=xxxf

Al ser una funcin racional su dominio ser el conjunto de nmeros reales salvo los puntos que anulan el denominador. Por tanto:

}1,1{)( += RfDom Para calcular los ceros de la funcin igualamos a cero:




}2{)( 2 02 012 0)( 2 ====

= fCxxxxxf

Simetra: calculamos para compararlo con f(x) )( xf

+==

=)()(

)()(

12

12

1)(2)()( 222 xfxf

xfxfxx

xx

xxxf

Por tanto, no tiene simetra respecto del eje OY ni respecto del origen.

86)( 2 += xxxf Dominio: Veamos cuales son estos puntos: }086/{)( 2 += xxRxfDom

+2

42

0402

442

0402

0)4)(2( 0862

xxx

xx

xxx

xx

xxxx

Por tanto, ] ] [ [ ] [( ) , 2 4, 2, 4 Dom f = + = \ Ceros:

===+=+=

42

086 086)( 22xx

xxxxxf

)1( )( 2 += xLxfDominio: el dominio de la funcin logartmica es el conjunto de puntos que hacen el argumento estrictamente positivo. Entonces:

2( ) { / 1 0}Dom f x x= + > =\ \

0

puesto que siempre es estrictamente mayor que cero.

12 +x

Ceros: 11 0)1( 0)( 22 ==+=+= xxxLxfSimetra:

)() 1()1)(()( 22 xfxLxLxf =+=+=Por tanto, es una funcin par y es simtrica respecto del eje OY.

2. Dada la funcin decimal )( razona si: )( xdecxf =

a. Es peridica o no. La parte decimal de un nmero real es una funcin que toma siempre valores comprendidos entre 0 y 1: cada vez que incrementamos un nmero real en una unidad, se repite la misma imagen (slo vara su parte entera). Es, por tanto, una funcin peridica de perodo T = 1.

b. Est acotada superiormente e inferiormente. Al tomar siempre valores comprendidos entre 0 y 1, la funcin estar acotada superior e inferiormente; luego, estar acotada:

)()( xdecxf =


Cotas superiores = {valores mayores o iguales que 1}

Cotas inferiores = {valores menores o iguales que 0}

c. Tiene extremo superior y extremo inferior. =)sup( f {menor cota superior} = 1 =)inf( f {mayor cota inferior} = 0

d. Tiene mximo y mnimo. No tiene mximo puesto que el valor 1 no lo alcanza en ningn punto mientras que si tiene mnimo ya que el valor cero se alcanza en cualquier punto de abscisa entera.

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Calcular dominio, ceros y simetras de las siguientes funciones:

2( ) | |f x x x= 1

1)( 2 += xxf 11)( +

=x

xxf xxf sen1)( = )1()( 2xLxf =

2. Hallar razonadamente el mximo o el mnimo de las siguientes funciones:

2)( xxf = 21)( xxf = ( ) | |f x x= 2( ) | |f x x x=

11)( 2 += xxf

3. Demuestra la veracidad o no de las siguientes proposiciones: a. La suma de dos funciones pares es una funcin par. b. El producto de dos funciones pares es una funcin par. c. La suma de dos funciones impares es una funcin impar. d. El producto de dos funciones impares es una funcin impar.

4. Calcular la expresin analtica de las siguientes funciones:

65)( 2 += xxxf xxxf .)( 2= 21)( ++= xxxf 32)( +++= xxxxf 21)( += xxxf 21)( += xxxf

5. Sean las funciones dadas por 1 y )( 2 = xxf11)( +

=xxxg

Calcular: fffggfffggfgfgfgf DDDDDD , , , , , , , +

Sus dominios mximos. 6. Una funcin es tal que el mximo y el mnimo coinciden, qu se puede decir de ella? Si

existe alguna representarla. 7. Demuestra que la suma y el producto de funciones acotadas en un dominio D es otra funcin

acotada. 8. Qu diferencia existe entre extremo superior (inferior) y mximo (mnimo) de una funcin?

Pueden coincidir? Poner un ejemplo que aclare la respuesta. 9. Demuestra que si f(x) es creciente, tambin lo es f(x) + k, siendo k una constante. 10. Demostrar que si f y g son crecientes en un dominio D, tambin lo es f + g. 11. Estudiar el sentido de variacin de f y 1/ f


NOTA: Si m es una cota superior de la funcin f, cualquier otro nmero real m menor que m, tambin es cota inferior de f. En consecuencia, si una funcin est acotada inferiormente siempre tendr un conjunto de cotas inferiores.Funciones acotadas.

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