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Estado del arte

2. ESTADO DEL ARTE 2.1 Evolucin histrica

Los primeros puentes diseados teniendo en cuenta el fenmeno del pandeo local en chapas se remontan al siglo XIX. Fue en 1850 cuando el ingeniero britnico Robert Stephenson dise el puente de ferrocarril considerado como el inicio de la era moderna en lo que a puentes de viga cajn se refiere, el Britannia Bridge, ubicado en el norte del Pas de Gales. El puente estaba formado por dos vigas cajn continuas divididas en cuatro vanos, los dos centrales de 152 m de luz.

Figura 2.1 Dimensiones principales del Britannia Bridge (kesson, 2005)

Junto con el constructor naval W. Fairbairn i el matemtico E.Hodgkinston, Stephenson llev a cabo numerosos experimentos con el fin de determinar la capacidad resistente, no solo de secciones rectangulares sino tambin circulares y elpticas. Pronto veran que con la seccin rectangular se obtenan mejores resultados debido a la tendencia al pandeo de las otras dos secciones. Tambin durante estos experimentos observaron que era necesario dividir en distintas celdas el ala en compresin de las vigas

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Abolladura por cortante en vigas armadas rigidizadas longitudinalmente

de seccin rectangular para minimizar el riesgo de pandeo. Contrariamente a experimentos anteriores, en esta ocasin las vigas fallaban por el lado comprimido.

Figura 2.2 Britannia Bridge, Pas de Gales Hodgkinson saba que las simples expresiones matemticas que tradicionalmente

haban sido usadas, y con las que se obtena la capacidad ltima a partir de la resistencia a traccin del material, sobreestimaban definitivamente la capacidad de las vigas. As, Hodgkinson adquiri un buen conocimiento de la capacidad ltima de chapas cargadas axialmente, a pesar de que aseguraba que su capacidad estaba limitada por el pandeo, excluyendo as la reserva postcrtica de capacidad que ms tarde se constat. Precisamente esta exclusin, que dot al Britannia Bridge con un grado extra de seguridad, explicara el porque fue posible incrementar la carga de trfico con los aos sin la necesidad de reforzar el puente (kesson, 2005).

En relacin con el pandeo local debido al cortante, el puente no tubo problemas,

puesto que se colocaron rigidizadores verticales lo suficientemente juntos (perfiles en T por las dos caras cada 610 mm, Fig. 2.3) como para hacer frente al riesgo de abolladura por cortante (kesson, 2005).

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Figura 2.3 Seccin transversal y detalle de rigidizadores del Britannia Bridge (kesson, 2005)

Ms de un siglo despus, durante el perodo de cuatro aos comprendido entre

1969 y 1973, se produjeron cinco colapsos de puentes formados por vigas cajn durante su construccin, cuatro de ellos en Europa: Fourth Danube Bridge, en Viena (1969), Cleddau Bridge, en Milford Haven (1970), Rhine Bridge en Koblenz (1971), Zeulenroda Bridge, en la antigua Alemania del Este (1973); y uno en Australia: West Gate Bridge, en Melbourne (1970).

En todos ellos el colapso se produjo por el pandeo local de uno de sus elementos,

ya sea por un fallo de diseo o por una falta de previsin en los esfuerzos producidos durante las diferentes etapas del proceso constructivo.

Figura 2.4 Colapso del Cleddau Bridge, en Milford Haven (1970)

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Parece difcil entender el porque de estos colapsos si se tiene en cuenta que por aquel entonces ya eran bien conocidas las teoras de pandeo de chapas. Todava es ms sorprendente si se contrasta con la eficacia del Brittania Bridge construido ms de un siglo antes. La razn podra ser la falta de unas recomendaciones completas para el diseo de puentes con vigas cajn en las normativas de aquel entonces, especialmente en lo que a rigidizadores se refiere (kesson, 2005).

En cualquier caso, aquellos hechos dieron lugar a la creacin de comits tcnicos especialistas con el fin de estudiar en profundidad las causas de los colapsos. Los informes de estos comits dieron lugar a nuevas reglas de diseo que tenan en cuenta los efectos del pandeo local para vigas cajn y vigas armadas. Las llamadas Merrison Rules, publicadas en 1973 y resultantes del estudio del colapso del Cleddau Bridge, dieron lugar a la actual normativa inglesa BS5400, partes 3, 6 y 10.

Centrndonos ahora en la abolladura por cortante, Timoshenko (1921) fue el

primero en presentar una solucin para el pandeo local de chapas rectangulares sometidas a cortante (simplemente apoyadas en sus cuatro bordes). Lo hizo aplicando el mtodo energtico (ver apartado 2.3.1), el cual se demostr ser una excelente herramienta para resolver un problema que no poda ser resuelto directamente como un problema de autovalores. La expresin que obtuvo para la tensin crtica de abolladura dependa, entre otros, de un parmetro conocido como coeficiente de abolladura. k

En aos posteriores diversos investigadores como Southwell y Skan, Seydel,

Stein y Neff, y otros, continuaron con esas investigaciones para obtener tensiones crticas de abolladura ms precisas modificando los valores del coeficiente de abolladura

, teniendo en cuenta las diferentes condiciones de contorno de los paneles (ver apartado 2.3.2). k

Galambos (1988) public una recopilacin de las soluciones y aproximaciones

ms vlidas aportadas por estos autores y por ello actualmente con frecuencia se hace referencia a este autor cuando se citan dichas expresiones (Tabla 2.1).

Hasta finales de los aos cuarenta todos los artculos publicados relacionados con el pandeo de chapas consideraban la estabilidad nicamente en el rango elstico, sin

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embargo, autores como Stowell (1948) o Bleich (1952) se dieron cuenta de la importancia de extender la teora al rango no lineal para obtener soluciones ms precisas en los casos reales, especialmente en lo que al acero estructural y acero para navos se refera. As, Bleich, present todas las teoras de pandeo en rgimen elstico de tal forma que pudieran ser aplicadas igualmente en rgimen inelstico. Esas teoras fueron comprobadas empricamente a travs de numerosos ensayos.

En cuanto a la influencia de los rigidizadores longitudinales, diversos han sido los autores que han propuesto soluciones para la variacin del factor en funcin del tipo y nmero de rigidizadores empleados. As, Crate y Lo (1948) proponan los valores de para un rigidizador longitudinal centrado, en funcin de la rigidez relativa del mismo, en paneles infinitamente largos. Posteriormente, fueron autores como Hglund (1997) o Beg (2003), quines hicieron otras propuestas para la obtencin del parmetro

en al caso de paneles rectangulares.

k

k

k

Finalmente, autores como Lee et al. (1996) o Estrada (2005), han estudiado

tambin factores como la influencia del grado de empotramiento que proporcionan las alas en vigas armadas en funcin de los espesores de alas y almas, proponiendo resultados que toman como base a los resultados clsicos citados anteriormente. 2.2 Abolladura por cortante. Descripcin del fenmeno

Cuando una chapa es sometida a un esfuerzo cortante, tensiones iguales de traccin y compresin se desarrollan hasta el momento en que los de compresin desestabilizan el alma provocando el pandeo de la misma (Fig. 2.5.a).

Es bien sabido, sin embargo, que las chapas no colapsan cuando pandean, sino

que poseen una reserva sustancial de resistencia postcrtica. Despus del pandeo, la chapa no puede soportar ms incremento de esfuerzos de compresin y un nuevo mecanismo de soporte de carga se desarrolla, por el cual cualquier incremento de carga es soportado por el desarrollo de un campo de tracciones en membrana conocido como campo diagonal de tracciones, el cual queda anclado en alas y rigidizadores (Fig. 2.5.b).

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2

cr

+ +1

2 tt

1

cr

cr

cr t

t

t

t

a. Estado de cortante puro

b. Desarrollo del campo diagonal de tracciones

c. Mecanismo de colapso

Figura 2.5 Estadios en el comportamiento de una chapa sometida a cortante

A medida que aumenta todava ms la carga aplicada, los esfuerzos de membrana crecen hasta que stos, combinados con los esfuerzos que dieron lugar al pandeo del alma, provocan el alcance de la tensin de plastificacin del material. Cuando el alma ha plastificado, el colapso tendr lugar cuando se hayan desarrollado cuatro rotulas plsticas en las alas (Fig. 2.5.c).

Cuanto menor es la tensin crtica de pandeo de la placa, mayor es la diferencia

entre sta y su resistencia ltima. En placas muy esbeltas, como las empleadas en el diseo aeronutico, la resistencia ltima puede ser del orden de treinta veces superior a la carga crtica, y aunque en las empleadas en edificacin e ingeniera civil no se alcanzan estas diferencias, sigue siendo lo suficientemente importante como para tenerla en consideracin para el diseo de estos elementos (Marco, 1998).

Un gran nmero de mtodos han sido desarrollados para predecir la capacidad ltima de las vigas armadas sometidas a cortante. Dos de los ms relevantes son el Campo Diagonal de Tracciones (Tension Field Method) desarrollado por Rockey et al. (1972) y el Campo Girado de Tensiones (Rotated Stress Field Method) desarrollado por Hglund (1972, 1997). Estos han sido utilizados como base para los mtodos de diseo actualmente incluidos en el Eurocdigo 3 (2004), una interesante revisin de stos y otros mtodos puede encontrarse en Galambos (1988). Estos dos mtodos, sin

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embargo, no se abordarn en el presente trabajo por quedar fuera del mbito del mismo. As, el siguiente capitulo se centrar en la primera parte del mecanismo resistente: la tensin crtica de abolladura. 2.3. Tensin crtica de abolladura 2.3.1 El mtodo energtico

Timoshenko (1921) fue el primero en encontrar una solucin, mediante el mtodo energtico, al clculo de los valores crticos de las fuerzas aplicadas en el plano medio de una placa rectangular simplemente apoyada en sus cuatro bordes cuya forma plana de equilibrio se hace inestable.

N x

N y

N x

N yN yx

N xy

Fig. 2.6 Chapa sometida a esfuerzos contenidos en su plano

Si se estudia una placa rectangular, simplemente apoyada en sus cuatro bordes, sometida a esfuerzos contenidos en su plano medio (Fig. 2.6) se puede obtener, imponiendo equilibrio, la ecuacin diferencial que rige su comportamiento

022)1( 2

22

2

2

4

4

22

4

4

4

2 =

+

++

+

+

yxyx yyxxt

yyxxIE (2.1)

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donde es el desplazamiento normal al plano medio, t es el espesor de la placa, tN xyxy = es la tensin tangencial, y tN xx = ; tN yy = son las tensiones normales en las direcciones x e . y

Para el caso 0== yx , donde la placa se encuentra nicamente solicitada por tensiones tangenciales distribuidas uniformemente en sus cuatro bordes establecindose una condicin de carga de cortante puro (Fig. 2.7), se obtiene

02212

4

4

22

4

4

4

2 =+

+

+

xyyxt

yyxxIE )( (2.2)

a

d

( = a /d )

Figura 2.7 Chapa simplemente apoyada sometida a tensin tangencial uniforme

La solucin de la Ec. 2.2 ser 0= excepto para ciertos valores de xy (tensiones crticas de abolladura), para los cuales ser posible una solucin con 0 (bifurcacin de equilibrio).

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Tomando como superficie elstica de la forma de pandeo la doble serie

=

==

1 1m nmn b

ynsena

xmsena (2.3) se tendr entonces para el trabajo de deformacin por flexin de la placa que sufri el pandeo, la expresin

2

2

2

2

2

1 1

24

42

+=

=

= bn

amaabDV

m nmn

(2.4)

donde )1( 2=

EID es la rigidez a flexin de la placa.

El trabajo realizado por las fuerzas exteriores ( ) durante el pandeo de la placa es xyN

== m n p q pqmnxya b

xy nqpmmnpqaatdxdy

yxtU

))(( 22220 08 (2.5)

donde qpnm ,,, son enteros tales que pm + y qn + son nmeros impares.

Cuando la chapa experimenta cierta flexin normal a su plano, si el trabajo de deformacin por flexin de la placa es mayor que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores ( ), la forma plana de equilibrio ser estable, y si es menor ser inestable. El valor critico de

xyN

xy ser aquel que iguale el trabajo de deformacin por flexin al trabajo de las fuerzas exteriores ( ). xyN

As, igualando el trabajo producido por las fuerzas exteriores (Ec. 2.5) al trabajo de deformacin (Ec. 2.4), se halla la expresin del valor crtico de las tensiones tangenciales

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+

=

=

=

m n p qpqmn

m nmn

xy

nqpmmnpqaa

bn

ama

tabD

))(( 2222

2

2

22

2

22

1 1

2

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(2.6)

Se necesita escoger ahora un sistema tal de constantes y que hagan mnima

mna pqa

xy . Para ello se igualaran a cero las derivadas de la expresin Ec. 2.6 respecto de cada uno de los coeficientes , obtenindose un sistema de ecuaciones lineales homogneas. La ecuacin para calcular la tensin crtica

mna

c se encontrar anulando el determinante de este sistema de ecuaciones. Limitando el clculo a dos ecuaciones con dos constantes y Timoshenko obtuvo 11a 12a

kdtE w

c

2

2

2

)1( 12

=

(2.7) donde

( )3222 1

329

+=k (2.8)

es el llamado coeficiente de abolladura.

Esta solucin (Ec. 2.7) tiene la misma forma que la expresin para la tensin crtica en paneles rectangulares sometidos a esfuerzos de compresin, sin embargo el valor obtenido para el factor para paneles simplemente apoyados (Ec. 2.8) difiere en un 15% del valor correcto para

k

1= siendo mayor la diferencia para valores de mayores a la unidad. Usando un mayor nmero de ecuaciones Timoshenko obtuvo valores de ms prximos a los valores exactos para distintas relaciones de aspecto. k

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2.3.2 Coeficiente de abolladura k

Durante los aos posteriores a la propuesta de Timoshenko para la obtencin del coeficiente numerosos autores continuaron con las investigaciones para obtener mejores tensiones crticas de abolladura, es decir, valores del parmetro k ms precisos. Fue en 1924 cuando Southwell y Skan presentaron la solucin exacta ( =5.34) para paneles infinitamente largos (

k

k

= ) y en 1933 cuando Seydel obtuvo la solucin exacta ( ) para 34.9=k 1= . Bergmann y Reissener, en 1932, tambin contribuyeron al estudio para lo obtencin de los valores de , pero fue en 1947 cuando Stein y Neff publicaron las mejores soluciones para otras relaciones de aspecto

k

. stas daran origen a las parbolas utilizadas hasta el momento actual (Ec. 2.9 y Ec. 2.10) y que aproximan dichos resultados con bastante exactitud (Bleich, 1952) (Fig. 2.8.a).

a. Paneles simplemente apoyados en los cuatro bordes

b. Paneles empotrados en los cuatro bordes

Figura 2.8 Coeficiente de abolladura en funcin de la inversa de la relacin de aspecto k

(Bleich, 1952)

En el caso de paneles rectangulares empotrados en sus cuatro bordes, fueron los mismos Southwell y Skan quines en 1924 determinaron la solucin exacta de para paneles infinitamente largos ( =8.98). Otros autores como Budiansky y Connor obtuvieron en 1947 buenas aproximaciones para otras relaciones de aspecto de los paneles, pero fue Moheit quien en 1939 obtuvo las parbolas (Ec. 2.11 y Ec. 2.12) que

k

k

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aproximaran todos estos resultados con suficiente precisin (Galambos, 1988) (Fig. 2.8.b).

Tambin el caso de paneles con dos bordes empotrados y los otros dos simplemente apoyados fue estudiado por diversos autores. Soluciones a este problema fueron propuestas por Iguchi, en 1938, para el caso general y por Leggett, en 1941, para relaciones 1= . Sin embargo fueron Cook y Rockey quienes en 1963 obtuvieron las mejores soluciones. Expresiones polinmicas aproximando dichos resultados (Ec. 2.13, Ec. 2.14, Ec. 2.15 y Ec. 2.16) fueron publicadas por Bulson en 1970 (Galambos, 1988).

A continuacin, en la Tabla 2.1, se incluyen todos los valores de en funcin de las condiciones de contorno de los paneles y de las relaciones de aspecto

k

de los mismos (Galambos, 1988).

RELACIN DE ASPECTO, da /= CONDICIONES DE CONTORNO 1 1

Placa simplemente apoyada en los cuatro

bordes 2

345004 .. +=ssk ( ) 92. 2004345

.. +=ssk ( ) 102.

Placa empotrada en los cuatro bordes 2

988605 .. +=ffk ( ) 112. 2605988

.. +=ffk ( ) 122.

Bordes largos

empotrados

991615988

2 ... +=sfk

( ) 132.32

991615988 ... +=sfk

( ) 142.

Placa empotrada

en dos bordes

opuestos y apoyada en los

otros dos

Bordes cortos

empotrados

398443312345

2 .... ++=sfk

152.

( ) 32

398443312345 .... ++=sfk

162.

( )

Tabla 2.1 Coeficientes de abolladura k en funcin de las condiciones de contorno

(Galambos, 1988)

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2.3.3 Tensin crtica de abolladura en rango inelstico

Las soluciones presentadas en el apartado anterior para el pandeo de chapas sometidas a cortante fueron formuladas bajo la hiptesis de un comportamiento perfectamente elstico. Sin embargo puede pasar que la tensin crtica de abolladura se encuentre por encima del lmite de proporcionalidad para una situacin de cortante puro (Ec. 2.17). En ese caso ser necesario adaptar las formulaciones anteriores para tener en cuenta la influencia de este efecto de prdida de elasticidad.

38080yw

ywc

f.. = (2.17)

Dado que la teora inelstica de placas es compleja y sus resultados son de difcil

aplicabilidad prctica, se emplean mtodos simplificados de acuerdo a alguna teora, como la de Bleich (1952), quien basndose en las condiciones existentes en una chapa en un estado de cortante puro, propuso una solucin para adaptar la formula de tensin crtica en rango elstico (Ec. 2.7) al rango inelstico.

La teora de Bleich se fundamenta en suponer que cuando la tensin longitudinal

x supera el lmite de estricta proporcionalidad del acero, en esa direccin las relaciones entre esfuerzos y deformaciones se rigen por el mdulo tangente , mientras que en la direccin transversal contina siendo efectivo el mdulo de Young

tE

E , dado que los nicos esfuerzos en esa direccin son originados por la resistencia del panel a deformarse transversalmente y stos son pequeos para deflexiones laterales limitadas. As, las frmulas para la tensin crtica en rango elstico (Ec. 2.7) tambin serian vlidas en el rango inelstico siempre que en este rango el modulo de Young fuera reemplazado por un mdulo reducido. As, la expresin Ec. 2.7 se convierte en

kbtE

c

2

2

2

)1(12

=

(2.18) donde

EEt= (2.19)

23


con 1= cuando la tensin crtica c est por debajo del lmite de proporcionalidad, y 1

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2.3.4 Condiciones de contorno En prcticamente todos los mtodos de diseo de vigas armadas existentes, tambin en los incluidos en las normativas vigentes, cuando se determina la tensin crtica de abolladura de los paneles se considera conservadoramente que las condiciones de contorno son las de un panel simplemente apoyado en sus cuatro bordes. stas, sin embargo, no son, en general, las condiciones reales en vigas armadas. Generalmente se asume que en las vigas rigidizadas transversalmente, los rigidizadores transversales son los suficientemente rgidos como para formar lneas nodales de las ondas sinusoidales de los diferentes modos de pandeo del alma. En este caso s podra estar bien justificado el asumir la condicin apoyo simple en los bordes laterales de los paneles, puesto que los rigidizadores transversales se disean para cumplir dicha condicin. Por el contrario, el alma del panel esta elsticamente coartada en la junta entre ala y alma. Las condiciones de contorno reales estarn a medio camino entre un apoyo simple y un empotramiento dependiendo fundamentalmente de parmetros como la relacin de espesores entre alas y alma ( wf tt ). Aunque esta nocin de condiciones de contorno reales ha sido bien reconocida desde hace tiempo, las condiciones de contorno han sido tradicionalmente asumidas de manera conservadora bsicamente debido a una falta de medios para evaluarlas de una manera racional (Lee et al., 1996). As, Lee et al. (1996) estableci una nueva propuesta (Ec. 2.21 y Ec. 2.22) para los coeficientes de abolladura teniendo en cuenta el grado de empotramiento que proporcionaban las alas al alma a partir de los valores clsicos (Tabla 2.1) y en funcin de la relacin wf tt .

+=

w

fsssfss t

tkkkk 23

2154 )( para 22

1

w

f

tt (2.22)

25


donde y son los valores recogidos por Galambos (Tabla 2.1) correspondientes a las condiciones de contorno de apoyo simple (Ec. 2.9 y Ec. 2.10) y empotramiento (Ec. 2.14 y Ec. 2.15) en los dos bordes unidos a las alas.

ssk sfk

Estrada (2005) tambin estudi la influencia de las condiciones de contorno en el pandeo de chapas. En esta ocasin el estudio fue realizado para vigas armadas de acero inoxidable, concluyendo de la misma forma que la relacin wf tt es el parmetro clave para establecer las condiciones de contorno reales en una viga armada. A pesar de realizarse para aceros inoxidables, la propuesta de Estrada para los coeficientes de abolladura puede ser de gran inters para el presente trabajo puesto que Estrada, en la medida de lo posible, no incluy en stos la influencia de la no linealidad del material. Su propuesta para los coeficientes de abolladura es - Para paneles con 1 :

w

fssss t

tkkk += 32080 .. 3

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