Upload
ngotram
View
411
Download
16
Embed Size (px)
Citation preview
Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
[MA1124] KALKULUS II
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga pada BalokIntegral Lipat Tiga pada Balok
z
∆∆∆∆xk
∆∆∆∆yk
1. Partisi balok B menjadi n bagian;
B1, B2, …, Bk, …, Bn
Definisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari Bk
2. Ambil
3. Bentuk jumlah Riemann
)z,y,x( kkk
B
Bk ∆∆∆∆zk
kkkk B)z,y,x( ∈
∑ ∆n
V)z,y,x(f
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
2
x
y
4. Jika ||∆||� 0 diperoleh limit jumlah Riemann
Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis
k
n
1kkkk
0V)z,y,x(flim ∆∑
=→∆
∑=
∆1k
kkkk V)z,y,x(f
k
n
1kkkk
0B
V)z,y,x(flimdV)z,y,x(f ∆= ∑∫∫∫=→∆
Integral Lipat Tiga pada Balok (2)Integral Lipat Tiga pada Balok (2)
∆vk = ∆xk ∆yk ∆zk �dV = dx dy dz
Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
∫∫∫∫∫∫ =BB
dzdydx)z,y,x(fdV)z,y,x(f
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
3
ContohContoh
∫∫∫B
dVyzx2Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran
B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2}
Jawab.
∫∫∫ dVyzx2 dzdydxyzx∫ ∫ ∫=2 1 2
2
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
4
∫∫∫B
dVyzx dzdydxyzx∫ ∫ ∫=1 0 1
dzdyxyz∫ ∫
=2
1
1
0
2
1
3
3
1
dzyz∫
=2
1
1
0
2
2
1
3
7
2
1
2
2
1
6
7
= z4
7=
Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangSembarang
� Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)
z
B
∫∫∫S
2 dVyzxHitung , Jika S benda padat sembarang
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
5
x
y
z
S
(gb. 1)
Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)Sembarang (2)
� Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ1(x,y) dan z=ψ2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:
z
S
z=ψ2(x,y)
z=ψ1(x,y)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
6
� Catatan:
Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S
∫ ∫ ∫∫∫∫ =b
a
x
x
yx
yxS
dxdydzzyxfdVzyxf
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
),,(),,(φ
φ
ψ
ψ
∫∫∫S
dVzyxf ),,(x
y
Sxyb
a
y=φ2(x)y=φ1(x)
(gb. 2)
ContohContoh
∫∫∫S
dVzyxf ),,(Hitung dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda
padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 danbidang-bidang z = 0, y=x, y=0
y=0
y=xz=2–½ x2z Jawab.
Dari gambar terlihat bahwa
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
7
y=0
x
ySxy
Sxy = proyeksi S pada XOY(segitiga)
Dari gambar terlihat bahwa
S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x0≤z≤ 2 – ½x2}
2
0 Sehingga,
∫∫∫S
dVxyz2 ∫ ∫ ∫−
=2
0 0
2
12
0
2
2x
x
dxdydzxyz
∫ ∫−
=2
0 0
2
12
0
22xx
dxdyzxy
Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)
∫ ∫
−=2
0 0
2
2
2
12
x
dxdyxxy
∫
+−=2
0 0
242
2
1
4
124 dxyxxx
x
∫
+−=2
753
8
12 dxxxx
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
8
∫
+−=0
82 dxxxx
2
0
864
64
1
6
1
2
1xxx +−=
3
44
3
328 =+−=
LatihanLatihan
∫∫∫S
dVz1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang
dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabungx2 + z2 = 1.
2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
9
tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.
3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.c. x2 = y, z2 =y, y = 1.d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.
∫ ∫ ∫π
++2/
0
z
0
y
0
dxdydz)zyxsin(4. Hitung
Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)dan Bola)
θθθθ r
z
P(r,θθθθ,z)
x
y
z
θθθθ r
z
P(ρρρρ,θθθθ,φφφφ)
x
y
z
φφφφρρρρ
Syarat & hubungan dg KartesiusSyarat & hubungan dg Kartesius
Koordinat Tabung Koordinat Bola
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
10
Syarat & hubungan dg Kartesiusr ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 π
x = r cos θy = r sin θz = zr2 = x2 + y2
Syarat & hubungan dg Kartesius
ρ ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 π, 0 ≤≤≤≤ φ ≤≤≤≤ πx = r cos θr = ρ sin φy = r sin θr = ρ sin φz = ρ cos φx2 + y2 + z2 = ρ2
} x = ρ cos θ sin φ
} y = ρ sin θ sin φ
Jika D benda pejal punya sumbu simetri ���� Koordinat TabungJika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik ���� Koordinat Bola
ContohContoh
1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4
z
4
D dalam koordinat:
a. Cartesius:
Jawab.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
11
x
yrθθθθ2
2
a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4}
24 x−
b. Tabung:
D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π/2, 0≤z≤4}
0
x2+y2=4
ContohContoh
2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.
z
2
D dalam koordinat:
a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 24 x−
Jawab.
2
ρρρρ
224 yxz −−=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
12
x
yrθθθθ2
2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ }
24 x−
b. Bola
D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2, 0≤θ ≤ π/2}
ρρρρ
224 yx −−0
Penggantian Peubah dalam Integral Penggantian Peubah dalam Integral Lipat TigaLipat Tiga
Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)
maka:
dimana
∫∫∫∫∫∫ =DD
dwdvdu)w,v,u(J))w,v,u(p),w,v,u(n),w,v,u(m(fdzdydx)z,y,x(f
xxx ∂∂∂
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
13
dimana
wz
vz
uz
wy
vy
uy
wx
vx
ux
)w,v,u(J
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
Jacobian
Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius ��TabungTabung
x = r cos θy = r sin θz = z
Matriks Jacobiannya:
xxx ∂∂∂
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
14
rsinrcosr
100
0cosrsin
0sinrcos
zzz
rz
zyy
ry
zxx
rx
)w,v,u(J 22 =θ+θ=θθθ−θ
=
∂∂
θ∂∂
∂∂
∂∂
θ∂∂
∂∂
∂∂
θ∂∂
∂∂
=
∫∫∫∫∫∫ θθθ=DD
dzddrr)z,sinr,cosr(fdzdydx)z,y,x(f
Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius ��BolaBola
x = ρ cos θ sin φy = ρ sin θ sin φz = ρ cos φMatriks Jacobiannya:
∂∂∂ xxx
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
15
φρφ
θφρθφρθφθφρθφρθφ
φθρ
φθρ
φθρsin
10cos
sincoscossinsinsin
coscossinsincossin
),,( 2−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
zzz
yyy
xxx
wvuJ
∫∫∫∫∫∫ φθρφρφρθφρθφρ=D
2
D
dddsin)cos,sinsin,cossin(fdzdydx)z,y,x(f
Contoh (Tabung)Contoh (Tabung)
1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloidz = x2 + y2 dan z = 4.
Z
z = 4
Jawab.
Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah:
S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , 24 x−24 x−−
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
16
x
y S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , x2 + y2 ≤ z ≤ 4}
24 x−24 x−−
Dalam koordinat tabung:
S={(r,θ,z)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π , r2 ≤ z ≤ 4}
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
∫ ∫ ∫=2
0
2
0
4
2
π
θr
drddzr∫∫∫=S
dVV 1
Sxy
Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
∫ ∫ ∫=2
0
2
0
4
2
π
θr
drddzrV
∫ ∫=2
0
2
0
4
2
π
θ drdzrr
( )∫ −=2
2
0
24 drrrπθ
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
17
( )∫0
0
0
242
4
122
−= rrπ π8=
Jadi volume benda pejalnya adalah 8π
Contoh (bola)Contoh (bola)
2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I
z
2
2
ρρρρ
224 yxz −−= D dalam koordinat:
a. Cartesius:
D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 24 x−
Jawab.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
18
x
yθθθθ2
2ρρρρ
0D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,
0≤z≤ }
24 x−
b. Bola:
D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2, 0≤θ ≤ π/2}
224 yx −−
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
∫ ∫ ∫=2/
0
2/
0
2
0
2 sinπ π
θφρφρ ddd∫∫∫=S
dVV 1
Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
∫ ∫ ∫=2/
0
2/
0
2
0
2 sinπ π
θφρφρ dddV
∫ ∫
=2/
0
2/
0
2
0
3
3
1sin
π π
θρφ drd
( )∫ −=2/ 2/
cos3
8π π
θφ d
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
19
( )∫ −=0 0
cos3
θφ d
( ) 2/
03
8 πθ= π3
4=
Jadi volume benda pejalnya adalah 4π/3
ContohContoh
∫∫∫D
2 dVx1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi
z =9 – x2 – y2 dan bidang xy.
2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi
bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4.
3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
20
3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh
bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z.
4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2 + y2 dan bidang z =4.
5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola
x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secaramenyamping oleh tabung x2+y2=4.
LatihanLatihan
6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola
x2+ y2+ z2 = 9, di luar kerucut 22 yxz +=
dan di atas bidang xy.
( )∫ ∫ ∫− −−
++3 9 9
2/3222
2 22x yx
dxdzdyzyx7. Hitung
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
21
∫ ∫ ∫− −− −−−3 9 92 22x yx
∫ ∫ ∫−
+3
0
9
0
2
0
22
2x
dxdydzyx8. Hitung
∫ ∫ ∫− −−
−−2
0
4
0
4
0
22
2 22
4x yx
dxdzdyyxz9. Hitung