07 Trabalho e Energia Cinetica

Verso preliminar7 de setembro de 2002

Notas de Aula de Fsica

07. TRABALHO E ENERGIA CINTICA............................................................................ 2MOVIMENTO EM UMA DIMENSO COM FORA CONSTANTE....................................................... 2TRABALHO EXECUTADO POR UMA FORA VARIVEL................................................................ 2

Anlise unidimensional ................................................................................................. 3Anlise tridimensional ................................................................................................... 4

TRABALHO REALIZADO POR UMA MOLA.................................................................................. 4UMA PARTCULA EM QUEDA LIVRE......................................................................................... 6ENERGIA CINTICA.............................................................................................................. 7TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINTICA........................................................................ 7POTNCIA .......................................................................................................................... 7

Potncia mdia ............................................................................................................. 7Potncia instantnea..................................................................................................... 8

SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 904 .................................................................................................................................. 909 ................................................................................................................................ 1011 ................................................................................................................................ 1117 ................................................................................................................................ 1226 ................................................................................................................................ 1327 ................................................................................................................................ 1432 ................................................................................................................................ 1537 ................................................................................................................................ 1638 ................................................................................................................................ 18

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 07 [email protected] 2

07. Trabalho e energia cintica

Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia. Se uma foraexecutou um trabalho W sobre um corpo ele aumentou a energia desse corpo de W .

Esse definio, algumas vezes parece no estar de acordo com o nosso entendi-mento cotidiano de trabalho. No dia-a-dia consideramos trabalho tudo aquilo que nos pro-voca cansao. Na Fsica se usa um conceito mais especfico.

Movimento em uma dimenso com fora constante

F!

d

F!

d!

W = F d dFFdW!!

== cos

O trabalho realizado por uma fora constante definido como o produto do deslo-camento sofrido pelo corpo, vezes a componente da fora na direo desse deslocamen-to. Se voc carrega uma pilha de livros ao longo de uma caminho horizontal, a foraque voc exerce sobre os livros perpendicular ao deslocamento, de modo que nenhumtrabalho realizado sobre os livros por essa fora. Esse resultado contraditrio com asnossas definies cotidianas sobre fora, trabalho e cansao!

Trabalho executado por uma fora varivel

Para uma anlise inicial, vamos considerar o grfico do trabalho versus desloca-mento para uma fora constante que atua na direo do deslocamento.

Como foi definido anteriormente

W = F d

que a rea debaixo da curva, ou seja oretngulo compreendido entre as posi-es inicial e final vezes o valor da foraaplicada. Ou seja:

W = 40 . (3,8 - 2) = 72Joules



Anlise unidimensional

Quando est atuando sobre umcorpo uma fora varivel que atua nadireo do deslocamento, o grfico daintensidade da fora versus o desloca-mento tem uma forma como a da figuraao lado. O trabalho executado por essa for-a igual a rea abaixo dessa curva.Mas como calcular essa rea se a curvatem uma forma genrica, em princpio? Uma primeira aproximao para oclculo dessa rea seria dividir a rea aser calculada em pequenos retngulos,como esses pontilhados da figura aolado. A rea abaixo da curva contnuaseria aproximada pelo retngulo defini-do pela reta pontilhada. Se chamarmos o trabalho entre asposies 2 e 2,6 de Wi , teremoscomo aproximao para esse trabalho oproduto da fora F(xi) = 22,7 vezes odeslocamento xi = 2,6 - 2,0 = 0,6 . Ouseja:

Wi = F(xi)xi

O trabalho total, ao longo de todoo percurso considerado ser a somados trabalhos de cada pequeno percur-so:

W = i Wi = i F(xi)xi A aproximao da curva pelos re-tngulos vai ficar tanto mais prxima doreal quanto mais subdivises conside-rarmos. E no limite em que xi formuito pequeno a aproximao ser umaigualdade. Ou seja:

=

iiix

xxFLimWi

)(0

A equao anterior a prpria definio de integral, e desse modo o trabalho execu-tado por uma fora varivel entre uma posio inicial i e uma posio final f ser:

= fi

dxxFW )(



Anlise tridimensional

Vamos considerar uma fora)(rF!!

que atua em um corpo de mas-sa m , ao longo de uma trajetriaque vai do ponto inicial i at o pontofinal f , ao longo de uma curva C

=C

rdrFW!!!

)(

onde a integrao considerada ao

)(rF!!

rd!

f

ilongo da trajetria usada pelo corpo.

De modo geral a fora considerada como:

),,(),,(),,()( zyxFkzyxFjzyxFirF zyx ++=!!

edzkdyjdxird ++=

!

[ ] ++= fi

Zyxif dzzyxFdyzyxFdxzyxFW ),,(),,(),,(

onde a integrao feita ao longo da curva C que define a trajetria do corpo.

Trabalho realizado por uma mola

Vamos analisar o movimento de um sistema composto por um bloco de massa mque est sobre uma superfcie horizontal sem atrito, e tem preso a si uma mola. A outraextremidade da mola est fixa. Quando a mola est num estado relaxado ela no estdistendida ou comprimida. Nessa situao ela no exerce fora alguma no bloco.

Mola relaxada

x = 0

Quando o bloco se desloca da posio relaxada ou de equilbrio a mola exerce so-bre ele uma fora restauradora que para que ele retorne posio de equilbrio original.Quando o deslocamento na parte positiva do eixo x a fora restauradora aponta para osentido negativo desse eixo, e quando o deslocamento se d na parte negativa do eixo xa fora restauradora aponta para o sentido positivo desse eixo.



Quando o deslocamento do bloco muito pequeno em comparao dimenso damola podemos considerar o que chamado de pequenas oscilaes, e neste caso pode-mos dizer que a fora restauradora proporcional ao deslocamento do bloco em relao sua posio de equilbrio. essa aproximao tambm conhecida como Lei de Hooke, epode ser expressa do seguinte modo:

rkF!!

=

onde chamamos k de constante elstica da mola.

Mola distendida

x = 0

Se o bloco se deslocou na parte positiva do eixo x , temos que xir =!

e portanto

a fora aponta para o sentido negativo do eixo: ixkF =!

Mola comprimida

x = 0

Se o bloco se deslocou na parte negativa do eixo x , temos que xir =!

e por-

tanto a fora aponta para o sentido positivo do eixo: ixkF =!

.

O trabalho realizado pela mola para levar o corpo de uma posio inicial at umaposio final ser:

( ) rdrkrdFW fi

f

iif

!!!!==



Como o deslocamento se d no eixo x , temos que:

==

= dxxrdrdxirdxir !!

!

!

logo, o trabalho realizado pela mola ser

( )22222 if

x

x

f

iif xx

kxkdxxkWf

i

===

Uma partcula em queda livre

Quando uma partcula se movimenta sob a aoda gravidade, esta a nica fora que nela atua. Quando a partcula estiver subindo, o desloca-mento elementar rd

! e a fora peso tm sentidos contr-

rios, logo o trabalho executado pela fora peso entre asposies inicial e final ser:

( ) ( ) == fi

f

iif dymgdyjjmgW

Wif = - mg ( yf - yi )

Partcula subindo

y final

rd!

gm!

incio

Quando a partcula estiver descendo, o desloca-mento elementar rd

! e a fora peso tm mesmo sentido,

logo o trabalho executado pela fora peso entre as posi-es inicial e final ser:

( ) ( ) == fi

f

iif dymgdyjjmgW

Wif = mg ( yf - yi )

Partcula descendo

y incio

rd!

gm!

final

Quando a partcula est subindo a fora peso executa uma trabalho negativo, ecomo conseqncia diminui a energia cintica da partcula. Por outro lado, quando a par-tcula est descendo a fora peso executa uma trabalho positivo, e como conseqnciaaumenta a energia cintica da partcula.



Energia cintica

Define-se a energia cintica de uma partcula de massa m que viaja com veloci-dade v , como:

2

21 vmK =

Mostraremos adiante que o trabalho realizado pela resultante de foras que atuaem uma corpo igual variao da sua energia cintica, ou seja:

Wif = K = Kf - Ki

Teorema do trabalho - energia cintica

Considere uma partcula de massa m que se move sob a ao de uma resultantede foras F . O trabalho W realizado por esta fora dobre a partcula ser:

( ) == fi

f

idxmadxxFW )(

mas, por outro lado

( ) ( )( )dvmvdtdtdv

dtdxmdt

dtdx

dtdvmdx

dtdvmdxma =

=

=

=

ou seja:222

21

21

21

if

f

i

f

imvmvvmvdvmW ===

Considerando que2

21 vmK =

temosKKKW if ==

Potncia

A potncia mede a capacidade de um sistema produzir (ou absorver) energia. Ela a razo entre a energia produzida (ou absorvida) e o intervalo de tempo necessrio paraessa produo (ou absoro).

Dependendo do nosso interesse ou dos nossos instrumentos podemos desejarmedir a potncia mdia ou potncia instantnea.

Potncia mdia

Nos d a medida da energia produzida (ou absorvida) W num certo intervalo detempo t .

tWP =



Potncia instantnea

Nos d a medida da energia produzida (ou absorvida) num intervalo de tempomuito pequeno, da instantnea. til quando queremos acompanhar a produo (ou ab-soro) de energia de maneira precisa.

dtdW

tWLimP

t=

= 0

vFPdtrdFPrdFdW

!!!!!!

===



Soluo de alguns problemas

Captulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio

04 Um objeto de 102kg est inicialmente movendo-se em linha reta com uma velocida-de de 53m/s . Se ele sofre uma desacelerao de 2m/s2 at ficar imvel:

a) Qual a intensidade da fora utilizada?

amNPF!!!!

=++

Decompondo as foras segundo eixoscartesianos, encontramos:

=

=

0PN

maF

v0 v = 0 N

!

F!

P!

d!

Logo:F = ma = 204N

b) Qual a distncia que o objeto percorreu antes de parar?

av

dadvv2

2202

02

== = 702,25m

c) Qual o trabalho realizado pela fora de desacelerao?

Podemos calcular o trabalho de duas maneiras equivalentes:

====

202

1 mvKWFddFW

!!

W = - 143.259Joules




09 A figura ao lado mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento deum peso P . Suponha que o atrito seja desprezvel e que as duas polias de baixo, squais est presa a carga, pesem juntas 20N . Uma carga de 840N deve ser levan-tada 12m .

a) Qual a fora mnima F!

necessriapara levantar a carga?

Ao puxar a corda exercendo a foraN!

, executaremos um certo trabalho W. Ao elevar o peso P , o conjunto deroldanas executar, tambm, um certotrabalho. Esses dois trabalhos seroiguais, pois a energia em questo aquela que fornecemos ao atuar com afora F

! . A fora mnima que o con-

junto de roldanas deve fazer atuar so-bre o corpo para elev-lo com velocida-de constante de uma altura H igualao peso do corpo, logo:

W = P H

Para elevar o corpo de uma altura H ,

H T

!

F!

P!

L

deveremos puxar a corda ( com F!

) de um comprimento L , logo:

W = F Le como esses trabalhos so iguais:

PLHFFLPHW ===

Para descobrir qual a relao entre H e L deste problema, vamos fazer umaanalogia com outros tipos de arranjos de roldanas.

H = LF = P F

! H = L/2F = P/2 F

! H = L/3F = P/3 F

!



No arranjo mais simples, o da esquerda da figura anterior, temos 1 corda e umtirante. No arranjo seguinte temos 2 cordas e um tirante e no terceiro arranjo te-mos 3 cordas e um tirante.No nosso problema temos 4 cordas e um tirante, logo:

H = L/4F = P/4 = ( 840 + 20)/4= 215N

b) Qual o trabalho executado para levantar a carga at a altura de H = 12m ?

W = P H = (840 + 20) 12 = 10.320Joule

c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda?

L = 4H = 48m

d) Qual o trabalho executado pela fora F!

para realizar esta tarefa?

W = F L = 10.320Joules


11 Uma arca de 50kg empurrada por uma distncia de 6m , com velocidade cons-tante, numa rampa com inclinao de 300 por uma fora horizontal constante. O co-eficiente de atrito cintico entre a arca e a rampa 0,20 .

a) Calcule o trabalho realizado pela fora aplicada.

Como a arca se move com velocidadeconstante, a acelerao nulo e por-tanto:

0=+++ NPFFa!!!!

Decompondo as foras, encontramos:

=

=

0sen

0cos

aFPF

PN

y x N

! F

!

aF!

d!

P

!

F = Fa - P sen = C N + P senMas Fa = C N , logo

F = P ( sen + C cos )

dFdFWF ==!!

= 1.979,22Joule



b) Calcule o trabalho realizado pelo peso da arca.

dPWP!!

= = - P d sen = - 1.470Joules

c) Calcule o trabalho realizado pela fora de atrito.

dFW aa!!

= = - Fa d = C N d= C P d cos = -509,22

fcil perceber que nulo o trabalho executado pela resultante de foras. Po-demos mostrar isso de diversas maneiras:

( ) 0=+++=+++= NaPFaR WWWWdNFPFW !!!!!O trabalho executado pela normal nulo pois ela perpendicular ao vetor deslo-camento.

WR = K = 0


17 Qual o trabalho realizado por uma fora jixF 32 +=!

(em Newtons) , onde x estem metros, que exercida sobre uma partcula enquanto ela se move da posioinicial jiri 32 +=

! (em metros) at a posio final jirf 34 =

! (em metros) ?

ri = ( 2, 3 )rf = ( -4 , -3 )

Como no foi mencionada a trajet-ria, podemos escolher diversospercursos para a partcula entre ospontos inicial e final.Vamos calcular o trabalho usandoduas trajetrias: a reta que une osdois pontos e uma parbola quepassa por eles.Como j foi dito anteriormente:

=C

if rdFW!!

[ ] += fi

yxif dyyxFdxyxFW ),(),(

a) Vamos considerar inicialmente a trajetria retilnea y(x) = x + 1

A imposio da trajetria no clculo da integral acontece quando usamos na for-a e nas diferenciais a dependncia y(x) definida pela trajetria.

dxdxdyxyxFdxxyxFrdF yx

+= ))(,())(,(!!

Teremos desse modo, todo o integrando como funo de x .



Neste problema:

jixF 32 +=!

e 1=dxdy

logo( )dxxdxdxxrdF 3232 +=+= !!

( ) ( ) ( ) JxxdxxWif 618122434163324

2

4

2

4

2

2==+=+=+=

+

+

+

b) Vamos considerar inicialmente a trajetria parablica y = - x2/2 + 5 .

Neste problema:

jixF 32 +=!

e xdxdy

=

( ) dxxdxxdxxrdF =+= 32!!

( ) JxdxxWif 641621

2

4

2

24

2====

+

+

No foi por acaso que o resultado do trabalho executado entre dois pontos, poressa fora, no dependeu da trajetria. Existe uma categoria de foras - chama-das foras conservativas - para as quais o trabalho entre dois pontos s dependedesses pontos. De modo geral, uma fora ),( trF

!! conservativa quando o seu

rotacional nulo, ou seja:0),( = trF

!!


26 Uma fora nica age sobre um corpo que est se movendo em linha reta. A figura aseguir mostra o grfico da velocidade em funo do tempo para esse corpo. Determi-ne o sinal (positivo ou negativo) do trabalho realizado pela fora sobre o corpo nosintervalos AB , BC, CD e DE

AB Neste intervalo a curva uma reta,que passa pela origem, e portanto avelocidade uma funo crescentedo tempo at atingir um certo valorv0 , e tem a forma:

v = a1 t

O movimento unidimensional e avelocidade crescente, logo a foraatua na direo do deslocamento edesse modo:

0>== FddFWAB!!

v

B C

+ A D t 0 t1 t2 t3 t4

- E



BC Neste intervalo a velocidade constante v0 , logo a acelerao nula e por-tanto a fora resultante tambm nula. Consequentemente o trabalho da foraresultante ser nulo:

WBC = 0

CD Neste intervalo a velocidade decrescente, iniciando o intervalo com valor v0 eterminando com velocidade nula. A forma funcional do tipo:

v = v0 - a2 ( t - t2 )

onde a2 > 0 . O movimento unidimensional e a velocidade decrescente, logoa fora atua na direo contrria ao deslocamento e desse modo:

0== FddFWDE!!


27 Uma mangueira de incndio desenrolada puxando-se horizontalmente uma de suasextremidades ao longo de uma superfcie sem atrito com velocidade constante de2,3m/s . A massa de 1m de mangueira 0,25kg .Qual a energia cintica fornecidapara desenrolar 12m de mangueira?

A fora F!

uma fora varivel porque medida que a mangueira desenroladauma maior parte dela passa a se movi-mentar em contato com o solo e atritan-do-se com ele. Como o atrito vai aumen-tado a fora externa deve aumentar paraque a mangueira desenrolada tenha velo-cidade constante.

0=+++ PNFF a!!!!

PNFFFF

PN

CCa

a

===

=

=

0

0

F!

N!

aF!

F!

P!



onde P a parte da mangueira que est em movimento. A densidade linear demassa da mangueira passvel de ser calculada:

LM

= = 0,25kg/mQuando a mangueira tiver um comprimento x desenrolado e em movimento, o pesodessa parte ser P(x) onde:

P(x) = g xEnto:

F(x) = C g xO trabalho ser:

=== Lo

L

oCC

LgdxxgdxxFW2

)(2

Apesar do enunciado ter induzido uma soluo nessa direo, no se pode resolverdesse modo pois no se conhece o coeficiente de atrito C entre a mangueira e opiso.

No entanto a soluo muito mais simples! E noutra direo, j que no se pediu otrabalho para vencer o atrito enquanto se desenrola, mas para se vencer a inrcia.

O trabalho da fora resultante igual variao da energia cintica. Existe uma for-a, e no essa fora F

! mencionada, responsvel por tirar do repouso, aos poucos

- infinitesimalmente, cada parte da mangueira. Ela atua por um instante! O trabalhoque ela produz aquele necessrio para colocar TODA a mangueira em movimentode velocidade constante.

( ) 2221

21 vLMvKW === = 7,935Joules


32 Um homem que est apostando corrida com o filho, tem a metade da energia cinticado garoto, que tem a metade da massa do pai. Esse homem aumenta a sua veloci-dade em 1m/s e passa a ter a mesma energia cintica da criana.Quais eram as velocidades originais do pai e do filho?

Vamos equacionar as vrias informaes fornecidas:

i.

=

= 22

21

21

21

21

GGHHGH VMVMKK

ii. GHGH MMMM 22

==

iii. ( ) 22211

21

GGHH VMVM =+

Usando i. e ii. encontramos:



( ) HGGHGGHG VVVVVMVM 24412

21 2222

===

Usando ii. e iii. encontramos:

( )( ) ( )2

12112

21 2222 G

HGGHG

VVVMVM =+=+

Usando os dois ltimos resultados, encontramos:

( ) ( )12

122

21 22

2

===+ HHH

H VVVV

e finalmente:VH = 2,41m/s e VG = 4,82m/s


37 Um caixote com uma massa de 230kg est pendurado na extremidade de uma cor-da de 12m de comprimento. Ele empurrado com uma fora horizontal varivel F

! ,

at desloc-lo de 4m horizontalmente.

a) Qual o mdulo de F!

quando o caixote se encontra na posio final?

Vamos considerar que o caixote des-locado com velocidade constante. Nadafoi mencionado respeito, ento esco-lheremos a situao mais simples, poisnesse caso a acelerao ser nula.Sendo assim, a segunda Lei de Newtonter a forma:

0=++ PFT!!!

Decompondo essas foras, encontra-mos:

=

=

0cos

0sen

PT

TF

y L

T!

F!

x

P!

s

tantan

cossen PF

PF

TT

===

Mas

PsL

sFsL

srs

=

==2222

tan = 796,90N

b) Qual o trabalho total executado sobre o caixote?

Como a resultante de foras nula, o trabalho executado por essa fora nulo.



c) Qual o trabalho executado pela corda sobre o caixote?

O trabalho elementar executado pela fora F!

dado por:

cosdrFrdFdWF ==!!

Mas j foi mostrado que

F = P tan

e podemos observar que

dr = L dlogo

dWF = ( P tan) (L d) cos

dWF = L P sen d

== 0

sen dPLdWWf

iFF

( ) cos1cos0

== PLPLWF

L

rd!

F

!

s

Se considerarmos H como a altura que o caixote foi elevado:

H = L - L cos = L ( 1 - cos )e ento

WF = P H = m g HMas como

( ) 22221cos1 sLLL

sLLLH =

== =0,686m

temosWF = m g H = 1.546,90Joules

d) Qual o trabalho executado pelo peso do caixote?

O trabalho elementar executado pelafora P

! dado por:

( )090cos +== drFrdPdWP !!

dPLdrPdWP sensen ==

F

f

iPP WdLPdWW ===

0sen

WP = - m g H = - 1.546,90Joules

rd!

P!




38 Um bloco de 250g deixado cair sobre uma mola vertical com uma constante demola k = 2,5N/cm . A compresso mxima da mola produzida pelo bloco de 12cm.

a) Enquanto a mola est sendo comprimida, qual o trabalho executado pela mola?

MF!

y = 0 rd

!

y = L

y

m = 250g = 0,25kgk = 2,5N/cm = 250N/mL = 12cm = 0,12m

O trabalho definido como:

= fi

rdFW!!

O elemento de integrao rd!

tem comprimento infinitesimal e aponta na dire-o de integrao, portanto neste caso teremos dyjrd =

! . Como foi definido

anteriormente, a fora que a mola exerce no objeto dada pela Lei de Hooke:

jykFM =!

e o trabalho executado por essa fora ser:

( ) ( ) 200 2

1 kLdyykdyjjykdWWLLf

iM ==== = - 1,8J

b) Enquanto a mola est sendo comprimida, qual o trabalho executado pelo peso dobloco?

gmjgmP ==!!

( ) ( ) mgLdymgdyjgmjdWW LLfi

P ==== 00

= + 0,294J



c) Qual era a velocidade do bloco quando se chocou com a mola?

O trabalho executado pela fora resultante igual a variao da energia cintica.A fora resultante :

PFF MR!!!

+=

e o trabalho executado por essa fora ser:

( ) =+=+=+== fi

PM

f

iM

f

i

f

iMRR KWWrdPrdFrdPFrdFW

!!!!!!!!!

mW

vWmvKKKK RRiif2

21 2

===== = 3,47m/s

d) Se a velocidade no momento do impacto for multiplicada por dois, qual ser acompresso mxima da mola? Suponha que o atrito desprezvel.

Vamos considerar que nessa nova situao a mola se comprimir de H . Refa-zendo o raciocnio anterior, temos:

( ) 222 2221

21 mvvmKmgHkHWR ===+=

0420221 2222

=

=++k

mvHkmgHmvmgHkH

A nica soluo positiva dessa equao :

H = 0,23m

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07 Trabalho e Energia Cinetica