05- Ecuatiile de Miscare Ale Fluidelor Ideale

Embed Size (px)

DESCRIPTION

05- Ecuatiile de Miscare Ale Fluidelor Ideale

Text of 05- Ecuatiile de Miscare Ale Fluidelor Ideale

  • 1

    5. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE

    5.1 NOTIUNI GENERALE DE CINEMATICA FLUIDELOR Cinematica fluidelor studiaza miscarea acestora fara a lua n considerare:

    fortele care determina, sau modifica, starea de miscare,

    transformarile energetice care nsotesc miscarea fluidelor.

    Astfel, deoarece sunt luate n calcul doar proprietatile geometrice ale miscarii fluidelor, rezultatele

    cinematicii fluidelor sunt valabile att pentru fluide ideale, ct si pentru fluidele reale.

    5.1.1 METODE DE STUDIU ALE MISCARII FLUIDELOR

    Exista doua metode de studiu ale miscarii fluidelor (determinarii traiectoriilor, vitezelor si

    acceleratiilor): metoda Lagrange, respectiv metoda Euler.

    Metoda Lagrange studiaza miscarea unei particule de fluid n aceeasi maniera ca la

    miscarea unui punct material n mecanica clasica. Lund ca referinta pozitia particulei,

    ) , ,( 0000 zyxrv

    , la momentul initial, 0t , miscarea ei (ecuatiile traiectoriei) este cunoscuta daca se

    stabilesc legile de variatie n timp ale coordonatelor de pozitie ale particulei

    ===

    .

    ,

    ,

    000

    000

    000

    , t), z, yz (xz

    , t), z, yy (xy

    , t), z, yx (xx

    (5.1)

    Necunoscutele sistemului (5.1), coordonatele zyx , , , sunt functii de variabilele

    independente 000 , , zyx (variabilele lui Lagrange). Din ecuatiile traiectoriei se deduc componentele vitezei, ) , ,(vv zyx vvv

    rr= , corespunzator momentelor it , dupa cum este ilustrat n figura 5.1,

    ,dd

    ,dd

    ,dd

    tz

    vty

    vtx

    v zyx === (5.2)

    si componentele acceleratiei ) , ,(aa zyx aaa

    rr=

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    dd

    dd

    ,dd

    d

    d ,

    dd

    dd

    tz

    tv

    vty

    t

    vv

    tx

    tv

    a zzy

    yx

    x ====== . (5.3)

    Pentru a descrie miscarea a n particule ce alcatuiesc o masa de fluid sunt necesare n sisteme de

    ecuatii ale miscarii, cu solutii care necesita un timp ndelungat de rezolvare si resurse de calcul

    semnificative. Din punct de vedere practic, mult mai comoda este utilizarea celei de a doua

    metode.

  • 2

    Fig. 5.1 Descrierea miscarii particulelor unui fluid prin metoda Lagrange

    Metoda Euler studiaza cmpul de viteze n puncte fixe ale spatiului ocupat de fluid. Practic,

    se determina la momentele jt componentele vitezei n puncte n care se amplaseaza sonde de

    viteza. Astfel, cunoscnd componentele vitezei ca functii de coordonate si timp,

    )( vv

    )(

    )(

    )(

    x, y, z, t

    x, y, z, tvv

    x, y, z, tvv

    x, y, z, tvv

    zz

    yy

    xxrr

    =

    =

    =

    =

    , (5.4)

    se determina traiectoriile prin integrarea sistemului de ecuatii (5.2), respectiv, se determina

    componentele acceleratiei, derivnd componentele vitezei, ecuatiile (5.3). Metoda este ilustrata n

    figura 5.2.

    Fig. 5.2 Descrierea miscarii unui fluid prin metoda Euler

    Expresia acceleratiei unei particule fluide este

    zyx vvvtk aj ai a

    t zv

    yv

    xvv

    dvd

    a zyx

    +

    +

    +

    =++==rrrrrrrrr

    . (5.5)

    Din relatia anterioara se constata ca acceleratia are doua componente:

    acceleratia locala, )v( tr

    , ce rezulta din variatia n timp a vitezei n diferitele puncte ale

    spatiului ocupat de fluid si

  • 3

    acceleratia convectiva (sau de antrenare), zyx vzv

    yv

    x

    +

    + vvv

    rrr, rezultat al vitezelor diferite

    n punctele fluidului.

    Observatii:

    1. Miscarile fluidelor pentru care 0v

    =

    t

    r se numesc permanente: ntr-un punct din interiorul spatiului

    ocupat de fluid, viteza este constanta n timp. Cele pentru care 0v

    t

    r se numesc nepermanente: n

    acelasi punct, viteza variaza (fluctueaza, n jurul unei valori medii) n timp.

    2. Acceleratia convectiva este nula n cazurile cmpurilor de viteza omogene, n care viteza este

    aceeasi n toate punctele mediului fluid: miscare uniforma.

    3. Utiliznd teoria cmpurilor, relatia (5.11) poate fi pusa si sub forma:

    ( ) +

    =

    +

    +

    +

    == v vv

    v v

    dvd rr

    rr

    rrr

    tv

    zv

    yv

    xtta zyx

    vvrot2v

    gradv

    vv2vv 22 rr

    rrr

    rr

    ++

    =++

    = tt

    a (5.6)

    n relatia (5.12) s-a pus n evidenta partea potentiala a acceleratiei convective, 2v

    grad2

    2v

    2

    sau , precum si partea rotationala a acesteia, vvrot rr

    ( )vv rr sau . Miscarile pentru care

    0v rot =r

    se numesc irotationale. 5.1.2 REPREZENTAREA GRAFICA A MISCARII UNUI FLUID. MARIMI CARACTERISTICE MISCARII FLUIDELOR

    O metoda utilizata n studiul fenomenelor de dinamica fluidelor este aceea a reprezentarii

    grafice a miscarii particulelor. Se definesc urmatoarele notiuni/marimi referitoare la miscarea

    fluidelor: Curentul de fluid reprezinta o masa de fluid aflata n miscare. Linia de curent este curba tangenta la vectorii viteza ai particulelor care la un moment, t , se

    gasesc pe aceasta curba (figura 5.3). n general, forma linilor de curent se modifica n timp: cazul

    miscarilor nepermanente, n care parametrii fluidului variaza n timp, n acelasi punct. Ele si

    pastreaza forma n cazul miscarilor permanente.

  • 4

    Fig. 5.3 Liniile de curent n jurul unui profil aerodinamic Prezinta doua proprietati importante si anume:

    liniile de curent nu se intersecteaza, cu exceptia unor puncte, numite puncte critice, n

    care viteza este nula sau infinita (printr-un punct al spatiului ocupat de un fluid nu poate

    trece la un moment dat dect o singura linie de curent, deoarece ntru-un punct nu pot

    exista simultan mai multe particule cu viteze diferite; n consecinta, o particula printr-un

    tub de curent se misca pe o aceeasi linie de curent;

    liniile de curent umplu n ntregime spatiul ocupat de curentul de fluid.

    Ecuatia diferentiala a liniilor de curent, sub forma vectoriala, se obtine din conditia de tangenta a

    vitezei la linia de curent, caz n care vectorul viteza )v ,v ,v( zyx vr

    are aceeasi directie cu variatia

    vectorului de pozitie )d ,d ,d(d zyxrr

    (pentru variatii mici ale rr

    d ). Astfel, r||rr

    d v , sau:

    0= rrr

    dv (5.7)

    La momentul t sistemul ecuatiilor diferentiale al liniilor de curent este:

    ) , , ,(d

    ) , , ,(d

    ) , , ,(d

    tzyxvz

    tzyxvy

    tzyxvx

    zyx== (5.8)

    Traiectoria unei particule de fluid reprezinta drumul parcurs de aceasta n miscarea sa.

    Traiectoriile pot fi vizualizata experimental, dupa cum este prezentat n figura 5.4. n cazul

    miscarilor permanente traiectoria coincide cu linia de curent, lucru care nu mai este valabil n cazul

    miscarilor nepermanente.

    Fig. 5.4 Vizualizarea curgerii n jurul unui profil aerodinamic

  • 5

    Ecuatia diferentiala a traiectoriei este data de relatia:

    tr dvd =rr

    . (5.9)

    La momentul t , raportnd miscarea la sistemul triortogonal de axe xOyz , relatia anterioara

    este echivalenta cu sistemul:

    ttzyxv

    ztzyxv

    ytzyxv

    x

    zyxd

    ) , , ,(d

    ) , , ,(d

    ) , , ,(d === (5.10)

    Suprafata de curent este suprafata formata din toate liniile de curent care se sprijina la un

    moment dat pe o curba de forma oarecare. Daca respectiva curba este una nchisa, simpla, atunci

    suprafata de curent este una tubulara, formnd un tub de curent (figura 5.5).

    Fig. 5.5 Tub de curent Observatie Deoarece viteza este tangenta la peretii tubului de curent, rezulta ca prin suprafata acestuia

    nu se face schimb da masa.

    Un tub de curent de sectiune suficient de mica, astfel nct sa putem admite pe ea o

    distributie uniforma a parametrilor da stare ai fluidului (viteze si presiuni), poarta denumirea de tub

    elementar de curent (figura 5.8). Fluidul din interiorul unui tub elementar de curent formeaza un fir de fluid. Daca sectiunea

    transversala a tubului elementar de curent tinde catre zero, n jurul unui punct, atunci firul de

    curent reprezinta materializarea liniei de curent care trece prin acel punct.

    Sectiunea transversala a unui tub de curent, numita si sectiune vie, reprezinta suprafata

    normala pe liniile de curent care o strabat. Este o suprafata plana daca liniile de curent sunt

    paralele, 1S si 3S n figura 5.6, sau curba n caz contrar, precum 2S .

    Fig. 5.6 Sectiuni vii ntr-un tub de curent

  • 6

    Perimetrul udat, uP , reprezinta lungimea conturului sectiunii transversale a unui tub de

    curent, marginita de pereti solizi. Raza hidraulica, hr , reprezinta raportul dintre aria sectiunii

    curentului si perimetrul udat. Diametrul hidraulic, hd , sau echivalent hidraulic, reprezinta un

    parametru utilizat n cazurile n care sectiunea de curgere nu este circulara. Se determina cu

    relatia

    udat Perimetrulcurentului sectiunii Aria

    4PA

    4r4du

    schh === [m]. (5.11)

    n figura 5.7 sunt prezentate doua situatii de calcul ale diametrului hidraulic, frecvent

    ntlnite n practica. Astfel, pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune

    (fluidul ocupa ntreg spatiul interior al conductei), figura 5.7(a), perimetrul udat este dPu p= , iar

    diametrul hidraulic ddh = . Asadar, n cazul conductelor circulare diametrul hidraulic coincide cu

    diametrul geometric.

    Fig. 5.7 Perimetrul udat si diametrul hidraulic pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune, respectiv printr-un canal dreptunghiular

    n cazul curgerii unui lichid printr-un canal dreptunghiular de latime b , figura 5.7(b), perimetrul

    udat si diametrul hidraulic sunt h2bPu += , respectiv h2bbh

    4dh += , unde h reprezinta cota de

    adncime a lichidului n canal.

    Debitul unui curent de fluid reprezinta cantitatea de fluid care trece printr-o sectiune n unitatea

    de timp. n functie de modul de exprimare al cantitatii de fluid, poate fi:

    debit volumic (sau volumetric), VQ (sau simplu Q ), reprezinta volumul de fluid care trece

    printr-o sectiune transversala n unitatea de timp,

    tQ

    t DD=

    D

    VV

    0lim ]/s[m3 ; (5.12)

    debit masic, mQ (sau m& ), reprezinta masa de fluid corespunzatoare debitului volumic VQ ;

    pentru un fluid omogen (de densitate constanta, .ct=r ),

    VQQm r= . [kg/s] ; (5.13)

  • 7

    Vrtejul, sau turbionul unei particule de fluid este vectorul wr

    , definit de relatia (5.14) si

    reprezinta viteza unghiulara medie de rotatie a particulei n jurul unei axe ce trece prin centrul ei de

    greutate.

    W==rrr

    21

    21

    vrotw (5.14)

    unde W

    r este vectorul ce defineste rotorul vitezei,

    kyv

    x

    vj

    xv

    zv

    iz

    v

    yv

    vvvzyx

    kjixyzxyz

    zyx

    rrr

    rrr

    rrr

    -

    +

    -

    +

    -

    =

    ===W vv rot . (5.15)

    Datorita modului asemanator de definire vectorilor W

    r si w

    r si pentru W

    r se mai utilizeaza,

    uneori, tot denumirea de vrtej (turbion). Componentele scalare ale vrtejului sunt

    -

    =z

    v

    yv yz

    x 21

    w ,

    -

    =xv

    zv zx

    y 21w ,

    -

    =

    yv

    x

    v xyz 2

    1w . (5.16)

    Linia de vrtej, suprafata de vrtej si tubul de vrtej sunt definite similar ca linia de curent,

    suprafata de curent, respectiv tubul de curent.

    5.2 ECUATIILE DE MISCARE ALE FLUIDELOR

    5.2.1 ECUATIA DE CONTINUITATE (DE CONSERVARE A MASEI)

    Dupa cum am precizat anterior, din definitia liniilor de curent rezulta ca particulele de fluid

    nu pot traversa suprafetele de curent. Daca densitatea este invarianta n timp, atunci masa de fluid

    nu se concentreaza n diferite puncte, deci: Variatia masei n timp (debitul masic) este constanta n orice sectiune a unui tub de curent.

    Aceasta este formularea principiului continuitatii, sau de conservare a masei aplicata unui

    fluid dintr-un tub de curent. Pentru un tub elementar de curent, precum n figura 5.8, volumul de

    fluid ce traverseaza sectiunea de arie Ad , n timpul td , se poate exprima cu relatia:

    Fig. 5.8 Tub elementar de curent

    AtAl d d vd dd ==V . (5.17) unde v este viteza fluidului (constanta la nivelul unei sectiuni normale a tubului de curent).

    Astfel, masa elementara de fluid este

  • 8

    Atm d d v d d rr == V , (5.18) iar variatia acesteia n timp tmQm ddd = :

    AQm d v d r= . (5.19)

    Debitul masic instantaneu, n fiecare sectiune de curgere, se obtine prin integrare

    AAQA

    m v d v rr == , (5.20) unde A este aria sectiunii vii de curgere (pe directia normala la curentul de fluid).

    Tinnd cont de principiul conservarii masei,

    nm AAAQ )v(...) v()v(constant rrr ==== 21 . (5.21)

    Pentru fluide incompresibile, .ct=r , se utilizeaza cu precadere debitul volumic, Q , iar

    ecuatia continuitatii devine:

    constantv...vv 2211 ===== nn AAAQ . (5.22) unde n21 v ..., ,v ,v sunt vitezele medii ale fluidului n sectiunile n21 A ..., ,A ,A . Astfel, viteza medie

    ntr-o sectiune de curgere este definita de ecuatia

    AQ=v . (5.23)

    Relatiile (5.21) si (5.22) sunt forme particulare ale ecuatiei continuitatii. Ele exprima

    principiul conservarii unei mase de fluid omogen n miscare permanenta, prin tuburi de curent cu

    forma fixa (pereti rigizi), precum n multe dintre cazurile de interes tehnic de curgere a fluidelor ce

    se realizeaza n tuburi de curent, simple sau ramificate: conducte. 5.2.2 Ecuatia lui Bernoulli

    Ecuatia de miscare a fluidelor pentru care:

    fortele masice deriva dintr-un potential Ufm grad-=r

    ,

    densitatea este o functie cunoscuta de presiune = rrdp

    gradp grad 1

    miscarea (curgerea) este permanenta 0tv

    =

    r,

    miscarea este irotationala, sau pe o linie de curent vvrr

    rot ,

    se scrie sub forma:

    0d

    2v

    grad2

    =

    ++ U

    pr

    (5.24)

    Termenii din interiorul parantezelor au dimensiuni de energii specifice unitatii de masa.

    Suma lor se noteaza cu e si exprima faptul ca energia unitatii de masa reprezinta suma dintre

    energia cinetica, energia potentiala de presiune si energia potentiala de pozitie. Expresia:

  • 9

    eU?

    dp2

    v 2=++

    se numeste functia lui Bernoulli.

    nmultind ecuatia (5.24) cu deplasarea elementara rr

    d , se obtine:

    =

    ++=

    ++ 02

    02

    22U

    prU

    prrd

    ddd

    gradvv r

    .v

    ctUp

    =++ rd

    2

    2 (5.25)

    5.2.2.1 Ecuatia lui Bernoulli pentru fluide incompresibile

    Pentru:

    fluide incompresibile, .ct=r , lichide si gaze n domeniul subsonic incompresibil

    (conventional, gaze a caror viteza medie nu depaseste m/s 50 )

    n cmp gravitational, 0== m ym x ffrr

    , gfm z -=r

    , deci:

    ctg zz -gz fU m z +=-=-= dd , ecuatia (5.25) devine:

    .ctz gp

    2v 2

    =++r

    (5.26)

    Aceasta este ecuatia lui Bernoulli. Pentru doua puncte de pe o linie de curent aceasta se

    scrie:

    .z gp

    2v

    z gp

    2v

    22

    22

    11

    21 ++=++

    rr (5.26)

    n aceasta forma, toti termenii reprezinta energii specifice unitatii de masa:

    energie cinetica 2

    v 21 ;

    energie potentiala de presiune rp

    ;

    energie potentiala de pozitie z g .

    Ecuatia lui Bernoulli se poate exprima si sub alte doua forme. Daca termenii din ecuatia

    (5.26) se mpart cu g :

    [ ]m Hzg

    pg 2

    vz

    g p

    g 2v

    22

    22

    11

    21 =++=++

    rr (5.27)

    Se observa ca fiecare dintre termeni are dimensiunea unei lungimi. Acest fapt permite

    urmatoarea reprezentare grafica a ntregii expresii, pe o linie de curent (vezi figura 5.9):

    cota (naltime) de pozitie z ,

  • 10

    cota (naltime) piezometrica grp

    g p

    = ,

    cota (naltime) cinetica g 2

    v 2.

    Fig. 5.9 Reprezentarea grafica a ecuatiei lui Bernoulli

    Pe o linie de curent, parametrii unui fluid variaza astfel nct nivelul energetic H ramne

    constant.

    A treia forma a ecuatie lui Bernoulli se obtine daca nmultim termenii ecuatiei (5.26) cu r :

    22

    22

    11

    21 z g p

    2v

    z g p2v

    rr

    rr

    ++=++

    2m

    N (5.28)

    n aceasta forma termenii au dimensiuni de presiune:

    presiune dinamica 2v 2r

    ;

    presiune statica p ;

    presiune de pozitie z g r .

    Suma dintre presiunea statica si cea dinamica reprezinta presiunea totala a unui fluid, tp :

    .p2v

    p2

    t +=r

    (5.29)

    5.2.2.2 Ecuatia lui Bernoulli pentru fluide compresibile

    Pentru fluide compresibile, .ctr (gaze a caror viteza medie depaseste m/s 50 ), n cmp

    gravitational, rezolvarea ecuatiei (5.49) depinde de caracterul transformarii pe care o sufera fluidul:

    izoterma, adiabatica, politropica.

  • 11

    Astfel, pentru o transformare generala .ctpn =r

    cu exponentul politropic n , potentialul

    fortelor de presiune pentru doua stari succesive este:

    -

    -=

    1

    1

    2

    22

    1

    pp1n

    ndprrr

    , (5.30)

    iar ecuatia lui Bernoulli:

    22

    22

    11

    21 z g

    p1n

    n2

    vz g

    p1n

    n2

    v+

    -+=+

    -+

    rr. (5.31)

    Pentru transformarea adiabatica .ctp

    =kr, ecuatia lui Bernoulli are o forma similara cu

    (5.31), n care exponentul adiabatic n se nlocuieste cu cel politropic k . n cazul unui proces

    izoterm .ctp

    =r

    , ecuatia lui Bernoulli devine:

    222

    222

    111

    121 z gp ln

    p2

    vz gp ln

    p2

    v++=++

    rr. (5.32)

    5.2.3 TEOREMA IMPULSULUI

    n Mecanica generala impulsul unui punct material de masa m care se deplaseaza cu

    viteza ?r

    se defineste ca fiind produsul ?mr

    . Pentru un sistem de puncte materiale, impulsul total

    are expresia:

    = ii ?mIrr

    . (5.33)

    Teorema Impulsului:

    = extii F?mdtd rr

    (5.34)

    exprima faptul ca derivata n raport cu timpul

    a impulsului unui sistem de puncte materiale

    este egala cu rezultanta fortelor exterioare

    care actioneaza asupra respectivului sistem.

    Pentru a transpune aceasta teorema

    n domeniul Mecanicii Fluidelor, se considera

    un fluid incompresibil de densitate ? n

    miscare permanenta printr-un tub de curent,

    care la un moment dat ocupa un volum

    (numit volum de control) marginit de o suprafata ABCDS (vezi figura 5.10). Sectiunile laterale 1S ,

    2S sunt perpendiculare pe directia de curgere. Masa de fluid continuta n aceasta suprafata va

    ocupa la doua momente succesive 1t si 2t pozitiile ABCD, respectiv ABCD. Variatia Idr

    a

    Fig. 5.10

  • 12

    impulsului n intervalul de timp dt se poate exprima prin diferenta impulsului masei de fluid la cele

    doua momente 1t si 2t : 12 IIIdrrr

    -= .

    Deoarece am considerat ca miscarea este permanenta, impulsul masei de fluid continuta

    ntre sectiunile AB si CD ramne constant n timp. Asadar, variatia impulsului n intervalul dt este

    data de diferenta dintre impulsul masei de fluid continuta n suprafata 'A'ABBS si impulsul masei de

    fluid continuta n suprafata 'C'CDDS :

    -=-=-=-= 1112221122112212 ?dt??S?dt??S??V??V?m?mIIIdrrrrrrrrr

    )???Q(dtId

    12rr

    r

    -= =- ext12 F)???Q(rrr

    (5.35)

    unde: Q [m3/s] debitul de fluid;

    2,1? [ m/s ] vitezele medii ale fluidului prin cele doua sectiuni de calcul 1S , 2S .

    extFr

    reprezinta suma fortelor exterioare care actioneaza asupra masei de fluid din

    volumul de control considerat:

    slf

    slp2p1pext FFFFGF

    rrrrrr++++= (5.36)

    unde: G

    r forta de greutate exercitata de masa de fluid din volumul de control;

    2p1p F,F

    rr

    fortele de presiune cu care fluidul ramas n tubul de curent, n afara volumului

    de control, actioneaza asupra fluidului din interiorul acestuia prin intermediul

    suprafetei de intrare 1S , respectiv al suprafetei de iesire 2S (normale pe

    aceste suprafete si orientate spre fluidul din interiorul volumului de control);

    slpF

    r forta cu care peretele tubului de curent care face parte din suprafata de

    control actioneaza asupra fluidului din interiorul acesteia;

    slfF

    r forta de frecare care se exercita ntre fluid si suprafata laterala interioara a

    tubului de curent nlocuind relatia (5.36) n (5.35) se obtine:

    slf

    slp2p1p12 FFFFG)???Q(

    rrrrrrr++++=- (5.37)

    Observatii: 1 Pentru aplicarea Teoremei Impulsului este suficienta cunoasterea fenomenelor

    care au loc pe suprafata de control, nu si a celor care se petrec n interiorul ei. Concret, este vorba de cunoasterea presiunilor si vitezelor pe aceasta suprafata.

    2 Pentru aplicatiile practice, rezolvarea ecuatiei vectoriale (5.37) implica raportarea sistemului studiat la un reper triortogonal drept, convenabil ales.