06_Strujanje_fluida

8/9/2019 06_Strujanje_fluida

1/25

111

6. Strujanje fluida

Jedno je od najbitnijih svojstava fluida lakoa kojom se fluid giba odnosno struji; i najmanje sminonaprezanje, ili neravnotea normalnog naprezanja (tlakova), uzrokovat e kretanje fluida. Ne elimo lida se to dogaa moramo posebnim mjerama ograniavati gibanje fluida.Strujanje se fluida meutim, odnosno gibanje fluida, razlikuje od gibanja materijalne toke odnosno

vrstog tijela. Kad se giba naime vrsto tijelo ne postoji relativno gibanje jedne estice (elementa) tijelau odnosu na druge. S druge strane pak, uslijed lake meusobne pominosti estica (elemenata) fluida,brzine estica fluida, na raznim mjestima u fluidu to struji, u najopenitijem sluaju, imaju razliitu

veliinu i smjer. Du nekog pravca primjerice, koji u nekom trenutku zamiljamo unutar strujeeg fluida,imaju estice fluida openito razne brzine u raznim pravcima tako da e promatrani pravac, shvatimo liga sastavljenim od estica fluida, u iduem trenutku poprimiti oblik neke zakrivljene crte koja e sestalno, tijekom strujanja, mijenjati. Posljedino, analiza e se strujanja fluida unekoliko razlikovati odanalize gibanja materijalnih toaka odnosno vrstih tijela. Njihovo gibanje naime, budui da poznajemomase tijela i razlikujemo ih meusobno, te da je njihov broj (praktino) ogranien i poznat, moemoopisati na odvojeni i diskretni nain. (To je tzv. Lagrangeov ili materijalni (supstancijalni) pristup.)Postavljamo pitanje :

koji je poloaj tijela u prostoru u ovisnosti o vremenu, ?"r t

,

i iz te obavijesti odreujemo onda brzinu, akceleraciju i (rezultantnu) silu to djeluje na tijelo (tijela):

2( ) ( )

, ; .dr t d r t

c a sila F ma m konst dt dt

.

Slini (isti) postupak neprovediv je (nerealistian) s fluidom (s iznimkom specijalnih sluajeva) buduida iole upotrebljivije koliine fluida sadre preveliki (praktiki beskonaan) broj molekula. Zbog toga se,kao i da bismo omoguili primjenu diferencijalnog (i integralnog) rauna u analizama fluida, sluimohipotezom kontinuuma (o pojmu kontinuuma bilo je govora i u prvom dijelu udbenika) smatrajui da se fluidsastoji od estica fluida koje djeluju meusobno i sa svojom okolicom. (Svaka estica fluida sadrigolem broj molekula.) Na taj nain moemo opisati strujanje fluida opisujui gibanje estica fluida, a nenjegovih molekula, odreujui brzine i akceleracije estica fluida.

Analiza se strujanja fluida pritom (odreivanje njegovih fizikalnih svojstava) svodi stoga na jedan ilikombinacije ovih postupaka:

A. definiranje individualnog, supstancijalnog ili materijalnog volumena, to znai da emo iz fluidaizdvojiti odreenu i poznatu koliinu, tj. poznatu i konstantnu masu fluida, dakle zatvoreni sustav,koji emo zatim promatrati i analizirati tijekom njegovog gibanja;

B. pratei svaku od golemog broja estica fluida na putu kroz prostor ustanovljujui kako se fizikalneosobine estica fluida mijenjaju u funkciji vremena; takav se nain promatranja (opisivanja gibanja),prema reenome, naziva Lagrangeovim (nain promatranja koji se veinom (preteito) primjenjuje

kad se analizira kretanje materijalne toke i vrstog tijela), a njegova je primjena (teoretski) moguabudui da su estice fluida konstantne mase, i/iliC. pratei to se dogaa s esticama fluida u nekoj (nekima) fiksnoj (fiksnim) toki (tokama)

prostora, ili u dijelu prostora kroz koji struji fluid, tzv. kontrolnom volumenu (vidjeti prvi udbenik),s obzirom na odabrani koordinatni sustav, u koju (koje, koji) one pristiu u neprekidnom,kontinuiranom nizu jedna iza druge, to je tzv. Eulerov ili lokalni (mjesni) nain promatranja.

Npr., neka je kontrolni volumen toka ije su koordinate x1, y1, z1. U tom sluaju moemo izraziti brzine estica

fluida koje prolaze kroz tu toku ovako 1 1 1, , , .c c x y z t

To su dakle brzine kontinuiranog niza estica

fluida koje prolaze tokom x1, y1, z1.

Uzrok gibanja estica fluida moe biti jedna ili vie sila koje na njih djeluju:

a) masene (volumenske) sile poput sile tee, inercijskih sila (npr. centrifugalne sile) i sl.;


2/25

112

b) povrinske sile poput sila tlaka, koje nastaju zbog razlike tlakova u raznim tokama fluida, iliadhezijske sile;

c) sile viskoziteta kao posljedica unutranjeg trenja meu esticama fluida id) elastine sile (uglavnom kod plinova) zbog kompresibilnosti (stlaivosti) fluida.

Pri strujanju fluida razlikujemo:

1.

protjecanje strujanje fluida izmeu krutih stijenki (cijevi, kanala i sl.); radi se o transportu fluida protokom,

odnosno o transportu energije fluidom;2. optjecanje

pojave relativnog i apsolutnog strujanja fluida oko nekog vrstog tijela uronjenog u fluid; radise dakle o transportu vrstih tijela kroz fluid (brodovi, podmornice, letjelice itd.), ili, strujanjufluida oko vrstog tijela i

3. kombinaciju protjecanja i optjecanja pojavljuje se npr. kod strujanja fluida izmeu lopatica turbostrojeva jer se strujanje tada moe

promatrati kao protjecanje meu lopaticama ili kao optjecanje oko lopatica uronjenih u fluid.

6.1 Vrste strujanja

Ako su u svakoj vrstoj (fiksnoj) toki prostora, kojom struji fluid, sve fizikalne veliine estica fluida,kad stignu u tu toku, iste (konstantne, stalne, nepromjenljive, dakle, neovisne o vremenu) i jednakefizikalnim veliinama prethodnih estica kad su bile u toj toki, a koje zamjenjuju u toj toki, strujanje jestacionarno (ustaljeno). (O tome je bilo govora u prvom udbeniku.)Primjerice, brzina je svake estice fluida,kad stigne u toku A(xA,yA,zA), jednaka brzini Ac

estice koju zamjenjuje u toj toki. Dakle je:

, , .A A A A Ac c x y z konst

Isto vrijedi za njihove akceleracije, temperaturu i tlak, kojima su izloene u toj toki, itd. Ustaljenost(stacionarnost) znai dakle nepromjenljivost u tokama prostora kroz koje struji fluid:

... 0c a T p h

t t t t t t

U suprotnom, strujanje je nestacionarno (neustaljeno). U tom sluaju fizikalne se veliine esticapristiglih u toku A razlikuju od fizikalnih veliina estica koje zamjenjuju. Tada dakle vrijedi, za brzinuprimjerice,

, , , .A A A A Ac c x y z t konst

Dakako, isto i za sve ostale fizikalne veliine.

Promatranje je stacionarnih pojava jednostavnije, pa emo, kad je to mogue, nestacionarno strujanjepretvarati u stacionarno. Primjerice, giba li se tijelo (torpedo) kroz fluid konstantnom brzinom,

0 .,c konst

slika 6.1, izborom mjesta opaanja, tj. koordinatnog sustava, moi emo nestacionarnostrujanje fluida pretvoriti u stacionarno.


3/25

113

Slika 6.1 Nestacionarno strujanje u prostoru fiziara A

Uoimo, tijelo sa slike, koje se giba stalnom brzinom kroz fluid, uzrokovat e nestacionarno strujanjefluida kroz toku T(x1,y1,z1) mirujueg inercijskog prostora fiziara A. Naime, fiziar A vidjet e slikustrujanja koja e se mijenjati kako se tijelo pribliava toki T i prolazi pokraj nje (ili kroz nju); unjegovom je prostoru strujanje oito nestacionarno. Postavimo li, meutim, fiziara B i njegovkoordinatni sustav na tijelo, sada se ne radi o neinercijskom koordinatnom sustavu (prostoru), fiziar eB u svom prostoru vidjeti uvijek istu sliku strujanja fluida: fluid optjee tijelo konstantnom brzinom 0c

,

no brzinom iji je smjer sada u smjeru njegove koordinate x, slika 6.2.

Slika 6.2 Stacionarno strujanje u prostoru fiziara B

6.2 Staze i strujnice

Kod nestacionarnog se strujanja staze i strujnice ne podudaraju. Stazom (putanjom ili trajektorijom)neke estice fluida nazivamo krivulju koju estica fluida svojim gibanjem opisuje u prostoru. Stazubismo mogli registrirati kad bismo esticu oznaili, npr. obojili, te snimali (kroz neko vrijeme); daklepratili njezino gibanje (Lagrangeov nain), slika 6.3.

Slika 6.3 Staza estice fluida

Na slici smo dobili put, od toke A do toke B, koji je estica fluida prevalila u odreenom (duljem)vremenu.S druge strane pak, strujnice predstavljaju smjer gibanja veeg broja estica fluida u istom trenutku.Postat e vidljive ako opet obojimo, sada vei broj estica, i fotografskim aparatom snimimo fluid. Radi

se dakle o trenutanoj slici, tonije, vrlo kratkom intervalu vremena kroz koje e svaka estica ostavitikratak trag koji pak predouje brzinu estice u tom intervalu vremena na promatranom mjestu.


4/25

114

Ponovimo li snimanje vie puta, dobit emo seriju krivulja, nazvanih strujnicama, kojima su tangente timali vektori brzina, slika 6.4.

Slika 6.4 Slika strujnica

Strujnice su prema tome linije koje su u prostoru strujanja fluida tangencijalne na vektor trenutanebrzine estice fluida na promatranom mjestu, slika 6.5.

Slika 6.5 Strujnica i vektor brzine

Promatramo li put duljine

dr dxi dyj dzk

i brzinu u toki A (dr

je paralelan vektoru lokalne brzine)

,x y z

c c i c j c k

dobivamo, iz slinosti trokuta, da je jednadba strujnice u skalarnom obliku

x y z

dr dx dy dz

c c c c

(6.1)

Strujanje se fluida u osnovi svodi na ovo, slika 6.6.

Slika 6.6 Formiranje strujnice


5/25

115

estica e fluida A, nakon vremena t, doi u toku gdje je dotad bila estica B, kojoj je opet ustupilamjesto estica C itd. Dobiveni niz staza tvori isprekidanu liniju A-B-C , koja prelazi u neprekidnukrivulju, strujnicu, kad skraujemo vrijeme opaanja (t 0). Brzina estice, npr. estice B, c2,usmjerena je veliina, vektor, kojem se smjer podudara s tangentom na strujnicu. Ako je strujanjenestacionarno, strujnica e u prostoru mijenjati svoj oblik i poloaj.Razliku izmeu staze i strujnice razabrat emo najoitije promatrajui gibanje vrstog tijela kroz fluid,

slika 6.7.

Slika 6.7 Strujnice i staze nestacionarnog strujanja

vrsto e tijelo, gibajui se kroz fluid, gurati pred sobom estice fluida, a iza tijela estice e nahrupiti u

prazan prostor nastao pomakom tijela. Strujnice smo oznaili crticama budui da su one putovi vieestica promatranih istodobno. Slika 6.7a) je trenutana (momentalna) slika u prostoru fiziara A, pa sui strujnice trenutane (momentalne), tj. one se u nekoj fiksnoj toki u koordinatnom sustavu fiziara Amijenjaju. Tako e kroz toku T (s koordinatama x,y,z) prostora prolaziti momentalna strujnica I, abrzina e c1imati naznaeni smjer. Nakon vremenskog intervala dtslika e se pomaknuti ulijevo za drpae kroz toku T prolaziti neka druga strujnica, npr. strujnica II, a brzina e bit c2itd. Osobito se jasno

vidi razlika nakon daljnjeg (veeg) vremenskog intervala, kada proe ista (zapravo analogna) strujnica IIkroz toku T: smjer c2' je bitno promijenjen. Ako bismo, meutim, slijedili jednu esticu, koja je unekom trenutku bila npr. na strujnici II, ona bi u prostoru opisala put nacrtan na slici 6.7b). To je stazaestice kako bi je snimio fiziar A.U stacionarnom se strujanju slika ne mijenja; staze se i strujnice podudaraju, one su identine, slika 6.8.


6/25

116

Slika 6.8 Stacionarno strujanje

6.3 Strujna cijev, strujno vlakno i os strujne cijevi

Povuemo li strujnice kroz toke zatvorene konture (oboda), zamiljene unutar fluida, dobivamostrujnu cijev, slika 6.9.

Slika 6.9 Strujna cijev

Ako je strujna cijev neizmjerno malog presjeka, zovemo je strujnim vlaknom. Centralnu strujnicunazivamo os strujne cijevi. Kako je strujnica sastavljena od brzina c

u uzastopnim tokama u kojima

se nalaze estice fluida, vidimo te brzine u obliku tangenata. Drugim rijeima, dobiveni niz stazica gradiisprekidanu liniju elemenata strujnice ,dr

koje moemo rastaviti na komponente po koordinatnim

osima

2 2 2dr dx dy dz

.

Budui da je vektor brzine tangenta na svaku toku strujnice, fluid po definiciji ne moe proi kroz granicu strujne cijevi.

U svakom vremenskom trenutku maseni protok kroz bilo koji popreni presjek strujne cijevi mora biti isti (principouvanja mase); smanjuje li se presjek strujne cijevi, u sluaju nestlaivog strujanju, mora se poveavati brzina strujanja

fluida.


7/25

117

6.4 Gibanje i deformacija estica fluida

Za vrijeme gibanja mogu se s esticom fluida zbivati ove promjene, slika 6.10:

Slika 6.10 Gibanje i deformacije estice fluida

a) moe se gibati translatorno poput estica vrstog tijela;b) moe se okretati (rotirati) oko neke osi kao i estica vrstog tijela;c) moe se linearno istezati ilid) mijenjati svoj oblik

mijenjajui pritom svoj volumen (obujam), ali nikako i nikada svoju masu:

dmestice fluida= dm = dV =konst. (6.2)

Dakako, gibanje estica fluida moe biti i kombinirano od nekih ili svih nabrojenih promjena (poloaja,oblika i obujma).

6.5 Jednadba koliine gibanja materijalnog volumena,

Lagrangeova i Eulerova analiza strujanja

U analizi strujanja fluida, spomenuli smo, mogue je iz fluida izdvojiti i zatim razmatrati gibanjeproizvoljnog volumena fluida, na slici 6.11 oznaenog s V(t),koji se sastoji uvijek od istih estica fluida(zatvoreni sustav).


8/25

118

Slika 6.11 Materijalni volumen

Takav je volumen pomian u prostoru, u tijeku vremena mijenja mu se oblik, i, openito, obujam(mjerni broj volumena), a zato to se sastoji uvijek od istih estica fluida zove se individualni,

supstancijalni ili materijalni volumen definiran s

( )

.

V t

dV m konst

Na fluid u materijalnom (individualnom) volumenu V(t),ogranienom povrinomA(t), izdvojenom zaanalizu, primjenjuje se jednadba koliine gibanja u obliku prilagoenom karakteru fluida kaokontinuumu i vrsti sila koje se javljaju u fluidu.Znademo, za sustav od nmaterijalnih toaka jednadba koliine gibanja glasi

1 1 1

n n ni i

i i i

i i i

d m c dm c F

dt dt

(6.3)

gdje je i im c

koliina gibanja i-te materijalne toke, a iF

rezultanta vanjskih sila na i-tu materijalnu

toku.Za materijalni volumen fluida, kao sustav velikog broja materijalnih toaka (estica fluida), lijeva stranajednadbe (6.3) postaje integral po volumenu

1( ) ( )

n

i

iV t V t

d dcc dV dV F

dt dt

(6.4)

gdje je na element mase dmu elementu materijalnog volumena dVprimijenjen princip ouvanja mase

0d d

dm dV dt dt

(6.5)

Desna strana jednadbe (6.3), odnosno (6.4), prilagoena analizi fluida u strujanju, sastoji se od zbrojavanjskih povrinskih i masenih sila. Rezultantna je vanjskih masenih sila koje djeluju na svaku esticufluida u materijalnom volumenu, slika 6.11, izraena integralom


9/25

119

( )

,m

V t

F RdV

(6.6)

a rezultanta vanjskih povrinskih sila plonim integralom preko granine povrineA(t)

( )

p

A t

F dA

(6.7)

Na slici 6.10 prikazan je diferencijal povrinske silep

dF dA

kojom estice fluida izvan razmatranog

materijalnog volumena djeluju svojim dodirom (kohezijom, adhezijom, teinom) preko elementa dAgranine ploheA(t)na fluid unutar materijalnog volumena kojeg se analiza provodi.Granina plohaA(t)moe biti i kruta stijenka, pa diferencijali predstavljaju djelovanje te krute stijenke(adhezija) na fluid u materijalnom volumenu.

Ako se obje strane jednadbe (6.3) zamijene pripadnim izrazima (6.4), (6.6) i (6.7), dobiva se jednadbakoliine gibanja materijalnog volumena s obzirom na inercijski koordinatni sustav (prostor fiziara A) uobliku

( ) ( ) ( )V t V t A t

d c dV RdV dAdt

(6.8)

To je osnovna jednadba strujanja fluida, koja vrijedi samo u inercijskom prostoru (koordinatnomsustavu), ali inae nema nikakvih drugih ogranienja valjanosti s obzirom na vrste fluida i vrste strujanja.Naalost, meutim, u analizama strujanja fluida nije najee dostatno poznavati samo strujanjematerijalnog volumena fluida, budui da je fluid kao kontinuum neprekidni skup materijalnih toaka(estica fluida), problem je strujanja fluida rijeen tek kad je odreeno gibanje svih materijalnih toaka(estica fluida) tog skupa.Pritom e biti potrebno poznavati raspored i unutranje povrinske sile u materijalnom volumenu V(t), a ne samovanjske sile koje djeluju preko granine povrine A(t) i koje ulaze u jednadbu koliine gibanja (6.8).

Drugim rijeima, morat emo primijeniti Lagrangeov i/ili Eulerov pristup analizi strujanja fluida: pratitemo svaku esticu fluida na njezinom putu kroz prostor i/ili u nekoj fiksnoj toki (tokama ilikontrolnom volumenu) prostora (s obzirom na odabrani koordinatni sustav, inercijski ili neinercijski)promatrat emo brzine, ubrzanja, tlakove i druge fizikalne veliine koje se pojavljuju tijekom vremena utoj toki (tokama ili kontrolnom volumenu) i na taj nain odrediti polja tih fizikalnih veliina(temperaturno polje, polja sila, tlaka, gustoe itd.).Kod prvog naina (Lagrangeovog), gdje individualno promatramo sudbinu svake pojedine estice fluida,

velike su tekoe zbog opsenosti matematike analize, pa se Lagrangeovim nainom sluimo rjee, tovie to se kod homogenih fluida sudbina estica bitno ne razlikuje. Zato je redovito dostatna, a zaraunanje mnogo prikladnija, uporaba Eulerovog naina kojeg emo se stoga pridravati. Naime, oditave povijesti pojedinih estica fluida zanimljiv je samo onaj njezin dio kad estice prolaze odreenim

tokama prostora, npr. tokama povrine i prostora sapnice, tokama povrine lopatice turbostroja iprostora izmeu lopatica i slino. Eulerove su varijable pritom koordinate toaka prostora , , ,r x y z t

i

vrijeme t, pa je gibanje fluida (estica fluida) opisano skalarnim, vektorskim i tenzorskim poljima, npr.:

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

p p x y z t c c x y z t

x y z t a a x y z t

T T x y z t x y z t

(6.9)

Te funkcije daju ove podatke:

a)

ako su u funkcijama (6.9) koordinate toke x,y,z fiksne, one daju vremensku promjenu tlaka,gustoe, temperature, brzine, akceleracije i tenzora naprezanja u toj toki za vrijeme dok u tutoku ulaze i iz nje izlaze razliite estice fluida;


10/25

120

b) pri fiksnom vremenu t funkcije (6.9) daju prostorni raspored mehanikih i termodinamikihveliina povezanih s gibanjem fluida u tom vremenskom intervalu;

c) pri promjenljivim koordinatama x,y,z (kontrolni se volumen moe gibati) i promjenljivomvremenu t funkcije (6.9) daju prostorno vremenski zakon promjene karakteristinih fizikalnihveliina pri strujanju fluida.

Poetno promatrat emo najprije promjene u odabranoj fiksnoj toki prostora, kasnije u kontrolnomvolumenu, kroz koju e (kroz koji e), dakako, prolaziti uvijek druge (nove) estice fluida. Veliine kojeemo promatrati bit e funkcije, kako je naglaeno, koordinata te toke (dakle prostora) i vremena. Npr.,brzina: , , , .c c x y z t

Budui da brzina, openito uzevi, ima proizvoljan smjer i veliinu, to emo je

moi rastaviti na komponente u smjerovima koordinatnih osi, npr., 2 2 2 ,x y zc c c c

pa e i

komponente biti funkcije istih varijabli , , , , , , , , , , , .x x y y z zc c x y z t c c x y z t c c x y z t

Razliku izmeu Eulerovog i Lagrangeovog naina analiziranja strujanja fluida ilustrirajmo promatrajuinajprije strujanje dima iz dimnjaka, slika 6.12, i odreujui temperaturu estica dima.

Slika 6.12 Mjerenje temperature estica fluida

U Eulerovom pristupu mjerit emo i biljeiti temperaturu u nekoj fiksnoj toki O(x=x0, y=y0, z = z0). Unajopenitijem sluaju, ta e se temperatura mijenjati s vremenom, bit e funkcija vremena,T=T(x0,y0,z0,t), dok e u razliita vremena razliite estice fluida prolaziti tokom O. Mjerenjemtemperature u veem broju toaka prostora, kroz koje struji dim, dobit emo temperaturno polje,T=T(x,y,z,t). Temperaturu estice fluida kao funkcije vremena ne emo znati ne znamo li lokacijuestice fluida kao funkcije vremena.

U Lagrangeovom pristupu privrstit emo termometar na esticu fluida (nazovimo je estica A) i mjeritemo i biljeiti temperaturu estice za vrijeme njezina gibanja. Na taj emo nain dobiti podatke otemperaturi estice kao funkcije vremena, TA=TA(t).Uinimo li isto s veim brojem estica, dobit emopodatke kako se temperatura tih estica mijenja s vremenom. Meutim, temperatura estica ne e bitipoznata kao funkcija poloaja estice ne znamo li lokaciju svake estice kao funkcije vremena [x=x(t),y=y(t), z=z(t)].Raspolaemo li s veim brojem podataka prikupljenim pomou Eulerovog pristupa, moi emo iz njihizvesti podatke koje dobivamo Lagrangeovim pristupom; vrijedi i obrnuto.

Kao idui primjer ilustracije razlike izmeu ova dva pristupa posluit e nam naini praenja migracijeptica koji osiguravaju dvije vrste podataka. Jedni se odnose na brzinu kojom ptice prolaze pokraj

odreene lokacije na migracijskom putu (broj ptica u satu) to odgovara Eulerovom pristupu: brzinistrujanja u promatranoj toki kao funkciji vremena. Druga vrsta podataka prikupit e se postavljanjemureaja, poput radio-odailjaa, na odreeni broj ptica kako bismo pratili njihovo kretanje du


11/25

121

migracijskog puta, to odgovara Lagrangeovom pristupu odreivanju lokacije promatrane esticefluida kao funkcije vremena.

6.6 Materijalna vremenska derivacijaD

Dt

Ono to se dogaa s esticom fluida u prostoru u kojem postoji polje neke fizikalne veliine (polje tlaka,temperature, brzine, sile itd.) moemo ovako predstaviti.Promatrajmo zaljev, slika 6.13, u kojem se temperatura morske vode mijenja u prostoru i vremenu, tj.postoji nestacionarno skalarno polje temperature: T=T(x,y,z,t).

Slika 6.13 Nestacionarno temperaturno polje

Jasno je da je to tako: uspinjui se nebom Sunce sve jae zagrijava estice morske vode ija je pak temperatura to via tosu blie povrini mora.Pretpostavimo dalje da se podmorjem zaljeva kree podmornica, ne nuno nuklearna, te da je na

vanjsku povrinu podmornice privren termometar koji trenutano ustanovljuje i pokazuje iznostemperature u geometrijskoj toki kroz koju prolazi. (Termometar glumi esticu fluida koja se gibakroz nestacionarno temperaturno polje.)

Postavljamo pitanje:

kako se brzo mijenja pokazivanje termometra, odnosno, emu je jednaka promjena temperature ?dT

dt

Odgovarajui na to pitanje, pretpostavit emo u prvom (1) sluaju da podmornica miruje, to znai daje termometar nepomian u toki ije su koordinate, recimo, x1,y1,z1. U tom sluaju traena je promjenatemperature jednaka

1 1 1, ,x y z

dT T

dt t

(6.10)


12/25

122

Naime, u toki u kojoj termometar miruje, mijenja se temperatura zbog protoka (u funkciji) vremenabudui da se more zagrijava (zbog izlaska Sunca) ili hladi (zbog zalaska Sunca). Jer termometar miruje, tj.x=x1itd., moramo se koristiti parcijalnom derivacijom.U drugom (2) emo sluaju pretpostaviti da je temperaturno polje stacionarno (stalno, nepromjenljivo u

vremenu, T f t ), to znai da je posvuda 0T

t

odnosno da je u svim tokama podmorja

temperatura nepromjenljiva, ali ne i jednaka budui da je temperatura funkcija i koordinata a ne samovremena, tj. , , ,T f x y z jer ovisi o udaljenosti toaka u kojima se nalaze estice fluida (termometar)od povrine mora), ali i da se sada podmornica (termometar) kree podmorjem brzinom

x y z

dx dy dzc c i c j c k i j k

dt dt dt

(6.11)

pa e se, posljedino, i pokazivanje termometra mijenjati, tj. bit e 0,dT

dt jednostavno zbog toga to

se temperatura mijenja kad se mijenja poloaj termometra; termometar se pomie u toke u kojima jestacionarna temperatura razliita. Slika je, 6.14, ovakva: podmornica (termometar) prelazi iz toke A, ukojoj je temperatura konstantna i jednaka T, u toku B, u kojoj je temperatura T+dT, i zbog toga semijenja pokazivanje temperature. (A i B su dvije beskonano bliske toke.)

Slika 6.14 Temperature u dvjema beskonano bliskim tokama

dT je razlika temperatura u tokama (mjestima) A i B; kada se termometar mie iz A u B mijenja sepokazivanje termometra. dT je pritom totalni diferencijal budui da je temperatura veliina stanja;njezina promjena ovisi samo o temperaturama u tokama A i B a ne ovisi o tome kako se iz toke Adolo (dolazi) u toku B (ne ovisi o putu kojim se iz toke A stie u toku B):

, , , ,

/ :

dT T x dx y dy z dz T x y z

T T Tdx dy dz dt

x y z

(6.12)

T

x

promjena je temperature na jedinici duljine puta, no, termometar prevaljuje put dx pa valja s tim putom mnoiti

jedininu promjenu temperature kako bi se dobila njezina stvarna vrijednost.

Na putu dsdakle, temperatura se Tmijenja u temperaturu T+dT. Budui da promjena temperature ovisio temperaturi u tokama A i B, a neovisna je o putu iz A u B, put odabiremo kao dx, dy, dz, slika 6.14.


13/25

123

Meutim, to se bre pomie termometar, to bre se mijenja pokazivanje temperature. Dijeljenjemrelacije (6.12) s dtdobivamo brzinu promjene temperature (oitanja termometra):

x y z

dT T dx T dy T dz

dt x dt y dt z dt

T T T

c c cx y z

(6.13)

Kombinirajui sluajeve (1) i (2) dobit emo ukupnu brzinu promjene temperature estice fluida(ukupnu brzinu oitavanja termometra) zbog toga to se estica fluida giba brzinom

x y z

dx dy dzc i j k c i c j c k

dt dt dt

kroz nestacionarno polje temperature:

x y z

dT T T dx T dy T dz

dt t x dt y dt z dt

T T T T c c c

t x y z

(6.14)

Argument je u jednadbi (6.14) skalar, T(x,y,z,t).Meutim, formula je (6.14) tona, pokazat emo, i zavektorski argument. Npr., promatrajmo ureaj na slici 6.15 koji se koristi strujanjem fluida i u kojemu, unekom vremenu, postoji polje brzine , , ,c x y z t

kojim je odreen vektor brzine estice fluida kao

funkcije vremena i poloaja (prostornih koordinata). elimo li pratiti neku (posebnu) esticu fluida nanjezinom putu kroz ureaj i znati kako se njezina brzina mijenja s vremenom, u jednadbi (6.14)zamijenit emo argument Ts :c

Slika 6.15 Ureaj za transport i ispiranje fluidom

x y z x y z

dc c c c cc c c a a i a j a k

dt t x y z

(6.15)

Pritom jedc

dt

jednako akceleraciji estice fluida, ,a

pa e jednadba (6.15) omoguiti primjenu II.

Newtonovog aksioma.


14/25

124

Jednadbu (6.15) moemo napisati i u opem obliku pomou vektorskog operatora

grad i j k x y z

U tom sluaju vrijedi

,

x y z

x y z

c c i c j c k i j k x y z

c c cx y z

(6.16)

pa jednadbu (6.15) moemo pisati i ovako

dc c Dc

c cdt t Dt

(6.17)

i analogno jednadbu (6.14)

dT T DT

c Tdt t Dt

(6.18)

U jednadbama se (6.17) i (6.18) operatord

dtoznauje sa specijalnim simbolom

D

cDt t

(6.19)

kako bi se naglasilo da se radi o estici fluida.Taj se operator primjenjuje na bilo koje skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje odgovarajue fizikalneveliine dajui totalnu vremensku derivaciju (potpunu (punu), materijalnu, individualnu, supstancijalnuvremensku derivaciju) neke fizikalne veliine (tlaka, temperature, entalpije, entropije, akceleracije itd.) zaesticu fluida koja se kroz promatrano polje giba brzinom .c

Pokaimo sada openitost vektorskog operatora (6.19) kojeg moemo nazvati operatorom materijalnevremenske derivacije.Neka je Sneka fizikalna skalarna, vektorska ili tenzorska veliina (npr. gustoa, temperatura, brzina,itd.), koja je svojstvo estice fluida u gibanju, i koja se openito mijenja s gibanjem estice, onda se ta

veliina moe prikazati Eulerovim pristupom

, , , ,S S r t S x y z t

(6.20)

Brzina promjene veliine S u estici fluida naziva se materijalnom (individualnom, supstancijalnom,

totalnom, itd.) vremenskom derivacijom koja ima i posebnu oznakuDS

Dt.

Kad je veliina Sopisana Eulerovim varijablama u obliku (6.20), pri proraunu materijalne vremenskederivacije treba brzini promjene veliine S u nekoj vrstoj toki prostora dodati i brzinu promjene spomakom estice u prostoru, tj, prema definiciji je


15/25

125

0

0

, ,lim

, ,

lim

t

t

S r c t t t S r t DS

Dt t

SS r t c t S t S r t

St c St t

(6.21)

U pravokutnim kartezijskim koordinatama ta derivacija ima oblik

x y z

DS S S S Sc c c

Dt t x y z

(6.22)

Ako je Sskalarna veliina, npr. temperatura T, izraz (6.21) moemo pisati u obliku

DS S DT T T

c S c T c gradT Dt t Dt t t

(6.23)

dobivajui relaciju identinu relaciji (6.18).

Djeluje li operator (6.19) na radijvektor r xi yj zk

, dobiva se

0 ,x y zr

Dr r r r rc r c c c

Dt t x y z

gdje indeks r(x,y,z) oznauju vrstu toku u prostoru, to uz

, ,r r r

i j kx y z

prelazi u

x y z

Drc i c j c k c

Dt

to je oito jer materijalna vremenska derivacija (ili derivacija koja slijedi fluid) radijvektora r

dajebrzinu promjene radijvektora estice fluida, to je po definiciji brzina estice.

U izrazu za materijalnu vremensku derivaciju, relacija (6.21), lanS

t

predstavlja brzinu promjene

veliine S u zadanoj vrstoj toki prostora T(x,y,z), pa se zato naziva lokalnom ili mjesnomvremenskom derivacijom.S druge strane lan c S

u izrazu (6.21) daje brzinu promjene veliine S s promjenom poloaja

estice u prostoru, pa se stoga naziva konvektivnom (usputnom) ili prijenosnom (transportnom)vremenskom derivacijom.Ilustrirajmo reeno slikom 6.16.


16/25


17/25

127

1. smjeru gibanja i veliini brzine estice, dakle o vektoru brzine i o2. razdiobi temperature u prostoru, dakle o temperaturnom gradijentu.

Giba li se termometar (estica fluida) iz toke A ( 1r) u toku B ( 2r

) u vremenu dt, temperatura e se

promijeniti za iznos jednak projekciji vektora puta (pomaka) cdt

na normalu u toki A pomnoenoj sgradT ( T ) jer je gradT [K/m] promjena temperature na metru duljine pa se mnoenjem s preenim

putom u temperaturnom polju (radi se o skalarnom produktu vektora) dobije promjena temperature ukelvinima:

cos ,cdt gradT cdt T c T c T dt K

(6.24)

Promjenu temperature u jedinici vremena (brzinu) dobivamo dijelei relaciju (6.24) s dt:

cos , K

c gradT c T c T c T s

(6.25)

Na kraju ovog razmatranja naglasimo jo jedanput da prigodom analize strujanju fluida Eulerovim

pristupom vrijednosti fizikalnih veliina u estici fluida ovise kako o poloaju (x,y,z) estice u poljufizikalne veliine tako i o vremenu (t), pa (materijalna) derivacija mora ukljuivati, u najopenitijemsluaju nestacionarnog strujanja, i vremensku (lokalnu, mjesnu) i prijenosnu derivaciju. Primjerice, priproraunu akceleracije estice fluida treba na polje brzine nestacionarnog strujanja primijeniti stogaoperator materijalne vremenske derivacije, (6.17)

Dc c

a c cDt t

(6.26)

odnosno, izraeno pomou komponenata pravokutnog koordinatnog sustava

,

,

x x x x xx x y z

y y y y y

y x y z

z z z z zz x y z

Dc c c c ca c c c

Dt t x y z

Dc c c c ca c c c

Dt t x y z

Dc c c c ca c c c

Dt t x y z

(6.27)

Dakako, prema reenome, u izrazu (6.26) prvi lan desne strane,c

t

, jest lokalna ili mjesna akceleracija,

a drugi jelan, c c

, konvektivna ili prijenosna akceleracija. Pripadne komponente tih akceleracijaprepoznatljive su na desnim stranama relacija (6.27).

Pri stacionarnom strujanju ne postoji lokalna akceleracija, pa je akceleracija estice fluida jednakakonvektivnoj akceleraciji

a c c

(6.28)

Primijenimo li na jednadbu (6.28) pravila vektorske analize za operacije s operatorom i pravilavektorske algebre za razvoj trostrukog vektorskog produkta dobit emo


18/25

128

2

2

1

2

1

2

c c c c c

grad c c rotc

(6.29)

pa time i izraz za akceleracijuestice fluida (6.26) prelazi u oblik

21

2

Dc ca grad c c rotc

Dt t

(6.30)

Zakljuno spomenimo (to nije jednostavno pokazati), o emu e jo biti govora, da operatormaterijalne vremenske derivacije, za potrebe diferencijalne analize, transformira Lagrangeov u Eulerovnain promatranja analize strujanja fluida:

Lagrangeov nain (opis) D

Dt Eulerov nain (opis)

6.7 Diferencijalne jednadbe strujanja fluida

Promatrat emo najprije gibanje estice idealne kapljevine. Kao i kod svakog gibanja i ovdje je osnovnajednadba II. Newtonov aksiom. Meutim, dok je kod gibanja krute toke (materijalne toke)konstantne mase mvrijedio taj aksiom u obliku

,i rez rezd dc

F F mc m ma N dt dt

(6.31)

morat emo ga za fluid (kapljevinu), budui da se radi o estici fluida konstantne mase dm, upotrijebiti u

drugom obliku, pa e diferencijal sile ( rezdF

) biti

.rezD Dc

dF dmc dm N dm konst Dt Dt

(6.32)

Analizirajmo sada gibanje estice fluida oblika kvadra sa stranicama dx, dy, dz, slika 6.18.

Slika 6.18 Gibanje estice idealne kapljevine

Njezina e masa biti ,dm dV dxdydz a brzina , , , .c c x y z t

Komponente su brzine u

smjerovima koordinatnih osi inercijskog pravokutnog koordinatnog sustava tada


19/25

129

, , , , , , , , , , , .x x y y z zc c x y z t c c x y z t c c x y z t

Na promatranu esticu fluida djeluju sile tlaka (okomito na granine plohe dakako) i masene sile.

Rezultanta masenih sila na jedinicu mase neka iznosi R

, a njezine komponente u pravcima (smjerovima)

koordinatnih osi Rx, Ry, Rz, tj.,2 2 2 .

x y zR R R R

Promatramo li to se dogaa s esticom u smjeru koordinatne osi y, vrijedit e, sa stajalita fiziara A,

prema II. Newtonovom aksiomu rezDc

dF dmDt

ovaj odnos sila to djeluju na estice fluida i

njezinog ubrzanja:

( ) yyDcp

R dxdydz pdxdz p dy dxdz dxdydz Ny Dt

(6.33)

Sa stajalita pak fiziara B, koji sjedi na estici fluida (kree se zajedno s esticom fluida), vrijedit e

( ) 0yyDcp

R dxdydz pdxdz p dy dxdz dxdydz Ny Dt

(6.34)

Dijeljenjem jedne od relacija, (6.33) ili (6.34), s dxdydz i preureenjem dobivamo:

3

3

3

i analognoy

y

xx

zz

Dc p NR

Dt y m

Dc p NR

Dt x m

Dc p NRDt z m

(6.35)

odnosno

3

Dc NR gradp p

Dt m

(6.36)

Izraz (6.36) diferencijalna je jednadba gibanja (estice) idealne kapljevine (jednadba strujanja idealnekapljevine), a njezine su skalarne (pravokutne) komponente dane jednadbama (6.35).

Podsjetimo, kad je fluid mirovao, vrijedila je jednadba

R gradp p

odnosno,

izraeno skalarnim komponentama, kad su bili ispunjeni uvjeti

,x y z

p p pR R i R

x y z

.

Drugim rijeima, fluid je mirovao jer je (rezultantna) masena sila koja je djelovala na fluid bilauravnoteena, a zbog toga je i, posljedino, (rezultantna) inercijska sila bila jednaka nuli (fluid se nijegibao, nije postojalo gibanje fluida); miruje li naime sustav, inercijske su sile jednake nuli.

Jednadba (6.36) vrijedi u neinercijskom prostoru fiziara B. Za fiziara B sila


20/25

130

Dc

Dt

inercijska je sila to djeluje u njegovom prostoru; ostale sile to djeluju su masene i sile tlaka (povrinskesile). Zajedno sa silom inercije one moraju biti uravnoteene budui da se sa stajalita fiziara B esticafluida ne giba:

0.Dc

R pDt

Radi li se o materijalnoj toki (krutom tijelu), suma je rezultantne sile i inercijske sile jednaka nuli, dok je u fluidujednaka naprezanju u fluidu.

U sustavu fiziara A, meutim, silaDc

Dt

rezultantna je sila to djeluje na esticu fluida, pa u njegovom

prostoru jednadba gibanja estice idealne kapljevine glasi:

3v

Dc NR gradp R p R FDt m

(6.37)

tj., ukupna je (rezultantna) sila to djeluje na fluid jednaka sumi masenih i povrinskih sila to djeluju nafluid.

Jednadbu slinu jednadbi (6.37) vesmo dobili, u integralnom obliku, relacija (6.8),

( ) ( ) ( )V t V t A t

dc dV RdV dA

dt

(6.8)

kad smo promatrali to se dogaa, ne s infinitezimalnom, ve s nekom konanom koliinom fluidamase m= konst. (materijalnim volumenom).Pretpostavljamo, trebalo bi tako biti, da ono to vrijedi za koliinu fluida mase mvrijedi i za, barem unaelu, esticu fluida mase dm. Ispitajmo tu pretpostavku. Posluit emo se teoremom divergencije, no,teoremom koji vrijedi za tenzorske veliine:

( ) ( ) ( )A t V t V t

dA dV Div dV

(6.38)

S

Div

(6.39)

oznaili smo divergenciju tenzora budui da ona nije skalarna ve vektorska veliina za razliku oddivergencije vektora koja je skalar.Primjenom relacije (6.38) na jednadbu (6.8) dobivamo

)()()( )()(

0tVtVtV tVtV

dVRdt

cddVdVRdV

dt

cddVc

dt

d

(6.40)

Budui da je dV0 u jednadbi (6.40), to mora vrijediti

0dc

Rdt

(6.41)

Jer se sada radi o estici fluida, todc

dt

postajeDc

Dt

. Dobivamo


21/25

131

DcR R Div

Dt

(6.42)

Jednadba (6.42) jednadba je strujanja realne kapljevine (fluida). To mora tako biti budui da, istaknulismo to, jednadba (6.8) nema ogranienja valjanosti s obzirom na vrste fluida i vrste strujanja. (Jedino jeogranienje, strujanje se materijalnog volumena mora promatrati iz prostora fiziara A /inercijskog

koordinatnog sustava/.)S druge strane, jednadba

DcR p R gradp

Dt

(6.43)

vrijedi samo za idealnu kapljevinu.

Postavljanje se pitanje minusa ( p gradp ) u jednadbi (6.43). Podsjetimo, minus je posljedicadogovorenog oznaavanja tlaka kao pozitivne veliine, premda e djelovanje tlaka nastojati smanjivatiobujam sustava na koji djeluje.Razlog je takvom odabiru tome, ponovimo, injenica da se fluidi ne mogu oduprijeti ma i najmanjoj vlanoj sili, dok se

pod djelovanjem tlanih sila ponaaju, barem u naelu, poput vrstih tijela.Nadalje, pokazali smo, radi li se o realnom fluidu, unutranje je naprezanje tenzor.Radi li se o idealnom fluidu, tenzor se naprezanja degenerira u skalar, tlak.Ukoliko se radi o vlanom naprezanju, ono se oznaava pozitivnim sukladno odabirom vanjskenormale na povrinu pozitivnom. Prema tome, vlani je tenzor naprezanja pozitivan, ,

x y z

i njegove su komponente u smjerovima koordinatnih osi pravokutnog koordinatnog sustava jednake:

,x xx xy xz y yx yy yz z zx zy zz

i j k i j k i i j k

.

Dakle je

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

Ako ne postoji smino naprezanje, to znai da je fluid idealni, tada su ove komponente tenzoranaprezanja (smine komponente naprezanja) jednake nuli:

0xy xz yx yz zx zy

,

a normalne su komponente naprezanja jednaka negativnoj vrijednosti tlaka:xx yy zz

p

(-p jer dogovorno pozitivnom p odgovara tlano naprezanje, a p je vlano naprezanje; -p ide od povrine a ne upovrinu poput (dogovorno) pozitivnog p),

tj. bez tangencijalnih je naprezanja jedina postojea komponenta naprezanja u fluidu normalna (vlana)komponenta naprezanja, pa se tenzor naprezanja degenerira u skalar (tlak)

0 0

0 0

0 0

p

p

p

p


22/25

132

Ponovimo, osnovna je diferencijalna jednadba strujanja fluida, pisana za prostor fiziara A, ova, (6.42):

3

Dc NR Div

Dt m

Naziva se Navierova jednadba.

Ista jednadba, pisana za prostor fiziara B, oblika je:

3

Dc NR Div

Dt m

(6.44)

Naime, za fiziara B, radi li se o krutom tijelu, suma svih sila, akcijskih (vanjskih) i inercijskih (fiktivnih),mora biti jednaka nuli, dok u sluaju fluida ta suma mora biti jednaka naprezanju u fluidu.

Miruje li fluid, naglasili smo, inercijske su sile jednake nuli, pa budui da u fluidu u tom sluaju ne postoje sminanaprezanja, tenzor se naprezanja degenerira u skalar, u tlak:

3

NR gradp

m

.

U integralnom obliku (pisana u prostoru fiziara A za materijalni volumen) Navierova jednadba glasi

( ) ( ) ( )V t V t A t

dc dV RdV dA

dt

(6.8)

U osnovi, to je jednadba (promjene) koliine gibanja.

Diferencijalnu jednadbu, (6.42), Navierovu jednadbu, istaknimo, u openitom je sluaju nemogueintegrirati u napisanom obliku jer sadri previe nepoznanica. Naime, poznate su masene sile, a

nepoznanice su: 3 komponente brzine, 9 komponenata tenzora naprezanja (odnosno 6 radi li se oizotropnom fluidu (vodi) /jer je tada ,

xy yx xz zx yz zyi /) i gustoa radi li se o

izotropnom fluidu (u protivnom nepoznanice su x, y, z).lanovi se stoga diferencijalne jednadbemoraju dalje razraditi i dodati jo neke jednadbe kako bi se postigla barem na elna mogunostintegriranja.

U pojedinim, za praksu vanim sluajevima, Navierova se jednadba pojednostavljuje (ne emo izvoditite jednadbe):

za nestlaivi realni fluid, te ako je jedina masena sila sila tee (R g

), jednadba glasi

2

3

Dc Ng gradp c

Dt m

(6.45)

Ova se jednadba naziva Stokes-Navierovom (ili obrnuto, Navier-Stokesovom).U sluaju idealnog fluida (viskoznost) je jednaka nuli pa dobivamo jednadbu strujanja idealne kapljevine podutjecajem sile tee.

ako je fluid stlaiv, uvode se i sile deformacije (elastine sile) estice fluida, pa jednadba glasi

2

33

Dc Ng gradp c graddivc

Dt m

(6.46)

Za nestlaivi je fluid, to emo kasnije pokazati, 0divc

, pa jednadba (6.46) prelazi u jednadbu (6.45).


23/25

133

6.7.1 Eulerova i Bernoullijeva jednadba strujanja idealne kapljevine

Poseban je sluaj strujanja idealne kapljevine strujanje izazvano samo silom tee. Diferencijalnajednadba kojom je opisano takvo strujanje naziva se Eulerovom. Jer je u tom sluaju

R g kg z g

(6.47)

jednadba (6.43)

DcR p R gradp

Dt

postaje (najee se pie u ovom obliku):

1Dc c

c c g z pDt t

(6.48)

Iz Eulerove jednadbe, (6.48), dobiva se integriranjem, uz uvjet da strujanje fluida moemo opisati

(zamijeniti) jednodimenzionalnim, stacionarnim strujanjem idealne kapljevine uzdu jedne strujnice,slika 6.19, Bernoullijeva jednadba, jednadba vrlo vana za svakidanju praksu.

Slika 6.19 Jednodimenzionalno, stacionarno strujanje idealne kapljevine

U prvom smo udbeniku pokazali (i izveli je koristei se tom injenicom) da je Bernoullijeva jednadbasamo jedan od analitikih oblika prvog glavnog stavka termodinamike za jednodimenzionalne,stacionarne, strujne procese idealne kapljevine. Ovog puta izvest emo Bernoullijevu jednadbu

rjeavajui diferencijalnu (Eulerovu) jednadbu (6.48), iskoritavaju

i spomenute pretpostavke,integrirajui je. Jer je strujanje jednodimenzionalno, indeksom snaglasit emo tu injenicu, pa prema

(6.35), budui da tu jedinu dimenziju oznaujemo indeksom s, jednadbu (6.48) piemo u obliku:

3

ss

Dc p NR

Dt s m

(6.49)

Jedina masena sila to djeluje na esticu fluida, sila tea, iznosi, prema slici 6.19,

cos ,s

HR g g

s

(6.50)


24/25


25/25

3 2 21000 10 10.000 10

p c kg m N kPac a

s s m s m m m

(Naime, vrijedi

c

c atc c c ass c

t

)

Odgovorimo i na ovo pitanje. Kojom se brzinom, po vodoravnoj cesti, kroz mirni zrak, kreeautomobil ako je tlak okolinjeg zraka 1 bar, a tlak zraka na prednjem staklu automobila 1,01 bar?Gustoa je zraka konstantna i jednaka 1,2 kg/m3.

Rj.

Posluit emo se relacijom (6.55), primjenjujui je na sliku 6.20,

Slika 6.20 Odreivanje brzine automobila

2 2

2 12 2 1 1

2 2

c cp gH p gH

kako bismo odredili brzinu automobila ca. Pritom je

2 1 2 1; 0; aH H c c c

pa dobivamo

1

2 22 1

2 1

1

25

2

3

2

2

2 1,01 1 10

40,82 1471, 2

aa

p pcp p c

N

m kmmkg s h

m

Documents

06_Strujanje_fluida