05 Measure W1 Probability and Basic Statistics Sp. six sigma measure

INSTITUTO PARA LA CALIDAD © 2010. Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso del autor y del Instituto para la Calidad de

la Pontificia Universidad Católica del Perú.

Probabilidad &

Estadística Básica

Medir Controlar Mejorar Analizar Definir Reconocer

Six Sigma Entrenamiento Green Belt



Acerca de este Módulo … Probabilidad La Probabilidad nos permite cuantificar la posibilidad de un

resultado específico o de un conjunto de resultados de un suceso

aleatorio. Es útil para planificar en ambientes de incertidumbre. Nos

permite enumerar las permutaciones o combinaciones posibles de ítems

de una población.

Estadística básica La Estadística básica es una colección de técnicas

útiles para tomar decisiones sobre un proceso o población basado en un

análisis de información contenida en una muestra de esa población.1

Es la ciencia de tomar decisiones bajo incertidumbre.2

1 Douglas C. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control, Third Edition, 1997

2 Edward Dudewicz, Juran’s Quality Control Handbook, Fourth Edition, 1988

\DataFile\yieldsim.xls

\DataFile\StatTables.xls

\DataFile\ProbTheorems.pdf



Qué aprenderemos …

1. Teoría de Probabilidad Básica

2. Definiciones de Estadística Básica

– Mediciones de Tendencia Central

– Mediciones de Variación

– Distribución Normal

– Transformación Normal Estándar

3. Uso de Tablas Estadísticas

– Distribuciones acumuladas

– Distribución acumulada inversa

4. Distribuciones de probabilidad discretas

– Binomial

– Poisson

– e-dpu Rationale

– Aproximación Normal a la Binomial

5. Capacidad de Proceso Básica

– Definiciones y Principios

– Precisión, Exactitud &

Desplazamiento

– Capacidad e Inspección

6. Usar Z para calcular Cp & Pp

7. Ejemplos de Capacidad

– Datos Variables

– Datos por Atributos



Definiciones de Probabilidad

0 1 Pa

Experimento aleatorio

- el proceso de observar el resultado de un suceso al azar

Resultados elementales

- todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Espacio de muestra

- colección de todos los resultados elementales

P no a = (1-Pa )



Dado que la Teoría de Probabilidad fue desarrollada

originalmente para estudiar el juego…..

¿Cuáles son los resultados elementales de tirar un solo

dado?

Resultados Elementales



200 Tiradas de un dado

(Simulado por computadora)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6

Determinando Resultados



¿Cuáles son los Resultados

Elementales para un Par de Dados?

Determinar Resultados



0

5

10

15

20

25

30

35

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

¿Cómo compara esto

con las tiradas de un

dado?

200 Tiradas de un par de dados

(Simulado por computadora) Determinando resultados



Un evento es el conjunto de resultados elementales que satisfacen

una condición dada.

Ejemplo: el evento que la suma de dos dados sea 7

(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)

La probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades de

los resultados elementales que satisfacen dicha condición.

6

36

1

6166666or or .

Evento Determinando Resultados



P (E o F) = P (E) + P (F) – P (E y F) Probabilidad de E dado F o P (E/F) Probabilidad de E y F = P(E/F) P(F) Si E y F son independientes, P(E y F) = P(E)*P(F)

P (E|F) P (E y F)

P F =

( )


Probabilidad Condicional



Aplicando las reglas de la

Probabilidad

1. Cuál es la probabilidad de sacar tres caras seguidas al arrojar

una moneda?

2. Cuál es la probabilidad de sacar tres ases seguidos de un mazo

de cartas si se reponen las cartas y el mazo barajado después de

cada extracción?

3. Cuál es la probabilidad de sacar tres ases seguidos de un mazo de cartas si no se reponen las cartas después de cada extracción?




La Importancia de la

Estadística Básica

• Las estadísticas tienen una marcad influencia en nuestras vidas …

– Cada día hay una nueva encuesta

– Se usa muestreo para llevar a cabo muchos aspectos de un censo

– La mayor parte de los indicadores económicos se basan en

muestras

– El rating de la TV se basa en muestras

– Las tasas de seguro se determinan por medio de las estadísticas

• La física cuántica ha demostrado que las probabilidades determinan la

estructura y la operación de todo lo que nos rodea.

• La estadística es un facilitador importante de Six Sigma.

Vivimos en un mundo estadístico



Tipos de Estadísticas

Estadística Descriptiva

Es el proceso de describir la información de la cual disponemos.

Resumimos la información de una muestra o población para dar

un entendimiento o descripción clara de los datos.

Estadística Inferencial

Es el proceso de utilizar información de un conjunto de datos más

pequeño (muestra) para sacar conclusiones o inferencias sobre

un grupo más grande (población).

Normalmente sólo tenemos información de una muestra, no de

toda la población, y tenemos que deducir las características de la

población a partir de la muestra. Queremos que estas

conclusiones sean matemáticamente correctas.

Definiciones



Tipos de Datos Atributo

Si - no

Bueno - malo

Aceptar - rechazar

Discreta

Múltiplos de unidades enteras

No pueden ser divididas conservando su significado

Contar o clasificar

Continua

Puede ser divididas conservando su significado e ir incrementando

cada vez más su precisión : peso, longitud, voltaje, tiempo, etc.



Moda - el valor más frecuente o más probable

Mediana – el cincuentavo percentil

(la mitad de los valores están encima y la mitad

por debajo de la mediana)

m

å

= media de la población

X X X X

N

j

j 1 1 2 3 , , . . . X

Definiciones

Media - la suma de todos los miembros dividida por el tamaño de la

población (media)

Mediciones de Tendencia

Central - Localización

= media de la muestra



Población Versus Muestra

Definiciones

Las Estadísticas deducen información sobre los parámetros de la

población.

Población Muestras

Tamaño N n

Situación Media (Media) m x

Dispersión: Variación

Varianza s2 s2

Desvío Estándar s s

Rango R = X Max-X Min



Cuantificando la Dispersión Definiciones

X

x1

x2

xn

Podríamos sumar las diferencias entre cada valor x y la media de

los valores x . Sin embargo, esto siempre daría cero. Por lo tanto,

elevamos al cuadrado la diferencia entre cada x y x , para

eliminar las negativas y resaltar los puntos singulares y después

tomar las medias de los resultados.

Se define esto como la varianza o s2. Evidentemente, 2ss



1n

)XX(ˆs

n

1i

2

s

ia

F r e c u e n c ia

Valores de X

0

2

4

6

8

10

12

14

50 60 70 80 90 100 110

75 80 75 65 70 85 70 70 85 70 60 80 80 80 65 80 75 75 70 85 70 75 75 75 85 80 55 70 70 85 65 70 80 75 65 75 85 90 80 65 70 75 75 80 80 75 95 90 60 65

Mediciones variables de x:

Cantidad de casos = 50

Media & Mediana = 75

Desvío estándar = 8.3299

Rango = 40

Varianza = 69.388

Mínimo = 55

Máximo= 95

i

n

ˆX

n

1iiX

m

Atributos del Histograma – Locación

y Dispersión



Sigma Cuadrado es una medida de la dispersión de la

población sobre la media

Las varianzas no son unidades de interés; los desvíos (o

desviaciones) estándar están en las unidades de interés

Las varianzas son aditivas; Las desviaciones estándar no son

aditivas...

…por lo tanto s12 + s2

2 + s32 está OK,

pero, s1 + s2 + s3 NO está OK

Mediciones de Variabilidad -

Varianza



La Desviación Estándar es una medida de la dispersión de la

población en torno a la media

s = desviación estándar de población

m = media de la población

N = población total

s = estimación de desviación estándar

n = tamaño de muestra

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N

X X X X X

N

2 2

3

2

2

2

1 ... + + s

m m m m

( ) ( ) ( ) ( ) n - 1

X X X X X X X X n

2 2

3

2

2

2

1 ... + + = s = s

Desviación Estándar = Sigma



Distribución Normal

Cada curva aquí mostrada tiene:

• Un área bajo la curva de uno

• Una media de cero

• Una desviación típica de s

Por lo tanto, el mismo % de la

población está por debajo de

cada curva para n σ’s de la

media.



Área bajo la curva = 1

s = 1

m = 0

Cualquier distribución

normal puede convertirse

en una distribución normal

estándar.

f z ez

( )

1

2

2

2

La fórmula de la función

densidad de probabilidad es …

Función de Densidad de Probabilidad

m3s m2s m1s m m+1s m+2s m+3s

68.26%

95.46%

99.73%

Distribución Normal Estándar



La Distribución Normal

Estándar

Permite la conversión de cualquier valor X en un valor Z . Este valor nos permite encontrar el porcentaje de la población que está por encima o por debajo de ese valor.

XZ

m

s



Determinando Probabilidad Acumulada Usando Tablas de Probabilidades

X = 27

m = 28

Buscar para s = 1.5 y 2.5 en las Tablas!

.1587P 11

28-27Z

1

s

0.3085 P 5.2

28-27Z

2

s

s

m-XZ

s = 1, vs.σ = 2 para X = 27 & m = 28




Minitab: Probabilidad Normal

Acumulada

Determine la probabilidad normal acumulada desde menos infinito

hasta el valor X = 27

Media = 28.0

Desviación Estándar = 1.00

Desarrollo:

Abra Minitab

Vaya a Calc > Probability

Distributions > Normal…

El cuadro de diálogo Normal

Distribution aparece como se

muestra



Minitab: Probabilidad Normal Acumulada

(Cont’d)

1. Seleccione Cumulative

Probability

2. Tipee 28.0 en Mean:

3. Tipee 1.00 en Standard

deviation:

4. Seleccione Input

constant:

5. Tipee 27.0 (el valor de X)

en Input constant

6. Seleccione OK

1

3 2

5

4

Lea P( X <= 27.00 ) = 0.1587 en la ventana Session Window

6




Acumulada (Cont’d)

Determine la probabilidad normal acumulada desde menos infinito

hasta el valor X = 27

Media = 28.0

Desviación Estándar = 2.00

Desarrollo:

Abra Minitab


Distributions > Normal…

El cuadro de diálogo Normal

Distribution aparece como se

muestra




Acumulada (Cont’d)

1. Seleccione Cumulative

Probability



deviation:

4. Seleccione Input

constant:

5. Tipee 27.0 (el valor de X)

en Input constant

6. Seleccione OK

1

3 2

5

4

Lea P( X <= 27.00 ) = 0.3085 en la ventana Session Window

6



Determinando Probabilidad Acumulada

Inversa Usando Tablas de Probabilidades

X = 27

m = 28

Buscar para s = 1.5 y 2.5 en las Tablas!

s = 1, vs. σ = 2 para X = 27 & m = 28

2728)1*1(* ZX

1- Z indica tablaLa 1587.P

++

ms

2728)2*5.(* ZX

.5- Zindica tablaLa 3085.P

++

ms\DataFile\StatTables.xls



Minitab: Probabilidad

Normal Acumulada Inversa

Media = 28.0 Desviación Estándar = 1.00

Desarrollo: Abra Minitab Vaya a Calc > Probability

Distributions > Normal… El cuadro de diálogo Normal

Distribution aparece como se muestra

Determine la ordenada X que corresponde a la

probabilidad normal acumulada de 0.1587.



Minitab: Probabilidad Normal Acumulada

Inversa(Cont’d)

1. Seleccione Inverse

cumulative probability



deviation:

4. Seleccione Input

constant:

5. Tipee 0.1587 (el valor de

la probabilidad normal

acumulada) en Input

constant:

6. Seleccione OK

1

3 2

5

4

Lea X = 27.0 en la Ventana de Sesión

6




Acumulada Inversa (Cont’d)

Media = 28.0 Desviación Estándar = 2.00

Desarrollo: Abra Minitab Vaya a Calc > Probability

Distributions > Normal… El cuadro de diálogo Normal

Distribution aparece como se muestra

Determine la ordenada X que corresponde a la

probabilidad normal acumulada de 0.1587.




Acumulada Inversa(Cont’d)

1. Seleccione Inverse

cumulative probability



deviation:

4. Seleccione Input

constant:

5. Tipee 0.3085 (el valor de

la probabilidad normal

acumulada) en Input

constant:

6. Seleccione OK

1

3 2

5

4

Lea X = 27.0 en la Ventana de Sesión

6



Diferencias entre probabilidades

acumulativas

A B

Si queremos saber la probabilidad que el

resultado de un suceso esté entre A y B

y conocemos la distribución, podemos

determinar el área de la función de

densidad de probabilidad entre estos

dos valores

Calcule (busque) las

áreas bajo la curva

desde - ∞ :

– Hasta B y

– Hasta A

Halle la diferencia

El resultado es la

probabilidad que el

resultado del evento se

encuentre entre esos

dos valores.

Usando Tablas de Probabilidades



Distribución Acumulativa

A B 0

A = - 2.3 y B = - 2.1

Calcule el valor de Z para -2.3 y

-2.1 en una tabla normal estándar :

z (-2.3) = 0.0107

z (-2.1) = 0.0179

Por lo tanto, .0072 de la población estará

entre A y B, o sea que hay un 0.72% de

probabilidad que el resultado del evento se

encuentre entre estos dos valores.

s = 1, m = 0

Usando Tablas de probabilidad \DataFile\StatTables.xls



Minitab: Intervalos de Probabilidad

Normal Acumulativos ¿Cual es la probabilidad en una distribución normal, que un

valor sea mayor que A = -2.3 y menor o igual que B = -2.1? La media es cero y la desviación estándar es 1.00.

Esto es solo un tema de sumar y/o restar áreas bajo la curva normal apropiada.

Probabilidad (-2.3 < x <= -2.1) = 0.0179 – 0.0107 = 0.0072

Prob (x <= -2.1) = 0.0179 Prob (x <= -2.3) = 0.0107



* Normal estándar se define como aquella normal con una media de 0 y desviación estándar de 1.

Distribución Acumulada Inversa Si el 15% de la población total

tiene un valor menor que B,

¿Cual es el valor de B?

A B 0

Calcule el valor z donde hay 0.15

en la tabla acumulada estándar

normal.* Confirme mediante

Minitab

ZP=0.15 = -1.036

Si el 5% de la población total

tiene un valor menor que A,

¿Cual es el valor de A?

Calcule el valor z donde hay un

0.05 en la tabla acumulada

estándar normal* . Confirme

mediante Minitab

ZP=0.05 = -1.645



Minitab: Intervalos en distribución

Normal Acumulada Inversa Si el 5% de una población normal corresponde a un valor menor o igual

que A, ¿cuál es el valor de A?.

Media = 0.0.

Desviación estándar = 1.00.

En la Ventana de Sesión

lea x = -1.645



Minitab: Intervalos en distribución

Normal Acumulada Inversa (Cont’d) Si el 15% de una población normal corresponde a un valor menor o

igual que B, ¿cual es el valor de B?

Media = 0.0.

Desviación estándar = 1.00.

En la Ventana de Sesión

Lea x = -1.036



Distribución de Probabilidad Normal

Ejercicio

1. ¿Que porcentaje de la población tiene un valor mayor que 118?

2. ¿Que porcentaje de la población tiene un valor menor que 40?

3. ¿Que porcentaje de la población se encuentra entre estos dos valores?

4. ¿Debajo de qué valor se encuentra el cinco por ciento de la población?

5. Prepárese para describir su enfoque y dar las repuestas.

Una población tiene una m de 100 y una s de 10.

Conteste estas preguntas usando Minitab:



Distribución de Probabilidad

Normal

Solución del Ejercicio 1. ¿Que porcentaje de la población tiene un valor mayor que 118?

Resp: P(x > 118) = 1 – P(x <= 118) = 1 – 0.9641 = 0.0359

2. ¿Que porcentaje de la población tiene un valor menor que 40?

Resp : P(x <= 40) = 0.000 000 001

3. ¿Que porcentaje de la población se encuentra entre estos dos valores?

Resp : P(40 < x <= 118) = 0.9641 – 0.000 000 001 = 0.09641

4. Debajo de que valor se encuentra el cinco por ciento de la población?

Resp : x = 83.6.



Distribuciones Discretas de

Probabilidad

Selección de Distribución Discreta Aplicaciones y Ejemplos

Hipergeométrica Binomial Poisson Aproximación normal de la binomial

Distribuciones Discretas de Probabilidad



Selección de Distribución

Discreta Inicio n!

r! (n-r)! pr (1-p)n-r P (r) =

Hipergeométrica <0.10 n

N no si Binomial

(or)

np>5 no si

Poisson .1 < p < .9 no

Si Normal

m = np

s np(1-p)

m = l = np

s2 = l

m = np

s np(1-p)

P(r) = Acertado

Todo posible

C d . C N-d n-r r

C N n

=

P (r) = mr e-m

r!

r = cantidad de aciertos

n = cantidad de pruebas

p = probabilidad de aciertos

N = tamaño de la población

d = cantidad de aciertos en

la población

m = media

s = desviación estándar



Ejercicio del binomial

A – Para un grupo de 15 personas, ¿cual

es la probabilidad que uno o mas de

ellos tenga este tipo de lastimadura

este año?

B - ¿Cual es la probabilidad que ninguno

de ellos tenga este tipo de lastimadura

este año?

Los datos indican que aproximadamente el 4% de los Americanos

se lastiman con una cama, un colchón o almohada cada año.

m = np

s np(1-p)

n!

r! (n-r)! pr (1-p)n-r P (r) =






la población

m = media




Solución Binomial: Cálculo Manual Los datos indican que aproximadamente el 4% de los Americanos se lastiman con una cama, un colchón o almohada cada año. A – Para un grupo de 15 personas, ¿cual es la probabilidad que uno o mas de ellos tenga este tipo de lastimadura este año? B - ¿Cual es la probabilidad que ninguno de ellos tenga este tipo de lastimadura este año?

( ) ( )( )0xProb11xProb 4579.05421.01

15

0 X 0.040 x 0.9615 = 0.5421

Prob de x=0 lastimados = 0.5421

15

0 ( ) 1

! 15 1

! 15

! 0 15 ! 0

! 15

x x

<0.10 n

N

Inicio

si Binomial

A. Solución: n!

r! (n-r)! pr (1-p)n-r P (r) =

r = cantidad de aciertos = 0

n = cantidad de pruebas = 15

p = probabilidad de acierto = .04

N = tamaño de la población =

Grande

d = cantidad de aciertos en la

población = .04*N = ?

m = media = np = 15*.04 = 6

s= desvío estándar = np(1-p) =

.6*.4 = .4899

0 aciertos en 15

pruebas

B. Solución:

Prob x=0 lastimados = 0.5421

What the Distribution Looks Like.

43210

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Pro

ba

bili

ty

Binomial, n=15, p=0.04

Binomial Distribution Plot



Solución Binomial usando Tablas

<0.10 n

N

Inicio

si Binomial

Como nuestra tabla Binomial en Excel

no incluye el valor p de 0.04, debemos

calcular el valor usando la función

BINOMDIST en Excel:


p n r p(r)0.04 15 0 0.542086

Excel Lookup Tables

Luego debemos restar este valor de 1

para obtener p(r 1): 1 - .542086 =

0.457914, que coincide con el valor

obtenido en nuestro cálculo!





Grande



m = media = np = 15*.04 = 6


.6*.4 = .4899



Solución Binomial usando Minitab Los datos indican que aproximadamente el 4% de los Americanos se lastiman con una cama, un colchón o almohada cada año. Para un grupo de 15 personas, ¿cuál es la probabilidad que uno o mas de ellos tenga este tipo de lastimadura este año? ¿Cual es la probabilidad que ninguno de ellos tenga este tipo de lastimadura este año?

Desarrollo:

Abrir Minitab

Ir a Calc > Probability

Distributions > Binomial

Aparecerá el cuadro de

Diálogo BinomialDistribution

como se muestra

P(1 <= x) = 1 – P(x = 0)



Solución Binomial usando Minitab

(Cont’d)

1. Seleccione “exact”

Probability

2. Tipee 15 en

Number of trials:

3. Tipee 0.04 en

Probability of

success:

4. Seleccione Input

constant:

5. Tipee 0 en Input

constant:

6. Seleccione OK

1

2

3

4

5

In Session Window, P(x = 0) = 0.5421

P(1 <= 1) = 1 – 0.5421 = 0.4579

6



Resolver el problema anterior usando Poisson

en vez de Binomial. Los datos indican que

aproximadamente el 4% de los Americanos se

lastiman con una cama, un colchón o almohada

cada año

Ejercicio Poisson

m = l = np

s2 = l

P (r) = mr e-m

r!

<0.10 n

N

Inicio

si Binomial

(o)

no Poisson np>5

np = 15 x .04 = .6

A – Para un grupo de 15 personas, ¿cual

es la probabilidad que uno o mas de

ellos tenga este tipo de lastimadura

este año?

B - ¿Cual es la probabilidad que ninguno

de ellos tenga este tipo de lastimadura

este año?






la población

m = media




Solución Poisson: Cálculo Manual

Resolver el problema anterior usando Poisson en vez de Binomial.

A. Si 4% de los Americanos se lastiman con una cama, colchón o almohada

cada año, cuál es la probabilidad que uno o más de un grupo de 15 personas

sufrirán esa lastimadura este año?

B. Cuál es la probabilidad que ninguno de ellos sufra esa lastimadura este año?

( ) !

0

Prob r

r e

r

r m m *

6 . 0 15 04 . * m

A. ( ) ( ) 0 Prob 1 1 Prob r r

( )

45118 . 54881 . 1

! 0

6 . 0 e 1 0 r ob Pr 1

0

6 . 0

*

B. ( ) 5488 . 0 0 Prob r

Media de Poisson:




N = tamaño de la población = Grande

d = cantidad de aciertos en la población =

.04*N = ?

m = media = np = 15*.04 = 6


.6*.4 = .4899

NOTA : este cuadro difiere del original y estimo que aún en el original está mal



Solución Poisson Usando

Tablas

La tabla Poisson en Excel no incluye

np = 0.6, así p(r=0) = 0.5488


Luego restamos el valor de 1 para

obtener p(r 1):

1 - .5488 = 0.4512, el mismo valor al

obtenido por cálculo manual

Las tablas de Excel son mucho más simples que calcular probabilidades





Grande



m = media = np = 15*.04 = 6


.6*.4 = .4899

NOTA : este cuadro difiere del original y estimo que aún en el original está mal



Solución Poisson usando Minitab

Los datos indican que aproximadamente el 4% de los Americanos se lastiman con una cama, un colchón o almohada cada año. • Para un grupo de 15 personas, ¿cuál es la probabilidad que uno o

mas de ellos tenga este tipo de lastimadura este año? • ¿Cual es la probabilidad que ninguno de ellos tenga este tipo de

lastimadura este año??

Desarrollo:

Abrir Minitab

Ir a Calc > Probability

Distributions > Poisson

Aparece el cuadro de diálogo

Poisson Distribution

como se muestra

P(1 <= x) = 1 – P(x = 0)

Media = np = 15*0.04 = 0.6

Poisson es una aproximación a la

Binomial



Solución Poisson usando Minitab (Cont’d)

1. Seleccione “exact”

Probability


3. Seleccione Input

constant:

4. Tipee 0 en Input

constant:

5. Seleccione OK

1

2

3

5

4

En la ventana de sesión P (x = 0) = 0.5488

P(1 <= 1) = 1 – 0.5488 = 0.4512



Racional para e-dpu

La distribución Poisson se utiliza para describir una situación donde la probabilidad de un defecto en una unidad específica o área dentro de una unidad es baja, pero la probabilidad global de un defecto es alta, la situación más común en aplicaciones. Como vimos antes, la distribución Poisson se define como:

r!

e*(np)Y

npr

P (defecto) baja en cualquier celda, pero

P (defecto) alta en la unidad completa!

Y = probabilidad de ocurrencias

n = cantidad de ensayos

p = probabilidad de una ocurrencia

r = cantidad total de ocurrencias



Racional para e-dpu

(continuación) Porque los Defectos Por Unidad (dpu) pueden ser descritos como:

• Cantidad de defectos por cantidad de unidades • Cantidad de unidades * la probabilidad de un defecto en cualquier unidad

Los Defectos Por Unidad (dpu) pueden ser sustituidos por np

(dpu) r e- dpu Y =

r!



Racional para e-dpu

(continuación)

Si r (cantidad de ocurrencias) = “0” (ningún defecto en el producto), rendimiento = 100%, entonces sustituyendo r por “0”

-dpuY = eSi se conocen los “defectos por unidad”, se puede

calcular el RTY

(dpu) r e- dpu Y =

r!



Distribución Binomial

Características

Distribución de:

r (o x) éxitos en n ensayos con p probabilidad de éxito

Usado con datos modo atributo

m = np

s2 = np (1-p)



La distribución Binomial

puede

ser aproximada

P a X b P a n p

np p Z

b np

np p ( )

.

( ) ( ) @

+

5

1

.5

1 P

La distribución binominal:

n (n >50) ensayos con

p probabilidad

Se aproxima por la curva normal con

m = np y

s2 = np(1-p)



Aplicación de la Binomial Usando

Minitab Elija una moneda sana

Lance la moneda 100 veces (100

pruebas)

¿Cuál es la probabilidad de observar

mas de 70 caras?

¿Cual es la probabilidad de observar

menos de 30 caras?

Desarrollo:

Abra Minitab


Distributions > Binomial

La ventana de dialogo Binomial

Distribution aparecera como se muestra

P(70 < x) = 1 – P(x <= 70)

P(x < 30) = P(x <= 29)



Aplicación de la Binomial Usando Minitab

(Continuación)

P(70 < x) = 1 – P(x <= 70) 1. Seleccione Cumulative

probability

2. Tipee 100 en Number of

trials:

3. Tipee 0.5 en Probability

of Success:

4. Seleccione Input

constant:

5. Tipee 70 en Input

constant:

6. Tipee K2 en Optional

storage:

7. Seleccione OK

1

2

3

4 5

6 7

En la Ventana de Sesión, P(x <= 70) = 0.999984

P(70 < x) = 1 – 0.999984 = 0.000016



Aplicación de la Binomial Usando

Minitab (Continuación)

P(x <= 29) 1. Seleccione

Cumulative

probability

2. Tipee 100 en

Number of trials:

3. Tipee 0.5 en

Probability of

Success:

4. Seleccione Input

constant:

5. Tipee 29 en Input

constant:

6. Tipee K3 en Optional

storage:

7. Seleccione OK

1

2

3

4 5

6 7

En Ventana de Sesión, P(x <= 29) = 0.000016



Su Turno

Se le requiere a un gerente de una sucursal de banco procesar

el 90% de las aplicaciones de préstamo en dos días o menos.

Si se satisface el requerimiento, ¿cuál será la probabilidad

que, en una muestra de 100 aplicaciones, se procesen en dos

o menos días, 13 de ellas?.

Verifique que la aproximación normal pueda ser usada, luego

calcule la probabilidad usando la aproximación normal.



Su Turno: Solución Minitab • Se requiere a un gerente de una sucursal de banco procesar el

90% de las aplicaciones de préstamo en dos días o menos.

Si se satisface el requerimiento, ¿cuál será la probabilidad que, en una muestra de 100 aplicaciones, se procesen en dos o menos días, 13 de ellas?.

Desarrollo:

• Falla = Procesar una aplicación en 2 días o menos

• Éxito = Procesar una aplicación en mas de 2 días

• P (Éxito) = 1 – P (Falla) = (1 – 0.90) = 0.10

• Probabilidad de procesar 13 o menos aplicaciones en un máximo de dos días

• P (x <= 13)



Su Turno: Solución Minitab

(Continuación)

En Ventana de Sesión, P (x <= 13) = 0.8761

Documents

05 Measure W1 Probability and Basic Statistics Sp. six sigma measure