07 - Conjuntos Numéricos

8/17/2019 07 - Conjuntos Numéricos

1/37

M atemática

Professora: Denise Cristiane Pereira Cabral


2/37

PotênciasSeja a um número real e n um número natural então temos:

= . . . … .

n vezesExemplo:

a) 2 = 2.2.2 = 8

b) 34 = 3.3.3.3 = 81

c) 879 = 879

d) 05 = 0


3/37

PotênciasPropriedades:

1 = 1.1.1 … .1 = 1n vezes

. = +

( ) = . ( . ) = .

= −

( ) =

= 1 − =


4/37

Racionalizar o denominadorO termo racionalizar o denominador de uma fração significasimplesmente obter uma fração equivalente cujo denominadornão contenha radicais (ou potências de expoente fracionário)

Exemplos:

a) = . = . .

=

b)

= ?


5/37

Notação CientíficaNa notação cientifica, o numeral e escrito como o produto de umnumero do intervalo [1; 10) por uma potência de base 10 eexpoente inteiro, na forma:

a . 10 ; em que 1 ≤ a < 10 e k∈ Z:

Exemplo:Escrevendo em notação cientifica.

a) 649 = 6,49 . 10 , pois 6,49 está entre 1 e 10 e, para escrever649 como potência de 10 deslocamos duas casas a direita.

b) 0; 000649 = 6,49 . 10 −4 , pois 6,49 está entre 1 e 10 e, paraescrever 0,000649 como potência de 10 deslocamos quatrocasas a esquerda.


6/37

Unidades de Comprimento

A unidade principal de comprimento é o metro,entretanto existem situações em que essaunidade deixa de ser prática. Se queremosmedir grandes extensões ela é muito pequena,por outro lado se queremos medir extensõesmuito “pequenas”, a unidade metro é muito“grande” .


7/37


A unidade principal de comprimento é o metro, entretantoexistem situações em que essa unidade deixa de ser prática. Sequeremos medir grandes extensões ela é muito pequena, poroutro lado se queremos medir extensões muito “pequenas”, aunidade metro é muito “grande” .

Temos as seguintes notações:Quilômetro (km); Hectômetro (hm); Decâmetro (dam); Metro(m); Decímetro (dm); Centímetro (cm); Milímetro(mm)


8/37


Regras Práticas:• Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferiordevemos fazer uma multiplicação por 10.Ex : 1 m = 10 dm• Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior,

devemos fazer uma divisão por 10.

Ex : 1 m = 0,1 dam• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar

sucessivas vezes uma das regras anteriores.Ex : 1 m = 100 cm

1 m = 0,001 km


9/37

Unidades de Volume

Regras Práticas:• Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior

devemos fazer uma multiplicação por 1000.Ex : 1 m3 = 1000 dm3 • Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior,

devemos fazer uma divisão por 1000.Ex : 1 m3 = 0,001 dam3 • Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar

sucessivas vezes uma das regras anteriores.

Quilômetrocúbico

Km3

Hectômetrocúbico

hm3

Decâmetrocúbico

dam3

Metrocúbico

m3

Decímetrocúbico

dm3

Centímetrocúbico

cm3

Milímetrocúbico

mm3

1×109 m3 1×106 m3 1×103 m3 1 m3 1×10-3 m3 1×10-6 m3 1×10-9 m3


10/37

Unidade de Litro

Notação: Hectolitro (hl); Decalitro (dal); Litro (l); Decilitro (dl); Centilitro (Cl);Mililitro(ml).

Regras Práticas:• Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer

uma multiplicação por 10.Ex : 1 l = 10 dl• Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer

uma divisão por 10.Ex : 1 l = 0,1 dal• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes

uma das regras anteriores.Ex : 1 l = 100 ml

1 l = 0,001 kl


11/37

Unidade de massa

Regras Práticas:•

Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferiordevemos fazer uma multiplicação por 10.Ex : 1 g = 10 dg• Para passar de uma unidade para outra imediatamente

superior, devemos fazer uma divisão por 10.Ex : 1 g = 0,1 dag• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar

sucessivas vezes uma das regras anteriores.Ex : 1 g = 100 mg

1 g = 0,001 kg


12/37

Unidade de massa


13/37

Razão e proporçãoRazão

Usamos razão para fazer comparação entre duas grandezas. Assim,quando dividimos uma grandeza pela outra estamos comparando aprimeira com a segunda.Definição: Sabendo que existe duas grandezas a e b, a razão entre a eb , com b diferente de zero, é o quociente entre a e b: ou a:b .

Exemplo:Seja a = 18 e b = 12, qual a razão entre a e b?1812

, mas 1812

= 96 = 3

2, que são, todas, razões equivalentes. Primeiro,

dividimos por 2, o menor número possível (com exceção do 0 e 1), edepois dividimos por 3, que era o mínimo possívelque podíamos dividir tanto o numerador, quanto o denominador.

Assim, podemos dizer que = ou a:b = 3:2.


14/37

Razão e proporçãoProporção

Proporção é a igualdade entre duas razões (equivalências entrerazões). Ou seja, se dizermos que as razões = , com b e c ≠ 0 , sãoiguais é o mesmo que dizer que elas formam uma proporção.

Propriedade fundamental da proporção“O produto dos meios é igual ao produtos dos extremos” .

Então, ao escrevermos, = , dizemos que a e d são os extremos daproporção e b e c são os meios da proporção.


15/37

Razão e proporção

Exemplos:

As razões e são iguais, logo determinam a proporção =

,

então, 2 18 = 12 3.

*Determine o valor de x na proporção: =


16/37

Proporcionalidade diretaSão aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a

variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outradobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duaspartes iguais a outra também é divida à metade.

Exemplo 1Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernoscustará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número decadernos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela

tabela:


17/37

Proporcionalidade direta

Exemplo 2:Para percorrer 300 km, um carro gastou 30 litros de combustível.Nas mesmas condições, quantos quilômetros o carro percorrerácom 60 litros? E com 120 litros?


18/37

Proporcionalidade inversaUma grandeza é inversamente proporcional quando operações

inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramosuma das grandezas temos que dividir a outra por dois, setriplicamos uma delas devemos dividir a outra por três e assimsucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados

grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo éreduzido, e se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta.

Exemplo 3 Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litroscada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantasserão necessárias?


19/37

Proporcionalidade inversa

Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui,o número de vasilhas aumenta no intuito de encher o tanque.


20/37

Proporcionalidade direta e inversa

As duas grandezas são muito utilizadas em situações decomparação, isto é comum no cotidiano. A utilização da regra detrês nos casos envolvendo proporcionalidade direta e inversa éde extrema importância para a obtenção dos resultados.


21/37

Regra de Três

Regra de três é o processo destinado a resolver problemas queenvolvam grandezas diretamente ou inversamenteproporcionais.

Assim, se em um dado problema temos grandezas diretamenteou inversamente proporcionais, podemos utilizar regra de trêssimples ou composta para resolver o problema dado.Se temos três valores e queremos encontrar um deles, usamos aregra de três simples para encontrar esse valor desconhecido.

Se temos mais de três valores, usamos a regra de três compostapara encontrar o valor desconhecido do problema.


22/37

Regra de Três Simples DiretaRegra de três simples permite encontrar um quarto valor que

não conhecemos em um problema, dos quais conhecemosapenas três deles. Assim, encontraremos o valor desconhecido apartir dos três já conhecidos .

Regra de três simples direta:Quando temos duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja,quando a variação de um deles é semelhante a variação no outro,aumentando ou diminuindo.Exemplo:1) Para se construir um muro de 17m² são necessários 3 trabalhadores.Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de51m²?


23/37

Regra de Três Simples Direta

Solução:

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

Área Nº de trabalhadores17m² 351m² X

Montando a tabela e agrupando as grandezas de mesmaespécie na mesma coluna.


24/37

Regra de Três Simples DiretaInicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido

contrário do X, isto é, para cima.Colocaremos na outra grandeza uma seta de mesmo sentido,caso as grandezas sejam diretamente proporcionais, ou uma setade sentido contrário, se as grandezas forem inversamente

proporcionais.

Perceba que a outra seta terá o mesmo sentido, já que asgrandezas sãodiretamente proporcionais (se aumentarmos a área do muro,devemos aumentar o número de trabalhadores):


25/37

Regra de Três Simples Direta

Como se trata de uma regra de três simples direta, multiplicamosos valores em cruz, isto é, em X, assim:


26/37

Regra de Três Simples DiretaLogo, montando a equação:

Portanto, serão necessários 9 trabalhadores para construir ummuro de 51m² .Resposta: C


27/37

Regra de Três Simples inversa

Quando temos duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quandoa variação de uma delas é contrária a variação no outro, quando um aumentao outro diminui e vice-versa.Exemplo:

2) Um automóvel com velocidade de 80 km/h gasta 15 minutos em certopercurso. Se a velocidade for reduzida para 60 km/h, que tempo, em minutos,será gasto no mesmo percurso?

a) 10 b) 12 c) 18 d) 20 e) 24


28/37

Regra de Três Simples inversaSolução:

Montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie namesma coluna:

Inicialmente, vamos colocar uma seta orientada no sentidocontrário do X, isto é, para cima.

Velocidade Tempo80 km/h 15 min.60 km/h X min.


29/37

Regra de Três Simples inversaTemos uma regra de três simples inversa , a seta terá sentido

contrário (se diminuímos a velocidade, o tempo do percursoaumenta ).

Como se trata de uma regra de três simples inversa, devemosinverter os valores no sentido da seta, assim transformamos emuma regra de três simples direta e então podemos multiplicar

em cruz (em X):


30/37

Regra de Três Simples inversaLogo, montando a equação:

Portanto, será gasto um tempo de 20 minutos para fazer omesmo percurso a 60 quilômetro por hora.Resposta: D


31/37

Regra de Três Composta

Regra de três composta , na matemática, é a forma de encontrarum valor desconhecido quando conhecemos três ou maisgrandezas diretamente ou inversamente proporcionais.


32/37

Regra de Três CompostaExemplo: Numa gráfica existem 3 impressoras off set que funcionam

ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo240.000 folhas. Tendo-se quebrado umas das impressoras enecessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas pordia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?

Solução: monte a tabela e agrupe as grandezas de mesma espécie namesma coluna.

a) 20 b) 18 c) 15 d) 10 e) 8

Impressoras Horas/Dia Dias Folhas3 10 4 240.0002 X 6 480.000


33/37

Regra de Três CompostaPerceba que se trata de um problema que envolve regra de três

composta, pois temos mais de três grandezas conhecidas. Vamosresolver esse problema de regra de três composta, analisando cadagrandeza relativamente à grandeza onde está o X. Assim, para resolverregra de três composta você deve reduzir o problema em várias regrade três simples.

Analisemos, inicialmente, a grandeza impressoras com horas/dia que éonde se encontra a incógnita , isto é, o X.Inicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido contrário doX, isto é, para cima. Vamos analisar a outra parte.

Inversa: se diminuímos o número de impressoras, precisamosaumentar a carga horária de trabalho. Assim, coloquemos uma setacontrária, isto é, para baixo.


34/37

Regra de Três CompostaAgora vamos analisar a grandeza dias com horas/dia, onde está o X.

Inversa: se aumentamos o número de dias de trabalho, podemosdiminuir a carga horária de trabalho. Assim, também coloquemos umaseta contrária, isto é, para baixo.

Por último, vamos analisar a grandeza folhas com horas/dia, onde estáo X.Direta: se aumentamos a quantidade de trabalho a ser feito,precisamos aumentar a carga horária de trabalho. Então, neste caso,coloquemos uma seta na mesma direção do X, isto é, para cima.


35/37

Regra de Três CompostaJuntando tudo, temos:

Então, sempre respeitando o sentido das setas, ou seja, quando for

inversa (seta vermelha) invertemos os valores (denominador, parte debaixo, vai para o numerador, parte de cima) e quando for direta deixacomo está.


36/37

Regra de Três CompostaAgora, para resolver, vamos isolar a grandeza que possui a incógnita ,

isto é, o X , para formarmos a equação. Veja:

Como pode ver, o que está antes da igualdade multiplicamos em cruz,isto é, em X; o que está depois da igualdade multiplicamos em linha.Assim, temos a seguinte equação:


37/37

Regra de Três Composta

Logo, as máquinas restantes devem funcionar 20 horas/dia paraproduzir 480.000 folhas em 6 dias .Resposta: A

Documents

07 - Conjuntos Numéricos