UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEDpto. de Ingeniería en Obras CivilesConstrucción Civil

MECÁNICA DE SÓLIDOS

UNIDAD 5 PARTE IITENSIONES POR ESFUERZO DE CORTE

En caso que el prisma o viga trabaje a flexión simple, lassecciones rectas de la viga, inicialmente planas, presentendespués de la deformación cierto alabeo producido por elesfuerzo cortante.

La distribución de tensiones se rige por la Ley de Navier,no obstante ahora, la dirección del eje de la viga no esdirección principal.

Para completar el estudio en estado tensional en Flexión

Simple, necesitamos conocer el esfuerzo 𝝉(x) a lo largo y

ancho de la superficie de la sección recta.

TENSIONES POR ESFURZO CORTANTE

Hipótesis

La existencia de una tensión tangencial en un punto de lasección recta exige la presencia de otra también tangencialdel mismo valor sobre la superficie de la fibra longitudinalque pasa por ese punto.

Consideremos la porción elemental de prisma sometido aflexión simple comprendido entre dos secciones rectasindefinidamente próximas separadas dx.

Sobre las secciones de abscisa x y x+dx, los momentosflectores difieren en dM

Cortemos este elemento por un plano a distancia ƴ de la

fibra neutra, y consideremos el equilibrio de la partesuperior.

La resultante de las fuerzas generadas por las tensiones 𝜏sobre la porción de la fibra longitudinal.

La resultante de las fuerzas normales en la parte izquierda sobre el área sombreada A* es

𝑵∗ = 𝑨∗𝝈 𝒅𝑨

En función de la Ley de Navier:

𝑵∗ =𝑴

𝑰𝒛 𝑨∗𝒚𝟏 𝒅𝑨 =

𝑴𝑺

𝑰𝒛

Siendo S el momento estático respecto al eje z (fibraneutra) del área de la sección situada por encima de lasección longitudinal (área sombrada)

En la sección derecha, la resultante de las fuerzas normalesserá:

𝑵∗ + 𝒅𝑵∗ =𝑴+𝒅𝑴 𝑺

𝑰𝒛

La parte diferencial 𝒅𝑵∗ =𝒅𝑴 𝑺

𝑰𝒛

tiene que ser equilibrada por la resultante de las fuerzas

debidas a las tensiones 𝜏 en la sección longitudinal.

Admitiendo que las tensiones tangenciales se repartenuniformemente a lo largo del segmento de longitud b, setiene:

𝝉𝒃 𝒅𝒙 =𝒅𝑴 𝑺

𝑰𝒛

Como dM = V x dx

Entonces 𝜏𝑏 𝑑𝑥 =𝑽 𝒅𝒙 𝑺

𝑰𝒛

Despejando se obtiene la conocida formula de Colignon

𝝉 =𝑽 𝑺

𝒃 𝑰𝒛

Donde:

V Carga de Corte

S Momento estático respecto al eje neutro

b Ancho de la sección

Iz Momento de Inercia respecto al eje neutro

𝑺 = 𝑨𝒊 × 𝒚𝒊 𝓨 =𝑺

𝑨𝒊(Para determinar “b”)

Ejemplo:Calcular la tensión de corte máximo de la viga de largo m, desección doble T, que esta sometida al sistema de fuerzasseñalado. P=2000N y q=400N/m.

RA RB

Corte Q(N) Momento M(n-m)

x = 0 1250 0

x = 2,5 m 250 1875

x = 2,5 m 250 1875

x = 3,75 m 250 2188

x = 3,75 m -1750 2188

x = 5 m -1750 0

𝑀 𝑥 = 𝑅𝐴 ∙ 𝑥 − 𝑞 ∙𝑙

2∙ 𝑥 −

𝑙

4− 𝑃 ∙ (𝑥 −

3𝑙

4)

1250250

1750

0 0

1875 2188

Cálculo de la Tensión máxima

z

𝝉𝒎𝒂𝒙 =𝑽𝒎𝒂𝒙 𝑺

𝒃 𝑰𝒛

Iz = I1z + I2z + I3z

I1z = 10(2)3/12 + 20(4)2 = 326,7 cm4

I2z = 2(6)3/12 = 36 cm4

Iz = 689,4 cm4

S = (2x10)(4) + (3x2)(1,5) = 89 cm3

𝓨 =𝑺

𝑨𝒊= 89/26 = 3,4 cm

Entonces b= 10 cm

𝜏𝑚𝑎𝑥 =1759 × 89

10 × 689,4= 22 𝑁/𝑐𝑚2