09 Complexos

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    complexos

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    Exerccios de exames e provas oficiais

    1. Na figura abaixo, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas de cinco nmeros complexos: w, z1, z2, z3 e z4.

    Qual o nmero complexo que pode ser igual a 2 i w ?

    (A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2014

    2. Seja o conjunto dos nmeros complexos.

    Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora.

    2.1. Considere 111

    2

    iz i

    i

    e 24

    z cis

    .

    Averigue se a imagem geomtrica do complexo 4

    1 2z z pertence bissetriz dos

    quadrantes mpares.

    2.2. Considere o nmero complexo 2sin 2 2 cosw i , com 0,2

    .

    Escreva w na forma trigonomtrica.

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2014

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    3. Na figura, esto representadas, no plano complexo,

    duas semirretas OA e OB e uma circunferncia de

    centro C e raio BC .

    Sabe-se que:

    O a origem do referencial;

    o ponto A a imagem geomtrica do complexo

    2 32

    3i ;

    o ponto B a imagem geomtrica do complexo

    2 32

    3i ;

    o ponto C a imagem geomtrica do complexo 2i .

    Considere como arg z a determinao que pertence ao intervalo , .

    Qual das condies seguintes define a regio sombreada, excluindo a fronteira?

    (A) 2 3 3

    2 arg3 4 4

    z i z

    (B) 2 3 2

    2 arg3 3 3

    z i z

    (C) 2 3 2

    2 arg3 3 3

    z i z

    (D) 2 3 3

    2 arg3 4 4

    z i z

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2014

    4. Seja o conjunto dos nmeros complexos.

    4.1. Considere 26

    z cis

    e

    4

    1

    z iw

    zi

    .

    No plano complexo, seja O a origem do referencial.

    Seja A a imagem geomtrica do nmero complexo z e seja B a imagem geomtrica do

    nmero complexo w.

    Determine a rea do tringulo [AOB], sem utilizar a calculadora.

    4.2. Seja 0, .

    Resolva, em , a equao 2

    2cos 1 0z z .

    Apresente as solues, em funo de , na forma trigonomtrica.

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2014

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    5. Na figura, est representado, no plano complexo, um polgono regular [ABCDEF]

    Os vrtices desse polgono so as imagens geomtricas das n razes de ndice n de um nmero

    complexo z.

    O vrtice C tem coordenadas 2 2,2 2 .

    Qual dos nmeros complexos seguintes tem por imagem geomtrica o vrtice E?

    (A) 13

    2 212

    cis

    (B) 13

    412

    cis

    (C) 17

    2 212

    cis

    (D) 17

    412

    cis

    matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2014

    6. Seja o conjunto dos nmeros complexos.

    6.1. Considere

    3

    1

    1 3

    1

    iz

    i

    e 2z cis , com 0, .

    Determine os valores de , de modo que 2

    1 2z z seja um nmero imaginrio puro, sem

    utilizar a calculadora.

    6.2. Seja z um nmero complexo tal que 2 2

    1 1 10z z .

    Mostre que 2z

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    7. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere 2013

    1w i .

    A qual dos conjuntos seguintes pertence w?

    (A) : 1z z z (B) : 2z z

    (C) :z z z (D) : Re Imz z z matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2013

    8. Na figura abaixo, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas dos nmeros complexos: z, z1, z2, z3, e z4.

    Sabe-se que w um nmero complexo tal que z i w .

    Qual o nmero complexo que pode ser igual a w?

    (A) z4 (B) z3 (C) z2 (D) z1

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2013

    9. Seja o conjunto dos nmeros complexos, considere

    1

    1 3

    51 2

    6

    iz

    i cis

    e 2 212

    z cis

    9.1. Seja z cis , com pertencente a 0,2 .

    Determine de modo que 1

    z

    z seja um nmero real negativo, sem utilizar a calculadora.

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    9.2. As imagens geomtricas de 2z e do seu conjugado, 2z , so vrtices consecutivos de um

    polgono regular. Os vrtices desse polgono so as imagens geomtricas das razes de

    ndice n de um certo nmero complexo w.

    Determine w na forma algbrica, sem utilizar a calculadora.

    Comece por calcular n.

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2013

    10. Considere, em , conjunto dos nmeros complexos, 2z bi , com 0b .

    Seja 0,2

    .

    Qual dos nmeros complexos seguintes pode ser o conjugado de z?

    (A) 3

    2cis (B) 3cis (C) 3cis (D)

    3

    2cis

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2013

    11. Considere, em , conjunto dos nmeros complexos, a condio

    3 2

    3 3 arg 32 3 3

    z i z i

    Considere como arg z a determinao que pertence ao intervalo , .

    Qual das opes seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos

    definido pela condio dada?

    (A)

    (B)

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    (C)

    (D)

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2013

    12. Seja o conjunto dos nmeros complexos.

    12.1. Considere 221

    1 3

    2

    iz i

    e 2

    1

    2z

    iz

    Determine, sem utilizar a calculadora, o menor nmero natural n tal que 2n

    z um nmero

    real negativo.

    12.2. Seja , .

    Mostre que

    cos cos2

    2cos sin

    i

    cisi

    .

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2013

    13. Na figura abaixo, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas de quatro nmeros complexos: w1, w2, w3, e w4.

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    Qual o nmero complexo que, com n , pode ser igual a 8 8 1 8 2n n ni i i ?

    (A) w1 (B) w2 (C) w3 (D) w4

    matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2013

    14. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere 8 6z i e

    2i z

    wz

    .

    Seja um argumento do nmero complexo z.

    Qual das opes seguintes verdadeira?

    (A) 10 32

    w cis

    (B) 2 32

    w cis

    (C) 102

    w cis

    (D) 22

    w cis

    matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2013

    15. Seja o conjunto dos nmeros complexos, considere 13

    2 24

    z cis

    e 2 1z i .

    15.1. Sabe-se que 1

    2

    z

    z uma raiz quadrada de um certo nmero complexo w.

    Determine w na forma algbrica, sem utilizar a calculadora.

    15.2. Seja 3z cis

    Determine o valor de pertencente ao intervalo 2 , , sabendo que 3 2z z um nmero real.

    matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2013

    16. Sejam k e p dois nmeros reais tais que os nmeros complexos 1z i e 111 2 w k p i sejam inversos um do outro.

    Qual o valor de k p ?

    (A) 1

    4 (B)

    1

    2 (C)

    5

    4 (D)

    7

    4

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2012

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    17. Na figura abaixo, esto representadas, no plano complexo, uma circunferncia, de centro na

    origem e de raio 1, e uma reta r, definida por 1

    Re2

    z .

    Seja 1z o nmero complexo cuja imagem geomtrica est no 1 quadrante e o ponto de

    interseco da com a reta r.

    Qual das opes seguintes apresenta uma equao de que 1z soluo?

    (A) 1z z i (B) 3

    Im2

    z (C) 1

    12

    z (D) 1 2z

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2012

    18. Seja o conjunto dos nmeros complexos.

    Resolva os itens seguintes, sem recorrer calculadora.

    18.1. Considere o nmero complexo 8 3 8z i .

    Determine as razes de ndice 4 de z.

    Apresente as razes na forma trigonomtrica.

    18.2. Seja w um nmero complexo no nulo.

    Mostre que, se o conjugado de w igual a metade do inverso de w, ento a imagem

    geomtrica de w pertence circunferncia de centro na origem e de raio 2

    2.

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2012

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    19. Seja k um nmero real, e sejam 1 2z i e 2 3z ki dois nmeros complexos.

    Qual o valor de k para o qual 1 2z z um imaginrio puro?

    (A) 3

    2 (B)

    3

    2 (C) 1 (D) 6

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2012

    20. Na figura, est representado, no plano complexo, um polgono regular

    [ABCDEFGHI].

    Os vrtices desse polgono so as imagens

    geomtricas das razes de ndice n de um

    nmero complexo z.

    O vrtice A tem coordenadas 0, 3 .

    Qual dos nmeros complexos seguintes

    tem por imagem geomtrica o vrtice F?

    (A) 7

    318

    cis

    (B) 11

    318

    cis

    (C) 2

    33

    cis

    (D) 5

    39

    cis

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2012

    21. Seja o conjunto dos nmeros complexos.

    21.1. Seja n um nmero