0580 - Cálculo Financeiro e Actuarial

0580 - Cálculo Financeiro

e Atuarial

AGENDA

1. Juros – conceitos gerais

1. Regimes de capitalização

1. Aplicação do rendimento

2. Investimento financeiro

3. Capitalização

4. Taxa de juro

2. Juros simples

1. Capitalização

1. Capital acumulado

2. Descontos, taxa nominal e real

3. Equivalência de capitais

3. Juros compostos - Noções gerais

4. Rendas – Noções gerais

OBJETIVOS DO MÓDULO

Cálculo financeiro e atuarial

Identificar e aplicar conceitos gerais sobre juros.

Calcular juros simples e compostos.

Definir, identificar e determinar equivalência de

valores.

Definir, caracterizar e calcular rendas financeiras.

Distinguir e determinar as diferentes modalidades

no reembolso de empréstimos.

1.1.1. Aplicação do rendimento

Rendimento disponível

Consumir

Poupar

Investir

Investimentos reais diretos

Investimentos financeiros

Entesourar


Consumo

Conjunto das despesas em bens e serviços, com um

tempo de vida limitado.

Não permite o retorno do capital aplicado.

Ex.: compra de jornais, bolos, espetáculos,…


Poupança Parte do rendimento disponível que pode ser aplicado em:

Entesouramento

Poupança mantida e

guardada sob a forma de

moeda, não permitindo a

obtenção de rendimento

ao longo do tempo.

Investimento

Poupança aplicada com o objetivo de ser multiplicada

Inv. Real Direto

Inv. Finan-ceiro

Capital aplicado na

compra direta de meios

de produção

Capital monetário é

transformado em capital

financeiro (produz juro)

1.1.2. Investimento financeiro

Capitalização É a transformação provocada pelo tempo de um capital em capital e

juro.

Capital

C

É a quantidade de moeda cedida pelo seu detentor, a um terceiro, por

um determinado período de tempo, mediante uma compensação.

Tempo

n É o prazo durante o qual o capital é aplicado.

Juro

j

Valor correspondente ao período de capitalização. É o rendimento

proveniente do capital aplicado durante um determinado período de

tempo.

1.1.3. Capitalização

Capitalização

É o mecanismo pelo qual um capital inicial (C0) produz um

juro (j) durante um determinado período de tempo (n),

levando à obtenção de um valor (Cf).

Cf= C0 + j

1.1.3. Capitalização

Capitalização Existem dois regimes de capitalização:

Regime de JURO SIMPLES

Após o vencimento dos juros do capital

aplicado os juros vencidos são retirados.

Os juros vencidos num determinado

período são acrescidos na própria

aplicação em curso.

Regime de JURO COMPOSTO

n=0 n=1 n=2 n=0 n=1 n=2

1.1.4. Juro e taxa de juro

O juro é uma função do tempo e do capital. Isto é:

j=f(n,C)

Taxa de juro

i

É estabelecida ou por negociação ou fixada por lei, ou

por aviso da autoridade monetária.

Assim, o juro de um determinado período de tempo “n” é igual ao capital

no início do período “C”, a multiplicar pela taxa de juro “i”. Isto é:

Relembrando:

j – juro C – Capital no início do período

n – período de tempo de i – taxa de juro

aplicação do capital


A taxa de juro é uma constante de proporcionalidade entre o juro produzido

e o capital acumulado.

Duas taxas de juro dizem-se EQUIVALENTES quando, aplicadas ao

mesmo capital inicial, durante o mesmo período de tempo, geram o mesmo

juro, e consequentemente o mesmo capital acumulado. Vejamos:

Capital (C) Tempo (n) Taxa (i)

C1 1 ano 9% ao ano

C2 2 semestres 4,5% ao semestre

C3 12 meses 0,75% ao mês


VAMOS PRATICAR COM ALGUNS EXERCÍCIOS

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS


Assim, poderemos representar a fórmula fundamental do juro:

Em ANOS Em MESES

Em DIAS (ano comercial) Em DIAS (ano civil)


VALOR ACUMULADO - Cn

Quando o Capital C0 (momento de referência) produz um juro “j” durante

um período “n”, obtemos:

Em que Cn é o valor acumulado de C0 durante o período n.


VALOR ATUAL – C0

É o valor do capital que se obtém quando ao valor acumulado se deduz o

juro nele contido:

Em que C0 é o valor atual ou o valor do juro descontado ao capital Cn .


Se um capital de €1.000 for aplicado 1/1/n pelo prazo de 1 ano à taxa de

juro de 10%, teremos:

Em que C0 é o valor atual ou o valor do juro descontado ao capital Cn .



JURO SIMPLES

2.1. Capitalização a juro simples

2.1.1. Capital Acumulado

VALOR ACUMULADO

Como

Então Cn > C0

2.1.1. Capital Acumulado

Deduzindo as fórmulas

Então

LOGO

2.1.2. Descontos, taxa nominal e real

CAPITAL ACUMULADO - Cn

O juro é simples quando nos referimos a empréstimos ou aplicações que

vencem juros, juros estes que são pagos na data de vencimento

CAPITAL ATUAL – C’

O juro é antecipado, ou seja, está-se a determinar, hoje, o valor de

determinado capital cuja valorização está referenciada a uma data futura

Esquematicamente

Juro simples

Mutuário: recebe C0 = €1.000 Paga C0 + j = €1.100

1/1/n 31/12/n

Juro antecipado

Mutuário: recebe €1.000 - €100 = €900 Paga €1.000

1/1/n 31/12/n



Assim, relativamente ao cálculo do juro, podem resultar dois tipos de desconto:

DESCONTO RACIONAL (por dentro)

É o juro produzido pelo valor atual do capital durante o período de tempo que

falta para o seu vencimento. O juro, em vez de incidir sobre o valor nominal do

título (C), incide sobre o valor atual (C’).

É o método mais utilizado, sendo o mais vantajoso para o mutuário.

DESCONTO COMERCIAL (por fora)

É o juro produzido pelo valor nominal do capital durante o período de tempo que

falta para o seu vencimento


É possível relacionar estes dois tipos de desconto:

Sendo Incidindo j sobre C’

e

ENTÃO


Considerando um empréstimo a juros antecipados, como os juros são

diretamente proporcionais aos respetivos capitais e as taxas de juro

representam o juro de uma unidade de capital numa unidade de tempo,

concluímos que:

A TAXA REAL (i’) é sempre superior à TAXA NOMINAL (i), uma vez que

o devedor paga juros sobre o capital que não recebe na totalidade, dado

que lhe são deduzidos de imediato os juros.



2.1.3. Equivalência de capitais

Já vimos que o capital financeiro, ao render juros, implica que o capital

acumulado apresente diferentes valores em momentos diferentes.

Tempo 0 1 … n

Capital C0 C0+j C0+j+…+j

Pelo contrário, para períodos de tempo anteriores ao vencimento do

capital (C0) ter-se-á:

Tempo -2 -1 0

Capital (C0-j)-j C0-j C0


Assim temos:

CAPITAL DIFERIDO - C

A data de pagamento por parte do mutuário (quem pede emprestado) é

posterior à data do empréstimo pelo mutuante (quem empresta).

CAPITAL ANTECIPADO – C’

A data de pagamento do capital pelo mutuário é anterior à data do

empréstimo pelo mutuante.


Efeitos comerciais da realização antecipada

Atualmente é habitual as vendas a prazo (30, 60, ou mais dias), em que o

vendedor entrega os bens ou presta os serviços e só posteriormente recebe.

No entanto, a maior parte das vezes este não pode esperar a data do

pagamento pois necessita de fundo de maneio para que o seu negócio

decorra com normalidade, pelo que recorre a títulos de crédito,

nomeadamente:

Letras;

Livranças;

Aceites bancários


Os títulos de crédito apresentam duas vantagens para o vendedor:

proporcionam a realização antecipada, dispondo do capital antes da data

acordada com o comprador para proceder ao seu pagamento;

são prova de garantia de que o pagamento diferido será efetuado.

Venda Vencimento

Realização antecipada

do capital em dívida

Nesta situação estamos perante um DESCONTO COMERCIAL.


LETRA


LETRA

Título de crédito emitido pelo sacador (credor) onde se dá a conhecer ao

sacado (devedor) qual o valor em dívida que deverá ser efetuado.

O sacador pode:

Guardar a letra em carteira, até à data do vencimento, recebendo nessa

data o valor inscrito na letra:

descontar a letra, caso pretenda receber o valor inscrito na letra antes do

seu vencimento, negociando com o banco a antecipação do seu pagamento.

Evidentemente que a operação de desconto está sujeita a diversos encargos,

pelo que o valor recebido será inferior ao valor nominal da letra!


Assim, concluímos que o DESCONTO COMERCIAL é uma operação entre o

sacador e o banco, em que o sacador transmite por endosso os direitos

contidos na letra, ficando o sacado obrigado a pagar o valor da letra ao

banco, na data do seu vencimento. Os encargos do sacador são:

Encargos bancários;

Juros do valor nominal, relativos aos dias de antecipação em relação ao

vencimento;

Prémio de transferência – incide sobre o valor nominal da letra quando o

desconto é efetuado em local diferente;

Encargos fiscais – imposto do selo;

Outros como correio, telefone,…

Assim:

Valor Líquido (Va) = Valor Nominal (Vn) – Total dos encargos (E)


Acontece por vezes que na data do vencimento da letra o sacado não efetua

o pagamento da totalidade ou de parte do valor em dívida. Assim, o portador

da letra pode negociar a substituição da letra vencida por uma (total) ou mais

letras (parcial) com vencimento em data posterior – REFORMA DA LETRA.

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