07 Trabalho e Energia Cinetica

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  • Verso preliminar7 de setembro de 2002

    Notas de Aula de Fsica

    07. TRABALHO E ENERGIA CINTICA............................................................................ 2MOVIMENTO EM UMA DIMENSO COM FORA CONSTANTE....................................................... 2TRABALHO EXECUTADO POR UMA FORA VARIVEL................................................................ 2

    Anlise unidimensional ................................................................................................. 3Anlise tridimensional ................................................................................................... 4

    TRABALHO REALIZADO POR UMA MOLA.................................................................................. 4UMA PARTCULA EM QUEDA LIVRE......................................................................................... 6ENERGIA CINTICA.............................................................................................................. 7TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINTICA........................................................................ 7POTNCIA .......................................................................................................................... 7

    Potncia mdia ............................................................................................................. 7Potncia instantnea..................................................................................................... 8

    SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 904 .................................................................................................................................. 909 ................................................................................................................................ 1011 ................................................................................................................................ 1117 ................................................................................................................................ 1226 ................................................................................................................................ 1327 ................................................................................................................................ 1432 ................................................................................................................................ 1537 ................................................................................................................................ 1638 ................................................................................................................................ 18

  • Prof. Romero Tavares da Silva

    Cap 07 romero@fisica.ufpb.br 2

    07. Trabalho e energia cintica

    Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia. Se uma foraexecutou um trabalho W sobre um corpo ele aumentou a energia desse corpo de W .

    Esse definio, algumas vezes parece no estar de acordo com o nosso entendi-mento cotidiano de trabalho. No dia-a-dia consideramos trabalho tudo aquilo que nos pro-voca cansao. Na Fsica se usa um conceito mais especfico.

    Movimento em uma dimenso com fora constante

    F!

    d

    F!

    d!

    W = F d dFFdW!!

    == cos

    O trabalho realizado por uma fora constante definido como o produto do deslo-camento sofrido pelo corpo, vezes a componente da fora na direo desse deslocamen-to. Se voc carrega uma pilha de livros ao longo de uma caminho horizontal, a foraque voc exerce sobre os livros perpendicular ao deslocamento, de modo que nenhumtrabalho realizado sobre os livros por essa fora. Esse resultado contraditrio com asnossas definies cotidianas sobre fora, trabalho e cansao!

    Trabalho executado por uma fora varivel

    Para uma anlise inicial, vamos considerar o grfico do trabalho versus desloca-mento para uma fora constante que atua na direo do deslocamento.

    Como foi definido anteriormente

    W = F d

    que a rea debaixo da curva, ou seja oretngulo compreendido entre as posi-es inicial e final vezes o valor da foraaplicada. Ou seja:

    W = 40 . (3,8 - 2) = 72Joules

  • Prof. Romero Tavares da Silva

    Cap 07 romero@fisica.ufpb.br 3

    Anlise unidimensional

    Quando est atuando sobre umcorpo uma fora varivel que atua nadireo do deslocamento, o grfico daintensidade da fora versus o desloca-mento tem uma forma como a da figuraao lado. O trabalho executado por essa for-a igual a rea abaixo dessa curva.Mas como calcular essa rea se a curvatem uma forma genrica, em princpio? Uma primeira aproximao para oclculo dessa rea seria dividir a rea aser calculada em pequenos retngulos,como esses pontilhados da figura aolado. A rea abaixo da curva contnuaseria aproximada pelo retngulo defini-do pela reta pontilhada. Se chamarmos o trabalho entre asposies 2 e 2,6 de Wi , teremoscomo aproximao para esse trabalho oproduto da fora F(xi) = 22,7 vezes odeslocamento xi = 2,6 - 2,0 = 0,6 . Ouseja:

    Wi = F(xi)xi

    O trabalho total, ao longo de todoo percurso considerado ser a somados trabalhos de cada pequeno percur-so:

    W = i Wi = i F(xi)xi A aproximao da curva pelos re-tngulos vai ficar tanto mais prxima doreal quanto mais subdivises conside-rarmos. E no limite em que xi formuito pequeno a aproximao ser umaigualdade. Ou seja:

    =

    iiix

    xxFLimWi

    )(0

    A equao anterior a prpria definio de integral, e desse modo o trabalho execu-tado por uma fora varivel entre uma posio inicial i e uma posio final f ser:

    = fi

    dxxFW )(

  • Prof. Romero Tavares da Silva

    Cap 07 romero@fisica.ufpb.br 4

    Anlise tridimensional

    Vamos considerar uma fora)(rF!!

    que atua em um corpo de mas-sa m , ao longo de uma trajetriaque vai do ponto inicial i at o pontofinal f , ao longo de uma curva C

    =C

    rdrFW!!!

    )(

    onde a integrao considerada ao

    )(rF!!

    rd!

    f

    ilongo da trajetria usada pelo corpo.

    De modo geral a fora considerada como:

    ),,(),,(),,()( zyxFkzyxFjzyxFirF zyx ++=!!

    edzkdyjdxird ++=

    !

    [ ] ++= fi

    Zyxif dzzyxFdyzyxFdxzyxFW ),,(),,(),,(

    onde a integrao feita ao longo da curva C que define a trajetria do corpo.

    Trabalho realizado por uma mola

    Vamos analisar o movimento de um sistema composto por um bloco de massa mque est sobre uma superfcie horizontal sem atrito, e tem preso a si uma mola. A outraextremidade da mola est fixa. Quando a mola est num estado relaxado ela no estdistendida ou comprimida. Nessa situao ela no exerce fora alguma no bloco.

    Mola relaxada

    x = 0

    Quando o bloco se desloca da posio relaxada ou de equilbrio a mola exerce so-bre ele uma fora restauradora que para que ele retorne posio de equilbrio original.Quando o deslocamento na parte positiva do eixo x a fora restauradora aponta para osentido negativo desse eixo, e quando o deslocamento se d na parte negativa do eixo xa fora restauradora aponta para o sentido positivo desse eixo.

  • Prof. Romero Tavares da Silva

    Cap 07 romero@fisica.ufpb.br 5

    Quando o deslocamento do bloco muito pequeno em comparao dimenso damola podemos considerar o que chamado de pequenas oscilaes, e neste caso pode-mos dizer que a fora restauradora proporcional ao deslocamento do bloco em relao sua posio de equilbrio. essa aproximao tambm conhecida como Lei de Hooke, epode ser expressa do seguinte modo:

    rkF!!

    =

    onde chamamos k de constante elstica da mola.

    Mola distendida

    x = 0

    Se o bloco se deslocou na parte positiva do eixo x , temos que xir =!

    e portanto

    a fora aponta para o sentido negativo do eixo: ixkF =!

    Mola comprimida

    x = 0

    Se o bloco se deslocou na parte negativa do eixo x , temos que xir =!

    e por-

    tanto a fora aponta para o sentido positivo do eixo: ixkF =!

    .

    O trabalho realizado pela mola para levar o corpo de uma posio inicial at umaposio final ser:

    ( ) rdrkrdFW fi

    f

    iif

    !!!!==

  • Prof. Romero Tavares da Silva

    Cap 07 romero@fisica.ufpb.br 6

    Como o deslocamento se d no eixo x , temos que:

    ==

    = dxxrdrdxirdxir !!

    !

    !

    logo, o trabalho realizado pela mola ser

    ( )22222 if

    x

    x

    f

    iif xx

    kxkdxxkWf

    i

    ===

    Uma partcula em queda livre

    Quando uma partcula se movimenta sob a aoda gravidade, esta a nica fora que nela atua. Quando a partcula estiver subindo, o desloca-mento elementar rd

    ! e a fora peso tm sentidos contr-

    rios, logo o trabalho executado pela fora peso entre asposies inicial e final ser:

    ( ) ( ) == fi

    f

    iif dymgdyjjmgW

    Wif = - mg ( yf - yi )

    Partcula subindo

    y final

    rd!

    gm!

    incio

    Quando a partcula estiver descendo, o desloca-mento elementar rd

    ! e a fora peso tm mesmo sentido,

    logo o trabalho executado pela fora peso entre as posi-es inicial e final ser:

    ( ) ( ) == fi

    f