06 Prenos u osnovnom opsegu

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 95

6 PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

6.1 UVOD Prenos u osnovnom opsegu često se naziva impulsna amplitudska modulacija (PAM - Pulse Amplitude Modulation), jer se elementarnom impulsu, koji se prenosi u signalizacionom intervalu T, dodeljuju različite diskretne vrednosti amplituda.

Deo opšte blok šeme sistema za prenos digitalnih signala sa slici 1.1. (od tačke B do tačke E), koji je relevantan za prenos signala u osnovnom opsegu učestanosti, prikazan je na slici 6.a.

Slika 6.a Sistem za prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestanosti

)( fHT , )( fH C i )( fH R predstavljaju funkcije prenosa predajnog filtra, kanala i prijemnog

filtra, respektivno. Predajni filtar uobliči signal i prilagodi ga kanalu, a uloga prijemnog filtra se odnosi na smanjenje uticaja šuma i smetnji.

Signal u tački B, na ulazu sistema ima oblik:

∑∞

−∞=

−=k

kB kTtats )()( δ (6.1)

a u tački C:

∑∞

−∞=

−=k

TkC kTthats )()( (6.2)

pri čemu je )(thT impulsni odziv predajnog filtra. U tački D, ispred odlučivača signal je:

)()()( tnkTthatsk

kD +−= ∑∞

−∞=

(6.3)

gde je )(tn uskopojasni šum na izlazu prijemnog filtra, a h t( ) je impulsni odziv sistema čija je Furijeova transformacija oblika:

)()()()()()( fjRCT efAfHfHfHfH θ== (6.4)

Usled ograničenog propusnog opsega i izobličenja tokom prenosa doći će do intersimbolske interferencije koja zajedno sa šumom može da prouzrokuje greške u prenosu.

6.1.1 Intersimbolska interferencija (ISI)

Pošto je sistem linearan borbu protiv šuma i ISI posmatraćemo odvojeno.

Kako projektovati )( fHT i )( fH R da se minimizuje ISI?

Odlučivač odlučuje o simbolu ak na osnovu odbirka primljenog digitalnog signala )(tsD uzetog u trenutku kT, slika 6.b. Pretpostavlja se ispravan rad ekstraktora takta, tj. sinhron prenos.


Slika 6.b Sistem za prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu

∑∑∞

≠−∞=

−

∞

−∞=

+=−⋅=kn

nnknok

nnD hahanTkThakTs )()( (6.5)

gde je:

⋅ ak - simbol o kojem se donosi odluka na osnovu odbirka )(tsD uzetog u t = kT

⋅ ho - vrednost impulsnog odziva u trenutku t = 0.

Neželjena komponenta odbirka )(kTsD :

∑∞

≠−∞=

−=

knn

nknk hai;

(6.6)

posledica je izobličenja elementarnog impulsa i naziva se intersimbolska interferencija (ISI).

Za odbirak u kT = 0, ISI je:

∑∑≠

−

∞

≠−∞=

− ==0

0;

0n

nn

nn

nn hahai (6.7)

Maksimalna ISI je:

∑∑≠

∞

≠−∞=

− ⋅−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==0

0

max )1(max}max{n

n

nn

nn hdMhaii . (6.8)

Varijansa ISI je:

σi i i2 2 2= − (6.9)

Ova veličina se može izračunati na tri načina:

1. kada je poznata gustina raspodele verovatnoće ISI, GRV(i):

∑∀

⋅==i

i iiPi 222 )(σ (6.10)

jer je GRV(i) parna funkcija )0( =i ;

2. kada je poznat elementarni impuls )(th digitalnog signala:

∑≠

=0

222

nnai hσσ (6.11)

gde je σa2 varijansa informacionog sadržaja;

3. kada je poznata funkcija prenosa sistema )( fH :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += ∫ ∑

−

20

2/1

2/1

222 1

hdfT

nfH

T

T

T nai σσ (6.12)

6.1.2 Idealni sistem prenosa

Za digitalni signal čiji se simboli prenose u ritmu digitalnog takta T, idealni sistem minimalnog propusnog opsega zadovoljava sledeće uslove:


kff

fT

fKfA

N

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =≤=

)(

drugde0

2

1

)(

θ

(6.13)

gde su K i k konstante. Impulsni odziv idealnog sistema je oblika:

constT

Kh

Tt

Tthth oo === ,

sin)(

ππ

(6.14)

Nikvistova brzina signaliziranja jeste maksimalna brzina signaliziranja koja u idealnom sistemu obezbeđuje prenos bez intersimbolske interferencije. Data je izrazom:

Ns fT

v 21 == (6.15)

Digitalni protok (brzina prenosa informacija) definisan je izrazom:

]sb[ ld

T

Mvd = (6.16)

i predstavlja količinu prenete informacije u jedinici vremena.

6.1.3 Prvi i drugi nikvistov kriterijum

Prvi Nikvistov kriterijum (I NK) odnosi se na prenos digitalnih signala, kod kojih se odluka na prijemu donosi na osnovu amplitude odbiraka uzetih na sredini svakog signalizacionog intervala. Njegova formulacija u vremenskom domenu glasi:

okohkTh ,)( δ⋅= (6.17)

gde je 0,kδ Kronecker-ova delta funkcija definisana izrazom:

⎩⎨⎧

≠=

=mk

mkmk 0

1,δ (6.18)

Formulacija I NK u frekvencijskom domenu ima analitički oblik:

[ ]T

ffT

fThnffH sNon

s1

,2

1, ==≤=+∑

∞

−∞=

. (6.19)

Drugi Nikvistov kriterijum (II NK) definiše uslov prenosa signala bez izobličenja trajanja signalizacionog intervala. Analitička formulacija ovog uslova u vremenskom domenu ima oblik:

...,2,1,0,)(22

)12( 1,,1 ±±=+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − k

hTkh kok δδ (6.20)

gde je 1h = konstanta. U frekvencijskom domenu II NK glasi:

[ ]T

ffT

fTfThnffH sNn

sn 1

,2

1,)cos()1( 1 ==≤=+⋅−∑

∞

−∞=π . (6.21)

6.1.4 Kontrolisana ISI- duobinarni prenos

Ovo je tehnika koja se bazira na II NK i omogućava udvostručavanje brzine signaliziranja u odnosu na Nikvistovu brzinu u sistemu koji ne zadovoljava uslov idealnog prenosa, uz kontrolisanu ISI.


Ako se odabiranje signala, koji predstavlja odziv na signal poslat u trenutku kT (tačka B sistema na slici 4.a.), izvrši u trenutku t kT T= − 2 , u tački D dobija se:

.222 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − −

Tha

Tha

TkTs kkD (6.22)

Prethodni izraz važi za sistem čija je funkcija prenosa oblika:

⎪⎩

⎪⎨⎧ =≤=

drugde.0

,2

1)cos(2)( Nf

TffTTfH π (6.23)

odnosno, čiji je impulsni odziv:

h tt T

t T( )

cos( )

( )= ⋅

−4

1 2 2ππ

(6.24)

Duobinarni prenos može se tretirati kao pseudoternarni prenos sa ili bez prethodno izvršenog diferencijalnog kodovanja informacionog sadržaja.


6.2 ZADACI

6.2.1 Digitalni signal podataka opisan je izrazima:

.)1()1(,}1,1{,)()( ==−=−∈−⋅= ∑−=

kkk

N

Nkk aPaPakTthats

Elementarni impuls )(th prikazan je na slici (Slika 6.2.1.1).

Nacrtati talasni oblik dela signala )(ts koji odgovara sekvenci }{ ka = 1 1 -1 1 -1 -1 1

Slika 6.2.1.1 Elementarni impuls

Rešenje:

Deo digitalnog signala koji sadrži informacionu sekvencu }{ ka je:

1,1,1,1,1,1,1}{,)()(3

3

−−−=−⋅= ∑−=

kk

k akTthats .

Njegov talasni oblik predstavlja superpoziciju elementarnih impulsa ponderisanih informacionim sadržajem, prenošenih u ritmu digitskog takta. U intervalu vremena

TtT 33 <<− digitalni signal ima oblik prikazan na slici (Slika 6.2.1.2). Vidi se da iako postoji preklapanje susednih impulsa, tj. intersimbolska interferencija (ISI), i dalje je moguće rekonstruisati originalnu sekvencu.

Slika 6.2.1.2 Deo digitalnog signala

6.2.2 Izvor generiše bite sa taktom μs 125=T koji se u predajniku koduju polarnim M-arnim alfabetom, pri čemu je 8 i ,4 ,2=M (Slika 6.2.2.1). Elementarni impuls je dat sa:

⎩⎨⎧ ≤≤

=drugde.0

,01)(

Ttth

a) Skicirati vremenski oblik signala na izlazu predajnika, ukoliko je generisana informaciona sekvenca 010111101001.


b) Uporediti brzine signaliziranja i protoke digitalnih signala u sva tri slučaja.

c) Skicirati konstelacije digitalnih signala u sva tri slučaja.

Slika 6.2.2.1

Rešenje:

a) Slika prikazuje vremenski izgled digitalnog signala.

Slika 6.2.2.2

b) Sa slike se jasno vidi da važi:

)(ld MTTM ⋅= .

Stoga je:

)(ld

11

MTTv

MsM ⋅

== ,

Bd 80001 ==T

vss , Bd 4000

2

14

==T

vs , i Bd 26673

18

==T

vs .


Za digitalni protok važi:

TT

Mv

MMd

1)(ld == ,

pa su digitalni protoci u sva tri slučaja isti i jednaki:

b/s 8000=Mdv .

U slučaju da je brzina signaliziranja bila ista za sva tri digitalna signala, tada bi digitalni protoci bili različiti, i bili bi u odnosu 3:2:1 .

c) Svaki digitalni signal se sastoji od niza talasnih oblika, kojima se prenose informacioni simboli. U najjednostavnoj varijanti (koja se razmatra u ovom zadatku), talasni oblici su pravaougaoni impulsi, čija se amplituda menja u zavisnosti od prenošenog simbola. Koriste se i komplikovanije prenosne tehnike, npr. modulacije, gde se kao elementarni impulsi koriste kosinusi, čije se amplitude, faze, i/ili frekvencije menjaju u zavisnosti od prenošenog simbola.

Talasni oblici (odnosno, simboli) se često predstavljaju u vidu konstelacija. U slučaju prenosa u osnovnom opsegu, konstelacija je jednodimenzionalna, a simboli su prikazani pomoću amplituda talasnih oblika kojima se prenose. Slika 6.2.2.3 prikazuje konstelacije za 8 i ,4 ,2=M .

2=M

4=M

8=M

Slika 6.2.2.3

Treba navesti na kraju da se mapiranje informacionih bita u simbole obično ne vrši na način prikazan na slici (Slika 6.2.2.3), već se za mapiranje koristi Grejov kod (Slika 6.2.2.4). Odlika ovog koda je da se susedni simboli koduju sekvencama koje se razlikuju za po jedan bit. Ovim se postiže minimizacija bitske greške. Naime, najverovatnija greška koja nastaje usled uticaja šuma prilikom odlučivanja na prijemu je zamena poslatog simbola za susedni. Ukoliko dođe do ovakve greške, tada će samo jedan informacioni bit biti pogrešno dekodovan.


2=M

4=M

8=M

Slika 6.2.2.4

6.2.3 Pokazati da za elementarni impuls iz zadatka 3.2.7 važi prvi Nikvistov kriterijum. Pokazati da za podignuti kosinus, pored prvog, važi i drugi Nikvistov kriterijum:

0

H f( )

f

T

1

T2

1

T

5.1T

5.1−T2

1−T

1−

0=r

5.0=r

1=r

Slika 6.2.3.1

Rešenje:

Pokazaćemo da elementarni impuls zadovoljava I Nikvistov kriterijum u vremenskom domenu, pošto je to jednostavnije.

Vremenski oblik elementarnog impulsa je (vidi zadatak 3.2.7):

20

00

))(4(1

))(2cos()2sin()(

tBB

tBB

t

tBth

−−−

=π

ππ

,

gde je TB 210 = .

Lako se pokazuje da važi:

Th

1)0( = ,

,...3,2,1 ,0)( ±±±== kkTh ,

odnosno, I Nikvistov kriterijum je zadovoljen. To se može proveriti i posmatranjem spektra elementarnog impulsa (Slika 6.2.3.1), koji je neparno simetričan u odnosu na učestanost T21± .


Za elementarni impuls tipa podignuti kosinus važi 02BB = , a vremenski oblik impulsa

je:

( )2

0

00

)4(1

)2cos()2sin(

tB

tB

t

tBth

−=

πππ

Važi:

TTTT

T

T

TT

T

TTh

2

1

4

2

)1(1

2cos

2

2sin

22

141

22

12cos

2

22

12sin

2 22==

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π

π

π

ππ

π

π,

pri čemu je za izračunavanje korišćena granična vrednost.

Pošto je )(th parna funkcija, dalje važi:

T

Th

Th

2

1

22=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− .

Na kraju, za vrednosti 2)12( Tkt −= , dobija se:

0)12(1

2

)12(cos

2

)12(2

)12(sin

2)12(

2=

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

k

k

Tk

k

Tkh

π

π

π

,

čime je pokazano da je zadovoljen i II Nikvistov kriterijum.

6.2.4 Koliki su propusni opsezi potrebni za prenos govornog signala maksimalne učestanosti u spektru kHz 4=mf , u slučaju analognog, odnosno digitalnog prenosa? Pretpostaviti da

se za digitalan prenos govornog signala koristi PCM (Pulse Code Modulation) sa 8 bita i elementarni impuls sa minimalnim spektrom koji zadovoljava I Nikvistov uslov.

Rešenje:

Kod analognog prenosa, propusni opseg potreban za prenos je jednak maksimalnoj učestanosti u spektru, tj. kHz 4== mA fB .

Pre digitalnog prenosa, mora se izvršiti digitalizacija signala, tj. njegovo odabiranje i kvantovanje. Odabiranje se prema dobro poznatoj teoremi o odabiranju, vrši sa učestanošću koja je dvostruko veće od maksimalne učestanosti u spektru,

kHz 82 == mS ff , odnosno period koji prođe između dva odbirka je SS fT 1= . Pošto

između dva odbirka treba “smestiti” 8 bita (što znači da se vrši kvantovanje sa 25628 = nivoa), signalizacioni interval digitalnog signala je:

S

Sb f

TT

8

1

8== .

Kako se koristi impuls minimalnog spektra, za potreban propusni opseg dobijamo:

kHz 3242

8

2

1 ==== SS

bD f

f

TB ,

odnosno osam puta više nego kod analognog prenosa.


6.2.5 Koji je teoretski minimalan propusni opseg potreban za prenos digitalnog signala protoka 10 Mbit/s, pri čemu su informacioni simboli iz alfabeta sa 16 elemenata? Ukoliko kanal koji se koristi za prenos signala ima propusni opseg od 1.375 MHz, koliki je maksimalno dozvoljen roll-off faktor r (definisan u zadatku 3.2.7)?

Rešenje:

Brzina signaliziranja je sa digitalnim protokom povezana sledećim odnosom:

MBd 5.2)16(ld

Mbit/s 10

)(ld===

M

vv d

S .

Minimalno potreban propusni opseg je (shodno I Nikvistovom kriterijumu):

MHz 25.122

10 === Sv

TB .

Ako je propusni opseg sistema MHz 375.1=B , tada je maksimalno dozvoljeni roll-off faktor:

1,00

0 =−

=B

BBr .

6.2.6 M-arni signal sa alfabetom )}1(,,2,1,0 ,)1(2{ −=−−== MmdMmdAA m L prenosi se

sistemom čiji su impulsni odziv )(th i prenosna karakteristika )( fH .

a) Pokazati da je GRV (gustina raspodele verovatnoće) ISI parna funkcija.

b) Za 2=M i 1 0 =h , 1,02 =−h , 2,01 −=−h , 3,01 =h , 1,02 −=h i 0)( =kTh za

2|| >k nacrtati GRV i KGRV (kumulativna GRV) i ucrtati maksimalnu i srednju kvadratnu ISI.

Slika 6.2.6.1 Impulsni odziv sistema

Rešenje:

a) Za neku konkretnu kombinaciju "x" simbola u nekom delu informacione sekvence

}{ xna može se izračunati ISI u trenutku odlučivanja:


.)()( ∑≠

−⋅=on

nx

nx hai

GRV je parna ako i samo ako za svaku vrednost ISI, )(xi , postoji jednako verovatna

ISI, - )(xi :

.)(0

)(

0

)()()( ∑∑≠

−≠

− ⋅=⋅−=−=n

ny

nn

nx

nxy hahaii .

Primer (d = 1, M = 4):

....11331...}{

,...11331...}{)()()(

)()(

xyyn

xxn

iia

ia

−=⇒−−−=

⇒−−=

Dakle, pošto su svi simboli i sve kombinacije simbola jednako verovatne, za svaku

kombinaciju simbola koja daje neku vrednost ISI )(xi , postoji jednako verovatna

kombinacija simbola koja daje - )(xi , pa je GRV(i) parna funkcija, bez obzira na oblik h t( ) .

b) Digitalni signali na ulazu i izlazu sistema su respektivno:

∑∞

−∞=

−=n

ni nTtatu )()( δ , i ∑∞

−∞=

−=n

no nTthatu )()( .

Kako je propusni opseg realnih sistema konačno širok, tj.

gfffH <⇔≠ 0)( ,

to će za posledicu imati vremensko proširenje elementarnog impulsa u kanalu.

U ovom zadatku h t( ) je poznat u tačkama t = kT (Slika 6.2.6.1).

U trenutku odlučivanja o 0a ISI je:

.1,03,02,01,0 2112

0

−−++

∞

≠−∞=

− ⋅−⋅+⋅−⋅=⋅= ∑ aaaahai

nn

nn

U trenutku t = 0 ISI prouzrokuju 4 simbola. Tako postoji 42 mogućih kombinacija 4 binarna signala koji učestvuju u ISI Pojedinim kombinacijama tih simbola odgovaraju konkretne vrednosti ISI.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a−2 -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d

a−1 -d -d +d +d -d -d +d +d -d -d +d +d -d -d +d +d

1a -d -d -d -d +d +d +d +d -d -d -d -d +d +d +d +d

a2 -d -d -d -d -d -d -d -d +d +d +d +d +d +d +d +d

i d -0,1 -0,3 0,5 0,3 -0,5 -0,7 0,1 -0,1 0,1 -0,1 0,7 0,5 -0,3 -0,5 0,3 0,1

Tabela 6.2.6.1 Sve moguće vrednosti normalizovane ISI I = i/d

Maksimalna ISI se direktno očitava iz tabele (Tabela 6.2.6.1). svih mogućih vrednosti ISI, kao { }max | |i , ili se izračunava po definicionom izrazu (4.8):

ddhdMin

n 7,0)1,03,02,01,0()1(0

max =+++⋅=⋅−= ∑≠

.


Nakon što se izračunaju sve moguće vrednosti ISI za određivanje GRV(i) potrebno je odrediti verovatnoće pojedinih vrednosti ISI Za to se može iskoristiti druga tabela (Tabela 6.2.6.2) u kojoj su navedene frekvencije pojavljivanja pojedinih vrednosti ISI

i d -0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7

f i( ) 1 2 2 3 3 2 2 1

Tabela 6.2.6.2 Frekvencija pojedinih ISI

Verovatnoće pojedinih vrednosti ISI su: 16

)()(

ifiP = .

GRV( )

162

162

162

162

161

161

163

163

-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0 0,1 0,3 0,5 0,7 i/d

i

Slika 6.2.6.2 Gustina raspodele verovatnoća ISI

Varijansa ISI može se izračunati pomoću nekog od izraza (6.10)÷(6.12):

,15,0])1,0(3,0)2,0(1,0[3

1 222222

0

222

2 ddhdM

nni =−++−+=−= ∑

≠

σ

ili:

.39,0

;15,0...)5,0(16

2)7,0(

16

1)( 222222

d

dddiiPi

i

ii

=

=+−+−=== ∑∀

σ

σ

Slika 6.2.6.3 Inverzna kumulativna funkcija gustine raspodele verovatnoća ISI


6.2.7 Na slici (Slika 6.2.7.1) je prikazan sistem za prenos podataka. Digitalni protok koji diktira

izvor je ]sb[ 1

0Tvd = . Podaci se prenose δ -impulsima, tj. ∑ −=

kk kTtats )()( δ , gde je

T signalizacioni interval. Prenosna karakteristika sistema je:

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤+=

drugde.0

,2

1)2cos(12

)(0

00 TffTT

fHπ

Odrediti sve moguće vrednosti ISI na mestu prijema ispred odlučivača u trenucima odlučivanja t = nT, i to u slučaju:

a) kada se prenose binarni signali,

b) kada se prenose kvaternarni signali.

Slika 6.2.7.1 Sistem za prenos podataka

Rešenje:

Digitalni signal na prijemu je oblika:

.)()( ∑ −=k

kD kTthats

Za izračunavanje ISI treba odrediti oblik impulsnog odziva )(th na ulazu u odlučivač:

[ ] .

)(

)(sin

)(

)(sinsin

2)2cos(12)(

00

00

00

00

0

02/1

2/1

00

0

0

2

TtT

TtT

TtT

TtT

tT

tT

dfefTTthT

T

ftj

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+= ∫−

π

π

π

π

π

π

π π

Treba uočiti da je )(th funkcija od T0 a ne od T. Sledi:

.1za0)(,1)(,1)(,2)0( 000 >==−== kkThThThh

Odbirak signala na osnovu kojeg odlučivač donosi odluku o prenošenom simbolu an je:

( ) ∑∑∑∞

≠−∞=

−

∞

−∞=−

∞

−∞=

+==−=0

)()0()()()(

mm

mnnm

mnk

kD mThahamThaTknhanTs .

Potrebno je utvrditi vezu između signalizacionog intervala T i parametra T0 koji figuriše u izrazima za )( fH i )(th :

T

M

Tvd

ld1

0

== .

a) Za M = 2 je TT =0 .

.2)()()0()( 110101 +−−+ ++=+−+= nnnnnnD aaaThaThahanTs

Pri odlučivanju o simbolu na , interferenciju prave samo dva susedna simbola:


1−na 1+na ISI

-1 -1 -2

-1 1 0

1 -1 0

1 1 2

Tabela 6.2.7.1 Sve moguće vrednosti ISI za M = 2

Maksimalna ISI je 2max =i , a njena normalizovana vrednost je 10

maxmax ==

h

iI , pa je

dijagram oka zatvoren.

b) Za M = 4 je 02TT = , pa je 0)( =nTh za n ≠ 0, odnosno digitalni protok od ]sb[ 1

0T

ostvaruje se bez ISI sa kvaternarnim alfabetom.

6.2.8 Spektar elementarnog signala kojim se vrši prenos binarnog digitalnog signala u osnovnom opsegu ima oblik:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=drugde.0

,1

2cos

)(2

Tf

fTT

fHT

π

Funkcija prenosa kanala ima oblik filtra idealnog propusnika niskih učestanosti:

⎪⎩

⎪⎨⎧ Δ−≤=

drugde.0

,1

1)( fT

ffH C

Prenos se vrši digitalnim protokom od 2400 b/s. T je signalizacioni interval.

a) Odrediti standardni odziv )(th sistema.

b) Ako je Δf = 0, pokazati da )(th zadovoljava I i II Nikvistov kriterijum.

Ako je T

f2,0=Δ :

c) Odrediti sve vrednosti ISI za poruku koja sadrži 5 simbola (1, 1, 1,-1, 1) a odlučivanje se vrši u trenucima t = kT;

d) Odrediti vrednost šuma u trenutku odlučivanja o najugroženijem simbolu koja je dovoljna da odlučivač pogreši;

e) Izračunati maksimalni digitalni protok koji se može postići kroz dati kanal pa da ne dođe do ISI.

Rešenje:

a) Standardni odziv (odziv kanala na pobudu elementarnim impulsom )(thT ) jeste:


.1

,

22

22sin

22

2

22sin

22

)2sin(

)()()( 2

fT

f

Ttf

Ttf

Tf

Ttf

Ttf

Tf

tf

tfTf

dfefHfHth

g

g

gg

g

gg

g

gg

f

f

tTC

g

g

fj

Δ−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

= ∫−

π

π

π

π

ππ

π

Slika 6.2.8.1 Standardni odziv kosinus-kvadrat (podignuti kosinus) sistema

b) Za 0=Δf je T

f g

1= :

;2

2sin5,0

2

2sin5,0

2

2sin)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ππ

ππ

ππ

ππ

π

π

T

tT

t

T

tT

t

T

tT

t

th

( )( )

( )( )

.2

2sin5,0

2

2sin5,0

2

)2sin()(

ππππ

ππππ

ππ

−−+

+++=

k

k

k

k

k

kkTh

Iz ovog izraza vidi se da je: 1)0( =h , i 0)( =kTh za 0≠k ; odnosno zadovoljen je I Nikvistov kriterijum. Kako je još i:

2

1

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛± T

h i 02

)12( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + T

kh , za },1,0{ −∉k

zadovoljen je i II Nikvistov kriterijum.

c) Za T

f2,0=Δ , je

Tf

Tf g

8,01 =Δ−= .

Sledi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

2

16,1

2

16,1sin

4,0

2

16,1

2

16,1sin

4,06,1

)6,1sin(8,0)(

k

k

k

k

k

kkTh

π

π

π

π

ππ

.


Tako je:

)0(h = 0,987097, )(Th = -0,00736, )2( Th = 0,00368, )3( Th = 0,009559, )4( Th = 0,00582,

odnosno:

026422,0)()2()3()4(

001481,0)(2)2()3(

00736,0)2()()()2(

008841,0)3()2()(2

007416,0)4()3()2()(

2

1

0

1

2

=−++=−=++=

=+−+=−=+−=

−=+−+=

−

−

ThThThThi

ThThThi

ThThThThi

ThThThi

ThThThThi

.1

1

1

1

1

2

1

0

1

2

+=−=+=+=+=

−

−

a

a

a

a

a

d) Najugroženiji je drugi simbol u poruci (1, 1, 1,-1, 1), pa je:

978256,0008841,0987097,0)0()( 11 =−=+=− −− ihaTsD .

Dakle, ako šum u trenutku odluke o 1−a bude 9786,0)( −<−Tn , odlučivač će doneti

pogrešnu odluku 1ˆ 1 −=−a .

e) Granična učestanost kanala je:

HzvT

f dg 19208,08,0 =⋅== .

Bez ISI, kroz sistem tolikog propusnog opsega, može se postići digitalni protok:

sbfT

v gd 384022

11 === .

6.2.9 Slika 6.2.9.1 prikazuje impulsni odziv sistema za prenos podataka. Digitski takt je T.

Za binarni polarni signal na prijemu:

a) odrediti sve vrednosti ISI, maksimalnu ISI i njenu varijansu;

b) nacrtati dijagram oka u intervalu 43Tt < i odrediti maržu za šum.

Slika 6.2.9.1 Impulsni odziv sistema

Rešenje:

a) Signal na prijemu je:

∑∞

−∞=−⋅=

kk kTthats ),()(


gde je:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤−=

drugde.0

,4

5

5

41

)(

Ttt

Tth

Na osnovu oblika )(th jasno je da se odluka o 0a donosi na osnovu:

).()()0()0( 110 ThaThahas −⋅+⋅+⋅= −

Dakle, ISI je:

,5

1

5

111 aai += −

pa su sve vrednosti ISI date u tabeli (Tabela 6.2.9.1).

a-1 a1 i

-1 -1 -2/5

-1 1 0

1 -1 0

1 1 2/5

Tabela 6.2.9.1 Sve vrednosti ISI

Maksimalna ISI je 5

2max =i .

Varijansa ISI je:

25

2

5

2

2

1)(

222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅=∑

∀ii iiPσ .

b)


Slika 6.2.9.2 Dijagram oka za impulsni odziv sa slike 4.6.

Marža za šum je:

5/3)0( max =−= ihm .

6.2.10 Za tri brzine signaliziranja date su vrednosti odziva sistema u trenucima odabiranja kT:

vs k = ±3 k = ±2 k = ±1 k = 0

600 Bd 0,01 0,02 0,03 1

1200 Bd 0,015 0,03 0,05 0,9

2400 Bd 0,06 0,15 0,2 0,81

Tabela 6.2.10.1 Vrednosti impulsnog odziva )(kTh

Za ostale celobrojne vrednosti k, )(kTh se može zanemariti.

Odrediti maksimalni digitalni protok koji je moguće ostvariti u datom sistemu. Na raspolaganju je M-arni signal, gde M može biti 2, 4, 8 ili 16. Kriterijum za određivanje mogućnosti prenosa jeste otvor oka, odnosno 1max <I .

Rešenje:

Maksimalna normalizovana ISI se izračunava pomoću izraza:

∑∑≠−=

≠−=

−=⋅−=3

03

3

03

max )()0(

1

)0(

1)()1(

kk

kk

kThh

M

dhkThdMI .

Tabela 6.2.10.2 daje izračunate vrednosti:


vs [Bd] M = 2 M = 4 M = 8 M = 16

600 0,12 0,36 0,84 1,80

1200 0,21 0,63 1,47 3,15

2400 1,01 3,03 7,07 15,1

Tabela 6.2.10.2 Normalizovana maksimalna ISI

Na osnovu tabele se zaključuje sledeće:

⋅ u datom sistemu nije moguće signalizirati brzinom 2400 Bd;

⋅ takođe, u datom sistemu ne može se koristiti alfabet sa 16 simbola;

⋅ najveći digitalni protok ostvaruje se sa M = 4 pri sv = 1200 Bd i iznosi

sb 2400=dv .

6.2.11 M-arni signal sa pravougaonim elementarnim impulsima trajanja T prenosi se kroz kanal prikazan na slici (Slika 6.2.11.1). Brzina signalizacije je v Ts = 1 / . Odlučivanje se izvodi sa T sekundi zakašnjenja.

Slika 6.2.11.1 RC kanal

a) Odrediti pojačanje A tako da bude 1)(' =Th .

b) Odrediti maksimalnu ISI.

c) Za koju brzinu signalizacije će doći do zatvaranja dijagrama oka u prijemniku i koliki je tada digitalni protok, ako je M = 2, 4, 8 ili 16?

Rešenje:

Odziv RC kola )(th na pobudu )(thT prikazan je na slici (Slika 6.2.11.2) i dat je izrazom:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>⋅−≤≤−

<=

−−−

−

.)1(

,01

,00

)(/)(/

/

Tt

Tt

t

thTtT

t

ee

eττ

τ


Slika 6.2.11.2 Odziv RC kola na pobudu signalom h tT ( )

Upravo zbog ovakvog oblika odziva, odlučivanje se izvodi sa T sekundi zakašnjenja (tada je odziv maksimalan).

a)

.

1

11)()(' |

τT

e

AThATt

th−

−=⇔=⋅=

=

b) U t = T odlučuje se o simbolu poslatom u t = 0;

ISI....,3,2,1,odbirak korisni0

'

1)(⇒=⇒=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+=

−

−−

kk

ehAh

eekTThh

kT

TkT

kk

k

τ

ττ

Superpozicijom se dobija:

.

1

)1(

1

)1()1(

,

1

'max

1

'

−

−=−

−=−=

⋅=

−

−

∑

∑

∞

=

∞

=−

ττ

τ

TT

T

e

dM

e

edMhdMi

hai

kk

kkk

c) Oko se zatvara za maxi ≥d:

. 4,142ln

1

ln

ldld

,1

;ln

1

)1(

s

kb

M

M

T

Mv

TvMT

e

dMd

d

sT

=⋅

=⋅

==

=⋅=⇒−

−=

ττ

ττ


M 2 4 8 16

T [μs] 69 139 208 277

A 2 1,33 1,14 1,07

vs [kBd] 14,4 7,2 4,8 3,6

Tabela 6.2.11.1 Parametri digitalnog signala pri kojim dolazi do zatvaranja dijagrama oka

)(Mfvd ≠ - digitalni protok, pri kojem dolazi do zatvaranja dijagrama oka u

ovakvom sistemu, ne zavisi od broja simbola M jer nije ograničen propusni opseg.

Tabela 6.2.11.1 prikazuje da se porastom broja simbola M, isti digitalni protok postiže prenosom kroz kanal sa užim propusnim opsegom.

6.2.12 Sistemom prikazanim na slici (Slika 6.2.12.1) prenose se polarni binarni signali. Impulsni odziv kanala je oblika:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=−

drugde.0

,0)( tth

t

e τ

Izvor informacija šalje poruke u obliku signala:

.}1,1{ je gde,)()( −∈−=∑ kk

kA akTtats δ

Prijemni odbirač vrši odabiranje primljenog signala u trenucima t = nT, gde je T = τ širina signalizacionog intervala. Poruka koja se šalje konačne je dužine i sastoji se od 5 uzastopnih impulsa poslatih u trenucima -2T, -T, 0, T i 2T.

a) Odrediti sve moguće vrednosti ISI za središnji impuls poruke.

b) Odrediti imax za onaj impuls u poruci koji ima najveću maksimalnu ISI.

c) Da li će doći do zatvaranja dijagrama oka na prijemu ako se brzina signalizacije izvora poveća za 25%?

d) Koliko procenata se maksimalno može povećati brzina signalizacije pa da ne dođe do zatvaranja dijagrama oka?

Slika 6.2.12.1 Sistem za prenos podataka

Rešenje:

Pošto je )(th = 0 za t < 0, u ISI učestvuju samo prethodno poslati simboli:

∑−∞=

−=n

kkB TknhanTs ))(()( .

a) Za središnji impuls poruke je:

.11

),2()()0(

2210

21

ea

eai

ThaThahas ooB

⋅+⋅=

++=

−−

−−


a−1 a−2 i0

-1 -1 -0,51

-1 1 -0,23

1 -1 0,23

1 1 0,51

Tabela 6.2.12.1 ISI za središnji impuls poruke

b) Za dati oblik impulsnog odziva, najveću maksimalnu ISI ima poslednji impuls u poruci:

.57,0)4()3()2()(4

1max2 ==+++= ∑

=

−

k

keThThThThi

c)

.8,025,125,1

' '

125,1

1' ττ ===⇒=⋅= T

TTT

vS

Povećanjem brzine signaliziranja za 25%, smanjio se interval signalizacije T za 20%. Sada su odbirci )()'( kThkTh > , pa je povećana maxi . Oko se zatvara ako je:

.1)0(

maxmax >=

dh

iI

1

T t0 T T TT' T' T' T'

22 3

34

4

h t( )

Slika 6.2.12.2 Uticaj promene T na h kT( )

.78,0

)'4()'3()'2()'(

25,1

4

25,1

3

25,1

2

25,1

1

max2max

≅+++=

+++==

−−−−eeee

ThThThThii

0,78 < d = 1. pa neće doći do zatvaranja dijagrama oka ako se Sv poveća za 25%.

d) Ako se zanemari udeo simbola za k > 5 u ISI uslov zatvaranja dijagrama oka se svodi na:


1

1

1''''

''

1

''4

1

''

max

−

=

−

=≈=−

−∞

=

−

=

−∑∑

ττ

τττ

TT

T

k

kT

k

kT

ee

eeei

.

SSTv

TvT

e

⋅=≤=≥⇒≤

−

44,144,1

''

1''

44,1''1

1

1'' τ

τ

τ

.

Do zatvaranja dijagrama oka ne dolazi ako se vS poveća za manje od 44%.

6.2.13 Sistemom koji koristi kontrolisanu ISI duobinarno se prenose podaci grupisani u pakete od po 4 simbola. Paketi su dovoljno razmaknuti pa se prenos svakog od paketa može posmatrati nezavisno. Jedan od posmatranih paketa ima sledeću strukturu simbola { } { }ak = − −1 1 1 1 . Impulsni odziv sistema za duobinarni prenos dat je u obliku

2)4(1

)2cos(4)(

tf

tftg

c

c

−=

ππ

.

a) Na osnovu oblika impulsnog odziva odrediti digitalni takt i trenutke odlučivanja.

b) Odrediti maržu za šum koja nastaje kao posledica greške u sinhronizaciji ako je odmeravanje izvršeno ε = T/8 sekundi ranije.

Referentni simbol na prijemu je “1”, a u sistemu deluje aditivni Gausov šum.

Rešenje:

a) Na osnovu izraza (6.24) za impulsni odziv sistema za duobinarni prenos, digitalni takt

je cf

T2

1= . Tabela 6.2.13.1 daje vrednosti impulsnog odziva na osnovu kojih je

jasno da sistem zadovoljava drugi Nikvistov kriterijum (a ne zadovoljava I NK).

t 0 ± T 2 ±3 T 2 ±5 T 2 ±7 T 2 ±T ±2T 3 T 8 -5 T 8 11 T 8 -13 T 8

g t( ) 4/π 1 0 0 0 4/3π -4/15π 1,114 0,866 0,074 -0,051

Tabela 6.2.13.1 Vrednosti impulsnog odziva u karakterističnim tačkama

Digitalni signal koji odgovara prenosu jednog paketa na prijemu je oblika:

∑=

−=3

0

)()(n

n nTtgats .


Slika 6.2.13.1 Sekvenca impulsnih odziva za poruku {1 1 -1 -1}

O simbolima ka odlučuje se na osnovu odmeraka )(ts uzetih u trenucima 2

TkT − .

2)2()2()25(

0)2()2()23(

2)2()2()2(

2)2()2(

32

21

10

0

−=−+==−+=

=−+=

=−+=−

TgaTgaTs

TgaTgaTs

TgaTgaTs

TgaaTs ref

.1ˆ2ˆ

,1ˆ0ˆ

,1ˆ2ˆ

,12ˆ

23

12

01

0

−=−−=⇒−=−=⇒

=−=⇒

=−=⇒

aa

aa

aa

aa ref

Slika 6.2.13.2 Duobinarni dekoder

b) U prijemu trećeg simbola poruke, a2, zbog greške u sinhronizaciji ε = T/8 odmerak digitalnog signala )(ts na osnovu kojeg se odlučuje je:

.373,0051,0866,0114,1074,0

)813()85()83()811(

)823(

)82()82()823()823(

3

210

=+−+==−−−−+=

−−++−−+−+−=−

TgTgTgTg

TTga

TTgaTTgaTTgaTTs

U trenutku odlučivanja prisutan je i šum. Kvantizer u duobinarnom dekoderu će ispravno dekodovati simbol a2 ako je 1)823()823( <−+− TTnTTs , tj. ako je

trenutna vrednost šuma manja od 0,627 (i veća od 1,373 - što je mnogo manje verovatno).

S obzirom da je analizirani odmerak najkritičniji sa aspekta uticaja greške u sinhronizaciji, marža za šum iznosi 0,627.

Documents

06 Prenos u osnovnom opsegu