06 - Error en Estado Estable o Estacionario

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INGENIERÍA DE CONTROL M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ. M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

1

ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO



2

Error en Estado Estacionario

El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta transitoria. Se analizará el error en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas. El que un sistema dado presente o no un error en estado estacionario ante determinado tipo de señal de entrada, depende del tipo de función de transferencia de lazo abierto del sistema. Clasificación de los sistemas de control Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto G(s):

Este sistema contiene el término sN en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen. El esquema de clasificación se basa en la cantidad de integraciones (términos s1 ) indicadas por la función de transferencia en lazo abierto. Un sistema se denomina de tipo 0, si N = 0, de tipo 1, si N = 1, de tipo 2, si N = 2,…etc. Ejemplo:

Sistema tipo 0 Sistema tipo 1 Sistema tipo 2

1

1

+s

( )11

+ss

( )11

2 +ss



3

Diga a que tipo de sistema corresponde cada función de transferencia.

( ) ( ) ( )( )( )32

15

++

+=

sss

ssHsG _________

( ) ( )( )( )31

2

++=

sssHsG _________

( ) ( )164

22 ++

=ss

sHsG _________

( ) ( )2

2

ssHsG = _________

( ) ( ) ( )sss

ssHsG

164

3723 ++

+= _________

Error en estado estacionario El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable controlada. El error en estado estacionario es aquel error que permanece después de que ha desaparecido el transitorio.

1. 2. )()()(

)()()()(

SGSESC

SCSHSRSE

=

−=

Sustituyendo 2 en 1

)(1

)()(

)()()](1[

)()()()(

)()()()()(

SGH

SRSE

SRSESGH

SRSESGHSE

SESGSHSRSE

+=

=+

=+

−=

Puede observarse de que el error depende:

� De la entrada: R(S) � De las características del sistema de lazo abierto GH(S)

Para el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

( )( )

( )( ) ( )sHsG

sG

sR

sC

+=1

( )( ) ( ) ( )sHsGsR

sE

+=1

1 ( ) ( )

( ) ( )sHsG

sRsE

+=1

El error en estado estacionario es

( ) ( ) ( )( ) ( )sHsG

ssRssEtee

sstss

+===

→→∞→ 1limlimlim

00



4

Error en estado estable para una entrada escalón de magnitud 1R , ( ) sRsR 1=

( ) ( ) ( ) ( )sHsG

R

s

R

sHsG

se

ss

ss

0

11

0 lim11lim

→→ +

=+

=

La constante estática de error de posición pK se define como

( ) ( )sHsGKs

p0

lim→

=

pss

K

Re

+=1

1

unidadessin pK

Error en estado estable para una entrada rampa de magnitud 2R , ( ) 2

2 sRsR =

( ) ( ) ( ) ( )sHssG

R

s

R

sHsG

se

ss

ss

0

2

2

2

0 lim1lim

→→

=+

=

La constante estática de error de velocidad vK se define como

( ) ( )sHssGKs

v0

lim→

=

vss

K

Re 2=

111 −=== segsegtiempo

Kv

Error en estado estable para una entrada parábola de magnitud 3R , ( ) 3

3 sRsR =

( ) ( ) ( ) ( )sHsGs

R

s

R

sHsG

se

s

sss 2

0

3

3

3

0 lim1lim

→

→=

+=

La constante estática de error de aceleración aK se define como

( ) ( )sHsGsKs

a2

0lim→

=

ass

K

Re 3=

2

22

11 −=== segsegtiempo

Ka



5

Coeficiente estático de error de posición ( ) ( )sHsGK

sp

0lim→

=

Sistemas tipo 0 ( )( ) ( )

( )( ) ( ) KsTsTsT

sTsTsTKK

p

mba

sp =

+++

+++=

→ 111

111lim

210 L

L (finito)

K

R

K

Re

pss

+=

+=

11

11

Sistemas tipo 1 ( )( ) ( )( )( ) ( ) ∞=

+++

+++=

→ 111

111lim

210 sTsTsTs

sTsTsTKK

p

mba

sp

L

L 0

1

1 =+

=p

ssK

Re

Sistemas tipo 2 ( )( ) ( )( )( ) ( )

∞=

+++

+++=

→ 111

111lim

2120 sTsTsTs

sTsTsTKK

p

mba

sp

L

L

01

1 =+

=p

ssK

Re

Coeficiente estático de error de velocidad ( ) ( )sHssGKs

v0

lim→

=


( )( ) ( ) 0111

111lim

210

=

+++

+++=

→ sTsTsT

sTsTsTKsK

p

mba

sv

L

L ∞==

vss

K

Re 2

Sistemas tipo 1 ( )( ) ( )( )( ) ( ) K

sTsTsTs

sTsTsTKsK

p

mba

sv =

+++

+++=

→ 111

111lim

210 L

L(finito)

K

R

K

Re

vss

22 == (finito)

Sistemas tipo 2 ( )( ) ( )( )( ) ( )

∞=

+++

+++=

→ 111

111lim

2120 sTsTsTs

sTsTsTKsK

p

mba

sv

L

L

02 ==v

ssK

Re

Coeficiente estático de error de aceleración ( ) ( )sHsGsKs

a2

0lim→

=


( )( ) ( ) 0111

111lim

21

2

0=

+++

+++=

→ sTsTsT

sTsTsTKsK

p

mba

sa

L

L ∞==

ass

K

Re 3

Sistemas tipo 1 ( )( ) ( )( )( ) ( ) 0

111

111lim

21

2

0=

+++

+++=

→ sTsTsTs

sTsTsTKsK

p

mba

sa

L

L ∞==

ass

K

Re 3

Sistemas tipo 2 ( )( ) ( )( )( ) ( )

KsTsTsTs

sTsTsTKsK

p

mba

sa =

+++

+++=

→ 111

111lim

212

2

0 L

L(finito) K

R

K

Re

ass

33 == (finito)

Tipo de

sistema

Coeficientes estáticos de error Error de estado estable

pK vK aK

Entrada escalón

pss

K

Re

+=1

1

Entrada Rampa

vss

K

Re 2=

Entrada Parabólica

ass

K

Re 3=

0 Valor

finito 0 0 Valor finito ∞ ∞

1 ∞ Valor

finito 0 0 Valor finito ∞

2 ∞ ∞ Valor

finito 0 0 Valor finito



6

Ejemplo

Determine el sse para una entrada escalón de magnitud 10, para el siguiente sistema de control

a)

( )( )( )21

1

++=

sssG sistema tipo 0

( )s

sR10

=

( ) ( )( )( )

5.02

1

21

1limlim

00==

++==

→→ sssHsGK

ssp

%67.66667.65.01

10

1

1 ⇒=+

=+

=p

ssK

Re

b) Si aumentamos la ganancia en un factor de 10,

determinar el sse

( )( )( )21

10

++=

sssG sistema tipo 0

( )s

sR10

=

( ) ( )( )( )

52

10

21

10limlim

00==

++==

→→ sssHsGK

ssp

%67.16667.151

10

1

1 ⇒=+

=+

=p

ssK

Re

c) Si ahora deseamos un %5=sse , esto es para una

entrada de magnitud 10 el 5.0=sse , determinar la

ganancia K necesaria para obtenerlo.

( )( )( )21 ++

=ss

KsG sistema tipo 0

( )s

sR10

=

11 05.0

1R

K

Re

p

ss =+

= 19105.

1=−=pK

( ) ( )( )( ) 221

limlim00

K

ss

KsHsGK

ssp =

++==

→→

192

==K

K p 38=K



7

El transitorio para las funciones anteriores

a) )2)(1(

1)()(

++=

sssHsG

33

1

)2)(1(

11

)2)(1(

1

)(

)(2 ++

=

+++

++=

ss

ss

ss

sR

sC

333.03

1

%43.13

804.032

2

==

==

==

G

M Pn

n

ω

ζζω

b) )2)(1(

10)()(

++=

sssHsG

123

10

)2)(1(

101

)2)(1(

10

)(

)(2 ++

=

+++

++=

ss

ss

ss

sR

sC

833.012

10

%11.2212

433.032

2

==

==

==

G

M Pn

n

ω

ζζω

c) )2)(1(

)()(++

=ss

KsHsG

403

38

)2)(1(

381

)2)(1(

38

)(

)(2 ++

=

+++

++=

ss

ss

ss

sR

sC

95.040

38

%47.4640

237.032

2

==

==

==

G

M Pn

n

ω

ζζω



8

Ejemplo 2

Para el sistema de la figura, determine los valores de la ganancia K y la constante de realimentación de velocidad hK para

que el sobrepaso máximo en la respuesta al escalón unitario sea 0.2 y el error en estado estable sea del 2%. Con estos

valores de K y hK , obtenga el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. Suponga que mKgJ −=1 y que

segradmNB //1 −= .

Función de transferencia de lazo cerrado

( )( ) ( )

J

Ks

J

KKBs

J

K

KsKKBJs

K

sR

sC

h

h

+

++

=

+++=

2

2

Estado estable

Función de transferencia de lazo abierto

( ) ( ) ( )( )BsJs

sKKsHsG h

+

+=

1 Sistema tipo 1

Como el sistema es del tipo 1 existe un error de estado estable finito para entrada rampa ( )2

2

s

RsR =

Para un error de estado estable del 2% se necesita una vK de

22 02.0 R

K

Re

v

ss == 5002.

1==vK

Para que el sistema cumpla con el %2=sse necesita una ganancia de

( ) ( ) ( )( )

Kss

sKKssHsGsK h

ssv =

+

+==

→→ 1

1limlim

00 50=K

Como se observa, el error en estado estable solo es afectado por la ganancia K del sistema.

Transitorio

Para calcular hK se toma la función de transferencia de lazo cerrado

Comparándola con la forma general del sistema de segundo orden, nos queda

J

Ky

J

KKBn

hn =

+= 2

2 ωζω la ganancia del sistema es 1=G

( ) ( )( )

11

lim20

=+++

==∞→ sKsKKBJs

Kscc

hs

Como el sistema se estabiliza en la unidad y el máximo sobrepaso es 0.2 esto corresponde al ( )%20% =pM

%20100%21

==

−− ζπζ

eM p

( )[ ]

456.0

12.0ln

1

1

100

%ln

1

2

2

2

2=

+

=

+

=ππ

ζ

pM



9

como J

Kn =2ω entonces 071.750 === Knω

( ) 293.6456.1071.7122 =−=−= ζωω nd

como J

KKB hn

+=ζω2

( )( )( ) ( )109.0

50

11071.7456.022=

−=

−=

K

BJK n

h

ζω

El tiempo de levantamiento rt

( ) ( )rad097.1

456.0coscos 11

=

== −− ζβ segt

nd

r 325.01

097.1

2=

−

−=

−=

ζω

π

ω

βπ

Tiempo de asentamiento st

( )( )segt

n

s 24.1071.7456.0

44===

ζω

Tiempo de pico pt

segt

nd

p 5.01 2

=−

==ζω

π

ω

π

Gráfica de respuesta ( )tc

El número de picos sería 248.25.0

24.1cos ≈===

p

spi

t

tN ( ) 11 ==∞ GRc

Respuesta del sistema para una entrada escalón unitario.

Los valores de la respuesta ( )tc son

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) 96.0111)2()2(

2.1111)1()(

224.32

612.1

=−=∞−==

=+=∞+==

−−

−−

ecectc

ecectc

pn

pn

t

p

t

p

ζω

ζω

Respuesta del sistema para una entrada rampa unitaria.



10

Sistemas tipo 0

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )111

111

21 +++

+++=

sTsTsT

sTsTsTKsHsG

p

mba

L

L

( ) ( ) ( )

( )finitoK

R

K

Re

finitoKsHsGK

pss

sp

+=

+=

==→

11

lim

11

0

( ) ( )

∞==

==→

vss

sv

K

Re

sHssGK

2

00lim

( ) ( )

∞==

==→

ass

sa

K

Re

sHsGsK

3

2

00lim

Sistemas tipo 1

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )111

111

21 +++

+++=

sTsTsTs

sTsTsTKsHsG

p

mba

L

L

( ) ( )

01

lim

1

0

=+

=

∞==→

pss

sp

K

Re

sHsGK

( ) ( ) ( )

( )finitoK

R

K

Re

finitoKsHssGK

vss

sv

22

0lim

==

==→

( ) ( )

∞==

==→

ass

sa

K

Re

sHsGsK

3

2

00lim

Sistemas tipo 2

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )111

111

212 +++

+++=

sTsTsTs

sTsTsTKsHsG

p

mba

L

L

( ) ( )

01

lim

1

0

=+

=

∞==→

pss

sp

K

Re

sHsGK

( ) ( )

0

lim

2

0

==

∞==→

vss

sv

K

Re

sHssGK

( ) ( ) ( )

( )finitoK

R

K

Re

finitoKsHsGsK

ass

sa

33

2

0lim

==

==→

Tipo de

sistema pK

vK aK

Error de estado estable

Entrada escalón

pss

K

Re

+=1

1

Entrada Rampa

vss

K

Re 2=

Entrada Parabólica

ass

K

Re 3=

0 Valor

finito 0 0 Valor finito ∞ ∞

1 ∞ Valor

finito 0 0 Valor finito ∞

2 ∞ ∞ Valor

finito 0 0 Valor finito



11

Tipo de sistema pK sse

0 finito pK

R

+11

1 ∞ 0 2 ∞ 0

Tipo de sistema vK sse

0 0 ∞

1 finito vK

R2

2 ∞ 0

Tipo de sistema aK sse

0 0 ∞ 1 0 ∞

2 finito aK

R3

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