07-Maglie Chiuse

7 Applicazioni ulteriori

7 Applicazioni ulteriori

7.1 Strutture con maglie chiuse

7.1.1 Analisi cinematica

Si consideri la struttura in figura 7.1: i gradi di liberta sono pari a l = 3n !c! v = 3! 0! 3 = 0, e dalla disposizione dei vincoli e facile dedurre che essae isostatica.

Fig. 7.1

Ora si immagini di connettere le due sezioni in C! e C!! in maniera tale cheesse risultino solidali una all’altra (figura 7.2). Abbiamo quindi introdotto unaconnessione tripla. Dunque si ha l = 3n ! c ! v = 3 ! 3 ! 3 = !3 per cui lastruttura risulta iperstatica. In generale possiamo osservare che ogni maglia

Fig. 7.2

chiusa rappresenta una connessione tripla che va quindi opportunamente presain considerazione nel calcolo dei gradi di liberta. Ad esempio per la strutturain figura 7.3 si ha l = !9 dunque essa e nove volte iperstatica.

Si osservi che se applicassimo la formula l = 3 + s ! v = 3 + 0 ! 3 = 0, ot-terremmo un’apparente incongruenza con il calcolo precedente. In realta que-

Corso di Scienza delle Costruzioni 122 A. A. 2009-2010

7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse

Fig. 7.3

sta formula, che permette di calcolare i gradi di liberta della struttura conside-randola come un unico corpo rigido al quale sono applicate sconnessioni e vin-coli esterni, va corretta sottraendo un numero di gradi di liberta pari a tre volteil numero delle maglie chiuse. Si ha quindi l = 3+s!v!3m = 3+0!3!9 = !9.

Si consideri ora la stessa struttura di figura 7.2 e si applichi un sistema dicarichi esterni (figura 7.4). La struttura e iperstatica, ma e facile verificarecome le tre incognite reattive VA, HE e VE siano determinabili con le soleequazioni cardinali della statica. Al contrario, non e possibile determinare lecaratteristiche della sollecitazione con le sole equazioni di equilibrio.

Fig. 7.4



Per comodita di linguaggio, e possibile utilizzare le seguenti denominazioni:

• isostaticita esterna: si ha quando le reazioni vincolari sono determinabilicon le sole equazioni di equilibrio;

• isostaticita interna: si ha quando le caratteristiche della sollecitazionesono determinabili con le sole equazioni di equilibrio.

La struttura di figura 7.4 e dunque globalmente iperstatica, isostatica ester-namente e tre volte iperstatica internamente. Per renderla isostatica e su!-ciente inserire tre sconnessioni semplici (figura 7.5) disposte in maniera taleda non consentire spostamenti rigidi infinitesimi. In tale configurazione risultal = 3n ! v ! c = 9 ! 3 ! 6 = 0, o equivalentemente l = 3 + s ! v ! 3m =3 + 3 ! 3 ! 3 = 0.

Fig. 7.5

L’analisi cinematica puo essere eseguita per via geometrica verificando pri-ma l’eventuale isostaticita o labilita interna. Si consideri la struttura priva deivincoli esterni (figura 7.6). Risulta l! = 3n ! v ! c = 3. Le tre cerniere dannocondizioni sulle possibili posizioni dei centri di rotazione relativi, che in questocaso devono coincidere con le cerniere stesse. Nella configurazione a sinistrale tre cerniere non sono allineate, dunque i tre corpi rigidi che compongonola struttura non possono subire spostamenti rigidi infinitesimi relativi; infatti,se tali spostamenti fossero diversi da zero, per il secondo teorema delle cate-ne cinematiche i tre centri relativi dovrebbero essere allineati. Quest’ultimacondizione risulta verificata nella configurazione di destra. Dunque e possibilea"ermare che nel primo caso la struttura e isostatica internamente , infatti hatre gradi di liberta e si comporta come un unico corpo rigido piano, mentrenel secondo caso vi e labilita interna.



Fig. 7.6

Per l’analisi cinematica esterna nella configurazione non labile interna-mente, basta guardare la travatura come un unico corpo rigido, che ha quinditre gradi di liberta, vincolato con un carrello e una cerniera fissa. Risultal = 3! 3 = 0 e, per la disposizione dei vincoli esterni, la struttura e isostaticaesternamente. L’isostaticita interna ed esterna implica l’isostaticita globaledella struttura.

7.1.2 Analisi statica

Sia data la struttura in figura 7.7. Per quanto visto in precedenza, essa eisostatica sia internamente sia esternamente. Le incognite reattive VA, HF

e VF possono essere determinate con le sole equazioni cardinali della statica.Risulta:

!"""#

"""$

HF + F = 0

VA + VF ! F = 0

!2LVA + FL ! 2FL = 0

"

!"""#

"""$

VA = !F

2VF =

32F

HF = !F .

Per determinare le leggi di variazione delle caratteristiche della sollecita-zione, e necessario sconnettere la struttura in corrispondenza di una sezionescelta arbitrariamente. Per semplicita sconnettiamo la struttura in corrispon-denza della cerniera in B (figura 7.8). Per la caratterizzazione statica di unacerniera, la forza interna che le due parti di struttura cosı individuate si scam-biano e una forza passante per la cerniera stessa, avente le due componenti TB

e NB.



Fig. 7.7

Fig. 7.8

Imponendo le condizioni dettate dalla caratterizzazione statica delle altredue cerniere in D e G (momento flettente nullo) e possibile ricavare le due



forze interne incognite:

!#

$

M(D) = 0

M(G) = 0"

!#

$

TBL ! NBL = 0

!F

2L + TBL + NBL = 0

"

!"#

"$

NB =F

4TB =

F

4.

E quindi possibile scrivere le leggi di variazione delle caratteristiche dellasollecitazione secondo lo schema di figura 7.7.

• AB, s # (0, L)

N(s) =F

4

T (s) =F

4

M(s) = !F

4(L ! s)

• BC, s # (0, L)

N(s) =F

4

T (s) =F

4

M(s) =F

4s

• CD, s # (0, L)

N(s) =F

4! F = !3

4F

T (s) = !F

4

M(s) =F

4(L ! s)


7 Applicazioni ulteriori 7.2 Travature reticolari

• DE, s # (0, L)

N(s) =F

4! F = !3

4F

T (s) = !F ! F

4= !5

4F

M(s) = !F

4(L + s) +

F

4L ! Fs = !5

4Fs

• EF, s # (0, 2L)

N(s) = !F

4! F = !5

4F

T (s) = F ! F

4=

34F

M(s) = !FL + Fs ! 2LF

4! F

4(s ! L) = !5

4FL +

34Fs

• AF, s # (0, 2L)

N(s) = !F

4

T (s) =F

4! F

2= !F

4

M(s) = !F

2s +

F

4s +

F

4L =

F

4(L ! s)

Nella figura seguente si riportano i diagrammi delle caratteristiche della solle-citazione.

7.2 Travature reticolari

Le travature reticolari piane sono strutture piane caratterizzate dalle seguentiproprieta (figura 7.10):

• le travi costituenti le varie parti della struttura sono rettilinee;

• le connessioni sono tutte nodi–cerniera;

• i vincoli esterni sono cerniere, carrelli o pendoli, e sono applicati nei nodi;



Fig. 7.9

• i carichi esterni sono forze concentrate applicate nei nodi.



Fig. 7.10

Se sono soddisfatte tutte le proprieta elencate, tutte le aste sono soggetteesclusivamente a sforzo normale. Infatti se si isola una delle aste (figura 7.11),poiche le connessioni sono cerniere, le forze interne che essa scambia con ilresto della struttura sono forze passanti per i suoi estremi. Scomponendo taliforze interne secondo le direzioni parallela a perpendicolare all’asse dell’asta,ed imponendo l’equilibrio dell’asta stessa si ottiene:

!#

$

NE ! NB = 0TE ! TB = 0!TELBE = 0

"

!#

$

NE = NB

TB = 0TE = 0 .

Di conseguenza il momento flettente ed il taglio sono identicamente nulli, men-tre lo sforzo normale e costante su tutta l’asta e pari a NBE = NE = NB.

Fig. 7.11

Si riportano nelle figure 7.18–7.22 alcune tipologie di travi reticolari dicomune utilizzo.



7.2.1 Analisi cinematica

Si consideri la struttura in figura 7.10. I gradi di liberta totali sono dati da:

l = 3n ! v ! c = 21 ! 3 ! (2 + 4 + 6 + 4 + 2) = 0

essendo n = 7 il numero di aste, e 4 la molteplicita delle connessioni in B e C,6 per la connessione in E. Per strutture con un elevato numero di aste questocalcolo puo risultare laborioso, per cui e conveniente considerare la strutturacome un insieme di punti materiali (nodi) connessi da aste e vincolati convincoli esterni. Ciascun nodo ha quindi 2 gradi di liberta nel piano, mentreciascun’asta rappresenta una connessione semplice per i nodi stessi (da unpunto di vista cinematico rappresentata da un’equazione che impone che ladistanza mutua tra due nodi si mantenga costante). Il numero di gradi diliberta puo quindi essere calcolato con la formula seguente:

l = 2nnodi ! a ! v ,

ove a rappresenta il numero di aste. Per la struttura in esame risulta l =10 ! 7 ! 3 = 0, dunque la travatura puo essere isostatica o al piu labile avincoli ine!caci.

Verifichiamo che la struttura sia isostatica internamente con il metodogeometrico. Si consideri l’elemento A! B ! E (figura 7.12). Risulta l! =9 ! (2 + 2 + 2) = 3, inoltre le tre cerniere, che rappresentano i possibili centridi rotazione relativi delle tre aste, non sono allineate. Per il secondo teoremadelle catene cinematiche, questo sistema non puo subire spostamenti rigidiinfinitesimi relativi, e poiche l! = 3 esso si comporta come un unico corporigido piano. Aggiungendo di volta in volta una coppia di aste si aggiungonoe sottraggono 6 gradi di liberta, e ripetendo il ragionamento precedente si puoconcludere che la struttura risultante si comporta ancora come un unico corporigido piano. In definitiva si puo concludere che una struttura reticolare cosıcomposta (travatura reticolare triangolata) si comporta come un unico corporigido piano, dunque e internamente isostatica, purche non siano verificatecondizioni di allineamento tra le cerniere e purche non vi siano aste in numerosovrabbondante (si veda la struttura in figura 7.13, la quale e internamenteiperstatica). Verificata dunque l’isostaticita interna, e facile verificare l’iso-staticita esterna della struttura considerandola come un unico corpo rigidovincolato con i vincoli esterni (cerniera in A e carrello in D.



Fig. 7.12

Fig. 7.13

7.2.2 Analisi statica

Poiche la struttura e esternamente isostatica, e possibile ricavare le reazionivincolari con le sole equazioni cardinali della statica. Risulta (figura 7.14):

!#

$

HA = 0VA + VD ! 2F = 04LVD ! FL ! 3FL = 0

"

!#

$

HA = 0VA = FVD = F .

Fig. 7.14



Le forze interne sono costituite dai soli sforzi normali, costanti lungo cia-scun’asta. Si utilizza nel seguito il metodo dell’equilibrio dei nodi. Se, comein questo caso, e possibile trovare un nodo nel quale convergano due sole aste,e possibile imporre l’equilibrio di tale nodo alla traslazione nelle due direzionie determinare di conseguenza gli sforzi normali nelle aste che vi convergono.Si consideri il nodo A (figura 7.15) e si indichino con NAB e NAE gli sforzinormali nelle aste AB e AE rispettivamente, ipotizzati positivi (quindi uscentidal nodo). Si ha:

!"#

"$

F + NAB

$2

2= 0

NAE + NAB

$2

2= 0

"

!"#

"$

NAB = !F$

2

NAE = F .

L’asta AB e caratterizzata dunque da sforzo normale negativo, ossia e un’astacompressa, mentre al contrario l’asta AE e tesa.

Fig. 7.15

A questo punto e possibile studiare l’equilibrio del nodo B (figura 7.16) ovelo sforzo in AB e noto, per cui le incognite sono gli sforzi NBC ed NBE. Si ha:

!"#

"$

F$

2$

22

+ NBC + NBE

$2

2= 0

F$

2$

22

! F ! NBE

$2

2= 0

"

!"#

"$

NBC = !F

NBE = 0 .



Analogamente per il nodo E si ottiene:!"#

"$

NED + NEC

$2

2! F = 0

NEC

$2

2= 0

"

!"#

"$

NEC = 0

NED = F .

Per il nodo D si ottiene:!"#

"$

!F ! NCD

$2

2= 0

F + NCD

$2

2= 0

" NCD = !F$

2 .

Le equazioni di equilibrio scritte per il nodo C, una volta determinati gli sforzinormali in tutte le aste, sono identicamente soddisfatte:

!"#

"$

F ! F$

2$

22

= 0

!F + F$

2$

22

= 0 .

Fig. 7.16

Il diagramma dello sforzo normale puo essere tracciato evidenziando contratto piu marcato le aste compresse e con tratteggio le aste scariche (figura7.17).



Fig. 7.17

Asta Sforzo normaleAB !

$2F

BC !FCD !

$2F

AE FED FBE 0CE 0

Nel caso piu generale, in cui non e possibile trovare un nodo in cui le inco-gnite siano solo due, e possibile scrivere sempre un sistema di 2nnodi equazionidi equilibrio in cui le incognite sono le v componenti reattive e gli a sforzinormali. Essendo la struttura isostatica, si ha l = 2nnodi ! a ! v = 0, per cui



il sistema e determinato. Nel caso in esame si avrebbe il seguente sistema:!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""#

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""$

HA + NAE + NAB

$2

2= 0

VA + NAB

$2

2= 0

!NAB

$2

2+ NBE

$2

2+ NBC = 0

!NAB

$2

2! NBE

$2

2! F = 0

NBC ! NCE

$2

2+ NCD

$2

2= 0

!NCE

$2

2! NCD

$2

2! F = 0

!NED ! NCD

$2

2= 0

VD + NCB

$2

2= 0

!NAE ! NBE

$2

2+ NBC

$2

2+ NED = 0

NBE

$2

2+ NBC

$2

2= 0 ,

che fornisce le medesime soluzioni trovate precedentemente.



Fig. 7.18



Fig. 7.19 – Linea Sibari-Cosenza - Ponte a trave reticolare sul torrente Cocchiato

Fig. 7.20 – Copertura per capannone



Fig. 7.21 – Ponte a Binzhou, Shandong Province (China)

Fig. 7.22 – Capriate di copertura per una chiesa


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