06_Khoảng Cách Trong Không Gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn

I. KHO ẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

Dạng 1. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với

32 ; ; 3 .

2= = =a

AB a BC AD a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BD.

Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ C đến mặt phẳng (SBD)

b) từ B đến mặt phẳng (SAH)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với 2 ; 2 2.= =AC a BD a Gọi H là trọng tâm

tam giác ABD, biêt rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc

giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ C đến mặt phẳng (SHD)

b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông

góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ B đến (SAM).

b) từ C đén (SAH)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với 3; .= =AB a AC a Gọi I là điểm trên BC

sao cho 1

2=BI IC và H là trung điểm của AI. Biết rằng ( )⊥SH ABC và góc giữa mặt phẳng (SBC) và

(ABC) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ B đến (SHC).

b) từ C đến (SAI)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của

S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho 2HB HA= . Biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. Tính

khoảng cách

a) từ D đến (SHC).

b) từ trung điểm M của SA đến (SHD)

Hướng dẫn: (Các em tự vẽ hình nhé)

Tài liệu bài giảng:

06. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng



+ Ta dễ dàng tính được ( )� � 097 97; ; 45

3 3

a aHC SC ABCD SCH SH HC= = = ⇒ = =

+ Kẻ ( ) ( )1 1 1 ;DD HC DD SHC DD d D SHC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Sử dụng tính toán qua công cụ diện tích ta dễ dàng có

( ) ( )1 1

2 .3 18 182 . . ; . ;

93 97 973

HDC

a a a aS DD HC DC d H DC D D d D SHC

a= = ⇒ = = ⇒ =

b) Do M là trung điểm của SA nên ( ) ( )1; ;

2d M SHD d A SHD=

+ Kẻ ( ) ( );AK HD AK SHD AK d A SHD⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = , mà

2.3. 6385 85

3

aaAH AD a

AKHD a

= = =

Tư đó suy ra ( ) 3; .

85

ad M SHD =




Dạng 2. Khoảng cách từ H tới mặt phẳng (P), với H là chân đường cao

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O, cạnh 2.a Biết SA = 2a và SA ⊥

(ABCD). Tính khoảng cách

a) từ A đến (SBC).

b) từ A đến (SCD).

c) từ A đến (SBD).

d) Gọi M là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM).

e) Gọi I là trung điểm của SB, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DMI).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với 2 ; 3 .= = =AB BC a AD a

Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AC. Biết góc giữa mặt phẳng (SBC)

và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ H đến mặt phẳng (SAB)

b) từ H đến mặt phẳng (SCD)

c) từ H đến mặt phẳng (SBD)


Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi O là tâm

đáy. Tính khoảng cách

a) từ O đến (SAB).

b) Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính khoảng cách từ O đến (SMN).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2 ; 3.= =AB a AD a Biết tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) từ A đến (SBC).

b) từ A đến (SCD).

c) từ A đến (SBD).

d) Gọi M là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB =

b. Tính khoảng cách

a) từ S đến (ABCD).

b) từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB.

c) từ D đến (SHC).





d) từ AD đến (SBC).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a; 2=AD a . Gọi M là trung điểm của AB.

Hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với đáy. Biết 6=SH a , với H là giao điểm của AC và

DM. Tính khoảng cách từ H đến (SAD).




Dạng 3. Khoảng cách từ điểm A bất kì tới mặt phẳng (P)

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với ; 3, 2= = =AB a AD a SA a và SA

vuông góc với (ABCD). Tính khoảng cách

a) từ B đến (SAD).

b) từ C đến (SAB).

c) từ O đến (SCD) với O là tâm đáy.

d) từ M đến (SBD) với M là trung điểm của AB.

e) từ I đến (SBC) với I là trung điểm của SD.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với ; 3.= =AB a AD a hình chiếu

vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của OB, với O là tâm đáy. Biết góc giữa SC và mặt phẳng

(ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ H đến (SCD).

b) từ B đến (SAD).

c) từ B đến (SAC)


Bài 1. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

và SA = a.

a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) .

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC).

c) Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC)

d) Gọi J là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC)

e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC).

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và

3=SA a . O là tâm hình vuông ABCD.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC).

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC).

c) G1 là trọng tâm ∆SAC. Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại I. Tính khoảng cách từ điểm

G1 đến (SBC), khoảng cách từ điểm I đến (SBC).

d) J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC).





e) Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC. Tính khoảng cách từ điểm G2 đến (SBC).

Bài 3. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với (ABC), lấy điểm S sao cho

3=SA a , K là trung điểm của BC.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b) Gọi M là điểm đối xứng với A qua C. Tính khoảng cách từ điểm M đến (SBC).

c) Gọi G là trọng tâm ∆SCM. Tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC).

d) I là trung điểm của GK. Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC).

Bài 4. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và

(SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh (SIC) ⊥ (SED)

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến (SED).

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến (SED).

d) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SED).

Bài 5. Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) và 6=SA a , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kinh AD = 2a.

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với (SAD) và cách

(SAD) một khoảng bằng 3

.4

a

HÃY THAM GIA MOON.VN ĐỂ XEM LỜI GIẢI BÀI TẬP VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN !



I. KHO ẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Dạng 3. Hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, 3=SA a . Tam giác ABC đều cạnh a. Tính khoảng cách

a) SA và BC

b) SB và CI với I là trung điểm của AB

c) từ B tới mặt phẳng (SAC)

d) tử J tới mặt phẳng (SAB) với J là trung điểm của SC.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với ; 3= =AB a AD a và SA vuông góc với

(ABCD). Biết góc giữa (SCD) và đáy bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ O đến (SCD) với O là tâm đáy.

b) từ G đến (SAB) với G là trọng tâm tam giác SCD.

c) SA và BD.

d) CD và AI với I là điểm thuộc SD sao cho 1

2=SI ID .


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với 2 ; 3 .= = =AB BC a AD a Hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB với 1

.2

=AH HB Biết góc giữa mặt

phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600.

a) tính góc giữa CD và SB

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC)

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SE với E là điêm thuộc AD sao cho AE = a.





II. KHO ẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Dạng 2. Hai đường thẳng d1 và d2 bất kỳ

Ví dụ điển hình:

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa

(SBC) và đáy bằng 600. Tính khoảng cách

a) giữa hai đường BC và SD.

b) giữa hai đường CD và SB.

c) giữa hai đường SA và BD.

d) giữa hai đường SI và AB, với I là trung điểm của CD.

e) giữa hai đường DJ và SA, với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC.

f) giữa hai đường DJ và SC, với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC.

g) giữa hai đường AE và SC, với E trung điểm của cạnh BC.


Bài 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với ; 3,= =AB a AD a tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Tính khoảng cách

a) từ A tới mặt phẳng (SBD) b) giữa hai đường SH và CD.

c) giữa hai đường SH và AC. d) giữa hai đường SB và CD

e) giữa hai đường BC và SA f) giữa hai đường SC và BD

Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi I là trung điểm của BC, hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AI sao cho 1

.2

=AH HI Biết góc giữa SC

và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách

a) từ M tới mặt phẳng (SAI), với M là trung điểm của SC.

b) giữa hai đường SA và BC.

c) giữa hai đường SB và AM, với M là trung điểm của SC.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2 2= =AB a ; AD a. Biết tam giác SAB

là tam giác cân tại S và có diện tích bằng 2 6

6

a. Gọi H là trung điểm của AB. Tính khoảng cách

a) từ A đến (SBD).

b) giữa hai đường thẳng SH và BD.

c) giữa hai đường thẳng BC và SA.





III. LUY ỆN TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH ĐIỂM

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D với AB = 3a; CD = 2a và

3.

2

aAD = Gọi O là trung điểm của AC, H là trung điểm của OA. Biết � 0( );( ; ) 60SH ABCD SBC ABCD⊥ = .

Tính khoảng cách

a) từ H tới mặt phẳng (SBC)

b) từ O tới mặt phẳng (SCD).

c) từ N tới mặt phẳng (SAC), với N thuộc SD sao cho 3

.4

SN SD=

d) từ D tới mặt phẳng (SAB).

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với với 3AB a= ; AD = 2a. Gọi I là

trung điểm của AD, H là điểm trên BI sao cho BH = 3HI. Biết � 0( ); ( ; ) 60SH ABCD SCD ABCD⊥ = . Tính

khoảng cách

a) từ B tới mặt phẳng (SAD)

b) từ E tới mặt phẳng (SBI), với E là trung điểm của SA.

c) từ A tới mặt phẳng (MCD), với M là trung điểm của SB.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với với 4

;3

aAB a AD= = ; hình chiếu

vuông góc của S lên mặt đáy là trung điểm H của OA, với O là tâm đáy. Biết� 0( ; ) 60SBC ABCD = . Tính

khoảng cách

a) từ A tới mặt phẳng (SCD)

b) từ O tới mặt phẳng (SBC)

c) từ B tới mặt phẳng (ICD), với I là điểm trên SA sao cho 1

.2

SI IA=

d) từ A tới mặt phẳng (ECD), với E là trung điểm của SB.


Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.

a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), từ C đến (SBD).

b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính khoảng

cách từ MN đến (SBD).





c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F. Cho biết AD cách (P) một khoảng là

2

2

a, tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và � 060=BAD . Gọi O là giao điểm của AC

và BD. Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) và 3

4= a

SO . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.

a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC).

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a; 2AD a .= Gọi M là trung điểm của AB.

Hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với đáy. Biết 6SH a ,= với H là giao điểm của AC và

DM.

a) Tính khoảng cách từ H đến (SAD).

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết AC = a, � 030 .ABC= Tam giác SBC là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).



IV. LUY ỆN TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH ĐƯỜNG

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với với 3AB a= ; AD = 3a. Gọi M là

một điểm trên BC sao cho BM = 2MC, N là điểm trên cạnh AD sao cho .AM BN⊥ Biết

� 0( ; ) 60SBC ABCD = và ( )⊥SN ABCD . Tính khoảng cách

a) giữa AB và SC.

b) giữa BC và SD.

c) giữa AB và SD.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm của BC,

hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là H AM∈ sao cho 1

.4

AH AM= Biết � 0( ; ) 60SBC ABCD = . Tính

khoảng cách

a) giữa SA và BC.

b) giữa SB và AC.


Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a. Tính khoảng

cách giữa các cặp đường thẳng sau:

a) BC và SA. b) AB và SD. c) BD và SC.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2 2AB a ; AD a.= = Biết tam giác SAB

là tam giác cân tại S; nằm trong mp vuông góc với đáy và có diện tích bằng 2 6

6

a. Gọi H là trung điểm của

AB. Tính khoảng cách

a) từ A đến (SBD).

b) giữa hai đường thẳng SH và BD.

c) giữa hai đường thẳng BC và SA.

Bài 3. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết .2

ADAB BC a= = = SA vuông

góc với (ABCD), góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) bằng 450. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC,

SD. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng

a) BD và CP. b) DN và CP. c) SC và DN.





Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS ⊥ (ABCD) và 3

2

aIS = . Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của

các cặp đường thẳng:

a) NP và AC b) MN và AP.

Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), 3.SA a=

Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

a) AC và SD b) AC và SE

Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 2.SA SB SC SD a= = = = Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.



V. BÀI TOÁN KHO ẢNG CÁCH TRONG HÌNH L ĂNG TRỤ

Dạng 1: Khoảng cách của lăng trụ đứng

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Biết � 0( ' ; ) 60A BC ABC = .

a) Tính góc giữa hai đường thẳng 'BC và 'AA .

b) Tính góc giữa hai đường thẳng 'B C và AM, với M là trung điểm của '.BB

c) Tính khoảng cách từ 'B đến mặt phẳng ( ' ).A BC

d) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng ( ' ),AA B với E là trung điểm của ' .B C

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'AB và '.CC

f) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BF và ' 'A C , với F là trung điểm của '.CC

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình thoi với 2 ; 3 .AC a BD a= = Gọi O là tâm

đáy. Biết góc giữa đường thẳng 'A C và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách.

a) từ điểm B đến mặt phẳng ( ' )A CD .

b) từ điểm O đến mặt phẳng (MCD), với M là trung điểm của '.AB

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'CD và BD.

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'A C và BD.

e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'A C và AB.


Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC) và AA’ = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a;

3.AB a=

a) Tính khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’).

b) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC).

c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến (ABC’).

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC =

2a, 3AB a= .

a) Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′) b) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC).

c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′)





V. BÀI TOÁN KHO ẢNG CÁCH TRONG HÌNH L ĂNG TRỤ

Dạng 2: Khoảng cách trong lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên

mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của OB. Biết � 0( ' ; ) 60A BC ABC = .

a) Tính góc giữa hai đường thẳng 'AA và BC.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'AA và BC.

c) Tính khoảng cách từ G tới mặt phẳng ( ' )AA B , với G là trọng tâm tam giác ' ' .B C C

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình chữ nhật với ; 3.AB a AD a= = Gọi O là tâm

đáy. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của OA. Biết

� 0( ' ; ) 60A CD ABCD = .

a) Tính góc giữa hai đường thẳng 'BB và AC.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'BB và BC.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'A B và AC.


Bài 1. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác vuông tại A, góc B bằng 300. Hình chiếu vuông

góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. Biết ( )� 0' 2 ; '; ( ) 60 .AA a CC ABC= =

a) Tính góc giữa hai đường thẳng 'AA và BC.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'AA và BC.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'AC và BC.

Đ/s: 7

cos( '; )7

AA BC =

Bài 2. Cho hình lăng trụ . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N là trung điểm của DC và

AD. Hình chiếu vuông góc của của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AM và BN. Biết góc

giữa hai mặt phẳng � 0( ' '; ) 60ADD A ABCD = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 'B C và BN.





VI. BÀI TOÁN KHO ẢNG CÁCH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Ví dụ 1: (Đề thi Đại học khối A – 2012)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là

điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính

thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Đ/s: ( )

3

. ,

7 42, .

12 8S ABC SA BC

a aV d= =


Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và

(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song với

BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM

và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Đ/s: ( )3

. ,

3 393, .

13S ABC AB SN

aV a d= =


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 3.SH a= Tính

thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Đ/s: ( )

3

. ,

5 3 12, .

24 19S CDNM DM SC

aV d a= =

Ví dụ 4: (Đề thi Đại học khối D – 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc

với mặt phẳng (ABC). Biết 2 3SB a= và � 030 .SBC= Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ

điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Đ/s: ( )3

. ,

6 72 3, .

7S ABC B SAC

aV a d= =


Bài 1. (Đề thi Đại học khối D – 2012)

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể

tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.





Đ/s: ( )

3

. , '

2 6, .

48 6S ABC A BCD

a aV d= =

Bài 2. (Đề thi Đại học khối B – 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung

điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính

(theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Đ/s: ( ),

2.

4MN AC

ad =


Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, � � 090 , , 2 , 2BAD ABC AB BC a AD a SA a= = = = = = và SA

vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính

(theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

Đ/s: ( ), ( ) .3H SCD

ad =


Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên ' 2.AA a= Gọi M là

trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường

thẳng AM, B'C.

Đ/s: ( )

3

. ' ' ' , '

2 7, .

2 7ABC A B C AM B C

a aV d= =


Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , ' 2 , ' 3 .AB a AA a A C a= = = Gọi

M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và A'C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC

và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

Đ/s: ( )

3

, ( )

4 2 5, .

9 5IABC A IBC

a aV d= =

Bài 6. (Đề thi Đại học khối B – 2011)

Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với ; 3.AB a AD a= = . Hình chiếu vuông góc

của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và

(ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.

Đ/s: ( )1 1

3

,

3 3, .

2 2B A BD

a aV d= =

T¹m biÖt kho¶ng c¸ch!

Documents

06_Khoảng Cách Trong Không Gian