07 trigonometria

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1. Trigonometra 7MATEMTICAS B 113Antes de empezar.1.Los ngulos y su medida . pg. 74Recorridos en la circunferenciaRadianesGrados sexagesimalesDe radianes a gradosMidiendo ngulos2.Razones trigonomtricas . pg. 76Razones trigonomtricasSen y cos en la circunferenciaTangente en la circunferenciaRazones de 30, 45 y 603.Relaciones trigonomtricas pg. 78Relaciones fundamentales4.Resolver tringulos rectngulos . pg. 79Con un ngulo y la hipotenusaDados un ngulo y un catetoConocidos dos lados5.Razones de ngulos cualesquiera . pg. 80SenoCosenoTangente6.Aplicaciones de la trigonometra .. pg. 81Resolver problemas mtricosEjercicios para practicarPara saber msResumenAutoevaluacinActividades para enviar al tutorObjetivosEn esta quincena aprenders a: Calcular las razonestrigonomtricas de un ngulo. Hallar todas las razonestrigonomtricas de un ngulo apartir de una de ellas. Resolver tringulos rectnguloscuando se conocen dos lados oun lado y un ngulo. Resolver situacionesrelacionadas con la geometraen las que se precise calcularngulos y distancias entre dospuntos. Utilizar la calculadora paraobtener razones o ngulos. 2. 114 MATEMTICAS B 3. TrigonometraAntes de empezarInvestigaSeguramente habrs visto esta seal en las carreteras y conoces lo que indica:pendiente prolongada.Tambin recordars el concepto de pendiente de una recta. Segn ste el 10%significa que cada 100 m recorridos en horizontal, subimos (o bajamos) 10 envertical. Pero algunos interpretan los 100 m como el camino real recorrido.T qu opinas?, influye mucho considerarlo de una u otra forma?.RecuerdaAntes de seguir adelante te conviene comprobar que recuerdas la semejanzade tringulos y el Teorema de Pitgoras.MATEMTICAS B 115En el conjunto megaltico deStonehenge (Gran Bretaa), construidoentre 2200 y 1600 a.C., la alineacin dedos grandes piedras indica el da mslargo del ao.El primer antecedente escrito de latrigonometra lo encontramos en elproblema 56 del papiro de Rhind.Escrito por Ahms alrededor del 1800a.C. transcribiendo otro del 500 a.C.La trigonometra nace con laobservacin de los fenmenosastronmicos.En la antigua Babilonia se introdujola medida del ngulo en grados.La divisin de la circunferencia en360, probablemente va unida a la delao en 360 das.As, como el sol recorre unacircunferencia en un ao, un gradosera el recorrido en un da.Con la cultura griega la trigonometraexperiment un nuevo y definitivoimpulso.Aristarco de Samos (s. III a.C.) hallla distancia al sol y a la lunautilizando tringulos.Hiparlo de Nicea (s. II a.C.) esconsiderado como el inventor de latrigonometra.Ptolomeo, en el siglo II, escribi elAlmagesto que influy a lo largo detoda la Edad Media.El desarrollo de la trigonometra debemucho a la obra de los rabes,quienes transmitieron a Occidente ellegado griego.Fueron los primeros en utilizar latangente.Hacia el ao 833, Al-Kwuarizmiconstruy la primera tabla de senos.En Europa se publica en 1533, elprimer tratado de trigonometra:De trianguli omnia modi, libri V.Escrito en 1464 en Kningsberg, porJohann Mller, conocido como elRegiomontano.Newton utiliza en 1671 lascoordenadas polares.La fsica de los fenmenosondulatorios, como el producido poruna cuerda que vibra, llev a Euler(1707-1783) al estudio de lasfunciones trigonomtricas.Hoy, en nuestrosdas, las utilidadesde la trigonometraabarcan los msdiversos campos:de la topografa a laacstica, la ptica yla electrnica. 4. Trigonometra1. Los ngulos y su medidaTrigonometra es una palabra que deriva del griego, Tri () tres, gono () ngulo,metra () medida, es decir, "medida de tresngulos". Puedes consultar la definicin detrigonometra que da el diccionario de la R.A.E.En este curso se tratar nicamente la trigonometraplana.Con objeto de estudiar los ngulos y su medidaconsideraremos que un ngulo es un recorrido en lacircunferencia con centro el origen y de radio unidad ocircunferencia goniomtrica, el punto de partida deestos recorridos se situar en el punto decoordenadas (1,0) y la medida de un ngulo ser lamedida de ese recorrido.Los ngulos pueden tener sentido positivo o negativosegn sea el de su recorrido; si es contrario al de lasagujas del reloj ser positivo y si es igual, negativo.RadianesMedir un ngulo es medir su recorrido en lacircunferencia.Como la medida de toda la circunferencia es2radio, resulta conveniente tomar como unidad demedida el radio.En las figuras, los ngulos se representan en unacircunferencia de radio 1, ello no significa que el radiomida 1 cm o 1 pie o 1 m, sino que el radio es launidad de medida tomada. Por razones evidentes aesta unidad se le llama radin.Grados sexagesimalesYa conoces el sistema sexagesimal de medida dengulos.Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales,obtenemos un grado, a su vez cada grado secompone de 60 minutos y cada minuto de 60segundos.As un ngulo se mide en:grados minutos' segundos''116 MATEMTICAS BEl ngulo de 1 radin es aquelcuyo recorrido en la circunferenciaes igual al radio.Mide ngulos conel transportador 5. TrigonometraMATEMTICAS B 117180EJERCICIOS resueltos1. Dibuja en la circunferencia goniomtrica los ngulos de 120, -50 y 315.2. Dibuja en la circunferencia goniomtrica el ngulo de 5/6, 3/4, y 3/2 rad.3. Pasa a radianes: a) 150, b) 210, c) 270, d) 605150a) rad6180150= 7210= b) rad6180210= =3270c) rad2180270= 60= d) rad180 360= =4. Pasa a grados: a) 11/6 rad, b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad1801111a) 3306rad6==180b) 454rad4==18055c) 2254rad4==18022d) 1203rad3==De grados a radianes:9 multiplicamos por180De radianes a grados:9 multiplicamos porDe grados a radianesy de radianes a gradosEl semipermetro de la semicircunferencia es radio radianes = 180 gradoses decir, veces un radin = 180 veces un grado 1 radin = 180 1 gradoSi despejamos el grado resulta:1 grado = /180 radianes ~ 0.0175 radianesSi despejamos el radin resulta:1 radin = 180/ grados ~ 57.2957 grados 6. Trigonometra2. Razones trigonomtricasEn los tringulos semejantes los ngulos son iguales ylos lados homlogos son proporcionales. La raznentre los lados de un tringulo determina su forma.Dado un tringulo rectngulo, las razonestrigonomtricas del ngulo agudo se definen:9 El seno es el cociente entre el cateto opuestoy la hipotenusa.9 El coseno es el cociente entre el catetoadyacente y la hipotenusa.9 La tangente es el cociente entre el catetoopuesto y el cateto adyacente.Estas razones no dependen del tamao del tringulosino del ngulo.Seno y coseno en la circunferenciaEn la figura se ha representado el ngulo en lacircunferencia goniomtrica o de radio unidad.En el tringulo rectngulo que se forma como lahipotenusa es 1, el cateto opuesto es el sen y eladyacente el cos .Es importante recordar elsiguiente tringulo:1Observa que (cos , sen ) son las coordenadas delpunto final del ngulo en la circunferencia de radiounidad.Tangente en la circunferenciaEn la figura se comprende por qu al cociente entre elcateto opuesto y el cateto adyacente se le llamatangente, su valor queda definido sobre la rectatangente a la circunferencia en el punto (1,0).Observa que cuando el cateto adyacente vale 1, la hipotenusaes igual a la inversa del cos .Al cociente:hipotenusacateto adyacente1cos=se le llama secante de y se abrevia con sec .118 MATEMTICAS B 90cateto adyacentecateto opuestocateto opuestocateto adyacentecateto opuesto = =cateto adyacentetghipotenusacoshipotenusasen =sen cos sec tg 1= sen = cos = tg 7. Trigonometra314sen = = d) sen = =0,83cos = = e) cos = =0,6 = =MATEMTICAS B 119En un tringuloequiltero losngulos miden 60Con el Teorema dePitgoras se calculala altura31Tomamos uncuadrado de lado 1Con el Teorema dePitgoras se calculala diagonalRazones de 30, 45 y 60Los ngulos de 30, 45 y 60 aparecen con bastantefrecuencia, fjate cmo se calculan sus razones apartir de la definicin si buscamos los tringulosadecuados.sen cos tg30123233=45222216032123Memorizar esta tabla es fcil si observas el orden queguardan. Una vez aprendidos los senos con las racesconsecutivas, los cosenos salen en orden inverso.EJERCICIOS resueltos5. En el tringulo de la figura calcula:a) sen d) sen b) cos e) cos c) tg f) tg 3a) 0,6554b) 0,8553tg = = f)c) 0,7544tg 1,33)6. Obtn con la calculadora:a) sen 30 = 0,5b) cos 60 = 0,5c) tg 45 = 17. Obtn con la calculadora los ngulos y delejercicio 5.: Tecleamos 0 . 6 SHIFT sin 36,87: Tecleamos 0 . 8 SHIFT sin 53,13Observa que en efecto suman 90.Con la calculadora Dado un ngulo obtenersus razones trigonomtricas.Por ejemplo el sen 28 30Pon la calculadora en modo DEGTeclea 28 30 sinObtenemos: 0,477158760En algunas calculadoras hay quepulsar la tecla sin antes deintroducir el ngulo, compruebacmo funciona la tuya.Si queremos obtener el cos latg procederemos de la mismaforma pero pulsando las teclascos y tan respectivamente. Dada una razn obtener elngulo correspondiente.Con el mismo valor que tienesen la pantalla : 0,477158760Comprueba que la calculadorasigue en modo DEGTeclea SHIFT sinObtenemos : 28,5 en grados,si queremos grados, minutos ysegundos, pulsamos SHIFT obteniendo 28 3034522x 122 = = diag = 12 + 12 = 2 8. Trigonometra3. Relaciones fundamentalesSi se aplican la semejanza y el teorema de Pitgoras alos tringulos rectngulos "bsicos", es decir, conhipotenusa=1 o con cateto adyacente=1, se obtienenlas relaciones fundamentales de la trigonometra:Los tringulos OBA y OBA son semejantes:sen tg + = sen354sentg = =2 2sen2 21cos sensensen+ 2 = + sec2120 MATEMTICAS BEJERCICIOS resueltos8. Comprueba en el ngulo del tringulo de la figura que se cumplen las relacionesfundamentales.1252516259254535sen cos2 2+ 2 2 = = + = 3= = = tg4cos59. Calcula el coseno y la tangente de un ngulo agudo tal que sen =0,3cos2 = 1 sen2 cos2 = 1 0,32 = 1 0,09 = 0,81 cos = 0,81 = 0,9130,30,9cos =10. Comprueba que se cumple la relacin: 1+ tg2 =sec2 = = + =+ = 2 22coscoscos1cos1 tg 1Recuerda el tringulo:luego1cos= =costgAplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo OBAde la figura obtenemos:sen2 + cos2 = 1345sec tg 1 9. Trigonometra4. Resolucin de tringulosccateto opuesto