1

6 Momen Lentur

KL2203, Kelas 01

S t II 2010/2011Semester II 2010/2011

Momen Lentur Murni (pure bending)

2

Tegangan akibat Momen Lentur

0 : 0x xF dA :z xM M y dA M

Deformasi akibat Momen Lentur

0

0

xy xz

xy xz

3

JK y y

x

y yL

m

c

mx

yc

Distribusi Teganganakibat Momen Lentur

mx x x

yE

c

mm

0

0

xdA

ydA ydA

c c

0

c c

ydA

Garis netral melewati centroid penampang.

4

Distribusi Teganganakibat Momen Lentur

2m

m

xy dA M

y dA Mc

McI

I = momen inersia penampangS = modulus penampangm ;

M IS

S c

x

MyI

5

Kelengkungan (curvature)

m m1 1 Mcc Ec Ec I

1 MEI

1/ = kelengkungan = jari-jari kelengkungan (radius of curvature)

Contoh 1

Suatu balok kantilever baja berukuran penampang 20 mm 60 mm dikenai momen di ujungnya seperti tergambar.

Jika tegangan leleh baja diketahui sebesar 250 MPa tentukan nilai

M

20 mm

60sebesar 250 MPa, tentukan nilai momen M yang mengakibatkan balok mulai leleh.

60 mm

6

Contoh 1

Gaya dalam momen: pada seluruh balok bekerja momen lentur M.

Momen inersia penampang:

33

4 4

1 120 60

12 12

36 10 mm

I bh

M

M+

Tegangan:

36 10 mm

4

6

250

250 36 103 10 N-mm 3 kN-m

30

m

Mc

I

M

Contoh 2

Tinjau kembali balok kantilever pada Contoh 6.1. Tentukan tegangan tarik dan tekan maksimum akibat momen sebesar 3 kN-m yang bekerja di ujung balok, jika penampang balok , j p p gberbentuk T seperti tergambar. Abaikan pengaruh fillet di ujung-ujung penampang.

7

Tentukan lokasi centroid:

3

3

3

32

101143000

104220120030402

109050180090201

mm ,mm ,mm Area,

AyA

Ayy

3114 10A y 3114 1038 mm

3000i i

i

A yy

A

Momen inersia penampang (terhadap sumbu yang melewati centroid)

2'x xI I Ad

3 2

3 2

3 4

190 20 90 20 50 38

121

30 40 30 40 20 3812

868 10 mm

Tegangan tarik dan tekan maksimum:g g

m

6

3

6

3 10 2276.0 MPa

868 10

3 10 38131 3 MPa

A

Mc

I

3

131.3 MPa868 10B

8

Momen Lentur pada Penampang Komposit

x

y

Kompatibilitas:

Transformasi Penampang:Penampang Ekivalen

Karena formula tegangan akibat momen lentur diturunkan untuk material homogen, maka penampang komposit harus “diubah” menjadi penampang ekivalen:

Distribusi regangan harus sama tinggi penampang harus sama

Jari-jari kelengkungan harus sama.

9

Distribusi Tegangan pada Penampang Komposit

Garis netral tidak melewati centroid penampang komposit.

Gaya pada Penampang Ekivalen

11 1

E ydF dA dA

E y22 2

E ydF dA

2 1 12

1

1

E E y E ydF dA n dA

E

E yndA

10

Penampang Ekivalen

Dianggap terdiri atas satu jenis material saja (salah satu material dijadikan material ekivalen, E*)

Dibuat dengan mengubah lebar dari masing-masing material:

Selanjutnya analisis tegangan akibat momen lentur dilakukan

**i

i

Eb b

E

Selanjutnya analisis tegangan akibat momen lentur dilakukan seperti untuk penampang homogen, menghasilkan tegangan normal ekivalen, *.

Tegangan yang sebenarnya terjadi pada setiap material adalah:

**iE

E

Penampang Ekivalen

Penampangkomposit

Penampangekivalen

Teganganekivalen, *

Teganganaktual,

11

Contoh 3

Suatu balok kantilever kayu berukuran penampang 75 mm 200 mm diperkuat dengan menambahkan pelat baja setebal 6 mm di sisi atas balok seperti tergambar.

2 kN/m

3 m

Jika diketahui modulus elastisitas kayu adalah 12 GPa dan modulus elastisitas baja adalah 200 GPa, tentukan tegangan maksimum yang terjadi pada kayu dan pelat baja akibat beban merata 2 kN/m seperti tergambar.

Contoh 3

Akibat beban yang bekerja, momen maksimum akan terjadi di tumpuan yang besarnya:

Misalkan penampang diubah menjadi penampang ekivalen

Mmax

max 2 3 1.5 9 kN-mM –

2 kN/m

3 m

menjadi penampang ekivalen dengan material kayu:

*

**

12 GPa

20075 1250 mm

12

k

bb b

E E

Eb b

E

12

Lokasi centroid penampang ekivalen (dari sisi bawah)

1250 6 203 75 200 100134.3 mm

1250 6 75 200i i

i

A yy

A

Momen inersia penampang ekivalen

3 2* 11250 6 1250 6 203 134 3I

3 2

6 4

1250 6 1250 6 203 134.3121

75 200 75 200 100 134.312

103.1 10 mm

I

Tegangan ekivalen maksimum, sisi atas:

6

*9 10 71.7

*6

6.26 MPa103.1 10A

Tegangan ekivalen maksimum, sisi bawah:

6

*6

9 10 134.311.73 MPa

103.1 10B

Tegangan aktual, sisi atas dan bawah baja:

6

*6

9 10 65.75.73 MPa

103.1 10C

Tegangan ekivalen di batas kayu – baja:

2006 26 104 3 MPa

Distribusi tegangan

baja

6.26 104.3 MPa12

2005.73 95.6 MPa

12

A

C

AC

6.265.73

104.395.6

5.73

B –11.73 –11.73

* (MPa) (MPa)

13

Contoh 3

A

B

C

11 73

104.395.6

5.73

max baja

max kayu

104.3 MPa (tarik)

11.73 MPa (tekan)

B –11.73 (MPa)

Beton Bertulang (elastis)

Kemampuan beton menerima tegangan tarik sangat kecil, sehingga daerah yang mengalami tegangan tarik harus diperkuat dengan menambahkan tulangan b jbaja.

Agar efektif, tulangan baja diletakkan di sisi tarik terjauh dari garis netral.

14

Beton Bertulang (elastis)

Pada daerah yang mengalami tarik, hanya tulangan yang menerima tegangan tarik, sedangkan bagian beton dianggap tidak bekerja.

Dengan demikian, penampang beton bertulang dianggap berupa bagian beton yang mengalami tekan dan tulangan baja yang mengalami tarik.

Analisis tegangan akibat momen lentur dilakukan dengan mengganti penampang menjadi penampang ekivalen beton.

Beton Bertulang (elastis)

s

c

En

E

15

NA 0

02

1

s

Q

xbx nA d x

Lokasi garis netral:

Inersia penampang ekivalen:

210

2 s sbx nA x nA d

23

2* bx xI bx nA d x

3

2

12 2

3

s

s

I bx nA d x

bxnA d x

Tegangan pada tulangan baja:

*max beton *A

Mx

I

Tegangan tekan maksimum pada beton:

g g p g j

**s s

M d xn n

I

Catatan: ilustrasi perhitungan di atas dilakukan dengan asumsi momen yang bekerja adalah momen positif. Jika momen yang bekerja adalah momen negatif, formulasi yang dihasilkan akan sama, tetapi bagian beton yang mengalami tekan berada di sisi bawah dan tulangan baja berada di sisi atas.

16

Kombinasi Momen Lenturdan Gaya Aksial

Momen lentur dan gaya aksial sama-sama mengakibatkan tegangan normal pada penampang, sehingga efek dari kedua gaya dalam tersebut dapat digabungkan.

Tegangan normal pada suatu titik merupakan penjumlahan dari tegangan normal akibat momenpenjumlahan dari tegangan normal akibat momen lentur dan akibat gaya aksial.

aksial lentur

F My

A I

Kombinasi Momen Lenturdan Gaya Aksial

F

A

My

I

17

Contoh 4

Gambar di samping memperlihatkan satu bagian dari rantai yang menerima beban 160 lb.

Tentukan tegangan maksimum tarik dan tekan maksimum pada penampang, serta jarak antara centroid penampang j p p gdengan garis netral.

Tegangan akibat gaya aksial:

160 lb

160 0.65 =104 lb

P

M

Gaya dalam pada penampang:

160P

2

160815 psi

0.54

a

P

A

Tegangan maksimum akibat momen lentur:

4

104 0.258475 psi

0 5b

Mc

I

0.564

Tegangan maksimum tarik dan tekan:

815 8475 9290 psi ; 815 8475 7660 psim m

18

Lokasi garis netral (di sebelah kanan centroid):

4

104815 0 0.024 in.

0.564

yy

Contoh 5

Penampang balok T seperti tergambar menerima gaya aksial tekan P yang bekerja di titik D.

Jika tegangan izin tarik material balok adalah 30 MPa, dan tegangan izin tekannya 120 MPategangan izin tekannya 120 MPa, tentukan nilai maksimum P yang dapat diterima balok.

19

Karakteristik penampang telah dihitung pada Contoh 6.2:2 3 438 mm ; 3000 mm ; 868 10 mmy A I

Sistem ekivalen gaya aksial sentris + momen lentur:

(tekan)P P

43

4

28 223.76 10

3000 868 1028 22

15 59 10

A

B

PPP

PPP

38 10 28 (momen negatif)M P P

Tegangan di sisi atas dan bawah penampang:

315.59 10

3000 868 10B P

Periksa terhadap tegangan izin:4

4

3.76 10 30 79.7 kN

15.59 10 120 77.0 kN

P P

P P

max 77 kNP

Lentur Tak Simetris(Unsymmetrical Bending)

Sampai saat ini, penampang yang dianalisis selalu memiliki sumbu simetri vertikal dan momen lentur bekerja pada bidang sumbu simetri tersebut.

S k k diti j k Sekarang akan ditinjau kasus di mana momen tidak bekerja pada bidang sumbu simetri tersebut, atau penampang tidak memiliki sumbu simetri.

20

0x

x

dA

y dA M

garis netral melalui centroid

distribusi tegangan akibat momen lentur

0

x

x

y

z dA

0m zydA

c

g g

vektor momen bekerja padasumbu utama yang melalui centroid

coszM M sinyM M

+

yz

z y

M zM yI I

21

Contoh 6

Momen lentur sebesar 1600 lb-in. bekerja pada penampang balok kayu berukuran 1.5 in. 3.5 in. pada bidang yang membentuk sudut 30o terhadap bidang vertikal seperti tergambar.

Tentukan: Tentukan:

tegangan maksimum pada balok,

lokasi garis netral.

Inersia penampang:

1600cos30 1386 lb-in.

1600sin 30 800 lb-in.

oz

oy

M

M

Komponen momen pada sumbu utama:

3 411 5 3 5 5 359 inI

3 4

1.5 3.5 5.359 in.121

1.5 3.5 0.984 in.12

z

y

I

I

Tegangan maksimum:

1386 1.75 800 0.751062 psi

1062 psi

5.359 0.984

22

cos sin0

tan 3.143

z y

z

M y M z

I I

Iy z z

I

Persamaan garis netral:

y

yI

Sudut :

tan tan 3.143zI

I

72.4

y

o

I

Contoh 7

Momen M0 sebesar 1.5 kN-m bekerja pada penampang balok Z seperti tergambar.

Diketahui momen inersia dan produk inersia penampang tersebut adalah:

6 43.25 10 mmyI 6 4

6 4

4.18 10 mm

2.87 10 mm

z

yz

I

I

Tentukan nilai tegangan di titik Adan sudut antara garis netraldengan bidang horizontal.

23

Inersia utama dan sumbu utama (via lingkaran Mohr)

2

21

y z y zv yz

I I I II I I

1 2 2.871

t 40 4o

1

22 6

6 6 4

6 6 42

2 2

3.25 4.18 3.25 4.182.87 10

2 2

3.72 2.91 10 6.63 10 mm

3.72 2.91 10 0.808 10 mm

v yz

uI I

1tan 40.42 4.18 3.25

om

Komponen momen pada sumbu utama

0

0

sin

1500sin 40.4 973 N-m

cos

1500cos40.4 1142 N-m

u m

o

v m

o

M M

M M

Tegangan di A

u A v AA

M v M u

I I

cos sin 86 mm

sin cos 23.9 mmA A m A m

A A m A m

u y z

v y z

3 3

6 6

973 10 23.9 1142 10 86

0.808 10 6.63 1013.97 MPa

u vI I

24

Garis netral

tan tan

6.63tan 40.4

0.808

81 9

vm

u

o

o

I

I

(lihat Contoh 6.6)

81.9o

Sudut antara garis netral denganbidang horizontal:

81.9 40.4

m

o o

41.4o

Beban Aksial Eksentris

Dengan memperhatikan hasil pembahasan kombinasi aksial + lentur serta lentur tak simetris sebelumnya, formula tegangan akibat beban g geksentris yang lebih umum dapat disusun sebagai berikut:

yz

z y

M zM yP

A I I

25

Contoh 8

Gaya vertikal 4.8 kN bekerja pada sebuah kolom berukuran penampang 80 mm 120 mm seperti tergambar.

Tentukan:

tegangan pada titik A B Ctegangan pada titik A, B, C, dan D,

lokasi garis netral.

3

3

4800 40 192 10 N-mm

4800 25 120 10 N-mm

x

z

M

M

Sistem ekivalen:

Karakteristik penampang: 280 120 9600 mmA

Tegangan di keempat pojok penampang:

3 6 4

3 6 4

180 120 5.12 10 mm

121

80 120 11.52 10 mm12

x

z

I

I

192000 40 120000 604800M z M xP 6 6

4800

9600 5.12 10 11.52 10

0.5 1.5 0.625 2.625 MPa

0.5 1.5 0.625 1.375 MPa

0.5 1.5 0.625 1.625 MPa

0.5 1.5 0.625 0.375 MPa

x zA

x z

B

C

D

M xP

A I I

26

Garis netral

Terlihat bahwa terdapat perubahan tanda tegangan (tarik – tekan) di sisi BC dan AD, sehingga dapat ditentukan titik G dan H di mana nilai tegangan = 0nilai tegangan = 0.

Karena distribusi tegangan adalah linier, maka garis netral pasti melalui titik G dan H.

1.37536.7 mm

80 1 625 1 375

BGBG

80 1.625 1.3752.625

70 mm80 2.625 0.375

AHAH