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8/19/2019 06.FiltrosMatlab

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Señales y Sistemas IIGrupo 3

Filtros en MatlabJan Bacca Rodríguez

[email protected]: 411-201


2/49

• Matlab permite calcular numéricamente larespuesta en frecuencia de sistemascontinuos y discretos para valores discretos

de frecuencia.• La respuesta en frecuencia de un sistema es

la transformada de Fourier de su respuestaimpulso.

•

Los comandos freqs and freqz permitenevaluar la respuesta en frecuencia desistemas descritos por ecuacionesdiferenciales o de diferencia sin tener la

respuesta impulso.

Respuesta en Frecuencia deSistemas LTI


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• H = freqs (b, a, w) calcula larespuesta en frecuencia del sistema entiempo continuo descrito por la ecuacin!

freqs

"a, b! vectores de coe#cientes de laecuacin diferencial. $l primer elementode cada vector corresponde a la

derivada m%s alta.

∑∑=

−

=

− = M

kk

k

k M

N

kk

k

k N dt

t x d b

dt

t yd a

00

)()(


4/49

•

w! vector de frecuencias donde H(j ω

) ser% calculada.

• freqs (b, a, w) sin ar&umentos de

salida &ra#ca la ma&nitud y fase de H(j ω ) .

•

Si no se especi#ca w' matlab esco&e unvector de 200 frecuencias donde calcular H(j ω ) .

• Si se reempla(a w por un n)mero entero

freqs


5/49

• [H,w] = freqz (b, a, N) calcula larespuesta en frecuencia del sistema entiempo discreto descrito por la ecuacin!

freqz

• a, b! vectores de coe#cientes de laecuacin de diferencias. $l primerelemento de cada vector corresponde ala muestra actual.

[ ] [ ]∑∑==

−=−

M

kk

N

kk kn x bknya

00


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• N! *)mero de frecuencias

uniformemente distribuidas entre 0 y π en las +ue se calcular% H(e j ω ). Si N no seespeci#ca se usan 512 puntos.

•

[H, w]=freqz (b, a, N,’whole’) usa N puntos entre 0 y 2π .

• H = freqz (b, a, w): w es el vectorde frecuencias donde se calcular% H(e j ω ).

• [H, f] = freqz (b, a, N, fs): fses la frecuencia de muestreo de la señal

• H = freqz (b, a, F, fs): F es el

vector de frecuencias ,-( donde secalcular% H(e j ω ).

freqz


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/iseño de #ltros•

Matlab emplea las mismas funcionespara diseñar #ltros anal&icos y #ltrosdi&itales IIR

• 0na funcin para cada familia

• Las funciones de transferencia de los#ltros diseñados son!

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) nn

n

n

n

nn

n

nn

z a z a

z b z bb

z A

z B z H

a sa s

b sb sb

s A

s B s H

−

+

−

−

+

−

+

−

+

−

+++

+++==

+++

+++==

1

1

2

1

1

21

1

1

2

1

1

21

...1

......

...


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1aracter2sticas enfrecuencia• A p! M%ima

atenuacinpermitida en la

banda de paso• As! M2nima

atenuacin en labanda de rec4a(o

• ω p! L2mite de la

banda de paso

• ω s! L2mite de la

banda de rec4a(o


9/49

Filtros de 5utter6ort4• [b,a]=butter(n,Wn)! /iseña un #ltro

de 5utter6ort4 pasaba7os di&ital deorden n y frecuencia de corte Wn*pi.

• [b,a]=butter(n,Wn,’s’)! /iseña un

#ltro de 5utter6ort4 anal&ico ,Wn rad8s• [b,a]=butter(n,Wn,’tipo’): $l

par%metro tipo’permite diseñar otrostipos de #ltros

• low, hi!h, ban"pass, stop

• 9ara pasabanda y rec4a(abanda' Wn= [W#, W$] y el orden del #ltro

resultante ser% $n


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Filtros de 5utter6ort4

• La misma funcin se puede usar paraobtener los polos y ceros del #ltro o surepresentacin en variables de estado!

•[z,p,%]= butter(n,Wn)

• [&,',,]= butter(n,Wn)

• [N,Wn]=

buttor"(Wp,Ws,p,s)+,’s’) 1alculael orden y la frecuencia de corte del #ltro

• 9ara pasabanda y rec4a(abanda' Wp y Ws son vectores de dos componentes


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$7emplo

• /iseñe un #ltro butter6ort4pasaba7os con las si&uientescaracter2sticas!

• A p = 2.5dB

•

As = 60dB• f p = 1kHz, ω p = 628 !ad"s

• f s = 5kHz, ω s = 1#1 !ad"s


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$7emplo

• 9ara 4allar el orden del #ltro usamos![N, Wn] = buttor"(Wp,Ws,p,s,s)

•

Resultando en!• N = -

• Wn = ./01#2e342

•

fn = #/$--1e342

• :ue coinciden con los valoresencontrados anteriormente


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$7emplo

• 9ara 4allar los polos y ceros

• [z,p,%]=butter(n,Wn,s)

• z = 56pt7 6atri8: 49b79#

•

p = #/4e342 * 9$/20; 3 ./-4-#i

9$/20; 9 ./-4-#i

9;/20$ 3 /;20i

9;/20$ 9 /;20i

9./01#2

• % = 2/4;4$e3#1

-8000 -6000 -4000 -2000 0

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000


14/49

$7emplo

• ; para 4allar la funcin detransferencia!

• [b,a] = butter(N,Wn,s)

• b = #/4e3#1 *[4 4 4 4 4 2/4;4$]

• a = [# $/--2.e34 2/$;4.e340

$/-.2#e3#$ #/$-1e3#; 2/4;4$e3#1]

191621238445

19

1006.31025.11057.21026.31055.2

1006.3)(

×+×+×+×+×+

×=

s s s s s s H


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$7emplo• 9odemos observar la respuesta en frecuencia

usando! freqs(b,a)

10

2

10

3

10

4

10

5-200

-100

0

100

200

Freuenc rad/s

P h a s e ( d e g r e e s )

102

103

104

105

10-6

10-4

10-2

100

Frequency (rad/s)

M a g n i t u d e


16/49

Filtros de 14ebys4ev I y II•


17/49

Filtros de 14ebys4ev I y II

• [N, Wp] =


18/49

$7emplo

• /iseñe #ltros pasaba7os de14ebys4ev tipo I y II con lassi&uientes caracter2sticas!

• A p = 2.5dB

•

As = 60dB• f p = 1kHz, ω p = 628 !ad"s

• f s = 5kHz, ω s = 1#1 !ad"s


19/49

$7emplo

• $l orden debe ser el mismo para losdos #ltros

• [N, Wp] =


20/49

$7emplo

• 9ara 4allar los polos yceros

• [z,p,%] =


21/49


22/49

$7emplo

102

103

104

105

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Freuenc rad/s


102

103

104

105

10-6

10-4

10-2

100

Frequency (rad/s)

M a g n i t u d e

103

104

105

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Freuenc rad/s


103

104

105

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Frequency (rad/s)

M a g n i t u d e


23/49

Filtros $l2pticos o de 1auer

• ellip(N,p,s,Wp)+,’s’) ! /iseña un #ltroel2ptico pasaba7os con!

• N! =rden

• p! Riple m%imo en la banda de paso

• s!


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$7emplo

• /iseñe un #ltro el2ptico pasaba7oscon las si&uientes caracter2sticas!

• A p = 2.5dB

• As = 60dB

•

f p = 1kHz, ω p = 628 !ad"s• f s = 5kHz, ω s = 1#1 !ad"s


25/49

$7emplo

• [N5, Wp5] = ellipor"(Wp, Ws, p,

s,s)>

• [z5,p5,%5] = ellip(N5,p,s,

Wp5,s)• [b5,a5] = ellip(N5,p,s,Wp5,s)

• N5 = 2

•

Wp5 =;/$02$e342

107233

10112

1018.71084.31014.4

1018.71077.199.77)(

×+×+×+

×+×+=

−

s s s

s s s H


26/49

$7emplo

10

2

10

3

10

4

10

5-200

-100

0

100

200

Frequency (rad/s)


102

103

104

105

10-5

100

Frequency (rad/s)

M a g n i t u d e

-2000-1500-1000-500 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

x 104


27/49

Filtros de 5essel

• besself(n,Wo)! /iseña un #ltro de5essel anal&ico de orden n' Wo es lafrecuencia l2mite para la +ue el retardo

de &rupo es constante.

• La salida puede tener las 3 formasvistas anteriormente.

• Solo se pueden diseñar #ltrosanal&icos pasaba7os


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$7emplo

• Se construy un #ltro de 5essel de orden > concaracter2sticas similares a las de los e7emplosanteriores.

• A p = 2.5dB, As = 60dB, f p = 1kHz, f s = 5kHz

• [z',p',%'] = besself(-,Wp)

• [b', a'] = besself(-,Wp)>

181521238445

18

1079.91013.61071.11067.21039.2

1079.9)(

×+×+×+×+×+

×=

s s s s s s H


29/49

$7emplo

-6000 -4000 -2000 0

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

102

103

104

105

-200

-100

0

100

200

Frequency (rad/s)

P h a s e ( d e g r e

e s )

102

103

104

105

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Frequency (rad/s)

M a g n i t u d e


30/49

/iseño de FIR8RIF

• ' = fir#(N,Wn)! /iseña un #ltro

pasaba7os FIR de N3# coe#cientes confrecuencia de corte pi*Wn

• ' = fir#(N,Wn,’tipo’,?entana)!9ermiten usar diferentes ventanas y

obtener diferentes respuestas• tipo’: low’, hi!h’, ban"pass’,

stop’

• ?entana! $s un vector con las muestras

de la ventana' debe tener lon&itud N3#

( ) ( ) nn z b z bb z B z H −

+

−+++== 1

1

21 ...


31/49

/iseño de FIR8RIF

• Wn debe ser un vector de ? posiciones paralos tipos ban"pass’ y stop’

• Wn puede tener m%s de dos posiciones' encuyo caso se alternan las bandas de paso yrec4a(o.

• $n este caso el par%metro tipo’ toma losvalores

• 9#’! 1omien(a con una banda de paso

• 94’! 1omien(a con una banda derec4a(o


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/iseño de FIR8RIF

• La funcin fir# usa una ventana4ammin&

• Las ventanas m%s comunes se &eneran

con las funciones!• w = ha66in!(@)

• w = hann(@)

• w = bla


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$7emplo• /iseñar pasaba7os FIR con frecuencia

de corte W< = # de ?@ coe#cientesusando las ventanas m%s conocidas.

N = $4>

W = ones(N3#,#)>WHn = hann(N3#)>

W'l = bla

W'a = bartlett(N3#)>

Wn = #+pi>

' = fir#(N,Wn,W)>

'H6 = fir#(N,Wn)>

'Hn = fir#(N,Wn,WHn)>

''l = fir#(N,Wn,W'l)>

''a = fir#(N,Wn,W'a)>

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Rectangular

Hamming

Hanning

BlackmanBartlett


34/49

$7emplo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Normalized Freuenc ×π rad/sam le


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80

-60

-40

-20

0

20

Normalized Frequency (×π rad/sample)

M a

g n i t u d e ( d B )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-80

-60

-40

-20

0

20


M a

g n i t u d e ( d B )

Rectan&ular -ammin&


35/49

$7emplo-annin& 5lacAman 5artlett

0 0.5 1-1000

-800

-600

-400

-200

0


Phase(degrees)

0 0.5 1-150

-100

-50

0

50


M a g n i t u d e ( d B )

0 0.5 1-2000

-1500

-1000

-500

0


0 0.5 1-40

-30

-20

-10

0



0 0.5 1-1500

-1000

-500

0


a s e

e g r e e s

0 0.5 1-150

-100

-50

0

50




36/49

/iseño de FIR8RIF

• ' = fir$(N,f,6) /iseña un #ltro FIR de N3# coe#cientes cuya respuesta en frecuenciaest% descrita por los vectores f y 6 ,Muestreoen frecuencia

• f es un vector de valores entre B y @

• 6 especi#ca la respuesta en ma&nitude del#ltro en dic4os puntos ,no en d5

• ' = fir$(N,f,6,npt,?entana)! 9ermite usardiferentes ventanas' al i&ual +ue fir#.

• npt es el n)mero de puntos en el +ue se

interpola la respuesta en frecuencia ,por lo

( ) ( ) nn z b z bb z B z H −

+

− +++== 11

21 ...


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$7emplo• /iseñar un

pasaba7os FIR confrecuencia decorte W< = # de ?@

coe#cientesusando muestreoen frecuencia.N = $4>

Wn = #+pi>

f = [4 Wn Wn #]>

6 = [# # 4 4]>

'AF = fir$(N,f,6)>

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-80

-60

-40

-20

0

20




38/49

Transformaciones de

frecuencia anal&icas• Transforman #ltros pasaba7os

normali(ados en la respuesta re+uerida

•

La respuesta ori&inal se puede especi#carcomo los coe#cientes de la funcin detransferencia o en variables de estado' lasalida estar% en el mismo formato

• [bt,at] = lp$lp(b,a,Wo)[&t,'t,t,t] = lp$lp(&,',,,Wo)

• Wo es la frecuencia de corte del nuevo#ltro


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Transformaciones de

frecuencia anal&icas• [bt,at] = lp$hp(b,a,Wo)

• [bt,at] = lp$bp(b,a,Wo,'W)

•

[bt,at] = lp$bs(b,a,Wo,'W)

• Wo es la frecuencia de corte parapasaaltos

• Wo = sqrt(w#*w$) es la frecuencia decentral para pasabanda y rec4a(abanda

• 'W = w$9w# es el anc4o de banda parapasabanda y rec4a(abanda


40/49

Transformaciones

anal&ico C di&ital• [bz,az] = i6pin?ar(b,a,fs,tol)! 1rea un

#ltro di&ital a partir de un #ltro anal&ico usandoinvariancia del impulso.

• b,a son vectores +ue contienen los coe#cientesde la respuesta en frecuencia del #ltro anal&ico

• fs es la frecuencia de muestreo de la respuestaal impulso del #ltro anal&ico ,@-( si no se

especi#ca• tol es la tolerancia en ma&nitud para

determinar si dos polos son el mismo conmultiplicidad' ,B'BB@ si no se especi#ca


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$7emplo•

Transformar el #ltro buter6ort4anal&ico del primer e7emplo en unodi&ital con frecuencia de corte @.

• Recordemos +ue

[N, Wn] = buttor"(Wp, Ws, p,

s,s)>

[b,a] = butter(N,Wn,s)>

[bz,az] = i6pin?ar(b,a,Wn)>

1

037.8913e +==⇒=

z

s s

s

z s f T

ω

ω

ω

ω


42/49

$7emplo

102

103

104

105

-200

-100

0

100

200

Frequency (rad/s)

P h a s e ( d e g r e e

s )

102

103

104

105

10-6

10-4

10-2

10

0

Frequency (rad/s)

M a g n i t u d e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-300

-200

-100

0



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-50

-40

-30

-20

-10

0

10




43/49

$7emplo

• Las funciones de transferencia ser%n!

54321

4332116

04.032.007.196.196.1110306.011.002.01022.9)(

−−−−−

−−−−−−

−+−+−×++++×=

z z z z z z z z z z H

191621238445

19

1006.31025.11057.21026.31055.21006.3)(

×+×+×+×+×+×=

s s s s s s H


44/49

Transformacionesanal&ico C di&ital• [z",p",%"]=bilinear(z,p,%,fs)!

1rea un #ltro di&ital a partir de un #ltroanal&ico usando la transformacin

bilineal• z,p,% son los ceros' polos y &anancia

del #ltro anal&ico ori&inal

•

fs es la frecuencia de muestreo ,@-( sino se especi#ca

• Tambien se puede utili(ar con lasrepresentaciones como funcin de

transferencia ,a,b o variables de


45/49

$7emplo•

Transformar el #ltro buter6ort4anal&ico del primer e7emplo en unodi&ital con frecuencia de corte @.

[N, Wn] = buttor"(Wp,Ws,p,s,s)>

[b,a] = butter(N,Wn,s)>

fs = Wn+($*tan(#+$))

[bz,az]=bilinear(b,a,fsD

3

3

102225.7

2

1tan2

108913.7

2tan

2

×=

×

=⇒ = s z

s

s f T ω

ω


46/49

$7emplo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-300

-200

-100

0



s )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-50

-40

-30

-20

-10

0

10



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-500

-400

-300

-200

-100

0

Normalized Freuenc ×π rad/sam le


s )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50




47/49

Filtrado• Matlab solo permite llevar a cabo la

operacin de #ltrado con señales ysistemas di&itales

• [7,zf] = filter(b,a,B,zi)! Filtra la

serie de datos en el vector B' usando el#ltro descrito por los vectores b y a ,coe#cientes de la funcin detransferencia y entre&a la respuesta

en el vector 7• zi! 1ondiciones iniciales del #ltro

,opcional

•

zf! 1ondiciones #nales del #ltro


48/49

Filtrado• 7 = fftfilt(b,B,n)! Filtra la serie de

datos en el vector B' usando el #ltro FIRdescrito por el vector b ,coe#cientes dela funcin de transferencia y entre&a

la respuesta en el vector 7• n! *)mero de puntos de la FFT

• Si la señal de entrada es &rande' esm%s e#ciente usar esta funcin +uefilter para implementar un FIR


49/49

=tros

• La funcin

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