Estrategias Mixtas Algunos juegos no poseen EN en estrategias puras (Matching Pennis). Esto se debe a que existe falta de coordinacin en las creencias. Ejemplo 1: Matching Pennies 1 puede querer jugar C, lo cual es racional si cree que 2 jugar C. Sin embargo, 2 jugar C si cree que 1 jugar S. As, 1 debera hacer creer a 2 que jugar S. Como no existe coordinacin y no ser fcil engaar a un individuo racional, quizs lo mejor que puede hacer cada jugador es jugar de forma aleatoria. 1\2CS C1, -1-1, 1 S-1, 11, -1 Dehecho,aunqueexistanENenestrategiaspuras,quizslosjugadorespuedantener estrategias que jugaran con cierta probabilidad. Este tipo de estrategias las hemos llamada estrategias mixtas. El concepto de EN se extiende a este tipo de estrategias mixtas: ENenestrategiasmixtas:Considereelperfildeestrategias( )n 2 1,..., , o o o o = ,donde i iS A o epara caga jugador i. oes un EN en estrategias mixtas si y solo si: ( ) ( )i i i i i i, ' s u , u > o o opara cada i iS s ey cada jugador i. En otras palabras, ioes la mejor respuesta para cada i oy para cada jugador i.

Nota: Un EN en estrategias puras puede considerarse un EN en estrategias mixtas (con probabilidades degeneradas). Ejemplo 1: Matching Pennies No existen EN en estrategias puras, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 , 2 / 1 ,*2*1*= = o o oes el nico EN en estrategias mixtas. 1\2CS C1, -1-1, 1 S-1, 11, -1 Ejemplo 2: Batalla de los Sexos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 4 3 , 4 1 , 4 1 , 4 3 ; 1 , 0 , 1 , 0 ; 0 , 1 , 0 , 1*= o MHFO F3, 21, 1 O0, 02, 3 Algoritmo para encontrar EN en estrategias mixtas 1.Obtener el conjunto de estrategias racionalizadas usando el mtodo de eliminacin iterativa de estrategias dominadas. 2.Buscarlasprobabilidadesdelotrojugadorquehacenacadajugadorindiferente entre jugar una u otra estrategia. Si un jugador posee ms de dos estrategias racionalizadas, lo mejor es probar primero por pares (es decir, asignando probabilidad cero a algunas estrategias).

Teorema de existencia Todojuegofinito(conunnmerofinitodejugadoresyunespaciode estrategias finito) posee al menos un EN (en estrategias puras o mixtas). La demostracin es una aplicacin del teorema del punto fijo de Kakutani (TPFK). TPFK: Sea mX 9 c( N me ) un conjunto compacto, convexo y no vacio yX X : unacorrespondenciasemicontinuasuperiortalqueX xe ,( ) x esunsub-conjunto no vaco deXy convexo para todo X xe . Entonces, la correspondencia( ) x tiene un punto fijo, i.e. existe algn *x tal que( )* *x x e . Lapruebaescomplejayelobjetivonoesdesarrollarlacompletamente.Sinembargo, es importante entender: 1. UnENesunpuntofijo:si ( ) ( )* * *1*1*1*,..., , ,...,i i n i i i is BR s s s s BR s + = =eslamejor respuesta para cada jugadori dado el perfil de estrategias *is, podemos definir una correspondencia ( ) ( ) ( ) ( )*1*1 1* *1,..., ,...,n ns BR s BR s s I = I.NotequeunENimplica ( ) ( ) ( ) ( )* *1*1*1 1,..., ,...,n ns s s BR s BR = I , lo cual es un punto fijo. 2. Todo lo que queda es probar que tanto S (que es el espacio X en el teorema) como I (que es la aplicacin ( ) x en el teorema) poseen las caractersticas mencionadas en el TPFK. En ltimas, este teorema es sobre continuidad: Como en las grficas de las estrategias mixtas, donde se puede asegurar que las estrategias de los jugadores se cortan en algn punto. En algunas aplicaciones econmicas el espacio de estrategias no es finito: Por ejemplo cuando las firmas deciden sobre precios o cantidades. En estos casos, el problema de la existencia del equilibrio se vuelve matemticamente mssofisticadoyserequieredealgunossupuestostcnicosadicionales,v.g.Espacio de estrategias compacto.