Tema07.Cinem-cadelpuntomaterial.Movimientorela-vo.

Mecnica

CeciliaPardoSanjurjoDPTO.DEINGENIERAESTRUCTURALYMECNICA

EstetemasepublicabajoLicencia:Crea-veCommonsBYNCSA3.0

Cinemtica

Cinemtica del punto

Cinemtica del slido rgido

Parte de la Mecnica que estudia el movimiento de los cuerpos, independientemente de las causas que lo producen. Se le llama tambin geometra del movimiento.

Posiciones, velocidades y aceleraciones en el tiempo

Cinemtica del punto

OP

= r t( ) = x t( )i + y t( )

j + z t( )

k

Supongamos que un punto se mueve en el espacio, de forma que en un instante de tiempo t se encuentra en el punto P de coordenadas (x, y, z) en ese instante.

O

r

(x, y, z)

x

y

z

P

Trayectoria

Vector de posicin de P respecto al sistema de ejes con origen en O:

Se llama trayectoria a la curva descrita por el punto su movimiento a lo largo del tiempo.

Al cabo de un tiempo el punto habr avanzado a otra posicin, P :

t

r + r

= x + x, y + y, z + z( )

vm =

r

t=

x

t,y

t,z

t

Velocidad media:

Vector desplazamiento: r

= P P

La distancia recorrida a lo largo de la trayectoria entre dos posiciones no coincide con el mdulo del vector desplazamiento s r

r+!r

P

O

r

xy

z

!r P

!s

s

Po

!s=!r

La velocidad media tiene la direccin y sentido de r

Si vamos tomando cada vez ms pequeos, el se va haciendo ms prximo en orientacin al tramo de trayectoria. Cuando tiende a 0, el desplazamiento se hace tangente a la trayectoria. Adems, su mdulo coincide con el desplazamiento a lo largo de la trayectoria: ds=dr

t r

Velocidad de un punto es la variacin del vector desplazamiento por unidad de tiempo cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

v = lim

t0

r

t= d

r

dt

v = vx

i + vy

j + vz

k = dx

dt

i + dy

dt

j + dz

dt

k

v = x

i + y

j + z

k

Es comn indicar derivada respecto al tiempo con un punto encima de la variable

Al mdulo de la velocidad se le llama celeridad:

La velocidad es tangente a la trayectoria en ese punto O

r

xy

z

!r

ds=dr

r+!r

v = drdt =dsdt

t

Aceleracin media: a

m=v

t

Aceleracin de un punto: a = lim

t0

v

t=

dv

dt

a =

dvxdt

i +

dvydt

j +

dvzdt

k = vx

i + vy

j + vz

k

a = x

i + y

j + z

k

Si se conocen las coordenadas en funcin del tiempo (llamadas ecuaciones horarias) se pueden calcular velocidades y aceleraciones derivando respecto al tiempo. Si se conoce la aceleracin en funcin del tiempo habr que integrar para hallar velocidad y posicin.

Velocidad: v = d

rdt

v = v et = s et

Siendo et el versor (vector unitario) tangente a la trayectoria en el punto

!A

B

C

4 m 3 m

"

xC

y

x = 0.9 t (t en s; en radianes)

xC = 4 cos 0.9t + 3 cos xC = 5 m

yB = 4sen = 3sen sen =43 sen0.9t = 36.87 = 53.13 ( t =

36.870.9180 = 0.715 s)

cosddt =43 0.9 cos0.9t

ddt = 1.2

cos0.9tcos

d2dt2

= 1.20.9sen0.9tcos + cos0.9tsenddt

cos2 d2dt2

= 2.3 rad/s2

ddt = 1.6 rad/s

vC =dxCdt = 40.9sen0.9t 3

ddt sen vC = 6 m/s

aC =dvCdt = 3.60.9 cos 0.9t 3

d2dt2

sen 3 ddt

2cos aC = 12.8 m / s2

Relacin geomtrica entre ngulos:

Ejemplo: Hallar velocidad y aceleracin de la deslizadera C en el instante en que las dos barras forman un ngulo recto, sabiendo que, en funcin del tiempo:

En la posicin pedida:

Movimiento del punto C:

vC = 6

i

aC = 12.8

i

Movimiento rectilneo

La trayectoria es una lnea recta: velocidades y aceleraciones son en esa misma direccin

Movimiento uniformemente acelerado

a = cte a = dvdt dv = a dt

dvvov = adtto

t v = vo + a t to( )

s so = vo t to( ) + 12 a t to( )2

to

so

t

s

vo

v

a

v = dsdt ds = v dt dssos = vdtto

t = vo + a t to( ) dttot

v2 vo2 = 2 a(s so )

Eliminando el tiempo (t-to) de estas dos ecuaciones:

Movimiento rectilneo uniforme o de velocidad constante:

to

so

t

s

s - so = v t - to( )

v = cte a =

0

Sustituyendo en las expresiones anteriores con a=0

En cualquier caso habr que integrar dos veces para obtener las caractersticas del movimiento a partir de la aceleracin.

Tres problemas de integracin segn:

1) La aceleracin es una funcin conocida de t a = f(t)

a = dvdt dv = a dt = f(t)dt se integra y se obtiene v(t)

v= dsdt ds = vdt se integra y se obtiene s(t)

2) La aceleracin es una funcin conocida de la posicin a = f(s)

a = dvdt =dvds

dsdt = v

dvds vdv = a ds = f(s)ds se integra y se obtiene v(s)

v= dsdt dsv = dt se integra y se obtiene s(t)

3) La aceleracin es una funcin conocida de la velocidad

a = dvdt = f(v)dv

f(v) = dt se integra y se obtiene t(v)

v= dsdt =dsdv f v( ) v

dvf v( ) = ds se integra y se obtiene s(v)

a = f(v)

Movimiento general en el plano

Una posibilidad es utilizar las coordenadas rectangulares respecto a unos ejes fijos OXY

XO

Y

P

x(t)

y(t) r

r = x

i + y

j

Y tratar el movimiento en cada eje separadamente. En los casos en que el movimiento en cada eje no depende del otro, es cmodo usar estas componentes rectangulares.

v = vx

i + vy

j con vx = x vy = y

a = ax

i + ay

j con ax = x ay = y

Un ejemplo es el movimiento de proyectiles o tiro parablico

Movimiento de proyectiles o tiro parablico

Movimiento horizontal con velocidad constante:

Movimiento vertical con aceleracin constante:

ay = g vy = voy gt y= voyt 12 gt

2

siendo voy = vosen

vx = vox ax = 0 x= vox t

siendo vox = vo cosy= voy

xvox

12 g

xvox

2

Trayectoria parablica:

!

"

vo

vx=vox

vy=voy#$gtvx=vox

v

vo

vx=voxvy=voy#$gt

ym x

d

Altura mxima:

ymx cuando vy = 0 t =voyg =

voseng ymx =

vo2sen22g

Alcance horizontal, d:

d = vo2sen 2

g

(El tiempo en que se alcanza es doble que el del ymx)

ngulo de alcance mximo para una vo fija:

dmx =vo2g que ocurre cuando =45 (sen2 =1)

i x=0 el punto de partida

i x = 2voxvoyg d alcance horizontal

Haciendo y=0 en la ec. de la trayectoria se obtienen dos soluciones:

Ejemplo:

Tramo de A a B: (sin rozamiento)vA = 0 ; s = 5m ; a = g sen30v2B = v2A + 2as = 2g sen305= 49 vB = 7 m / s

De B al suelo, tramo parablico:x = vB cos 30t y = 10 vBsen30t

12 gt

2

Cuando llega al suelo y=0, x= b: 10 = 3.5t + 4.9t2

4.9 t2 + 3.5t 10 = 0 t = 1.115 sb = 3.5 3t = 6.76 m

d = 0.5 + 6.76 = 7.26 m

A un albail se le escapa una teja, que resbala sin rozamiento por el tejado y cae al suelo. Hallar la distancia mnima, d, a la que ha de situarse la pandilla habitual para no correr peligro.

y

x

vBcos30

vBsen30

10

bdesde la pared

5 m

30

10 m

d

B

A

vB0.5m

Coordenadas intrnsecasOtra posibilidad es usar coordenadas intrnsecas: La situacin del punto se da respecto a un punto de la trayectoria Po mediante la longitud s(t) recorrida a lo largo de la misma.

v = v et =

dsdt

et

et = vector unitario tangente a la trayectoria en P

a= d

vdt

=dvdt

et + vdetdt

Po

P

sv(t) e

t

v(t+dt) et

La velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto, siendo su mdulo la derivada respecto al tiempo de la distancia, s, recorrida a lo largo de la trayectoria:

Para hallar la aceleracin derivamos la velocidad respecto al tiempo:

detd

= en

detdt

=detd

ddt

=ven

et = 2sen2

Cuando 0 , et tiende a ser perpendicular a

et , es decir, en direccin en

detd

=0lim

et

=0lim

2sen 2

= 1

La variacin de su mdulo con el ngulo tiende a 1:

Por tanto

Y teniendo en cuenta que ds= d y que v= dsdt

:

et

!"

!et

1

1

et

et

en

et

C

!"#

!s

vector unitario normal en el punto de la trayectoria dirigido hacia su centro de curvatura

La aceleracin en coordenadas intrnsecas se escribe como:

a = dvdt

et +v2

en

aceleracin tangencial a t =dvdt

aceleracin normal an =v2

: radio de curvatura de la trayectoria en P

En una trayectoria rectilnea = y no hay an

La aceleracin normal siempre va dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria en el punto. Los versores normal y tangente, as como el radio de curvatura dependen del punto de la trayectoria.

Po

s

C

at

an

an

at

a

v

a

C

Movimiento con trayectoria circular

P

Po

90

R

C

RC

v = dsdt

= R ddt

= R

= ddt

velocidad angular en el movimiento circular(rad/s)

Aceleracin:

tangencial: at =dvdt

= R ddt

= R normal: an =v2

= R2

= ddt

aceleracin angular en el movimiento circular( rad/s2 )

s= R

v = v et

Velocidad:

a = at

et + anen

Longitud de arco recorrida en funcin del ngulo en radianes:

Movimiento circular uniformemente acelerado =cte at = cte

= ddt

=o + t

= ddt = o +o t +

12t2

Multiplicando por R se encuentra la longitud recorrida y la velocidad del punto:

v=vo + at t s = so + vo t +12at t2

Movimiento circular uniforme: = 0 = o = cte v = R = cte

an = R2 cte

at = 0 an = R2 = cte

2 o2 = 2 o( )

v2 vo2 = 2at s so( )

50 m

AB

C

Ejemplo: El coche de la figura va a una velocidad constante de 126 km/h cuando llega a una curva circular de 50 m de radio. Empieza a decelerar en A, a un ritmo de 9 km/h cada segundo. Hallar velocidad y aceleracin en la mitad y al final de la curva.

1 km / h = 103m

3600 s =1

3.6 m / s

vA = 126 km / h = 35 m / s

at =dvdt = 9 km/hs= 2.5 m/s

2

vB2 = vA2 + 2at sB sA( ) vB2 = 352 22.5 504

vB =32.07 m/s vB = 32.07 cos 45

i sen45

j( )

vC2 = vA2 + 2at sC sA( ) vC2 = 352 22.5 502

vC =28.85 m/s

vC = 28.85j

Movimiento circular uniformemente decelerado:

!"#$%&

'

(

45

45

vB

vC

)

"*

x

y

O

O

&(+&'

Todas las aceleraciones tangenciales son iguales en mdulo:

aBt = aCt = 2.5 m/s2

aBt = 2.5 cos 45

i + sen45

j( ) aCt = 2.5

j

Las componentes normales:

aBn =

vB2

=32.072

50= 20.57 m/s2 aBn = 20.57 sen45

i cos 45

j( )

aCn =

vC2

=28.852

50= 16.65 m/s2 aCn = 16.65

i

B =vBR

= 0.64 rad/s C =vCR

= 0.577 rad/s horariasVelocidades y aceleraciones angulares en B y C:

B = C = =atR

= 0.05 rad / s2 antihoraria

!

"

45

45

#

$%

aA

= 0

aCn

aCt

=2.5 m/s2

aBn

aBt

=2.5 m/s2

O

aB = 2.5 cos 45

i + sen45

j( ) + 20.57 sen45i cos 45j( ) aC = 2.5

j 16.65

i

En ocasiones, es conveniente utilizar ms de un sistema de referencia para describir el movimiento de un punto, en particular algn sistema mvil.

Movimiento absoluto de los puntos H y C: visto desde un sistema fijo (ejes fijos en B)

A

B

!

!

X fijo. absoluto

Y fijo

x

sistema m vil

H

vH

aH

movi ndose

vC

aC

Ctrayectoria absoluta

vC=

dBC

dt

absol

aC=

dvC

dt

absol

vH=

dBH

dt

absol

aH=

dvH

dt

absol

El movimiento del coche (punto C) visto por un sistema de ejes que se est moviendo se llama movimiento relativo de C respecto a ese sistema que en este caso est en H.

Movimiento relativo de C visto por el sistema mvil en H:

A

B

!

!

x

y

H

HC

arC

vrC

trayectoria relativa

C

aceleracin relativa de C

dHC

dt

mvil

= vrC

dvrCdt

mvil

= arCvelocidad relativa de C

BC

= BH

+HC

A

B

!

!

X fijo. absoluto

Y fijo

x

y

sistema m vil

H

C

HC

BC

BH

Relacin entre ambos?

Vector de posicin relativo de C respecto a H

A partir de la relacin entre vectores de posicin:

i = cosz

I + senz J

Movimiento relativo. Expresiones de Coriolis

!z

Q

X

Yqy

qx

x

y

I

J

j i !z

Sea un sistema de ejes fijo o absoluto XYZ , con vectores unitarios I, J, K

Otro sistema con el mismo origen xyz est girando en torno al eje z (idntico al Z) de forma que los vectores unitarios i, j describen un movimiento circular o giro en torno al eje Z (Z=z) con

z =dzdt

El vector i en componentes respecto al sistema

Su variacin respecto al tiempo:

di

dt = z senz I +z cosz

J =zk

i

Si el giro es en torno a un eje cualquiera con velocidad angular :

di

dt =

i

Consideremos ahora un vector cualquiera Q expresado en el sistema mvil:

Q = qx

i + qy

j + qz

k (qx , qy , qz en general, variables en el tiempo)

La variacin de Q con el tiempo:

d Qdt

=dqxdt

i +dqydt

j + dqz

dtk

+ qx

didt

+ qydjdt

+ qzdkdt

El primer corchete sera la variacin de Q vista desde el sistema mvil, ya que para l los i,j,k estaran fijos: es la derivada relativa

El segundo trmino: qx

i + qy

j + qz

k = qx

i + qy

j + qz

k( ) = Q

d Qdt

abs

=d Qdt

rel

+

Q

OC

P

X

Y

Z

x

y

z

Vamos a ver como se relacionan las velocidades y aceleraciones de una masa puntual observadas respecto a un sistema fijo OXYZ y otro mvil Cxyz que gira con

OP

= OC

+ CP

vP =dOP

dt=

dOC

dt+

dCP

dt= vC +

dCP

dt

rel+

CP

=

= vrP +vC +

CP

( ) = vrP + vaP

aP =dvrPdt

rel+

vrP +

dvCdt

+d dt

CP

+

dCP

dt

rel+

CP

( ) =

= arP +aC +

CP

+

CP

( ) + 2 vrPEn donde se ha introducido la aceleracin angular del sistema mvil:

= d

dt

Resumiendo: las expresiones de Coriolis que relacionan velocidades y aceleraciones relativas y absolutas de un punto P son

vP =vrP +

vaP

vrP velocidad relativa de P, la vista por el sistema mvilvaP =

vC + CP

velocidad de arrastre

aP =arP +

aaP +acorP

arP relativa de P vista desde el sistema mvil aaP =

aC + CP

+

CP

( ) de arrastre acorP = 2

vrP de coriolis

Los trminos de arrastre dependen de las caractersticas del movimiento del sistema mvil vC ,

aC , , .

vP =vrP +

vaP

vrP velocidad relativa de P, la vista por el sistema mvilvaP =

vC + CP

velocidad de arrastre

aP =arP +

aaP +acorP

arP relativa de P vista desde el sistema mvil aaP =

aC + CP

2 CP

de arrastre

acorP = 2

vrP de coriolis

Los trminos de arrastre dependen de las caractersticas del movimiento del sistema mvil vC ,

aC , , .

En problemas planos =

k y =

k (y resto de vectores con componentes xy) :

CP

( ) = 2 CPNotar que:

xy

X

Y

C

O

P

vP =

vrP +vC

(Todos los puntos del sistema mvil se mueven igual)

aP =

arP +aC

Sistema de referencia en traslacin: Expresiones simples de Coriolis

=

0 = 0

Si la traslacin es rectilnea y uniforme: aC =

0

aP =

arP

Las leyes de Newton son las mismas en los sistemas absolutos o en los que se trasladan con movimiento rectilneo uniforme.

y

y

x

x

Los ejes no cambian de orientacin

Misma aceleracin vista por ambos sistemas

De las expresiones de Coriolis:

El observador mvil se mueve como los ejes rojos

Es adecuado considerar unos ejes que se trasladan cuando:

El observador en movimiento (ejes rojos) se est trasladando

Cuando el cambio de orientacin no interesa, el objeto se reduce a un punto representando su posicin. Se puede elegir un observador mvil ligado al punto del avin 2 con unos ejes en traslacin curvilnea.

avi n 1

avi n 2

avi n 1

avi n 2

avi n 1

avi n 2

vP =vrP +

v1aP =

arP +a1

v1 =vr1 +

v2a1 =

ar1 +a2

La velocidad y aceleracin de un punto, P, del avin 2:

P

avi n 1

avi n 2

y

y

En cambio, si se pregunta por el movimiento de un punto del avin 1 visto por el piloto del avin 2, hay que considerar un sistema mvil que cambia de orientacin (gira) porque esta describiendo una curva y hay que utilizar las expresiones completas de Coriolis con distintas de 0

x x

y

Ejemplo: El bloque A desciende con velocidad de 0.1 m/s, y aceleracin de 1 m/s2 en el mismo sentido.Calcular vB y aB absolutas, as como las que vera un observador situado en A

A

B

yA

yB

Y

yr

O bien se puede encontrar tambin derivando respecto al tiempo el vector de posicin relativo de B respecto a A (-yrj):

AB

= ctei yr

j yr = yA yB yr =vA vB =0.2 yr = aA aB = 2

vrB = yrj = 0.2

j arB = yr

j = 2

j

la longitud del hilo que cuelga es constante:yA + yB = L yB = L yA

Derivando : vB = vA aB = aASi vA = 0.1

j vB = 0.1

j aA =

j vB =

j

vB =vrB +

vA vrB =

vB vA = 0.2

j

aB =arB +

aA arB =

aB aA = 2

j

yr

Respecto a un sistema ligado a A (en traslacin):

Absolutas, ya que yA e yB son coordenadas absolutas

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