05. Teori Screw Untuk Manipulator Robot

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Pada makalah ini dijelaskan tentang tata cara menentukan screw method pada robot manipulator

Citation preview

5 Teori Screw untuk Manipulator Robot

5 TEORI SCREW UNTUK MANIPULATORROBOT5.1 Gambaran Sumbu Screw

Gambaran orientasi dari suatu benda kaku dalam suatu ruang yang berputar pada sumbu screw, seperti yang diperlihatkanoleh Gambar 5.1. Jika kerangka bergerak B yang berotasi pada sumbu terhadap sumbu yang melalui titik asal kerangka acuan tetap A. Posisi pertama titik P pada benda kaku B dinyatakan dengan vektor . Posisi kedua dinyatakan dengan dan arah orientasi putaran dinyatakan dengan suatu vektor satuan .

Gambar 5.1Diagram vektor perpindahan spheris.Berdasarkan geometri pada Gambar 5.1 diatas, diperoleh

Titik N merupakan titik perpotongan yang memenuhi , dan dengan menggunakan dan . Kemudian

dengan, c = cos dan s = sin .Hubungan antara vektor r1 dan r2 dapat diturunkan melalui penjumlahan dua vektor berikut

Substitusikan persamaan dan ke persamaan diperoleh

Karena, selanjutnya

Persamaan dikenal dengan rumus Rodrigues untuk perpindahan spheris benda kaku. Dengan menyatakan r1 sebagai Bp dan r2 sebagai Ap yang kemudian dapat ditulis dalam bentuk matriks

dimana elemen dari matriks rotasi ARB, yaitu

5.2 Metode Berurut Perpindahan ScrewMetode analisis manipulator robot yang didasari pada konsep suksesif perpindahan screw dimulai dari matriks transformasi yang dikaitkan dengan perpindahan screw yang dijabarkan [11]. Konsep ini akan diterapkan untuk analisis manipulator seri.

5.2.1 Transformasi Berdasarkan Perpindahan ScrewTeorema Chasles menyatakan bahwa perpindahan spasia umum suatu benda kaku merupakan kombinasi perpindahan translasi dan rotasi. Kombinasi ini dikenal dengan nama perpindahan screw, yang selanjutnya dapat diturunkan suatu matriks transformasi homogen berdasarkan konsep perpindahan screw.

Gambar 5.2 Diagram vektor perpindahan spasial.Berdasarkan Gambar 5.2, s = [sx, sy, sz]T menyatakan suatu vektor satuan sepanjang arah sumbu screw, dan s0 = [s0x, s0y, s0z]T merupakan vektor posisi suatu titik di sumbu screw. Sudut putar, , dan jarak translasi t merupakan parameter screw.Secara bersama-sama sumbu screw dan parameter screw secara utuh mendefinisikan perpindahan umum suatu benda kaku didalam ruang. Mereferensi pada Gambar 5.2 dapat diketahui bahwa

Substitusikan persamaan ke persamaan diperoleh

Persamaan dikenal sebagai persamaan Rodrigues untuk perpindahan umum benda kaku dalam ruang. Dengan menuliskan persamaan dalam bentuk

dengan elemen matriks rotasi ARB diberikan oleh dan posisi kerangka berberak Aq terhadap posisi awal diberikan oleh

Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk transformasi homogen, yaitu

dengan elemen matriks A (matriks berorde 44) dinyatakan oleh

Hanya dua dari tiga parameter yang berhubungan dengan arah sumbu screw yang bebas karena mereka harus memenuhi persyaratan untuk suatu vektor satuan, yaitu

Sedangkan dua dari tiga parameter yang berhubungan dengan lokasi dari sumbu screw yang bebas, karena S0 berupa sebarang titik disepanjang sumbu screw. Dengan demikian harus memenuhi suatu persyaratan dimana s0 harus tehgak lurus terhadap sumbu screw, yang didefinisikan secara matematis dengan

Sudut rotasi, , dapat ditentukan melalui hubungan persamaan berikut

dimana terdapat dua penyelesaian dari harga , pertama bernilai negatif dan dan yang satunya lagi bernilai positif. Dengan hanya mengetahui sudut rotasi , arah dari sumbu screw dapat pula dihitung dengan persamaan matematis berikut

Jarak translasi t dapat ditentukan dengan menerapkan kondisi yang didefinisikan dengan

dimana lokasi sumbu screw diperoleh dengan menyelesaikan dua dari tiga persamaan pada dan . Karena persamaan-persamaan ini dalah linier dan hanya ada satu penyelesaian yang berhubungan untuk setiap himpunan jawab s, , dan t.5.2.2 Perpindahan Screw Secara BerurutKonsep perpindahan screw yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya diterapkan untuk analisis kinematik rantai terbuka. Gambar 5.3 menunjukkan suatu benda kaku yang dibimbing terhadap suatu referensi oleh sebuah dyad yang dibentuk oleh dua pasangan kinematik yang dinotasikan oleh $1 dan $2. Pasangan kinematik pertama menghubungkan movinglink pertama terhadap kerangkan tetap, dan pasangan kinematik kedua menghubungkan movinglinkkedua terhadap yang link pertama. Sumbu pasangan kinematik pertama sebagai sumbu joint tetap dan sumbu pasangan kinematik kedua sebagai sumbu movingjoint.

Gambar 5.3Dua rantai link dan perpindahan screw-nya.Metode yang terbaik dalam menentukan matriks transformasi dari dua perpindahan berurut screw dengan cara merotasikan benda kaku terhadap moving joint axis yang kemudian diikuti oleh rotasi lainnya terhadap fixed joint axis[11]. Dengan metode ini, lokasi awal dari moving joint axis dapat digunakan untuk menurunkan matriks transformasi, dan matriks transformasi dapat diperoleh melalui premultiplication dua perpindahan screw secara berurut, yaitu

dimana A1 dan A2 menyatakan perpindahan terhadap lokasi awal dari fixed dan moving joint axes.Sekarang, metode ini diterapkan untuk suatu rantai kinematik terbuka berupa manipulator seri untuk n-link, Gambar 5.4. Pertama kali harus didefinisikan posisi referensi dari manipulator, meskipun dapat dipilih secara sebarang dan dapat juga dipilih dimana semua koordinat sumbu joint dapat dengan mudah diidentifikasi.Posisi referensi sering juga dinyatakan dengan posisi nol, dan posisi yang ingin ditentukan disebut dengan posisi target.

Gambar 5.4Sumbuscrew untuk manipulator seri.aPosisi referensiPosisi referensi dari suatu manipulator dispesifikasi dengan suku-suku lokasi end-effector

dan arah dan orientasi sumbu joint dinyatakan dengan

bPosisi targetPosisi target suatu manipulator merupakan lokasi dari posisi end-effector yang diinginkan, dan dinyatakan dengan

cPersamaan loop-closurePerpindahan end-effector dari posisi referensi terhadap posisi target merupakan resultan perpindahan n-screw secara berurut, yang berarti bahwa suatu rotasi terhadap sumbu joint ke-n kemudian diikuti dengan rotasi terhadap sumbu joint ke-(n-1) dan seterusnya. Karena semua perpindahan screw terjadi pada posisi referensi terhadap sumbu joint. Perpindahan screw yang diperoleh merupakan perkalian premultiplying setiap perpidahan screw secara berurut, yaitu

5.2.3 Analisis Posisi Manipulator Seri dengan Teori ScrewSekarang akan diterapkan untuk beberapa kasus manipulator seri yang akan dianalisis dengan menggunakan teori screw.aKasus 1: 3R Planar SerialManipulatorPosisi referensiSuatu manipulator seri 3 DOF (3R serialmanipulator) seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 5.5. Kemudian, lokasi sumbu screw terhadap kerangka referensi tetap didaftarkan dalam Tabel 5.1.

Gambar 5.5 3R PlanarSerial Manipulator.

Tabel 5.1 Parameter screw untuk 3Rplanarserialmanipulator seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 5.5.No. jointsi (sx, sy, sz)s0i (s0x, s0y, s0z)

1(0, 0, -1)(0, 0, 0)

2(0, 0, -1)(1, 0, 0)

3(0, 0, -1)(1 + 2, 0, 0)

Posisi referensiend-effector didefinisikan oleh

Posisi targetAndaikan posisi target end-effector dinyatakan dengan

Matriks transformasiSubstitusikan koordinat dari sumbu setiap jointpada Tabel 5.1 ke persamaan sehingga nantinya diperoleh matriks transformasi screw

Perkalian matriks

dan

Inverse kinematicsVaribel joint, 1, 2 dan 3dihubungkan oleh orientasi end-effector, yaitu

dan kemudian dapat ditentukan melalui posisi wristP,

yang kemudian menghasilkan

Kuadratkan kedua ruas persamaan untuk px dan py dan kemudian dijumlahkan sehingga diperoleh

dan

Dengan demikian,

Kemudian

yang kemudian menghasilkan

Dengan menerapkan aturan Cramer, diperoleh

Dengan demikian, variabel joint3 menjadi

bKasus 2: STANFORD ManipulatorPosisi referensiSuatu manipulator yang dikenal dengan STANFORD manipulator ditunjukkan oleh Gambar 5.6 dengan Kemudian, lokasi sumbu screw terhadap kerangka referensi tetap didaftarkan dalam Tabel 5.2.

Tabel 5.2 Parameter screw untuk STANFORD manipulator seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 5.6.No. jointsi (sx, sy, sz)s0i (s0x, s0y, s0z)

1(0, 0, 1)(0, 0, 0)

2(0, 1, 0)(0, 0, 0)

3(0, 0, 1)(0, 2, 0)

4(0, 0, 1)(0, 2, 0)

5(1, 0, 0)(0, 2, 0)

6(0, 0, 1)(0, 2, 0)

Gambar 5.6Stanford manipulator.Posisi referensi end-effector didefinisikan oleh

Sedangkan posisi referensi dari pusat wrist P adalah

Posisi targetAndaikan posisi target end-effector dinyatakan dengan

Kemudian, posisi target dari pusat wrist didefinisikan dengan

Inverse kinematicsPosisi pusat wrist, P, hanya tergantung pada tiga variabel joint yang pertama, yaitu 1, 2, dan d3. Matriks transformasi untuk posisi pusat wrist ini adalah

Dengan menerapkan hubungan berikut

diperoleh

Kuadratkan ketiga posisi wrist diatas dan dijumlahkan, menghasilkan

Kemudian, variabel joint 2 ditemukan melalui persamaan posisi wrist yang ketiga

Sedangkan, variabel joint 2 ditentukan dengan menarapkan aturan Cramer pada dua persamaan pertama posisi wrist,

Posisi end-effector, Q, ditentukan berdasarkan hubungan tiga terakhir dari varibel joint 4, 5 dan 6. Matriks transformasi untuk tiga varibel joint yang terakhir ini dinyatakan oleh

Transformasi dari vektor pendekatan w adalah

kalikan kedua sisi persaman dengan (A1A2A3)-1 diperoleh

Dengan menuliskan kuantitas yang pada ruas kanan sebagai 3w, kemudian

menghasilkan

dimana

Selanjutnya, diperoleh

dan

Sementara itu, variabel joint 6 adalah bebas terhadap vektor w. Variabel joint ini dapat ditemukan melalui vektor v dengan menerapkan transformasi berikut

dan dengan melakukan sedikit manipulasi matematis seperti pada vektor w diperoleh

Kemudian,

dimana

Dengan demikian variabel joint6 diperoleh dengan mengalikan persamaan pertama dengan c4 dan ketiga dengan s4 dan dijumlahkan, menghasilkan

100