Upload
chuave892
View
155
Download
18
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
18
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A-1
Las coordenadas de un punto material que se mueve en el plano x-y vienen dadas por x=2t3+3t,
y=t3/3 – 8 donde x e y están en metros y t en segundos. Determinar la velocidad v y la aceleración a,
los ángulos que los vectores forman con el eje x cuando t=3 s
s=[2t 2+3 t ;t3
3– 8]
s '=v=[4 t+3 ; t2]
s' '=v '=a=[4 ;2 t ]
Si t= 3 segundos
Velocidad:
v=s '=[15; 9] [m/s]
ӏ v ӏ=√(15m /s )2+(9m /s )2[m/s]
ӏ v ӏ=17,4928[m/s]
Angulo respecto al eje x:
α=cos−1 15m /s17,4928m /s [°]
α=30,963 °Angulo entre la velocidad y el eje x
Aceleración:
s ' '=v '=a=[4 ;6][m/s²]
ӏ a ӏ=√(4m /s ²)2+(6m /s ²)2[m/s²]
ӏ a ӏ=7,211[m/s²]
Angulo respecto al eje x:
α=cos−1 4m /s ²7,211m / s ² [°]
α=56,31 ° Angulo entre la aceleración y el eje x
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
19
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A-2
Calcular la velocidad inicial mínima necesaria, u, para que un proyectil disparado desde el punto A,
alcance un blanco B situado en el mismo plano horizontal a una distancia de 10km.
En el eje x
ax= 0
vx= vx0
x= vx0 .t
En el eje y
ay= -g
vy= -g.t +vy0
y= -g.t2/2 +vy0.t
Donde vx0 = u.Cos (α) y vy0 = u.Sen (α)
Suponiendo que α es igual a 45° obtenemos
x=vx0 .t [m]
10000 = u.Cos (45°).t [m]
t= 10000u .cos 45 °
[s] Ecuación N° 1
10 Km
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
20
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
y=−g t 2
2+vy 0. t[m]
Igualando y a cero
0=t .(−¿2
+vy 0)[m]
t=2u sin 45°g
[s] Ecuación N° 2
Igualando la ecuación N° 1 con la ecuación N° 2
2u sin 45°g
= 10000u .cos45 °
[s]
u2= 10000.g2. sin 45 ° .cos 45 °
[m2/s2]
u=√ 10000.9,812. sin 45 ° .cos 45 °
[m/s]
u=313,209m /s
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
21
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A-4
En el instante t= 3,65s la velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y es 6,12i + 3,24j[m/s].
Su aceleración media durante los 0,02 s siguientes es 3i +6j [m/s2]. Hallar su velocidad v en el
instante t= 3,67 s y el ángulo θ entre el vector aceleración media y el vector velocidad en el mismo
instante.
v0=6,12i + 3,24j[m/s] si t= 3,65 s
a= es 3i +6j [m/s2]
ӏ a ӏ=√(3m / s ²)2+(6m / s ²)2[m/s²]
ӏ a ӏ=3√5[m/s²]
El vector velocidad es:
v=(6,12+3.t)i+ (3,24+6.t)j[m/s]
La velocidad si t= 0.02 s
v=6,18i + 3,36j[m/s]
ӏ v ӏ=√(6,18m / s)2+(3,36m /s )2[m/s]
ӏ v ӏ=7,03[m/s]
El ángulo entre los dos vectores es:
θv=cos−1 6,18m /s7,03m /s
θv=28,532°
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
22
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
θa=cos−1 3m/ s3√5m / s
θa=63,435 °
∆θ=θa−θv
∆θ=63,435 °−28,532 °
∆θ=34,9029 ° Angulo entre vectores
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
23
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A-6
Un punto se mueve el plano x-y con una componente y de la velocidad, en metros por segundos,
dada por vy=8.t. Su aceleración en la dirección x, en metros por segundos al cuadrado, viene dada
por ax= 4.t, con t en segundos. Cuando t=0, y=2, x=0 y vx=0. Hallar la ecuación de la trayectoria y
calcular la celeridad del punto cuando la coordenada x alcanza el valor 18 m.
En el eje x
ax= 4t
vx= 2.t2+v0x
x=2.t3/3 + v0x.t + xo
En el eje y
ay= 8
vy= 8.t
y= 4.t2 +yo
x=23. t 3 Ecuación N° 1
x=4.t 2+2 Ecuación N° 2
Trabajando con las dos ecuaciones
t=3√ 32x Ecuación N° 1
t=√ y−24
Ecuación N° 2
Igualándolas y despejándolas obtenemos
144 x2=( y−2)3
Celeridad cuando x= 18 m
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
24
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
x=23. t 3 Ecuación N° 1
18m=23. t 3
t=3√ 3.18m2
t=3 s
Con el tiempo calculado obtenemos la celeridad cuando x= 18 m
ӏ v ӏ=√(vc)2+(vy )2[m/s]
ӏ v ӏ=√(2. t 2)2+(8. t)2[m/s]
ӏ v ӏ=√(2.(3 s)2)2+(8.(3 s ))2[m/s]
ӏ v ӏ=30[m/s]
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
25
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A-7
Demostrar el conocido hecho de que, para una velocidad de lanzamiento dada vo, el ángulo de
lanzamiento θ=45° produce el máximo alcance R. Hallar éste. (Téngase en cuenta que esta conclusión no
es válida cuando en el análisis se incluye la resistencia del aire.)
R=√x2+ y2
Ecuación del movimiento en y:
y=−g t2
2+v 0. sin θ .t
Ecuación del movimiento en x:
x=v0 .cosθ . t
Igualando la ecuación de y a 0 (cero)
0=−g . t 2
2+v0. sin θ . t
t=2v0 .sin θ
g
Remplazando la última ecuación en el movimiento en x obtenemos:
x=2v0
2 .sin θ .cosθg
Diferenciando x en función de θ
dxdθ
=2v0
2 .(cosθ2−sinθ2)g
Igualando a 0 obtenemos
cosθ2=sin θ2
tanθ2=1
θ=π4
Este es el ángulo para el cual la distancia R es máxima
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
26
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A-8
Durante un cierto intervalo del movimiento el pasador P es obligado a moverse por la ranura parabólica
fija merced a la guía ranura vertical, la cual se mueve en la dirección x a la velocidad constante de 20
mm/s. Las cantidades están todas en milímetros y segundos. Calcular los módulos de la velocidad v y la
aceleración a del pasador P cuando x= 60 mm.
En el eje x
vx= 20
x= 20.t
En el eje y
ay= 5
vy= 5.t
y= 5.t2/2
Si t= 3 segundos la celeridad es:
ӏ v ӏ=√(vx)2+(vy )2[mm/s]
ӏ v ӏ=√(20mm /s)2+(5.(3 s))2[mm/s]
ӏ v ӏ=25[mm/s]
Si t= 3 segundos la aceleración es:
ӏ a ӏ=√(ax)2+(ay)2[mm/s²]
ӏ a ӏ=√(0)2+(5)2[mm/s²]
ӏ a ӏ=5[mm/s²]
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
27
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A-9
La velocidad de un proyectil en la boca de un fusil de largo alcance, situado en A, es u= 400 m/s. Hallar
los dos ángulos de elevación θ que permitirán al proyectil alcanzar el blanco B de la montaña.
En el eje x
ax= 0
vx= v0x
x=v0x.t
En el eje y
ay= -g.t2/2 + vyo.t
vy= -g.t + vyo
y= 4.t2 +yo
Si x= 5000 m
5000=400 t cosθ
t= 5000400 cosθ
Ecuación N° 1
Si y= 1500 m
1500=400. t sin θ−9,81. t 2
2Ecuación N° 2
Remplazando la ecuación N° 1 con la ecuación N° 2
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
28
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
1500=5000. tan θ−4,905.( 5000400 cosθ
)2
1500=5000. tan θ−766,40.¿¿
1500=5000. tan θ−766,40−766,4 .( tan θ)2
0=5000. tan θ−2266,40−766,4 .( tan θ)2
Donde las soluciones son:
tanθ1=6,03
θ1=26,1 °
tanθ2=0,49
θ2=80,58°
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
29
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A-14
La boquilla de agua despide con una velocidad vo= 14 m/s y con un angulo θ= 40°. Determinar,
respecto al pie B del murete, el punto en que el agua llega al suelo. Despreciar el efecto del espesor
del murete.
Ecuaciones del movimiento:
En el eje x
ax= 0
vx= v0.cos θ
x=v0 .cosθ t
En el eje y
ay= -g
vy= -g.t +v0.sen θ
y= -g.t2/2 + v0.sen θ.t +yo Ecuación N° 1
Utilizando la ecuación N° 1 e igualarla a 0.
0=14. sen ( 40 ) . t−12
.9,81 .t 2+ 0,3 [m]
t=1,8674 s
Con t se puede calcular la coordenada en x
x=14. cos ( 40° ) .1,8674[m ]
x=16,8047m
Queda a una distancia igual a
1 m
19 m
19 m
0.3m
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
30
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
d=19m−x
d=19m−16,8047m
d=2,952m
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
31
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A- 16
Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m con una velocidad inicial de 180 m/s con
un ángulo de 30° con la horizontal. Si se desprecia la resistencia del aire, calcular: a) la distancia x donde
el proyectil golpea al suelo, b) la altura hmax.
Ecuaciones del movimiento:
En el eje x
ax= 0
vx= v0.cos θ
x=v0 .cosθ t
En el eje y
ay= -g
vy= -g.t +v0.sen θ
y= -g.t2/2 + v0.sen θ.t +yo Ecuación N° 1
Igualando la ecuación N° 1
0=150+180. sin 30° . t−4,905. t2 [m]
t=19,8864 s
La distancia en x es:
x=180. cos30 °−9,81. t [m]
x=3099,9829m
Altura máxima
Si vy=0
0=180.sin 30 °−9,81.t [m/s]
t= 9,1743 s
hmax=150+180. sin 30 ° .9,1743−4,905. 9,17432[m]
hmax=562 ,849m
UTNSanRafael ING. ELECTROMECANICA AÑO: 2012 LEG. 5632
T.P. N° 2A COORDENADAS RECTANGULARES
HOJA
32
CATEDRA: MECÁNICA Y MECANISMOS MAXIMILIANO J. T. MARTEL
EJERCICIO N° 2A–18
Durante un vuelo de prueba, un helicóptero parte del reposo en t=0 s, los acelerómetros montados a
bordo indican que sus componentes de aceleración entre t=0s y t=10s están dadas por ax= 0,6.t [m/s2],
ay= 1,8 – 0,36.t [m/s2].Determinar la velocidad y posición del helicóptero en función del tiempo.
Ecuaciones del movimiento:
En el eje x
ax= 0,6.t
vx= v0.cos θ + 0,3.t2
x=v0 .cosθ t+ 0,1.t3 Ecuación N° 1
En el eje y
ay= 1,8-0,36.t
vy= 1,8.t-0,36.t2 +v0.sen θ
y=0,9.t2-0,06.t3+voy.t Ecuación N° 2
Ecuación N° 1: es la posición x en función del tiempo.
Ecuación N° 2: es la posición y en función del tiempo.