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8/17/2019 04-MODULO EJERCICIOS - UNIDAD 6.pdf
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UNIDAD 6
CIRCUNFERENCIA
1.
En una C(O; r) se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se prolonga
a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan y
que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: OFC=OGC.
GRAFICA 65
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )
5
6
7
8
9 =
10
11 =
12
13
14
AB OC AB AB
CE
CD
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2. Desde el vértice A de un ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa
por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan y . Demostrar que la recta
que une el punto medio del radio con el punto medio de es perpendicular a la recta que
une el punto medio con el punto medio de .
GRAFICA 66
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8
9
DB DC
AB DC
AC DB
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3. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una
cuerda y en la C(O';r') la cuerda . Probar que .
GRAFICA 67
AFIRMACION RAZON
1 1.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
+2 13
14
15
16
AM AN AM OM O'N
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4.
Por el punto medio O de un segmento se traza una recta cualquiera ; se toma B'
simétrico de B con respecto a y se traza con el punto N sobre . Probar
que es tangente a la circunferencia de diámetro .
GRAFICA 68
⃡ , ̅ ̅
̅ ̅
̅
AFIRMACION RAZON
1 ̅ ̅ ̅
2 ̅ ̅ ⃡
3
4
5 ̅ ̅
6
7 ̅ ̅
8
9
10 ̅ ̅
11 ̅
5.
Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la
mayor en C y D. Demostrar que = y = .
AB XY
XY B'N OB' XY
NB AB
AC BD AD BC
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GRAFICA 69
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11
12
6.
En una C(O; r) se trazan dos radios y y una cuerda perpendicular a la bisectriz
del AOB; corta a en F y a en G. Demostrar que: MF=NG y FA=GB.
GRAFICA 70
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ̅ ̅
OA OB MN
MN OA OB
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5 ̅ ̅
6
7 ̅ ̅ ̅
8 ̅ ̅
9
10 ̅ ̅ ̅
11 ̅ ̅
7.
Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de
y se traza la perpendicular a en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C.
Demostrar que AB=AC.
GRAFICA 71
Determina la hipótesis y la tesis
AFIRMACION RAZON
1 ̅
2
3 ̅
4
5
6 ̅
7 ̅
8
8. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es
perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.
OO'
AM
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GRAFICA 72
Determina la hipótesis y la tesis
Tracemos pasando por P, ya que por P pasa una única cuerda perpendicular en dichopunto, Tracemos cualquier otra cuerda que pase por P en este caso . Desde O podemostrazar donde se estara formando el ∆ rectángulo ∆ OMP donde es decirque la cuerda esta mas cerca al centro que a la cuerda por lo tanto por corolario
sabemos que la mayor de dos cuerdas desiguales es la más próxima al centro yrecíprocamente. Por lo tanto
Ahora realízalo utilizando afirmación - razón.
9. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares y y en el mismo sentido con
respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son
perpendiculares.
GRAFICA 73
Determina la hipótesis y la tesis
Observemos que al prolongar los segmentos se cortan en un punto P por lo tanto es un ángulo exterior cuya medida es la semidiferencia entre los arcos y ,sabemos que radios y además luego tenemos dos triánguloscongruentes por el teorema LLL, . Continuando tenemos que lo que implica que con donde ̂
OA OB
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⋀ ̂ por ser ángulos centrales; por lo tanto:
̂ ̂ ̂ ̂ por resta de arcos
Operaciones entre reales
Propiedad asociativa
Por lo tanto
10.
Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
GRAFICA 74
AFIRMACION RAZON1
2 ̅ ̅
3
4 ̅
5
6
11.
En una C(O;r) se tienen dos cuerdas y perpendiculares a un diámetro ; se trazan y . Probar que la recta que une los puntos medios de y es perpendicular al
diámetro .
CC' DD' AB
CD C'D' CD C'D'
AB
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GRAFICA 75
AFIRMACION RAZON
1 CC'
2 CC'D'D es trapecio
3
base media
4
5
6
7
8
12. En un ABC acutángulo se traza las alturas y . Probar que la circunferencia de
diámetro pasa por los pies D y E de las alturas. Si el BAC=64°, calcular el ADE.
GRAFICA 76
determina la tesis
Si tomamos como diámetro entonces la circunferencia de diámetro es todos lospuntos que forman un ángulo de 90° tomando como extremos A y B por arco capaz; por lotanto E a dicha circunferencia y por lo tanto D a dicha circunferencia yaque .
AD BE
AB
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Realiza la segunda parte
13. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en algunaposición.
GRAFICA 77
determina la hipótesis y la tesis
Si dejamos como lado fijo el segmento podemos trazar la semi-circunferencia condiámetro que pasara por I. si desplazamos I hasta el puntoI′ sobre la circunferenciaAIB=90 por lo tanto si prolongamos AI′ y BI′ hasta C′ y D′ respectivamente tal queAI′=C′I y BI′=I′D′ se forma siempre un rombo de lados iguales . De acuerdo a lo anteriorel lugar geométrico estará siempre en la semicircunferencia de radio AB
14.
Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes y
. Probar que .
GRAFICA 78
AFIRMACION RAZON
1
2
BAC
B'AC' BB' CC'
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5 ̅
6
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8 9
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15. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un ABC, rectángulo en A. Probar que es
el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B,
I y C.
GRAFICA 79
1. Determina la hipótesis y la tesis2. Argumenta las afirmaciones
Si es el lado del cuadrado inscrito entonces el ángulo desde el centro de lacircunferencia () tendría que medir 90 CIB=180-( donde (2 ∆ABC
inscrito
BC
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16.
Por un extremo A de un diámetro de una C(O; r) se traza una cuerda ; y por el extremo
B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del CAB que corta a la
cuerda en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y
FH=HD.
GRAFICA 80
AFIRMACION RAZON
1
inscrito
2
3
4
5
6 7
8
9
10
11
12
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14
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AB AC
BC
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17.
Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal hace con los
lados y ángulos de 45° y con la diagonal un ángulo de 70°.
GRAFICA 81
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
)
12
18.
Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito
ABCD, cuyos lados , , y , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M. Demostrar que AD+BC=DC+AB.
AC
AB AD BD
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GRAFICA 82
Determina la hipótesis y la tesis
Sabemos que los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior son congruentes esdecir :
por suma de segmentos tenemos:
( ) ( )
si tenemos presente el primer paso y sustituimos obtenemos:
=
Si agrupamos.
+ ( ) )
Obtenemos