06. 관계 대수와 관계 해석 - Part 1

데이터베이스 (Database)

관계 대수와 관계 해석(Part 1)

문양세강원대학교 IT 대학 컴퓨터과학전공

Database by Yang-Sae MoonPage 2

관계 대수 및 관계 해석 강의 요약

단항 관계 연산 : 실렉트와 프로젝트

집합 이론과 관계 대수 연산

이항 관계 연산 : 조인과 디비전 연산

추가적인 관계 연산

관계 대수 질의의 예

투플 관계 해석

도메인 관계 해석

관계 대수와 관계 해석


관계 대수 (Relational Alge-bra)

데이터 모델의 구성요소• 데이터베이스 구조와 제약조건의 정의

• 데이터를 다루기 위한 연산들의 집합

관계 대수란 ?• 릴레이션들을 다루는 연산들

• 검색 요구 ( 질의 ) 를 기술하는 데에 사용함

• 릴레이션에 대한 연산의 결과도 릴레이션임

관계 대수 연산의 종류• 수학적 집합 연산 : 합집합 , 교집합 , 차집합 , 카티션 프로덕트

• 관계 데이터베이스를 위한 특별 연산 : 실렉트 , 프로젝트 , 조인


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실렉트 (Select) 연산 (1/2)

릴레이션 R 에서 어떤 선택조건을 만족하는 투플들을 선택함

결과 릴레이션은 R 과 동일한 애트리뷰트들을 가짐 ( 릴레이션 차수

동일 )

결과 릴레이션은 r(R) 의 투플 중 애트리뷰트 값들이 선택조건을

만족하는 투플들로 구성됨

연산 형식 관계 대수란 ?

• σ< 선택조건 >(R)

선택조건은 R 의 애트리뷰트들에 대한 부울식 (Boolean equation) 임• < 애트리뷰트 이름 > < 비교연산자 > < 상수값 > ( 예 : Age ≥ 18)

• < 애트리뷰트 이름 > < 비교연산자 > < 애트리뷰트 이름 > ( 예 : Emp.ID = Manag-er.ID)

• 비교연산자 : =, <, ≤, >, ≥, ≠, SUBSTRING_OF ( 문자열 연산시 이용 )



실렉트 (Select) 연산 (2/2)

예제 :• σDNO=4 (EMPLOYEE)

• σSALARY>30000 (EMPLOYEE)

• σ(DNO=4 AND SALARY>25000) OR DNO=5 (EMPLOYEE)



실렉트 연산의 실행 예제관계 대수와 관계 해석

σ(DNO=4 AND SALARY>25000) OR (DNO=5 AND SALARY>30000) (EMPLOYEE)


실렉트 연산의 성질

논리연산자 이용• AND, OR, NOT 등 논리연산자 이용 가능

교환법칙 성립

• σ< 조건 1>(σ< 조건 2>(R)) = σ< 조건 2>(σ< 조건 1>(R))

결합법칙 성립

• σ< 조건 1>(σ< 조건 2>(...(σ< 조건 n>(R))...)) = σ< 조건 1>AND< 조건 2>...AND< 조건

n>(R)



프로젝트 (Project) 연산 (1/2)

PROJECT 연산 (Π 로 표기 )• 릴레이션 R 에서 애트리뷰트 리스트에 명시된 애트리뷰트들만 선택함

• 연산 형식 : Π< 애트리뷰트 리스트 >(R)• 결과 릴레이션은 애트리뷰트 리스트에 명시된 R 의 애트리뷰트들만 가짐

• 결과 릴레이션의 투플수는 원래 릴레이션의 투플수보다 작거나 같음

( 작을 수 있는 이유 : 릴레이션은 중복 투플을 인정하지 않음 → 중복 투플의 제거 )

• 애트리뷰트 리스트가 원래 릴레이션의 수퍼키를 포함하면 결과 릴레이션과 원래

릴레이션의 투플수는 동일함 ( 왜 ? 수퍼키를 포함하여 중복되지 않기 때문 )

• 예제 : ΠFNAME, LNAME, SALARY(EMPLOYEE)



프로젝트 (Project) 연산 (2/2)

PROJECT 연산은 결과 릴레이션이 수학적 집합이므로 중복된 투플들을

제거함

• 예제 : ΠSEX, SALARY(EMPLOYEE) 봉급이 25000 원인 여자 사원들이 여러 명이더라도 결과 릴레이션에는 단지 하나의

<F, 25000> 투플만이 포함되며 , 나머지는 제거됨



프로젝트 연산의 실행 예제관계 대수와 관계 해석

ΠFNAME, LNAME,

SALARY(EMPLOYEE)ΠSEX, SALARY (EMPLOYEE)


연산 순서와 이름 변경 연산 (1/4)

다수의 연산을 결합하여 관계 대수식 ( 질의 ) 을 형성할 수 있음• 예제 : 부서 5 에서 일하는 사원들의 이름과 월급을 검색

• ΠFNAME, LNAME, SALARY(σDNO=5(EMPLOYEE))


질문 : 상기 질의 예에서 연산 순서를 바꾸면 어떻게 되지 ?



중간 단계의 임시 릴레이션에 이름을 부여할 수도 있음

• DEPT4_EMPS ← σDNO=5(EMPLOYEE)

• RESULT ← ΠFNAME, LNAME, SALARY(DEPT4_EMPS)


DEPT4_EMPS

RESULT FNAME

LNAME

질문 : 상기 질의 예에서 임시 릴레이션의 애트리뷰트 이름을 바꾸려면 ?



결과 릴레이션의 애트리뷰트 이름은 재명명 할 수도 있음

• TEMP ←σDNO=5(EMPLOYEE)

• R(FIRSTNAME, LASTNAME, SALARY) ← ΠFNAME, LNAME, SALARY(TEMP)


질문 : 상기 두 개의 질의를 하나로 합하면 ?



이름 변경 연산

• DEPT4_EMPS ← σDNO=5(EMPLOYEE)

• S(B1, B2, …, Bn)(R): 릴레이션 이름과 애트리뷰트 이름을 모두 변경

S: 새로운 릴레이션의 이름

B1, B2, …, Bn: 새로운 애트리뷰트의 이름

• S(R): 릴레이션 이름을 변경

• (B1, B2, …, Bn)(R): 애트리뷰트 이름을 변경













합집합 , 교집합 , 차집합 연산 (1/4)

수학적 집합 이론에서의 이진 연산• 합집합 : R1 ∪ R2

• 교집합 : R1 ∩ R2

• 차집합 : R1 – R2

연산 ∪ , ∩, – 에서의 호환성

• 피연산자 릴레이션 R1(A1,A2, ..., An) 과 R2(B1, B2, ..., Bn) 는 애트리뷰트들의 갯수가

동일하고 , 대응되는 애트리뷰트들의 도메인이 호환성을 가져야 함 ; 즉 , i = 1, 2, ..., n

에 대하여 dom(Ai) = dom(Bi) 이어야 함

• 이 조건을 합집합 호환성 (union compatibility) 이라 부름




연산 ∪ , ∩, – 의 결과 릴레이션은 피연산자 릴레이션 R1 과 동일한

애트리뷰트 이름들을 가짐 ( 관례적으로 )

합집합과 교집합은 교환법칙과 결합법칙이 성립됨

( 차집합은 ?)




5 번 부서에서 일하거나 5 번 부서에서 근무하는 사원들을 직접

감독하는

모든 사원의 주민등록번호를 검색

• DEP5_EMPS ← σDNO=5(EMPLOYEE)

• RESULT1 ← ΠSSN(DEP5_EMPS)

• RESULT2(SSN) ← ΠSUPERSSN(DEP5_EMPS)

• RESULT ← RESULT1 ∪ RESULT2



합집합 , 교집합 , 차집합 연산 (4/4)관계 대수와 관계 해석

STUDENT ∪ INSTRUCTOR STUDENT ∩ INSTRUCTOR

STUDENT － INSTRUCTOR INSTRUCTOR － STUDENT


카티션 곱 ( 또는 크로스 프로덕트 ) 연산 (1/3)

카티션 곱 (CARTESIAN PRODUCT)

R(A1, A2, ...,Am, B1, B2, ..., Bn) ← R1(A1, A2, ..., Am) × R2(B1, B2, ...,

Bn)• R 의 투플 t 는 R1 의 투플 t1 과 R2 의 투플 t2 로 분리됨

• 즉 , t[A1,A2, ..., Am] = t1 그리고 t[B1, B2, ..., Bn] = t2

• R1 이 n1 개의 투플을 , R2 가 n2 개의 투플을 갖는다면 ,

R 은 n1×n2 개의 투플을 가지게 됨

• 카티션 곱은 그 자체로는 큰 의미가 없는 연산이지만

적절한 SELECT 연산과 함께 사용되면 두 릴레이션에서

서로 관련이 있는 투플들을 생성하는데 사용될 수 있음



카티션 곱 ( 또는 크로스 프로덕트 ) 연산 (2/3)

모든 여자사원들에 대해 그들의 부양가족들의 이름을 검색

• FENAME_EMPS ← σSEX=F(EMPLOYEE)

• EMPNAMES ← ΠFNAME, LNAME, SSN(FENAME_EMPS)

• EMP_DEPENDENTS ← EMPNAMES × DEPENDENT

• ACTUAL_DEPENDENTS ← σSSN=ESSN(EMP_DEPENDENTS)

• RESULT ← ΠFNAME, LNAME, DEPENDENT_NAME(ACTUAL_DEPENDENTS)



카티션 곱 ( 또는 크로스 프로덕트 ) 연산 (3/3) 관계 대수와 관계 해석

FENAME_EMPS ← σSEX=F(EMPLOYEE)EMPNAMES ← ΠFNAME, LNAME, SSN(FENAME_EMPS)EMP_DEPENDENTS ← EMPNAMES × DEPENDENTACTUAL_DEPENDENTS ← σSSN=ESSN(EMP_DEPENDENTS)RESULT ← ΠFNAME, LNAME,

DEPENDENT_NAME(ACTUAL_DEPENDENTS)3 ×7 = 21












조인 (Join) 연산 (1/2)

Join 연산• 두 릴레이션으로부터 관련있는 투플을 결합하여 하나의 투플로 생성함

• 관련성의 여부를 조건으로 표시하며 , 이를 조인 조건이라고 함

• R < 조인조건 > S

조인 조건• < 조건 > AND < 조건 > AND … AND < 조건 >

• 각 조건의 형태는 AiΘBj 이며 , Ai 는 R 의 애트리뷰트 , Bj 는 S 의 애트리뷰트임

• Θ = {=, <, ≤, >, ≥, ≠}

• 조인 조건에 사용된 속성 (Ai 와 Bj 를 조인속성이라고 부름 )

Theta Join• 일반적인 조인 조건 (=, <, ≤, >, ≥, ≠) 을 가진 조인 연산



조인 (Join) 연산 (2/2)관계 대수와 관계 해석

DEPT_MGR ← DEPARTMENT MGRSSN=SSNEMPLOYEE


동등 조인 (Equi-Join)

조인 조건에서 동등 비교 (equality comparison) 만을 사용하는 조인

EQUIJOIN 사용 예제 :모든 DEPARTMENT 의 이름과 그 관리자의 이름을 검색하라 :


T ← DEPARTMENT MGRSSN=SSN EMPLOYEERESULT ← ΠDNAME,FNAME,LNAME(T)


자연 조인 (Natural Join) (1/4)

EQUIJOIN 의 결과에는 두 조인속성의 값이 중복되어 나타남

조인 결과에서 조인 속성 하나를 제거하여 중복된 값이 나타나지 않도록 한

조인을 자연조인이라고 함

표시법 : R ← R1 (R1 의 조인 애트리뷰트들 ), (R2 의 조인 애트리뷰트들 ) R2

예제 : 모든 EMPLOYEE 의 이름과 그의 DEPARTMENT 이름을 검색하라

• T ← EMPLOYEE (DNO), (DNUMBER) DEPARTMENT

• RESULT ← ΠFNAME, LNAME, DNAME(T)

두 조인 속성이 동일한 이름을 갖는다면 간단히 R ← R1 R2 라고 표시함

예제 :• PROJ_DEPT ← PROJECT DEPT

• DEPT_LOCS ← DEPT_LOCATIONS DEPARTMENT



자연 조인 (Natural Join) (2/4)관계 대수와 관계 해석

PROJ_DEPT ← PROJECT DEPT

DEPT DNUM

DNUM

DNUM


자연 조인 (Natural Join) (3/4)관계 대수와 관계 해석

DEPT_LOCS ← DEPT_LOCATIONS DEPARTMENT

DNUMBER

DNUMBER

DNUMBER


자연 조인 (Natural Join) (4/4)

주의 사항

• 자연 조인에서는 조인 애트리뷰트들이 양쪽의 릴레이션에서 동일한 이름을 가져야 하며 , 그렇지 않는 경우 조인 속성의 이름을 먼저 동일하게 변경해야 함

• 두 릴레이션에서 하나 이상의 조인 애트리뷰트 쌍이 존재하는 경우 주의가 요망됨

예제 : “ 모든 EMPLOYEE 의 이름과 그가 일하는 DEPARTMENT 의 이름을

검색하라” 에 대한 자연 조인은 다음과 같이 작성함

DEPT(DNAME, DNUM, MGRSSN, MGRSTARTDATE) ← DEPARTMENTPROJ_DEPT ← PROJECT DEPT // DUNM 이 조인속성임 ;

// MGRSSN 은 조인속성이 아님



셀프 조인 (Self Join)

하나의 릴레이션에 대한 조인

Self join 은 한 릴레이션의 서로 다른 두 사본을 조인하는 것으로 간주함

이 경우 , 사본 릴레이션에서는 원본 애트리뷰트 이름을 재명명 (renaming)하는 것이 유용함

예제 : 모든 EMPLOYEE 의 이름과 그의 SUPERVISOR 의 이름을 검색하라 .


SUPERVISOR(SSSN,SFN,SLN) ← ΠSSN,FNAME,LNAME(EMPLOYEE)

T ← EMPLOYEE SUPERSSN=SSSN SUPERVISOR

RESULT ← ΠFNAME,LNAME,SFN,SLN(T)


조인 선택율 (selectivity)

선택율 = 결과 투플의 수 / 전체 가능한 투플의 수

조인 선택율 = 조인 결과로 선택된 투플의 개수 / [(R 의 투플수 ) × (S 의 투플수 )]


왼편의 조인 선택율은 ?


관계 대수 연산의 완전 집합

최소한의 연산자 집합• 지금까지 소개한 모든 연산자는 선택 (SELECT), 프로젝트 (PROJECT), 합집합

(UNION), 차집합 (SET DIFFERNECE), 카티션 프로덕트 (CARTESIAN PRODUCT) 연산들

만의

조합으로 표현할 수 있음

• 연산자 집합 {σ, Π, ∪, , ×} 를 관계대수 연산자의 완전 집합 (complete set) 이라

부름

• 이 연산자 집합과 동등한 모든 질의 언어들은 관계적으로 완전하다 (relationally com-plete) 라고 정의함

기타 연산자의 표현

• R ∩ S = (R ∪ S) – ((R – S) ∪ (S – R))

• R < 조건 >S = σ< 조건 >(R×S)



디비전 연산 (1/3)

T(Y) = R(Z) S(X) 는 다음과 같이 정의됨 (X ⊆ Z 이고 , Y = Z – X임 )• T1 = ΠY(R)

• T2 = ΠY((S × T1) － R)

• T = T1 – T2

예제 ( 과정은 다음 페이지 참조 )


R A B S A T Ba1 b1 a1 b1a2 b1 a2 b4a3 b1 a3a4 b1a1 b2a3 b2a2 b3a3 b3a4 b3a1 b4a2 b4a3 b4

=

T1 = ΠB(R)

T2 = ΠB(( S × T1) – R)

T = T1 – T2


디비전 연산 (2/3)관계 대수와 관계 해석

T ← R S

T1 = ΠB(R)T2 = ΠB((S × T1) – R)T = T1 – T2

=T1

b1

b2

b3

b4

a1, a2, a3 와의 모든 조합이 있는 놈 : b1, b4

S×T1

a1

a1

a1

a1

b1

b2

b3

b4

a2

a2

a2

a2

b1

b2

b3

b4

a3

a3

a3

a3

b1

b2

b3

b4

S×T1- Ra1

a2

b3

b2

B BA BA

T2

b2

b3

B

Tb1

b4

B


디비전 연산 (3/3)

질의 : Smith 가 근무하는 모든 프로젝트에서 근무하는 사원들의 이름을

검색하라 .


=SMITH ← σFNAME=‘John’ AND

LNAME=‘Smith’(EMPLOYEE)

SMITH_PNOS ← ΠPNO(WORKS_ON

ESSN=SSNSMITH)

SSN_PNOS ← ΠESSN, PNO(WORKS_ON)

SSNS(SSN) ← SSNPNOS SMITH_PNOS

RESULT ← ΠFNAME, LNAME(SSNS * EMPLOYEE)

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http://images.google.co.kr/imgres?imgurl=http://www.oleole.com/media/main/images/wallpapers/26027/alan-smith---man-utd_37012.jpg&imgrefurl=http://www.oleole.kr/wallpapers/maencheseuteoyunaitideu/alansmithmanutd/mwsk4.asp&usg=__UGEh0sjVz7foYdQiFkhc6ZCCeOg=&h=375&w=500&sz=88&hl=ko&start=16&um=1&tbnid=C8gfLbmphrIq_M:&tbnh=98&tbnw=130&prev=/images?q=Smith&complete=1&hl=ko&lr=&um=1&newwindow=1

http://images.google.co.kr/imgres?imgurl=http://www.finfacts.com/irelandbusinessnews/uploads/adam_smith2.jpg&imgrefurl=http://www.finfacts.com/irelandbusinessnews/publish/article_10004429.shtml&usg=__wLzc3kgPHjiZNS-W1VYgwlt-hS8=&h=400&w=307&sz=145&hl=ko&start=30&um=1&tbnid=pKAlESABFuu2WM:&tbnh=124&tbnw=95&prev=/images?q=Smith&ndsp=20&complete=1&hl=ko&lr=&sa=N&start=20&um=1&newwindow=1












집단 함수와 집단화 (1/2)

집단 함수 (aggregate function) 혹은 집계 함수• SUM, COUNT, AVERAGE, MIN, MAX 함수를 의미함

• 이들은 데이터베이스 응용에서 값들의 집합 또는 투플들의 집합에 적용되며 , 표준 관계

대수로 표현할 수 없음

• 다음과 같이 표현하며 , 그룹화 애트리뷰트들은 선택적임

< 그룹화 애트리뷰트들 > F< 함수 리스트 >(R)

예제 1: 모든 사원의 평균 급여를 검색 ( 그룹화 불필요 )• R(AVGSAL) ← FAVERAGE SALARY(EMPLOYEE)

예제 2: 각 부서에 대해 , 부서 번호와 부서별 사원 수와 평균 급여를

검색

• R(DNO, NUMEMPS, AVGSAL) ← DNOFCOUNT SSN, AVERAGE SALARY(EMPLOYEE)

• 위의 예제에서 DNO 를 그룹화 애트리뷰트 (grouping attribute) 라고 부름



집단 함수와 집단화 (2/2)관계 대수와 관계 해석


순환적 폐포 (Recursive Closure) 연산 (1/2)

동일한 테이블에서 투플들 간 순환적 관계 (recursive relationship) 를

질의하는데 사용됨

관계 대수로서는 표현할 수 없음

예 : Employee 테이블에서 사원과 상사간의 관계에 대하여 특정 사원의 모든

상사

( 직간접 상사관계 ) 에 있는 직원을 모두 검색하시오 .

이러한 질의는 루핑 (looping) 을 사용하여 한 단계 상사들의 집합을 구하고 , 이를 바탕으로 다음 단계 상사를 구하며 , 이러한 과정을 더 이상의 상사 집합이

없을 때까지 ( 사장이 나올 때까지 ) 구해나가야 하므로 루핑 처리가 필요하게 됨

호스트 언어 등을 사용하여 해결할 수 있음



순환적 폐포 (Recursive Closure) 연산 (2/2)관계 대수와 관계 해석


외부 조인 연산 (1/4)

외부 조인 (OUTER JOIN)• 정규 EQUIJOIN 이나 자연 조인 (NATURAL JOIN) 연산에서 조인 조건을 만족하지

않은 투플들은 결과 릴레이션에도 나타나지 않음

• 조인에 참여하는 릴레이션의 모든 투플들을 조인 결과 릴레이션에 나타내고 싶은 경우

외부조인을 사용함

• 외부 조인에서는 상대방 릴레이션에 대응되는 투플이 없으면 빈 애트리뷰트들에 NULL 값을 채워서 결과에 포함시킴



외부 조인 연산 (2/4)

외부 조인의 종류• 왼쪽 외부 조인 (LEFT OUTER JOIN)

R1 R2: R1 의 모든 투플들이 결과 릴레이션이 나타남

• 오른쪽 외부 조인 (RIGHT OUTER JOIN)R1 R2: R2 의 모든 투플들이 결과 릴레이션이 나타남

• 완전 외부 조인 (FULL OUTER JOIN)R1 R2: R1 과 R2 의 모든 투플들이 결과 릴레이션이 나타남



외부 조인 연산 (3/4)관계 대수와 관계 해석

S123

A가나다

B1 T나다

B2#%

C

V ← S B1=B2T V ← S B1=B2T V ← S B1=B2T V ← S B1=B2T

V

23

A나다

B1

라 $마 @

나다

B2#%

C A B1 B2 CV

123

가나다

나다

#%

null nullA B1 B2 CV

나다

#%

라 $마 @

23

나다

null nullnull null

A B1 B2 CV

나다

#%

라 $마 @

23

나다

null nullnull null

1 가 null null

조인 왼쪽 외부조인 오른쪽 외부조인 양쪽 외부조인


외부 조인 연산 (4/4)관계 대수와 관계 해석

TEMP ← EMPLOYEE SSN=MGRSSNDEPARTMENTRESULT ← ΠFNAME, MINIT, LNAME, DNAME(TEMP)

null

null

null

nullnull


외부 합집합 (Outer Union) 연산 (1/2)

합집합 호환성이 없는 두 릴레이션을 합집합 (union) 하는데 사용됨• 데이터베이스 구조와 제약조건의 정의 방식

예제• STUDENT(Name, SSN, Department, Advisor) 와

• FACULTY(Name, SSN, Department, Rank) 의 outer union 은

• RESULT(Name, SSN, Department, Advisor, Rank) 임

• RESULT 에서 STUDENT 투플은 Rank 속성의 값이 null 이고 , FACULTY 투플은

Advisor 속성의 값이 null 임



외부 합집합 (Outer Union) 연산 (2/2)관계 대수와 관계 해석

S123

A가나다

B T나다

B#%

C

라 $마 @

A B C

#%$@

23

나다

nullnull

1 가 null

S 와 T 의 외부 합집합

라마

ab

D

cd

ab

D

cd

null

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06. 관계 대수와 관계 해석 - Part 1