09 Complexos

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Exercícios de exames e provas oficiais

1. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco

números complexos: w, z1, z2, z3 e z4.

Qual é o número complexo que pode ser igual a 2 i w ?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2014

2. Seja o conjunto dos números complexos.

Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora.

2.1. Considere 1

1

1

2

iz i

i

e 2

4z cis

.

Averigue se a imagem geométrica do complexo 4

1 2z z pertence à bissetriz dos

quadrantes ímpares.

2.2. Considere o número complexo 2sin 2 2 cosw i , com 0,

2

.

Escreva w na forma trigonométrica.


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3. Na figura, estão representadas, no plano complexo,

duas semirretas OA e OB e uma circunferência de

centro C e raio BC .

Sabe-se que:

O é a origem do referencial;

o ponto A é a imagem geométrica do complexo

2 32

3i ;

o ponto B é a imagem geométrica do complexo

2 32

3i ;

o ponto C é a imagem geométrica do complexo 2i .

Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo , .

Qual das condições seguintes define a região sombreada, excluindo a fronteira?

(A) 2 3 3

2 arg3 4 4

z i z

(B) 2 3 2

2 arg3 3 3

z i z

(C) 2 3 2

2 arg3 3 3

z i z

(D) 2 3 3

2 arg3 4 4

z i z

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014


4.1. Considere 26

z cis

e

4

1

z iw

zi

.

No plano complexo, seja O a origem do referencial.

Seja A a imagem geométrica do número complexo z e seja B a imagem geométrica do

número complexo w.

Determine a área do triângulo [AOB], sem utilizar a calculadora.

4.2. Seja 0, .

Resolva, em , a equação 2

2cos 1 0z z .

Apresente as soluções, em função de , na forma trigonométrica.



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5. Na figura, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ABCDEF]

Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das n raízes de índice n de um número

complexo z.

O vértice C tem coordenadas 2 2,2 2 .

Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice E?

(A) 13

2 212

cis

(B) 13

412

cis

(C) 17

2 212

cis

(D) 17

412

cis



6.1. Considere

3

1

1 3

1

iz

i

e 2z cis , com 0, .

Determine os valores de , de modo que 2

1 2z z seja um número imaginário puro, sem

utilizar a calculadora.

6.2. Seja z um número complexo tal que 2 2

1 1 10z z .

Mostre que 2z



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7. Em , conjunto dos números complexos, considere 2013

1w i .

A qual dos conjuntos seguintes pertence w?

(A) : 1z z z (B) : 2z z

(C) :z z z (D) : Re Imz z z


8. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas dos

números complexos: z, z1, z2, z3, e z4.

Sabe-se que w é um número complexo tal que z i w .

Qual é o número complexo que pode ser igual a w?

(A) z4 (B) z3 (C) z2 (D) z1


9. Seja o conjunto dos números complexos, considere

1

1 3

51 2

6

iz

i cis

e 2 212

z cis

9.1. Seja z cis , com pertencente a 0,2 .

Determine de modo que 1

z

z seja um número real negativo, sem utilizar a calculadora.


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9.2. As imagens geométricas de 2z e do seu conjugado, 2z , são vértices consecutivos de um

polígono regular. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de

índice n de um certo número complexo w.

Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

Comece por calcular n.


10. Considere, em , conjunto dos números complexos, 2z bi , com 0b .

Seja 0,2

.

Qual dos números complexos seguintes pode ser o conjugado de z?

(A) 3

2cis (B) 3cis (C) 3cis (D)

3

2cis


11. Considere, em , conjunto dos números complexos, a condição

3 2

3 3 arg 32 3 3

z i z i


Qual das opções seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos

definido pela condição dada?

(A)

(B)


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(C)

(D)



12.1. Considere 22

1

1 3

2

iz i

e 2

1

2z

iz

Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que 2

nz é um número

real negativo.

12.2. Seja , .

Mostre que

cos cos2

2cos sin

i

cisi

.


13. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro

números complexos: w1, w2, w3, e w4.


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Qual é o número complexo que, com n , pode ser igual a 8 8 1 8 2n n ni i i

?

(A) w1 (B) w2 (C) w3 (D) w4


14. Em , conjunto dos números complexos, considere 8 6z i e

2i z

wz

.

Seja um argumento do número complexo z.

Qual das opções seguintes é verdadeira?

(A) 10 32

w cis

(B) 2 32

w cis

(C) 102

w cis

(D) 22

w cis


15. Seja o conjunto dos números complexos, considere 1

32 2

4z cis

e 2 1z i .

15.1. Sabe-se que 1

2

z

z é uma raiz quadrada de um certo número complexo w.

Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

15.2. Seja 3z cis

Determine o valor de pertencente ao intervalo 2 , , sabendo que 3 2z z é um

número real.


16. Sejam k e p dois números reais tais que os números complexos 1z i e 111 2 w k p i

sejam inversos um do outro.

Qual é o valor de k p ?

(A) 1

4 (B)

1

2 (C)

5

4 (D)

7

4



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17. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, uma circunferência, de centro na

origem e de raio 1, e uma reta r, definida por 1

Re2

z .

Seja 1z o número complexo cuja imagem geométrica está no 1º quadrante e é o ponto de

intersecção da com a reta r.

Qual das opções seguintes apresenta uma equação de que 1z é solução?

(A) 1z z i (B) 3

Im2

z (C) 1

12

z (D) 1 2z



Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.

18.1. Considere o número complexo 8 3 8z i .

Determine as raízes de índice 4 de z.

Apresente as raízes na forma trigonométrica.

18.2. Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se o conjugado de w é igual a metade do inverso de w, então a imagem

geométrica de w pertence à circunferência de centro na origem e de raio 2

2.



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19. Seja k um número real, e sejam 1 2z i e 2 3z ki dois números complexos.

Qual é o valor de k para o qual 1 2z z é um imaginário puro?

(A) 3

2 (B)

3

2 (C) 1 (D) 6


20. Na figura, está representado, no plano

complexo, um polígono regular

[ABCDEFGHI].

Os vértices desse polígono são as imagens

geométricas das raízes de índice n de um

número complexo z.

O vértice A tem coordenadas 0, 3 .

Qual dos números complexos seguintes

tem por imagem geométrica o vértice F?

(A) 7

318

cis

(B) 11

318

cis

(C) 2

33

cis

(D) 5

39

cis



21.1. Seja n um número natural.

Determine

4 63 2

6

25

ni cis

cis

, sem recorrer à calculadora.

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

21.2. Seja ,4 2

.

Sejam 1z e 2z dois números complexos tais que 1z cis e 22

z cis

.

Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de 1 2z z , no plano complexo, pertence

ao 2º quadrante.



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22. Na figura, estão representadas, no

plano complexo, as imagens

geométricas de cinco números

complexos: w, z1, z2, z3 e z4.

Qual é o número complexo que

pode ser igual a 3

w

i?

(A) z1

(B) z2

(C) z3

(D) z4


23. Na figura, estão representadas, a sombreado, no

plano complexo, parte de uma coroa circular.

Sabe-se que:


o ponto Q é a imagem geométrica do

complexo 1 i ;

a reta PQ é paralela ao eixo real;

as circunferências têm centro na origem;

os raios das circunferências são iguais a 3

e a 6.


Qual das condições seguintes pode definir, em , conjunto dos números complexos, a região

a sombreado, incluindo a fronteira?

(A) 3

3 6 arg 14

z z i

(B) 3

9 36 arg 14

z z i

(C) 3

3 6 arg 14

z z i

(D) 3

9 36 arg 14

z z i



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24. Seja o conjunto dos números complexos, considere 3

1 2z i e 2

1 28

2

iz

i

.

24.1. Resolva a equação 3

1 2z z z , sem recorrer à calculadora.

Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

24.2. Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se w e 1

w são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então 1z

ou 1z .


25. Sejam k e p dois números reais e sejam 1 3 2z k pi e 2 3 4 2 5z p k i dois

números complexos.

Quais são os valores de k e de p para os quais 1z é igual ao conjugado de 2z ?

(A) 1k e 3p (B) 1k e 3p

(C) 0k e 2p (D) 1k e 3p


26. Considere, em , um número complexo w.

No plano complexo, a imagem geométrica

de w é o vértice A do octógono

[ABCDEFGH], representado na figura.

Os vértices desse polígono são imagens

geométricas das raízes de índice 8 de um

certo número complexo.

Qual dos números complexos seguintes tem

como imagem geométrica o vértice C do

octógono [ABCDEFGH]?

(A) w (B) 1w (C) i w (D) 3i w



Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

27.1. Considere 4 2014

1 2 3 , n

z i i n

.

Sabe-se que 1z é uma das raízes cúbicas de um certo complexo z. Determine z.

Apresente o resultado na forma algébrica.


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27.2. Considere 24

z cis

.

No plano complexo, a região definida pela condição

2 21 arg 22

z z z z z z

está representada geometricamente numa das

opções I, II, III e IV, apresentadas na página seguinte.

(Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo 0,2 )

Sabe-se que em cada uma das opções:


C é a imagem geométrica de 2z ;

OC é o raio da circunferência.

Apenas uma das opções está correta.

I

II

III

IV

Elabore uma composição na qual:

indique a opção correta;

apresente as razões que lhe levam a rejeitar as restante opções.

Apresente três razões, uma por cada opção rejeitada.



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28. Na figura abaixo, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe-se que:

o ponto A é a imagem geométrica da número complexo 3 i ;

o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence à circunferência de centro

na origem do referencial e raio igual a OA

Qual das condições seguintes define, em , a região sombreada, incluindo a fronteira?

(Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo 0,2 ).

(A) 2

2 arg3

z z

(B) 5

2 arg6

z z

(C) 2

4 arg3

z z

(D) 5

4 arg6

z z


29. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números

complexos: z1, z2, z3, z4, z5 e z6.

Qual é o número complexo que pode ser igual a 2 4z z i ?

(A) z1 (B) z3 (C) z5 (D) z6



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30.1. Considere 1 1 2z i e 4 3

1

52

4

nz i b

w

cis

, com b e n .

Determine o valor de b para o qual w é um número real.

30.2. Seja z um número complexo tal que 1z

Mostre que 2 2

1 1 4z z .


31. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro

números complexos: z1, z2, z3 e z4.

Qual é o número complexo que, com n , pode ser igual a 4 4 1 4 2n n n

i i i

?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4


32. Na figura seguinte, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe-se que:

o ponto A está situado no 1º quadrante;

o ponto B está situado no 4º quadrante;

[AB] é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são as imagens geométricas

das raízes de índice 5 do complexo 322

cis

;

o arco AB está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual

a OA .


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Qual dos números seguintes é o valor da área do setor circular AOB?

(A) 5

(B)

4

5

(C)

2

5

(D)

8

5


33. Seja , o conjunto dos números complexos, considere:

1 1z , 2 5z i e 340

nz cis

, n


33.1. O complexo 1z é raiz do polinómio 3 216 16z z z .

Determine, em , as restantes raízes do polinómio.

Apresente as raízes na forma trigonométrica.

33.2. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de 2 3z z , no plano

complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.


34. A figura representa um pentágono [ABCDE] no

plano complexo.

Os vértices do pentágono são as imagens

geométricas das raízes de índice n de um

número complexo w.

O vértice A tem coordenadas 1,0

Qual dos números complexos seguintes tem por

imagem geométrica o vértice D do pentágono?

(A) 6

55

cis

(B) 6

5cis

(C) 5

cis

(D) 5

cis



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35. Seja w o número complexo cuja imagem geométrica está representada na figura abaixo.

A qual das retas seguintes pertence a imagem geométrica de 6w ?

(A) Eixo real

(B) Eixo imaginário

(C) Bissetriz dos quadrantes ímpares

(D) Bissetriz dos quadrantes pares


36. Seja , o conjunto dos números complexos, considere 1 24

z cis

e 2 3z .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

36.1. Determine o número complexo

4

1 4z iw

i

.


36.2. Escreva uma condição, em , que defina, no plano complexo, a circunferência que tem

centro na imagem geométrica de 2z e que passa na imagem geométrica de 1z .



z cis

, com .

Para qual dos valores seguintes de podemos afirmar que z é um número imaginário puro?

(A) 2

(B)

2

(C)

8

(D)

5

8



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38. Na figura abaixo, está representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano

definido pela condição Re 3z .

Qual dos números complexos seguintes tem a sua imagem geométrica na região representada

a sombreado?

(A) 36

cis

(B) 3 36

cis

(C) 32

cis

(D) 3 32

cis



z cis

e 2 2z i .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

39.1. Determine o número complexo

7

1

2

3 i zw

z

.

(i designa a unidade imaginária, e 2z designa o conjugado de 2z ).


39.2. Mostre que 2

1 2 6 4cos 2sin7 7

z z


40. Seja k um número real, e 1 3 2z k i i um número complexo.

Qual é o valor de k, para que 1z seja um número imaginário puro?

(A) 3

2 (B)

2

3 (C)

2

3 (D)

3

2



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41. Na figura, está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas

2, 1 .

Qual das condições seguintes define em , conjunto dos números complexos, a região

sombreada, incluindo a fronteira?

(A) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z

(B) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z

(C) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z

(D) 1 2 Im 2 Re 1z z i z z


42. No conjunto dos números complexos, seja

7

32

7

34

2

cis i

z

cis

.

Determine z na forma algébrica, sem recorrer à calculadora.


43. Considere, em , um número complexo w, cuja imagem geométrica no plano complexo é

um ponto A, situado no 1º quadrante. Sejam os pontos B e C, respetivamente, as imagens

geométricas w (conjugado de w) e de ( w ).

Sabe-se que 8BC e que 5w .

Determine a área do triângulo [ABC].



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44. Seja z um número complexo, em que um dos argumentos é 3

.

Qual dos valores seguintes é um argumento de 2i

z, sendo z o conjugado de z?

(A) 6

(B)

2

3 (C)

5

6 (D)

7

6


45. Seja b um número real positivo, e 1z bi um número complexo.

Em qual dos triângulos seguintes os vértices podem ser as imagens geométricas dos números

complexo 1z , 2

1z e 3

1z ?

(A)

(B)

(C)

(D)



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46. Em , conjunto dos números complexo, considere 18

11

iz i

i

e 2

5

6z cis

.

46.1. Determine 1z na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora.

46.2. Determine o menor valor de n , tal que 2 1n

i z .


47. Seja z um número complexo de argumento 6

.

Qual dos seguintes valores é um argumento de z ?

(A) 6

(B)

5

6 (C) (D)

7

6


48. Considere a figura abaixo, representada no plano complexo.

Qual é a condição, em , que define a região sombreada da figura, incluindo a fronteira?

(A) Re 3 arg 04

z z

(B) Re 3 0 arg4

z z

(C) Im 3 arg 04

z z

(D) Re 3 arg 04

z z



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49. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 1z i (i designa a unidade

imaginária).

49.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor

18

12 3

1 2

z i

i

.


49.2. Considere 1z uma das raízes quartas de um certo número complexo z.

Determine uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um ponto pertence ao 3º

quadrante.

Apresente o resultado na forma trigonométrica. matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008

50. Seja 3z i um número complexo.

Qual dos seguintes valores é um argumento de z?

(A) 0 (B) 1

2 (C) (D)

3

2


51. Considere, em , a condição 2z z .

Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjugado de

pontos definidos por esta condição?

(A)

(B)

(C)

(D)



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52. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 1 3 z i e 2 8 0z cis (i designa a

unidade imaginária).

52.1. Mostre, sem recorrer à calculadora, que 1z é uma raiz cúbica de 2z .

52.2. No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de 1z e de 46

3 1. z z i ,

respetivamente.

Determine o comprimento do segmento [AB].


53. Em , conjunto dos números complexos, seja i a unidade imaginária.

Seja n um número natural tal que ni i .

Indique qual dos seguintes é o valor de 1ni

.

(A) 1 (B) i (C) 1 (D) i


54. Em , conjunto dos números complexos, sejam:

1 3z yi e 2 14 z i z

(i é a unidade imaginária e y designa um número real).

54.1. Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, Arg z designa o argumento

de z que pertence ao intervalo 0,2 .

Admitindo que 1Arg z e que 02

, determine o valor de 2Arg z em função

de .

54.2. Sabendo que 1 2Im Imz z , determine 2z .



55. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?

(A) 1 e i (B) 1 e i

(C) 1 i e 1 i (D) 1 i e 1 i



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56. Em , conjunto dos números complexos, considere z cis , 0,2

.

56.1. Na figura está representado, no plano complexo, o paralelogramo [AOBC].

A e B são as imagens geométricas de z e z , respetivamente.

C é a imagem geométrica de um número complexo w.

Justifique que 2cosw .

56.2. Determine o valor de 0,2

para o qual

3z

i é um número real.


57. Na figura estão representadas, no plano complexo, duas circunferências, ambas com centro

no eixo real, tendo uma delas raio 1 e a outra raio 2.

A origem do referencial é o único ponto comum às duas circunferências.

Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) 1 1 2 2z z (B) 1 2 2 1z z

(C) 1 1 2 2z z (D) 1 2 2 1z z



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58. Em o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.

58.1. Considere 1 2 22

z i cis

e 2

1

5 7z cis

.

Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo 1

2

z

z na forma trigonométrica.

58.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A

situado no primeiro quadrante.

Seja B a imagem geométrica de z , conjugado de z.

Seja O a origem do referencial.

Sabe-se que o triângulo [AOB] é equilátero e tem perímetro 6.

Represente o triângulo [AOB] e determine z na forma algébrica.


59. Os pontoa A e B, representados na figura, são as imagens geométricas, no plano complexo,

das raízes quadradas de um certo número complexo z.

Qual dos números complexos seguintes pode ser z?

(A) 1 (B) i (C) 1 (D) i



60.1. Sem recorrer à calculadora, determine

6

4 26

3

i cis

i

apresentando o resultado final na

forma trigonométrica.

60.2. Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, arg z designa o argumento

de z que pertence ao intervalo 0,2 .

Represente a região do plano complexo pela condição, em ,

1 3 5

1 arg2 4 4

z z

e determine a sua área. matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006


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61. Em qual das opções seguintes estão duas raízes de um mesmo números complexo?

(A) 6

cis

e 5

6cis

(B)

3cis

e

2

3cis

(C) 4

cis

e 3

4cis

(D)

2cis

e

3

2cis


62. Em o conjunto dos números complexos, considere

1 1w i , 2 212

w cis

e 3 32

w cis

62.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de 1 2

3

2w w

w

.


62.2. Represente, no plano complexo, a região definida pela condição

1 3Re Re 3z w z w


63. Em o conjunto dos números complexos, considere 1 24

z cis

e 2 2z i .

Sejam 1P e 2P as imagens geométricas, no plano complexo, de 1z e de 2z , respetivamente.

Sabe-se que o segmento de reta 1 2P P é um dos lados do polígono cujos vértices são as

imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w.

Qual é o valor de n?

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10



64.1. Considere 2

1

iw i

i

.

Sem recorrer à calculadora, escreva w na forma trigonométrica.

64.2. Considere 1z cis e 22

z cis

.

Mostre que a imagem geométrica, no plano complexo, de 1 2z z pertence à bissetriz dos

quadrantes ímpares.



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65. Os quatro vértices de um dos quadriláteros seguintes são as imagens geométricas, no plano

complexo, das raízes quartas de um certo número complexo w.

Qual poderá ser esse quadrilátero?

(A)

(B)

(C)

(D)


66. Em o conjunto dos números complexos, considere

4 3w i (i designa a unidade imaginária)

66.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma algébrica, 2

2w

ii

.

66.2. Seja um argumento do número complexo w.

Exprima, na forma trigonométrica, em função de , o produto de i pelo conjugado de w.



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67. Na figura abaixo está representado, no plano complexo, um triângulo retângulo isósceles.

Os catetos têm comprimento 1, estando um deles contido no eixo dos números reais.

Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial.

Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) Re 0 Im 0 1z z z

(B) Re 0 Im 0 1z z z

(C) Re 1 Im 0 1z z z i z

(D) Re 1 Im 0 1z z z i z


68. Em , considere os números complexos: 1 6 3z i e 2 1 2z i .

Sem recorrer à calculadora, determine

23

1

2

z i

z

, apresentando o resultado final na forma

trigonométrica.


69. Seja z um número complexo, cuja imagem geométrica pertence ao primeiro quadrante (eixos

não incluídos).

Justifique que a imagem geométrica de 3z , não pode pertencer ao quarto quadrante.



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70. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco

números complexos: w, z1, z2, z3 e z4.

Qual é o número complexo que pode ser igual a 1 w ?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4


71.

é o conjunto dos números complexos;

i designa a unidade imaginária.

71.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do

número complexo 1 3 i , simplificando o mais possível as expressões obtidas.

71.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A

situado no segundo quadrante e pertencente à reta definida pela condição Re 2z .

Seja B a imagem geométrica de z , conjugado de z.

Seja O a origem do referencial.

Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as condições

enunciadas.

Sabendo que área do triângulo [AOB] é 8, determine, z, na forma algébrica.



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72. Considere, em , a condição:

3 0 arg Re 14

z z z

Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de

pontos definidos por esta condição?

(A)

(B)

(C)

(D)

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003

73. é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.

73.1. Sem recorrer à calculadora, determine

3

2

3 2 29

3

2

i cis

cis

apresentando o resultado

na forma algébrica.

73.2. Seja um número real.

Sejam 1z e 2z dois números complexos tais que:

1z cis ;

2z cis .

Mostre que 1z e 2z não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo.



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74. Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissetriz

dos quadrantes ímpares.

A imagem geométrica de 4w pertence a uma das retas a seguir indicadas.

A qual delas?

(A) Eixo real. (B) Eixo imaginário.

(C) Bissetriz dos quadrantes pares. (D) Bissetriz dos quadrantes ímpares.


75. Em , conjunto dos números complexos, considere

1 2 2z i , 2

52

4z cis

e 3 1z i

75.1. Sem recorrer à calculadora, determine 1

2

z

z apresentando o resultado na forma algébrica.

75.2. Escreva uma condição em que defina, no plano complexo, a circunferência que tem

centro na imagem geométrica de 1z e que passa na imagem geométrica de 3z .


76. Na figura está representado um retângulo, de

comprimentos 4 e largura 2, centrado na origem do

plano complexo.

Seja z um número complexo qualquer, cuja imagem

geométrica está situada no interior do retângulo.

Qual dos seguintes números complexos tem também,

necessariamente, a sua imagem geométrica no

interior do retângulo?

(A) 1z (B) z (C) 2

z (D) 2z



1 1z i (i designa a unidade imaginária).

77.1. Determine os números reais b e c para os quais 1z é raiz do polinómio 2

x bx c .

77.2. Seja 2z cis .

Calcule o valor de , pertencente ao intervalo 0,2 , para o qual 1 2z z é um número

real negativo ( 2z designa o conjugado de 2z ).



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78. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do

conjunto : 1 2 Im 4z z z i z ?

(A)

(B)

(C)

(D)


79. De dois números complexos 1z e 2z sabe-se que:

um argumento de 1z é 3

;

o módulo de 2z é 4.

79.1. Seja 1 i

wi

.

Justifique que w diferente de 1z e de 2z .

79.2. 1z e 2z são duas das raízes quartas de um certo número complexo z.

Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de 2z pertence ao segundo

quadrante, determine 2z na forma algébrica.



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80. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário?

(A) 0z z (B) Im 1z (C) 0z (D) 0z z


81. Em , conjunto dos números complexos: 1 1z i e 2

32

4z cis

81.1. Verifique que 1z e 2z são raízes quartas de um mesmo número complexo.

Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica.

81.2. Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que:

A é a imagem geométrica de 1z ;

B é a imagem geométrica de 2z ;

O é a origem do referencial.

Determine o perímetro do triângulo [AOB].


82. Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens

geométricas das raízes quadradas de 3 4i ?

(A)

(B)

(C)

(D)



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2w i (i designa a unidade imaginária).

83.1. Determine 11 2

2 1 3w i na forma algébrica.

83.2. Averigue se o inverso de w é, ou não, 3

24

cis

.


84. Na figura está representado, no plano complexo, um heptágono regulas inscrito numa

circunferência de centro na origem e raio 1. Um dos vértices do heptágono pertence ao eixo

imaginário.

Os vértices do heptágono são, para um certo número natural n, as imagens geométricas das

raízes de índice n de um número complexo z.

Qual é o valor de z?

(A) 1 i (B) 1 i (C) i (D) i


85. Em , conjunto dos números complexos, seja

1 4z i (i designa a unidade imaginária).

85.1. No plano complexo, a imagem geométrica de 1z é um dos quatro vértices de um losango

de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os números complexos cujas

imagens geométricas são os restantes vértices do losango.

85.2. Sem recorrer à calculadora, resolva a equação

2

12 24

cis z z

.




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86. Seja w um número complexo diferente de 0, cuja

imagem geométrica, no plano complexo, está no

primeiro quadrante e pertence à bissetriz dos

quadrantes +impares.

Seja w o conjugado de w. Na figura estão

representadas, no plano complexo, as imagens

geométricas de quatro números complexos: z1, z2, z3 e

z4.

Qual deles pode ser igual a w

w?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4


87. Em , conjunto dos números complexos, seja 1 23

z cis

.

87.1. Sem recorrer à calculadora, verifique que 3

1 2z

i

é um imaginário puro.

87.2. No plano complexo, a imagem geométrica de 1z é um dos cinco vértices do pentágono

regular representado na figura. Este pentágono está inscrito numa circunferência centrada

na origem do referencial.

Defina, por meio de uma condição em , a região sombreada, excluindo a fronteira.



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88. Seja z yi , com \ 0y , um número complexo (i designa a unidade imaginária).

Qual dos quatro pontos representados na figura junta (A, B, C ou D) pode ser a imagem

geométrica de 4z ?

(A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D

matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001

89. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 7 24z i (i designa a unidade

imaginária).

89.1. Um certo ponto P é a imagem geométrica, no plano complexo, de uma das raízes quadradas

de 1z . Sabendo que o ponto P tem abcissa 4, determine a sua ordenada.

89.2. Seja 2z cis com 3

,4

.

Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geométrica de 1 2z z .

matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001

90. Qual das seguintes condições define uma reta no plano complexo?

(A) 1 4z (B) arg

2z

(C) 3 2 0z i (D) 1z z i



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91. Seja o conjunto dos números complexos, e sejam 1z

e 2z dois elementos de .

Sabe-se que:

1z tem argumento 6

;

4

2 1z z ;

1A e 2A são as imagens geométricas de 1z e 2z ,

respetivamente.

91.1. Justifique que o ângulo 1 2A OA é reto (O designa a origem do referencial).

91.2. Considere, no plano complexo, a circunferência C definida pela condição 1z z .

Sabendo que o perímetro de C é 4 , represente, na forma algébrica, o número complexo

1z .


92. Seja z um número complexo de argumento 5

.

Qual poderá ser um argumento do simétrico de z?

(A) 5

(B)

5

(C)

5

(D) 2

5


93. Considere, no plano complexo, o quadrado [ABCD].

Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário, e os pontos B

e D pertencem ao eixo real.

Estes quatro pontos encontram-se à distância de uma unidade

da origem do referencial.

93.1. Seja 1w i e 3

22

z cis

.

Sem recorrer à calculadora, mostre que as raízes quartas do

complexo 2

w

z têm por imagens geométricas os pontos A, B,

C e D.

93.2. Defina, por meio de uma condição em , a circunferência inscrita no quadrado [ABCD].



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94. Na figura está representado um hexágono

cujos vértices são as imagens geométricas,

no plano complexo, das raízes de índice 6 de

um certo número complexo.

O vértice C é a imagem geométrica do

número complexo 3

24

cis

.

Qual dos seguintes números complexos tem

por imagem geométrica o vértice D?

(A) 7

26

cis

(B) 13

212

cis

(C) 6 72

6cis

(D) 6 13

212

cis


95. Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior do

círculo de centro na origem do referencial e raio 1.

95.1. Define, por meio de uma condição em , a parte de A contida no segundo quadrante

(excluindo os eixos do referencial).

95.2. Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo 1 3

46

i

cis

pertence ao conjunto

A.


Bom trabalho!!


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Principais soluções

1. (D)

2.

2.1. Pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

2.2. 2cos .2

w cis

3. (C)

4.

4.1.

9

2AOB

A

4.2. z cis z cis

5. (D)

6.

6.1. 8

e

5

8

6.2.

7. (D)

8. (C)

9.

9.1.

9.2. 64

10. (C)

11. (A)

12. 12.1. 6n

12.2.

13. (C)

14. (A)

15. 15.1. 1w

15.2. 3

2

16. (D)

17. (B)

18.

18.1. 11 23

2 ; 224 24

cis cis

35 472 ; 2

24 24cis cis

18.2.

19. (D)

20. (B)

21.

21.1. 1 13

2 10cis

21.2.

22. (A)

23. (C)

24.

24.1. 2 0z cis , 2

23

z cis

42

3z cis

24.2.

25. (B)

26. (C)

27. 27.1. 8z

27.2. IV

28. (B)

29. (C)

30. 30.1. 3b

30.2.

31. (B)

32. (B)

33.

33.1. 1 0cis ; 4 42

i cis

;

4 42

i cis

33.2. 30n

34. (B)

35. (A)

36.

36.1. 4 24

w cis

36.2. 3 5z

37. (D)

38. (B)

39.

39.1. 24

w cis

39.2.

40. (C)

41. (A)

42. 11 1

4 4z i

43. 24 . .

ABCA u a

44. (C)

45. (C)

46.

46.1. 1

2

2 4z cis

46.2. 3n

47. (D)


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48. (A)

49.

49.1. 4 2

5 5i

49.2. 5

24

cis

50. (B)

51. (B)

52. 52.1.

52.2. 4AB

53. (A)

54.

54.1. 2

3Arg

2z

54.2. 248 12z i

55. (D)

56. 56.1.

56.2. 6

57. (A)

58.

58.1. 157

cis

58.2. 3z i

59. (D)

60.

60.1. 24

cis

60.2. 3

. .16

A u a

61. (A)

62.

62.1. 3

13

i

62.2.

63. (C)

64.

64.1. 2

2 4cis

64.2.

65. (B)

66. 66.1. 12 11i

66.2. 52

cis

67. (C)

68. 5

2 24

cis

69. 70. (C)

71.

71.1. 4 4 72 ; 2 ;

12 12cis cis

4 413 192 ; 2

12 12cis cis

71.2. 2 4i

72. (B)

73. 73.1. 3i

73.2.

74. (A)

75. 75.1. 2i

75.2. 1 1 3z z z z

76. (B)

77. 77.1. 2 2b c

77.2. 5

4

78. (B)

79. 79.1.

79.2. 2

2 3 2z i

80. (A)

81. 81.1. 4

81.2. 2 2 2P

82. (A)

83. 83.1. 6 8i

83.2. Não.

84. (D)

85. 85.1. 4 ; 3 ; 3i

85.2. 2z i

86. (B)

87. 87.1.

87.2. 11

2 arg3 15

z z

88. (A)

89. 89.1. Ordenada é 3.

89.2. Terceiro quadrante.

90. (D)


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91. 91.1.

91.2. 1

3z i

92. (B)

93. 93.1.

93.2. 2

2z

94. (B)

95. 95.1. 1 Re 0 Im 0z z z

95.2.


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